77 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 65 Uneigentliche Integrale Wir haben uns bisher vor allem für Flächen der Form {(, ) a b, f()} interessiert, wobei a < b reelle Zahlen sind und f : [a, b] R eine Funktion ist Dabei haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass die Werte f() beschränkt sind, dass es also eine reelle Zahl c mit f() c für alle a b gibt (nur dann kann man Obersummen bilden!) Von uneigentlichen Integralen spricht man, wenn man auf derartige Beschränktheits-Voraussetzungen verzichtet wenn man also eine unbeschränkte Funktion über einem Intervall integrieren möchte (manchmal geht das), oder aber wenn man statt des Intervalls [a, b] zum Beispiel über die Menge { a } integrieren möchte Wir beschäftigen uns hier nur mit dem letztgenannten Fall und betrachten drei derartige Beispiele: nämlich die Funktionen ep( ),, 2 Frage: Wie groß ist jeweils die punktierte Fläche? f() = ep( ) f() = f() = 2 Dabei geht man folgendermaßen vor: Um a f() d zu bestimmen, berechnet man die Integrale b f() d für alle b mit a < b und überlegt sich, was passiert, wenn a b immer größer wird (also gegen geht ) Sollte sich der Wert stabilisieren, also gegen eine feste Zahl konvergieren, so ist dies die gesuchte Zahl Wir berechnen für die drei Beispiels-Funktionen ep( ),, 2 die Integrale a f() d und zwar mit a = im ersten Beispiel und a = in den beiden anderen Beispielen: b ep( ) d = ep( ) b b d = ln() b 2 d = b b = ep( b) + ep() = ep( b) + = ln(b) ln() = ln(b) = b + dabei haben wir verwendet, dass ep( ) eine Stammfunktion von ep( ) ist, dass ln() für > eine Stammfunktion von ist, und dass schließlich eine Stammfunktion von 2 ist Es ist nun daher gilt: lim ep( b) =, und auch lim b b b =, aber lim ln( b) =, b ep( ) d =, d =, 2 d = Wir haben hier d = geschrieben, aber da man eigentlich nur an Zahlenwerten interessiert ist (und ist zwar ein Smbol, das man manchmal hinschreibt, aber eben keine Zahl), sagt man auch: das uneigentliche Integral d eistiert nicht
Leitfaden 78 Insgesamt sieht man, dass die drei Kurven, die ja sehr ähnlich aussehen, ganz verschiedene Eigenschaften haben! Zumindest haben wir gezeigt, dass die mittlere Kurve sich ganz anders verhält, als die beiden anderen (aber auch diese beiden lassen sich durch weitere Eigenschaften unterscheiden) In der Statistik spielen uneigentliche Integrale eine große Rolle Man betrachte zum Beispiel eine Verteilungsfunktion f : R R, die durch einen Graphen der Form z gegeben ist, also zum Beispiel durch die Funktion f(z) = +z 2, dabei interessiert man sich dann für das Integral F() = f(z) dz (ist z eine Merkmals-Achse, und f(z) der zugehörige Bestand, so liefert dieses Integral F() gerade den Gesamtbestand mit Merkmal z ), also für den Flächeninhalt der folgenden punktierten Fläche: z Eistiert das uneigentliche Integral B = f(z) d z, so ist die Funktion F() offensichtlich eine Sigmoide mit Wachstumsschranke B (also eine monoton wachsende Funktion, deren Werte im Intervall zwischen und B liegen, mit Wendepunkt an der Stelle = ) B 66 Das Bunsen-Roscoe-Gesetz Betrachte einen Lichtblitz mit Dauer t und Intensität I Der Helligkeitseindruck bei kurzen Blitzen (t < ms) entspricht dem Produkt I t (dabei gibt es Wahrnehmungsschwellen für t wie für I, ab der der Blitz wahrgenommen wird) Der Helligkeitseindruck entspricht also dem Flächeninhalt eines Rechtecks Bei gleicher Skalierung der Achsen sind die Flächeinhalte der folgenden Rechtecke natürlich gleich: t I t I t I Die Paare (t, I) mit gleichem Flächeninhalt I t liegen auf einem Hperbel-Ast: Für alle diese Paare ist also der Helligkeitseindruck der gleiche
