9 9 a) b) Ist oder, so ist offenbar Sind und kollinear, also eta λ, so ist λ λ λ λ λ λ λ λ λ Sei umgekehrt und sei Dann ist mindestens eine Komponente on, eta ungleich Aus folgt: ------ ------ und ferner gilt: ------ Also ist ------, dh und sind kollinear c)
49 ( ) + ( ) + ( ) + + + + + + und ( ) ( + + )( + + ) ( + + ) + + + + + + d) 9 94 F + + 4 F AB AC -- -- -- 95 a) Das Gleichungssystem + λ + μ 5 hat die eindeutige Lösung λ, μ, daher liegt P in der Ebene b) Das entsprechende Gleichungssystem hat keine Lösung Der Punkt Q liegt nicht in der Ebene
5 c) Das entsprechende Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung λ, μ, daher liegt R in der Ebene 96 a) Die Punkte ( ), ( 5 ), ( ) liegen in der Ebene Daraus ergibt sich die Parameterdarstellung E : + 5, b) Die Punkte ( ), ( ), ( ) liegen in der Ebene Daraus ergibt sich die Parameterdarstellung E : +, c) Die Punkte ( ), ( ), ( ) liegen in der Ebene Daraus ergibt sich die Parameterdarstellung E : +, 97 a) b) x+ y z x+ y z 4 98 a) Der normierte Normalenektor der Ebene ist n -- 7 6 Die Geradengleichung lautet 6 --x + --y + --z -- 4, 7 7 7 7 der Abstand der Ebene om Ursprung beträgt daher b) Wir erschieben die ganze Szene so, dass der Punkt P in den Ursprung zu liegen kommt, also um den Vektor OP Dann berechnen ir den Abstand der erschobenen Ebene om Ursprung Es ergibt sich ein Abstand on -- 7
5 99 Der Schnittpunkt ist S( ) 9 Der Schnittpunkt ist S( 5 9) 9 a) Gerade und Ebene schneiden sich: Eindeutige Lösung des Gleichungssystems b) Die Gerade ist parallel zur Ebene: Das Gleichungssystem ist unlösbar c) Die Gerade liegt in der Ebene: Das Gleichungssystem hat unendlich iele Lösungen 9 Die Gleichung der Ebene E durch die Punkte B, C und D lautet: E : +, Wir prüfen, ob der Punkt A in dieser Ebene liegt: + λ + μ Dieses Gleichungssystem ist unlösbar Daraus folgt, dass die ier Punkte A, B, C und D nicht in einer Ebene liegen 9 Wir bestimmen zunächst die Normalenektoren n und n der beiden Ebenen Es ist: n ------ und n ---------- Die Normalenektoren sind kollinear, also sind die Ebenen parallel oder identisch Wir prüfen, ob der Stützpunkt on E in der Ebene E liegt Aus dem Normalenektor ergibt sich folgende ereinfachte Ebenengleichung für E : x+ y+ z Der Stützpunkt on E erfüllt diese Ebenengleichung, also liegt er in E und damit sind die Ebenen identisch
5 94 Wir legen den Punkt A in den Ursprung des Koordinatensystems, sodass zei Grundseiten der Pyramide auf den Koordinatenachsen liegen Die Punkte A, B, C, D und S haben dann folgende Koordinaten: A( ), B( ), C( ), D( ), S(5 5 4) Es ergeben sich folgende (nicht normierte) Normalenektoren: 5 n AB BS 5 4 5 n BC CS 5 4 5 n CD DS 5 4 4 5 4 5 4 5 5 n 4 DA AS 5 4 4 5 a) Ist das Flugzeug m om Punkt A entfernt (gemeint ist: Punkt A auf 4 m Höhe angehoben!), so hat es die Koordinaten ( 4) Der Sehektor ist also 4 Damit ergibt sich: n >, n >, n >, n 4 < Also ist lediglich die Fläche F 4 erdeckt, die anderen drei sind sichtbar b) Sei x x mit x 4
5 Dann ist x n 5 4 > und x n 4 ( 4x + 5 4) ( 46 4x) Die Fläche F ist also immer sichtbar (enn man on der Erdkrümmung absieht) Die Fläche F 4 ist sichtbar, enn 46 4x > ist, das heißt, ab 8 m Entfernung om Punkt A 95 a) Spatprodukt, linear unabhängig b) Spatprodukt, linear abhängig 96 Sei P der Stützpunkt der Ebene E, das heißt, der Punkt mit dem Ortsektor u Dann spannen die Vektoren PM, und ein Spat auf, dessen Volumen PM ( ) beträgt Die Vektoren und bestimmen die Grundfläche des Spats mit dem Flächeninhalt Die Höhe h des Spats ist gleich dem Abstand des Punktes M on der Ebene E Sie beträgt h PM ------------------------------ ( ) 97 Die Ebene E hat die (nicht normierte) Gleichungsform x+ y+ z Setzen ir z, so ergibt sich x+ y Dies liefert zb die Punkte P( ) und Q( ), die in der Ebene E und der x-y-ebene liegen Daraus ergibt sich für die Schnittgerade g die Geradengleichung g : +