Zusatzmaterial zu Kapitel 6

ZU KAPITEL 62: METHODEN ZUR STABILITÄTSPRÜFUNG Zusatzmaterial zu Kapitel 6 Zu Kapitel 62: Methoden zur Stabilitätsprüfung Einleitung Bei der Feststellung der asymptotischen Stabilität (siehe Kapitel 63) bzw der BIBO- Eigenschaft (siehe Kapitel 64) geht es prinzipiell darum, ob ein Polynom n-ten Grades mit reellen Koeffizienten, also n (s) :=a n s n + a n s n + a n 2 s n 2 + + a s + a 0 () ausschliesslich Nullstellen in der offenen linken s-halbebene besitzt, und damit ein sogenanntes Hurwitz-Polynom ist Zur Erinnerung: Mit Hilfe des Routh-bzw Hurwitz-Kriteriums kann man ohne Ermittlung der Nullstellen des Polynoms n (s) entscheiden, ob n (s) ein Hurwitz-Polynom ist! Es handelt sich dabei um algebraische Tests, bezogen auf die Koeffizienten des vorliegenden Polynoms Die zu erfüllenden notwendigen und hinreichenden Bedingungen sind (ia nichtlineare) Ungleichungen bezüglich der Koeffizienten a i Zur Formulierung des Routh-bzw des Hurwitz-Kriteriums betrachtet man folgende zwei Polynome: : = a n s n + a n 2 s n 2 + a n 4 s n 4 + (2) δ n (s) : = a n s n + a n 3 s n 3 + a n 5 s n 5 + Sie enthalten jeweils die geraden bzw ungeraden Potenzen von s des Polynoms n (s) 2 Stabilitätsprüfung anhand einer Kettenbruch-Entwicklung Hierbei geht es um ein einprägsames und leicht durchzuführendes Verfahren, um zu entscheiden, ob n (s) ein Hurwitz-Polynom ist Ausgehend von den Polynomen und δ n (s) nach (2) bildet man den Quotienten δ n (s) Diesen entwickelt man nun in einen sogenannten Kettenbruch: δ n (s) = α s + α 2 s + α 3 s + + α ns (3) Das bedeutet, man ermittelt durch fortlaufende Division die n Kettenbruchfaktoren α i Es gelten folgende Aussagen:

ZU KAPITEL 62: METHODEN ZUR STABILITÄTSPRÜFUNG 2 ) n (s) ist genau dann ein Hurwitz-Polynom, wenn alle Kettenbruchfaktoren α i positiv sind, dh α i > 0 für i =, 2,,n 2) Falls kein α i gleich Null ist, gibt die Anzahl der positiven Kettenbruchfaktoren die Anzahl der Nullstellen von n (s), die einen negativen Realteil besitzen an 2 Beispiel Wir betrachten folgendes Polynom 4 Grades Hieraus bilden wir die Polynome nach (2): Für den Quotienten δ 4 (s) δ 3 (s) δ 4 (s) δ 3 (s) 4 (s) =2s 4 + s 3 +3s 2 + s +2 δ 4 (s) = 2s 4 +3s 2 +2 δ 3 (s) = s 3 + s ergibt sich dann folgende Kettenbruchentwicklung: = 2s4 +3s 2 +2 s 3 + s = 2s + s + s 2 +2 s =2s + s2 +2 s 3 + s =2s + s 3 + s s 2 +2 =2s + s + s + 05s Das heißt: α =2, α 2 =, α 3 = und α 4 = 05 Daraus folgt: 4 (s) ist kein Hurwitz-Polynom Es besitzt 2 Nullstellen in der linken offenen s-ebene, da 2 Koeffizienten α i positiv sind 22 Beispiel Wir betrachten das Polynom 3 Grades 3 (s) =s 3 4s 2 5s +6=(s 2)(s +)(s 3) Wir entwickeln den Quotienten δ 3 (s) δ 2 (s) := s3 5s 4s 2 +6 in einen Kettenbruch: s 3 5s 4s 2 +6 = 4 s + 65s 4s 2 +6 = 4 s + = 4s 2 +6 4 s + 8 65s 3 s + 3/2s Das Polynom ist kein Hurwitz-Polynom und besitzt Nullstelle in der linken offenen s-ebene

ZU KAPITEL 62: METHODEN ZUR STABILITÄTSPRÜFUNG 3 23 Zwei Hinweise Die Ermittlung der Koeffizienten α i entspricht der Auswertung zweireihiger Determinanten und ist äquivalent der Vorgehensweise bei der Erstellung des Routh-Tableaus Die entwickelte Form des Quotienten nach (3) entspricht der Reaktanzzweipolfunktion einer Schaltung in der sogenannten Cauer-Form Bei positiven Faktoren α i δ n (s) liegen aufgrund des Reaktanzsatzes von Cambell und Foster die Null- und Polstellen der Übertragungsfunktion auf der imaginären Achse Ferner liegen diese δ n (s) symmetrisch zum Nullpunkt und wechseln sich gegenseitig ab 3 Eine Stabilitäts-Normalform Die sogenannte Schwarz-Matrix besitzt die Form 0 0 0 β 0 0 0 0 S := 0 β 0 0 0 0 0 β n 2 β n, (4) wobei β i reelle Parameter sind Man beachte, dass jede nichtderogatorische (n, n)-matrix mittels einer regulären Transformation in diese Form gebracht werden kann Zur Erinnerung: eine (n, n)-matrix heisst nichtderogatorisch, wenn deren Minimalpolynom den Grad n hat Ein Beispiel hierfür ist eine Matrix in Begleitform Es gilt folgender Satz: Unter der Voraussetzung, dass alle Parameter verschieden von Null sind, dh β i 6=0 i =0,, n gilt, ist die Anzahl der Eigenwerte von S, die einen negativen Realteil besitzen, gleich der Anzahl der positiven Werte der Zahlenfolge β n, β n β n 2, β n β n 2 β n 3,, β n β n 2 β n 3 β 0 (5) Es leuchtet dann ein, dass das charakteristische Polynom det(se S) der Matrix S genau dann ein Hurwitz-Polynom ist, wenn die Ungleichungen gelten! β i > 0 i =0,, n Zur Erinnerung: eine (n, n)-matrix heisst nichtderogatorisch, wenn deren Minimalpolynom den Grad n hat Ein Beispiel hierfür ist eine Matrix in Begleitform