79 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 7 Vektor-Geometrie 7 Vektoren: Addition, skalare Vielfache Der Vektorraum R n Vektoren im R n sind nichts anderes als n-tupel reeller Zahlen, also von der Form a = (a, a 2,, a n ) mit a,, a n R So ein n-tupel (a,, a n ) könnten wir einfach mit a bezeichnen; die Dekoration durch einen kleinen Pfeil, der über dem a schwebt, soll daran erinnern, daß es sich hier um einen Vektor, also um ein n-tupel handelt Stattdessen werden Vektoren manchmal auch mit fett gedruckten Buchstaben bezeichnet, oder es werden solche in alt-deutscher Schrift verwendet Bildliche Interpretation: wir betrachten jeweils ein Koordinatensstem, und stellen uns a als den Pfeil (= Vektor = gerichtete Strecke) vom Ursprung des Koordinatensstems zum Punkt a vor; dabei ist der Ursprung (oder Nullpunkt) des Koordinatensstem nichts anderes als der Vektor = (,,, ) Man nennt daher Vektoren auch Ortsvektoren (weil sie den Ort des Punkts (a,, a n ) markieren) Manchmal betrachtet man Vektoren auch als freie Vektoren (dies sind Pfeile, die parallel verschoben wurden); ein derartiger freier Vektor a beginnt an einer Stelle, sagen wir c, und endet dann an der Stelle a + c (das + hier steht für die Vektoraddition, die gleich eingeführt werden wird) Ist a = (a,, a n ) ein Vektor, so nennt man a i seine i-te Komponente (um einen Vektor zu kennen, muß man alle seine Komponenten kennen); man nennt die Zahlen a,, a n auch die kartesischen Koordinaten von a Im folgenden ist immer n fiiert (dies ist eine natürliche Zahl); wenn wir von Vektoren sprechen, so meinen wir Vektoren im R n (also n-tupel, mit dem fiierten n) Skalar-Multiplikation Ist a ein Vektor und λ eine Zahl, so definiert man λ a = (λa,, λa n ), hier wird komponentenweise vorgegangen: jede Komponente von a wird mit λ multipliziert Statt λ a schreibt man auch einfach λ a Skalare Vielfache von Vektoren werden oft gebraucht (Beispiel: das Doppelte 2 a eines Vektors a; zweites Beispiel: a = ( ) a, dieser Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie a) Weiter unten wird die Länge a eines Vektors a definiert werden Ist a, so ist a, und wir können den Vektor a a betrachten: dies ist natürlich ein skalares Vielfaches von a und gerade ein Vektor mit Länge Vektor-Addition Seien zwei Vektoren a = (a,, a n ) und b = (b,, b n ) Unter a + b vesteht man den Vektor a + b = (a + b,, a n + b n ), wir erhalten die Komponenten des Vektors a+ b durch komponentenweise Addition a b a + b
Leitfaden 8 Man könnte auch eines der folgenden beiden Bilder zeichnen: a b a + b b a + b Hier sind die Pfeile bezeichnet, nicht die Endpunkte; links wird der Pfeil b als freier Vektor angesehen, er ist nicht am Nullpunkt, sondern am Endpunkt des Pfeils a angetragen Entsprechend ist rechts der Pfeil a als freier Vektor angesehen, er ist am Endpunkt des Pfeils b angetragen Der Summenvektor a + b ist jeweils punktiert dargestellt; wie man sieht, erhält man jeweils das gleiche Ergebnis Wie üblich verwendet man auch hier das Summenzeichen, wenn man Summen mit vielen Summanden betrachtet Häufig benötigt man den Differenzvektor b a zweier Vektoren a, b (punktiert sieht man den entsprechenden freien Vektor ): a b a b a Als freier Vektor verbindet er die Pfeilspitzen von a und b und zeigt in Richtung von b (denn es soll ja gelten: addiert man zu a den Differenzvektor b a, so erhält man gerade den Vektor b) Basis-Vektoren Die Vektoren mit einer Komponente