BG Bad Ischl, 8.A Haupttrmin 8 Mag. Andras Lindnr Schriftlich Rifprüfung aus Mathmatik! 1) Trigonomtri Von inr Aussichtswart siht man inn Brggipfl, dr sich im S spiglt. Von disr Aussichtswart, di sich 143 m übr dm S (Shöh 54 m) bfindt, misst man zur Brgspitz inn Höhnwinkl von α14,35 und zur gspigltn Spitz dn Tifnwinkl β18,7. Brchn di absolut Höh ds Brgs. ) Wahrschinlichkitsrchnung Manch Bsitzr von Monatskartn für öffntlich Vrkhrsmittl vrgssn, am Monatsrstn in nu Kart zu lösn. Laut inr Statistik ins Vrkhrsbtribs sind das 4% allr Fahrgäst. a) Wi groß ist di Wahrschinlichkit, dass in Kontrollor bi 1 Fahrgästn (1) gnau 6; () mindstns ; (3) zwischn 5 und 1 (bid Wrt ingschlossn) Prsonn ohn gültign Fahrtauswis antrifft? b) Simulir dis Situation mit dm Taschnrchnr (46 -> rand) 5mal und zichn das Histogramm für di Anzahl dr rmittltn Schwarzfahrr im Brich von bis 1. c) Brchn dn Erwartungswrt und di Standardabwichung für di Anzahl dr Schwarzfahrr und vrglich mit dn statistischn Wrtn dr Simulation. d) Bi inr witrn Kontroll wrdn 4 Fahrgäst übrprüft. Brchn di Wahrschinlichkit, dass zwischn (jwils mitingschlossn) 6 und 6 Schwarzfahrr angtroffn wrdn. Bgründ, ob in Nährung durch in Normalvrtilung vorgnommn wrdn darf, und vrglich di Ergbniss dr Brchnung mit inr Binomialvrtilung mit jnr bi dr Nährung durch in Normalvrtilung (mit und ohn Sttigkitskorrktur). 3) Diffrntialrchnung a) Brchn mit Hilf dr Dfinition ds Diffrntialquotintn di Ablitung von f(x) x² - 3x + 1 an dr Stll x. Worin ligt dr Untrschid zwischn Diffrnznquotint und Diffrntialquotintn? b) Wlch dr folgndn Funktionn ist an wlchn Stlln diffrnzirbar? Bgründ din Entschidungn! 4) Intgralrchnung a) Brchn dn Wrt ds Intgrals 1+ sin ²x dx nährungswis mit dr Trapzrgl und vrwnd in Zrlgung in (n) 5 Tilintrvall (Skizz). Um wi vil Proznt wicht das Ergbnis von dm mit dm TR rmittltn Wrt ab? Wlch Gründ sprchn für in numrisch Brchnung ins Intgrals?
BG Bad Ischl, 8.A Haupttrmin 8 Mag. Andras Lindnr b) Ein Sktschal hat im Qurschnitt di Form inr halbn Ellips. Das Glas hat inn Durchmssr von 8 cm und in Tif von 3,5 cm. Bi inm Ball wird an dr Sktbar 1 dl (1 cm³) pro Glas ingschnkt. Bis zu wlchr Höh muss das Glas gfüllt wrdn? 5) Folgn/Exponntialfunktionn Von inr Baktrinart sind zunächst 6 Baktrin pro ml vorhandn. Durch Bigab inr baktrintötndn Substanz vrringrt sich di Anzahl innrhalb von Tagn auf 45. Formulir in gignts Abnahmgstz für di Anzahl dr vorhandnn Baktrin! Wi vil sind noch nach 6 Tagn vorhandn? Brchn, nach wlchm Zitraum di Anzahl dr Baktrin pro ml auf 1 abgnommn hat (Brchnung, kin Schätzung auf Grund inr Tabll!) Was kannst Du übr das mathmatisch Modll zur Ausrottung dr Baktrin aussagn? Entspricht s dr Wirklichkit? Punktvrtilung 1 3 4 5 Gsamt 8 /3//3 6 / 3 5 / 8 8 48 Es dürfn nur di gminsam ntwickltn odr bsprochnn Programm vrwndt wrdn. All Brchnungn am TR müssn ausführlich dokumntirt wrdn!