ZU KAPITEL 62: METHODEN ZUR STABILITÄTSPRÜFUNG 4 Wird demnach ein System durch dx dt = Sx beschrieben, so kann aufgrund des Vorzeichens der Parameter auf asymptotische Stabilität, bzw Instabilität geschlossen werden Man beachte, dass - im Gegensatz (!) zur Diagonalform - keine Voraussetzungen bezüglich der Vielfachheit der Eigenwerte der Systemmatrix nötig sind 3 Bemerkungen Die nachfolgenden Ausführungen sollen dem Verständnis des oben formulierten Satzes dienen und existierende Verbindungen zum klassischen Hurwitz- Stabilitätskriterium aufzeigen Es wird nun angenommen, dass beim Polynom n (s) nach Gleichung () der Koeffizient a n der Potenz s n gleich Eins ist Dies stellt zweifellos keine Einschränkung der Allgemeinheit dar Damit erhalten wir nach (2) die Polynome: : = s n + a n 2 s n 2 + a n 4 s n 4 + δ n (s) : = a n s n + a n 3 s n 3 + a n 5 s n 5 + Zur Erinnerung: Bei der Formulierung des Hurwitz-Kriteriums benutzt man die Polynome δ n (s) und und bildet folgende quadratische (n, n)-matrix H: a n a n 3 a n 5 a n 7 a n 2 a n 4 a n 6 H := 0 a n a n 3 a n 5 0 a n 2 a n 4 mit a n i =0für n i<0 0 a 0 Man betrachtet nun alle n nordwestlichen Unterdeterminanten H 3 := H := a n, H 2 := an a n 3 a n 2, a n a n 3 a n 5 a n 2 a n 4 0 a n a n 3,,H n := det(h) Nach dem Hurwitz-Kriterium ist n (s) genau dann ein Hurwitz-Polynom, wenn alle n nordwestlichen Unterdeterminanten H,H 2,H 3,,H n positiv sind Unter der Voraussetzung, dass H, H 2,,H n verschieden von Null sind, bildet man n reelle Zahlen β i (i =0,,n ) nach folgender Vorschrift: β n := H ; β n 2 := H 2 ; β H n 3 := H 3 (6) H H 2 β n ν = H ν 3H ν ν =4,,n H ν 2 H ν

ZU KAPITEL 62: METHODEN ZUR STABILITÄTSPRÜFUNG 5 Mit deren Hilfe erzeugt man folgende (n, n)-matrix 0 0 0 β 0 0 0 0 S := 0 β 0 0 0 0 0 β n 2 β n Es gilt dann: Die Matrix S besitzt n (s) als charakteristisches Polynom, dh det(se S) = n (s) (7) Aufgrund der Beziehung (7) leuchtet folgender Satz ein: Das charakteristische Polynom der Matrix S ist genau dann ein Hurwitz-Polynom, wenn gilt! β i > 0 Beispiel: Wir betrachten das Polynom 4 Grades 4 (s) =s 4 + 2 s3 + 3 2 s2 + 2 s + und konstruieren die zugehörige Schwarz-Matrix S Hierzu bilden wir die zugehörigen Hurwitz-Determinanten: H := 05, H 2 := 05 05 5 = 4, und H 3 := H 4:= 05 05 0 5 0 05 05 05 05 0 0 5 0 0 05 05 0 0 5 = 2 4 4 = 8, =H 3 = 8 Nachdem H 3 negativ ist, ist das betrachtete Polynom kein Hurwitz-Polynom Wir wollen nun die Schwarz-Matrix berechnen: hierzu bilden wir die reellen Zahlen β i (i =0,,3) nach der Vorschrift (6): β 3 := H = 2 ; β 2 := H 2 H = 2 ; β := H 3 H H 2 = β 0 = H H 4 H 2 H 3 =2

LITERATUR 6 Die Schwarz sche Matrix lautet dann nach (4): S = 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 Bilden wir die Folge nach (5), so ergeben sich die Elemente β 3 = 2, β 3β 2 = 4, β 3β 2 β = 4, und β 3β 2 β β 0 = 2 Daraus folgern wir - nachdem 2 der gebildeten Elemente positiv sind - dass 2 Eigenwerte von S, dh2 Nullstellen von 4 (s), einen negativen Realteil aufweisen Literatur [] Schwarz HR: Eine Methode zur Bestimmung der Stabilität von Matrix- Differentialgleichungen Zeitschrift für Angewandte Mathematische Physik, vol 7, 956, S 473 500 [2] Rupprecht W: Netzwerksynthese; Entwurfstheorie linearer passiver und aktiver Zweipole und Vierpole Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 972