gleich, und restlichen Komponenten gleich spielen eine besondere Rolle, man bezeichnet sie mit e = (,,, ), e 2 = (,,,, ),, e n = (,,, ) Natürlich gilt a = a e + a 2 e 2 + + a n e n = n i= a i e i Schwerpunkte Sind zwei Vektoren a, b gegeben, so nennt man 2( a + b ) den Schwerpunkt der Strecke zwischen a und b Sind drei Vektoren a, b, c gegeben, so nennt man 3( a + b + c ) den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken a, b und c, und so weiter Der Fall n = 2 Hier betrachten wir Paare reeller Zahlen Diese Vektoren sind für uns die Punkte in der Ebene, und zwar betrachten wir eine Ebene mit einem Koordinatensstem (wir zeichnen üblicherweise ein rechtwinkliges Koordinatensstem): Hier der Punkt (3, 2) (wir bezeichnen ihn auch mit (3 2), wenn das Komma stört, zum Beispiel wenn wir mit Zahlen arbeiten, die selbst ein Komma haben): (3, 2)
8 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Der Fall n = 3 Hier betrachten wir Tripel reeller Zahlen Diese Vektoren sind für uns die Punkte im (dreidimensionalen) Raum, und zwar betrachten wir wieder den Raum mit einem festen Koordinatensstem (auch hier wieder verwenden wir ein rechtwinkliges Koordinatensstem) Wir markieren den Vektor (2, 3, 3): z (2, 3, 3) Warum auch n 4? Beliebig lange n-tupel treten natürlich bei vielen Meßreihen auf, und gerade damit wollen wir uns beschäftigen Daß wir diese n-tupel nun Vektoren nennen, sie also als algebraische oder geometrische Objekte auffassen, soll niemanden stören Worum es geht, ist folgendes: Wir wollen mit solchen n-tupeln algebraisch arbeiten, zum Beispiel skalare Vielfache bilden, oder Datensätze addieren oder subtrahieren: dazu ist es gut, die (algebraischen) Regeln der Vektoraddition zu kennen Zur Interpretation solcher Datensätze ist es ebenfalls hilfreich, die geometrische Intuition, so wie wir sie von der Ebene R 2 und dem Raum R 3 her kennen, wo wir von Längen und von Winkeln sprechen, auf den allgemeinen R n zu übertragen Dies werden wir jetzt tun 72 Vektoren: Länge, Winkel Hier soll das Skalarprodukt von Vektoren eingeführt werden Es wird an vielen verschiedenen Stellen eingesetzt; es wird sehr oft gebraucht, ua für: Längenmessungen Winkelmessungen Projektionen Das Skalarprodukt der Vektoren a = (a,, a n ) und b = (b,, b n ) ist durch a, b = n i= a ib i definiert, es läßt sich also sehr einfach berechnen; dies ist eine Zahl, kein Vektor! (Oft wird statt a, b auch ( a, b) oder a b geschrieben) Folgende Rechenregeln lassen sich sofort verifizieren: a, b = b, a, a, b + b 2 = a, b + a, b 2, a, λ b = λ a, b,
Leitfaden 82 hier sind a, b, b, b 2 Vektoren, λ ist ein Skalar (also eine Zahl) Längenmessung Ist a = (a,, a n ) ein Vektor, so setzt man a = a, a ( ) = a 2 + + a2 n und nennt dies die Länge des Vektors a Ist n = 2 oder 3, so sieht man sofort, daß man durch die angegebene Formeln a 2 + a2 2 und a 2 + a2 2 + a2 3 wirklich die Länge im üblichen Sinn berechnet (Satz von Pthagoras) Für n 4 ist die angegebene Formel einfach eine Definition! (Der Betragsstrich erinnert daran, daß man natürlich auch den Trivialfall n = betrachten kann: Zahlen sind Vektoren im R n mit n =, und natürlich ist die Länge eines solchen Vektors a = (a ) gerade der Betrag a = a 2 der Zahl a ) Ist a ein von Null verschiedener Vektor, so ist seine Länge a eine von Null verschiedene Zahl, wir können also a mit dem Skalar a multiplizieren, und erhalten als a a einen Vektor der Länge, der in die gleiche Richtung wie a zeigt Vektoren der Länge heißen Einheitsvektoren Für n = 2 liefern die Einheitsvektoren gerade