BG Bad Ischl, 8.A Haupttrmin 8 Mag. Andras Lindnr Lösungn 1) h-143 h+143 α β tan α tan β h 143 > h + 143 > h 143 h + 143 tan α tan β h 143 tan α h + 143 tan β h.tan β - 143.tan β h.tan α + 143.tan α 143.(tan α + tan β ) h tan β tan α h 18 m > absolut Höh: 54 m + 18 m 157 m ) a) Zufallsvariabl X Anzahl dr Schwarzfahrr 1 6 114 (1) P(X6)., 4.,96,143 6 odr P(X6) binompdf(1,.4, 6),143 () P(X ) 1-P(X<)1-P(X 1) b) 1 1 1 1 119 1-., 4.,96 +., 4.,96, 955 1 odr P(X ) 1 binomcdf(1,.4, 1),955 1 5 115 1 1 18 (3) P(5 X 1).,4.,96 +... +.,4.,96,56 5 1 odr P(5 X 1) binomcdf(1,.4,1) - binomcdf(1,.4, 4),56 odr P(5 X 1) sum(sq((1 ncr K)*,4^K*,96^(1-K),K,5,1)),56 Histogramm mit dn Wrtn n 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Anzahl 1 4 1 9 7 1 3 c) E(X) n.p 1.,4 4,8 ; σ n. p.(1 p) 1., 4.,96,15 d) Grafisch Darstllung
BG Bad Ischl, 8.A Haupttrmin 8 Mag. Andras Lindnr Brchnung σ 3,9 > 3; Nährung durch Normalvrtilung möglich. Di Ergbniss dr Brchnung dr Normalvrtilung mit Sttigkitskorrktur (99,6%) wichn nur gringfügig von jnn dr Binomialvrtilung (99,5%) ab. 3) a) Brchnung ds Diffrntialquotintn f ( x + ) f ( x ) f ( + ) f () lim lim ( + ) 3.( + ) + 1 3. + 1 lim 4 + 4. + ( ) 6 3. x) 1 lim 1 ( ) lim +.[ 1 + ] lim lim 1+ 1 [ x ] + [ ] f ( x + ) f ( x) Dr Diffrntialquotint lim ist dr Grnzwrt ds Diffrnznquotintn f ( x + ) f ( x). Gomtrisch btrachtt bschribt dr Diffrnznquotint di Stigung dr Skant, dr Diffrntialquotint di Stigung dr Tangnt. b) (1) Im dargstlltn Intrvall übrall diffrnzirbar. () An dr Stll x -1 nicht diffrnzirbar, wil in Knick auftritt (links- und rchtssitigr Grnzwrt stimmn nicht übrin. (3) An dr Stll x 1 nicht diffrnzirbar, wil di Funktion an disr Stll nicht dfinirt ist (Polstll). Andr Argumntation: nicht stig in x1 > nicht diffrnzirbar in x1. 4) a) x f(x) 1,,4 1,731,8 1,37 1, 1,367 1,6 1,4139 1,3516 1,5 1,731 1,1,,5 1,37 1,367 1,4139 1,3516,,4,8 1, 1,6
BG Bad Ischl, 8.A Haupttrmin 8 Mag. Andras Lindnr + + ( + + + ) +.5 1 (sin x) dx. f (). f (,4) f (,8) f (1,) f (1,6) f (). 1,+. ( 1,731+1,37+1,367+1,4139 ) 1,3516 1 +,54 Taschnrchnr: fnint( (1+sin(x)²),x,,),5798114; Wrt für n5 ist somit ca. 99,85%; Abwichung,15%. Für manch Funktionn wi z.b. f(x) -x² kann kin Stammfunktion anggbn wrdn, obwohl si intgrirbar sind. Numrisch Intgrationn sind immr Nährungsvrfahrn. b) Ellips a 4; b 3,5 > 3,5².x² + 4².y² 3,5².4² 1,5x² + 16y² 196 > x² (196-16y²)/1,5 h 196 16 y² π 16 Vy π. dy. 196 y y³ 1, 5 1, 5 3 3,5 3,5 π 16 16. 196 ³ 196.( 3,5).( 3,5)³ 1, 5 h h 3 3 π 16 137. 196 h h³ + 1, 5 3 3 Volumn soll 1 cm³ sin V y 1 π 16 137. 196 h h³ + 1 1, 5 3 3 16 137 1.1, 5 196 h h³ + 3 3 π 16 196 h h³ + 67, 44 3 Lösn dr Glichung 3.Grads mit Taschnrchnr (grafisch odr mit Solvr) h -,345 Das Glas muss bis,345 cm untr dn Rand ingschnkt wrdn bzw. Flüssigkit stht (3,5 cm,345 cm ) 3,155 cm hoch (Rundung auf mm würd gnügn). 5) Ansatz als Folg odr als Exponntialfunktion möglich. b n b. q n odr als A(t) A. -λ.t b 6.q > b 6; A() 6 6. > A 6 b 45 6.q² > q (3)/; A() 45 6. -λ. > > λ -½.ln(¾) -ln( (3)/),148384 b n 6. n h A( t) 6.. t λ mit λ -ln( (3)/) Di bidn Ansätz sind glichwrtig, da für n t folgt: Anzahl nach 6 Tagn: A(6) 6. -,14384.6 53 Anzahl von 1 Baktrin: 1 6. -λ.t 1 6 ln. t ln
BG Bad Ischl, 8.A Haupttrmin 8 Mag. Andras Lindnr 1 ln t 6 1,46 Nach ca. 1,46 Tagn. 3 ln Exponntill Wachstum- bzw. Zrfallsmodll gltn stts nur innrhalb bstimmtr Grnzn. Das mathmatisch Modll rricht z.b. ni di Anzahl Null von Baktrin.