den Kreis mit Radius, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist: Entsprechend ist die Menge der Einheitsvektoren im R 3 gerade die Kugel mit Radius, deren Mittelpunkt der Ursprung ist Der Abstand zweier Vektoren (oder Punkte) a und b ist natürlich nichts anderes als die Länge b a des Differenzvektors (also (bi a i ) 2 ) Winkelmessung Sind zwei von Null verschiedene Vektoren a und b gegeben, so gibt es genau eine Zahl ϕ mit ϕ < π, so daß gilt a, b = a b cos ϕ man nennt ϕ den Winkel zwischen den Vektoren a und b Beweis: Es muß gezeigt werden, daß gilt: a, b a b, dies ist aber die Aussage der Schwarz schen Ungleichung, siehe Abschnitt 4 Daß man im Fall n = 2 oder 3 auf diese Weise wirklich den Winkel zwischen zwei
83 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Vektoren berechnen kann, ist, wie wir gleich sehen werden, die Aussage des Cosinus-Satzes Sei c = b a Setze a = a, b = b, c = c Es ist c 2 = c, c = b a, b a = b, b + a, a 2 a, b = a 2 + b 2 2 a, b Der Cosinus-Satz besagt nun: Sei ein Dreieck mit den Seiten a, b, c gegeben, der Winkel ϕ liege gegenüber von der Seite c Dann ist Demnach ist a, b = ab cosϕ c 2 = a 2 + b 2 2ab cosϕ Und hier ein Beweis des Cosinus-Satzes: Wir betrachten folgendes Dreieck: ϕ a B b c Wir fällen das Lot vom Punkt B auf die Seite b und bezeichnen seine Länge mit h Dadurch wird die Seite b in zwei Strecken b, b geteilt Es ist b = a cosϕ und h = a sinϕ Also ist c 2 = h 2 +(b ) 2 = h 2 +(b b ) 2 = h 2 +b 2 2bb +(b ) 2 = a 2 cos 2 ϕ+b 2 2b a cosϕ+b 2 cos 2 ϕ = a 2 +b 2 2ab cosϕ Dabei verwenden wir, daß cos 2 ϕ + sin 2 ϕ =, also a 2 cos 2 ϕ + a 2 sin 2 ϕ = a 2 gilt B a h c ϕ b b Besonders leicht läßt sich natürlich der Winkel zwischen zwei Einheitsvektoren berechen: Sind a = (a,, a n ) und b = (b,, b n ) Einheitsvektoren, so ist der Cosinus des eingeschlossenen Winkels ϕ durch cos ϕ = a, b = a i b i gegeben Orthogonalität Zwei Vektoren a, b stehen senkrecht aufeinander (= sind orthogonal), wenn a, b = gilt, denn a, b = bedeutet gerade, daß der eingeschlossene Winkel π 2 = 9 ist (oder daß mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist) Ist a = (a, a 2 ) ein (von Null verschiedener) Vektor in der Ebene R 2, so ist es sehr leicht, einen dazu orthogonalen Vektor anzugeben: man nehme einfach ( a 2, a ) ( a 2, a ) (a, a 2 ) Entsprechend gibt es im Raum R 3 ein Rezept, um zu zwei vorgegebenen Vektoren a = (a, a 2, a 3 ) und b = (b, b 2, b 3 ) einen Vektor c hinzuschreiben, der zu beiden
Leitfaden 84 Vektoren a und b orthogonal ist: das sogenannte Vektor-Produkt c = a b Hier die Definition: a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b a b 3, a b 2 a 2 b ) (dies sieht kompliziert aus, kann aber eigentlich immer recht schnell berechnet werden) Beweis, daß der Vektor a b sowohl zu a als auch zu b orthogonal ist: Man zeigt a, a b = und b, a b = Beide Rechnungen sind ähnlich; hier die erste: a, a b = a (a 2 b 3 a 3 b 2 )+a 2 (a 3 b a b 3 ) +a 3 (a 2 b a b 2 ) = a a 2 b 3 a a 3 b 2 +; man erhält sechs Summanden, von denen jeweils zwei bis auf das Vorzeichen gleich sind und sich deshalb wegheben: zum Beispiel der erste Summand a a 2 b 3 und der vierte Summand a 2 a b 3 Projektion Sei a ein Vektor Das Skalarprodukt a, e von a mit einem Einheitsvektor e ist gerade die Länge der Projektion des Vektors a in Richtung e, nämlich a, e = a cosϕ, a dabei ist ϕ der von a und e eingeschlossene Winkel ϕ e Die Projektion von a in Richtung e ist demnach der Vektor a, e e Natürlich ist die Länge der Projektion eines Vektors a = (a,, a n ) in Richtung eines der Basisvektoren e i gerade seine i-te Komponente a i (also a, e i = a i ) Geometrische Interpretation des Korrelations-Koeffizienten Seien reelle Zahlen,, n mit Mittelwert und entsprechend,, n mit Mittelwert gegeben Der lineare Korrelations-Koeffizient r ist nichts anderes als cos ϕ, wobei ϕ der Winkel zwischen den Vektoren ist (,, n ) (,, ) und (,, n ) (,, ) 73 Umrechnung geographischer Koordinaten in kartesische Ein Punkt a = (a, a 2, a 3 ) im Raum (zum Beispiel ein Punkt auf der Erdoberfläche) ist gegeben durch r = β = λ = Abstand vom Nullpunkt (Erdmittelpunkt) geographische Breite geographische Länge z (2, 3, 3) r β a 3 λ r a a 2
85 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Man sieht: r = r cos β, a 3 = r sin β In der --Ebene (dies ist hier nun gerade die Äquator-Ebene) sieht man entsprechend Insgesamt erhält man Natürlich ist der zugehörige Einheitsvektor a = r cos λ, a 2 = r sin λ a = r cos β cos λ a 2 = r cos β sin λ a 3 = r sin β (cosβ cos λ, cos β sin λ, sin β) Vorsicht (): Betrachtet man einen Ort auf der Südhalbkugel, etwa Kapstadt und kennt die südliche Breite, hier 33,56, so ist das Wort südlich als Minuszeichen zu interpretieren: β = -33,56 Vorsicht (2): In Formelsammlungen wird statt der geographischen Breite β häufig mit der Abweichung β = 9 β von der Nordrichtung gearbeitet, die entsprechenden Formeln lauten dann a = r sin β cos λ, a 2 = r sin β sin λ, a 3 = r cos β Umgekehrt gilt r = a = sin β = a 3 r, cos λ = a r cos β a 2 + a2 2 + a2 3, 74 Geraden und Ebenen in R 2 und R 3 Vorbemerkung Wir betrachten die Ebene R 2 oder den Raum R 3 (zum Teil auch allgemeiner den R n ) Wenn wir geometrische Objekte wie Punkte und Geraden, oder Dreiecke, oder Kreise und andere Kurven, oder, im Raum, Ebenen und andere Flächen algebraisch beschreiben wollen, so gibt es immer zwei wesentlich verschiedene Möglichkeiten: einerseits Parametrisierungen, andererseits Beschreibungen durch Gleichungen (und Ungleichungen) Wir wollen dies am Beispiel des Kreises K mit Radius und Mittelpunkt in der Ebene erläutern: Einerseits ist K = {(cos ϕ, sinϕ) ϕ R} (Parametrisierung), andererseits gilt K = {(, ) 2 + 2 = } (Gleichungs-Beschreibung)
Leitfaden 86 Kennt man eine Parametrisierung eines Objekts (wie hier K), so ist es sehr einfach, Punkte anzugeben, die dazugehören (hier zum Beispiel sieht man, daß der Punkt (cos, sin) zu K gehört: man hat einfach ϕ = genommen); dagegen ist es oft nicht einfach, zu entscheiden, ob ein vorgegebener Punkt (, ) dazugehört oder nicht (es ist ja zu entscheiden, ob es zu vorgegebenem und ein ϕ gibt mit = cos ϕ und = sin ϕ) Die Gleichungs-Beschreibung leistet gerade das umgekehrte: Ist eine Gleichungs-Beschreibung bekannt, so kann man meist sehr einfach feststellen, ob ein gegebener Punkt zum Objekt gehört oder nicht (man setzt die Koordinaten in den Gleichungsterm ein, und überprüft auf diese Weise, ob die Gleichung erfüllt ist); dagegen ist es bei Objekten, die durch eine Gleichung beschrieben sind, oft gar nicht einfach, Punkte anzugeben, die diese Bedingung erfüllen Schön ist es, wenn man sowohl die eine wie die andere Beschreibung zur Verfügung hat, dann kann man je nach Fragestellung mit der günstigeren Beschreibung arbeiten! Geraden Sind zwei verschiedene Punkte a und b im R n gegeben, so wird die Gerade G( a, b) durch a und b folgendermaßen beschrieben: G( a, b) = { a + t( b a) t R} Hier handelt es sich offensichtlich um eine Parametrisierung dieser Geraden a b a b G( a, b) Dabei sieht man folgendes: Auch {t( b a) t R} beschreibt eine Gerade, und zwar die zu G( a, b) parallele Gerade, die durch den Ursprung geht (im Bild ist sie punktiert dargestellt) Ursprungsgeraden sind immer von der Form {t c t R}, dabei ist c ein von Null verschiedener Vektor (eine derartige Gerade besteht also aus den skalaren Vielfachen eines festen Vektors c) Sind eine Ursprungsgerade G und ein Vektor a gegeben, so erhält man durch a + G = { a + c c G} die zu ihr parallele Gerade, die den Punkt a enthält a G a + G
87 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Ebenen In völliger Analogie soll nun die Parameter-Darstellung einer Ebene im Raum R 3 (oder, allgemeiner, im R n mit n 3) gegeben werden Wir gehen davon aus, daß drei Vektoren a, b und c im R n gegeben sind und wollen die von diesen drei Punkten aufgespannte Ebene E( a, b, c) beschreiben Dafür müssen wir allerdings voraussetzen, daß diese drei Punkte nicht nur paarweise verschieden sind, sondern nicht einmal auf einer Geraden liegen Unter dieser Voraussetzung ist Dabei beschreibt E( a, b, c) = { a + s( b a) + t( c a) s, t R} {s( b a) + t( c a) s, t R} die zu E( a, b, c) parallele Ebene, die den Ursprung enthält Gleichungs-Beschreibung einer Geraden in R 2 Sei c = (c, c 2 ) ein Vektor Die Ursprungsgerade aller Vielfachen von c G = {t c t R} läßt sich folgendermaßen beschreiben: Wir nehmen einen Vektor d = (d, d 2 ), der orthogonal zu c ist (also zum Beispiel d = ( c 2, c )); natürlich sind auch alle Vielfachen von c zu d orthogonal: G ist also die Menge aller zu d orthogonalen Vektoren: G = { R 2 d, = } = {(, 2 ) d + d 2 2 = }; hier haben wir also eine Gleichungs-Beschreibung vor uns Sind zwei verschiedene Punkte a und b in der Ebene R 2 gegeben, und betrachten wir die Gerade G( a, b), so suchen wir zuerst einen zu b a orthogonalen Vektor d (aber das ist ja, wie wir wissen, leicht) Für die Punkte auf G( a, b) gilt: a ist ein Vielfaches von b a, also orthogonal zu d, also gilt aber das heißt: d, a =, d, d, a = Bezeichnen wir die Zahl d, a mit q, so sehen wir G( a, b) = { d, = q} = {(, 2 ) d + d 2 2 = q}, wir erhalten also eine Gleichungs-Beschreibung der Geraden in R 2 ; den Vektor d nennt man einen Normalen-Vektor (er ist senkrecht zu ihr) Als Beispiel hier die beiden Geraden G = {(, 2 ) + 2 = } und G = {(, 2 ) + 2 = 3}, zusammen mit dem Normalen-Vektor d = (, ) G d G
Leitfaden 88 Gleichungs-Beschreibung einer Ebene im R 3 Wir verfahren ganz analog: Sei ein von Null verschiedener Vektor d = (d, d 2, d 3 ) gegeben Die Menge { d, = } ( = {(, 2, 3 ) d + d 2 2 + d 3 3 = } ) besteht genau aus denjenigen Vektoren, die zu d orthogonal sind; diese bilden eine Ebene, die den Ursprung enthält Durch { d, = q} ( = {(, 2, 3 ) d + d 2 2 + d 3 3 = q} ) erhält man für jede reelle Zahl q eine dazu parallele Ebene Dies ist eine Gleichungs- Beschreibung einer beliebigen Ebene Dabei sollte man sich auf jeden Fall die Bedeutung des Tripels (d, d 2, d 3 ) merken: dies sind die Koordinaten eines zur Ebene orthogonalen Vektors; auch hier nennt man d = (d, d 2, d 3 ) einen Normalen-Vektor Betrachten wir zum Beispiel die Ebene E = E( e, e 2, e 3 ): z sie wird durch die Gleichung + 2 + 3 = beschrieben; ein Normalen-Vektor ist also d = (,, ) Da d die Länge 3 hat, ist der zu d gehörige Einheitsvektor e = 3 (,, ) Will man nun den Abstand dieser Ebene E vom Ursprung berechnen, so genügt es, einen beliebigen Vektor a der Ebene herzunehmen und die Länge der Projektion von a in Richtung e zu bestimmen Wir nehmen a = e = (,, ) und berechnen a, e = 3, dies also ist der gesuchte Abstand