Systemtheorie Teil B

d + d + c d + c uk d + + yk d + c d + c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner

Inhalt 8 Musterlösung Frequengang eitdiskreter Systeme... 4 8. Frequengang eitdiskreter Systeme... 4 8. Analyse eines Filters... 5 8. Transformation des Frequengangs... 6 8.4 Interpretation von Übertragungsfunktionen... 7 8.5 Interpretation von Pol-Nullstellen-Diagrammen... 8 8.6 Fourier-Transformierte eines Systems... 8.7 Filtervergleich... 8.8 Eigenschaften eines FI-Filters... 8.9 Vorwärts- und ückwärtsprädiktor... 8. Transformation eines Filters in ein minimalphasiges Filter... 8. Synthese eines minimalphasigen Filters... 4

Amplitudengang A () Phasengang () 8 Musterlösung Frequengang eitdiskreter Systeme 8. Frequengang eitdiskreter Systeme a) Die Differenengleichung kann umgestellt werden u y k u k u k u k Die -Transformierte ergibt sich mit Linearitäts- und Verschiebungsregel u Y U U U Damit lautet die Übertragungsfunktion im -Bereich Y U Die Übertragungsfunktion hat nur Pole im Koordinatenursprung, das System ist stabil mit der Substitution = e j ergibt sich der Frequengang j j j j Y e e j e e j cos( ) e e U Amplituden- und Phasengang sind in folgender rafik dargestellt...8.6.4. Dabei ergibt sich der Phasensprung durch den Voreichenwechsel im Nenner des weiten Faktors. b) Die Differenengleichung um einen Takt verschoben werden. y k.9 y k.9 u k Dann ergibt sich die -Transformierte der leichung Y.9 Y.9 U und die Übertragungsfunktion lautet Y.9 U.9 Aus der Korrespondentafel kann die Impulsantwort direkt angelesen werden u - - -/ / - Normierte Kreisfrequen Normierte Kreisfrequen k g k.9.9 k

Amplitudengang A () Phasengang () Die Übertragungsfunktion hat nur Pole innerhalb des Einheitskreises, das System ist damit stabil. Mit der Substitution = e j ergibt sich der Frequengang j j.9 e.9 cos.9 j sin e.9 cos j sin.9 Der Betrag entspricht dem Amplitudengang.6.6.9 A cos.8 cos.8 sin.8 cos.8 cos.9 sin Die Phase errechnet sich aus der Phase des Zählers abüglich der Phase des Nenners sin arctan.9 cos Amplituden- und Phasengang sind in folgender rafik dargestellt. / 5 5 -/ - -/ / - -/ / Normierte Kreisfrequen Normierte Kreisfrequen 8. Analyse eines Filters a) Die Verstärkung des Systems ergibt sich aus der Übertragungsfunktion u 4 4 5 Zur Untersuchung der Stabilität werden die Pole des Systems berechnet. 4 Das System hat einen Pol an der Stelle = - /4. Da der Pol innerhalb des Einheitskreises liegt, ist das System ein stabiles System. b) Bei einem stabilen eitdiskreten System ergibt sich der Frequengang aus der Übertragungsfunktion j 4 e 4 cos( ) j 4 sin( ) e j 4 e 4 cos( ) j 4 sin( ) j Entsprechend ergibt sich für den Amplitudengang 4 cos( ) j sin( ) 4 cos( ) 6 sin ( ) 7 8 cos( ) A 4 cos( ) j sin( ) 4 cos( ) 6 sin ( ) 7 8 cos( )

Amplitudengang c) Skie des Amplitudengangs /4 / /4 Normierte Kreisfrequen Da der Amplitudengang mit wachsender Frequen steigt, handelt es sich um einen Hochpass. d) Die Übertragungsfunktion ist Ausgangspunkt für die Berechnung der Differenengleichung, die dieses Filter realisiert. Y 4 U 4 Durch Ausmultipliieren und Division durch ergibt sich Y 4 U 4 Unter Berücksichtigung der Verschiebungsregel der -Transformation ergibt sich die Differenengleichung 4 yk yk 4uk uk e) Das Filter ist ein rekursives Filter mit unendlich langer Impulsantwort, also ein II-Filter. Das ist auch an den Polen der Übertragungsfunktion abulesen, die nicht im Ursprung der -Ebene liegen. 8. Transformation des Frequengangs Die Impulsantwort kann aus dem Spektrum des idealen Tiefpasses berechnet werden u jk j k j k j k j k jk e e e e e g k e d j k j k k j k sin k sin k k k Die Impulsfolge des weiten Systems lautet nach der Aufgabenstellung k g k g k Die leichung kann als Modulation mit der Frequen = aufgefasst werden: jk g k e g k Damit ergibt sich der Frequengang

Imaginärteil() Amplitudengang () Amplitudengang () Beide Frequengänge sind in der folgenden rafik dargestellt. - - - - Normierte Kreisfrequen Normierte Kreisfrequen Es eigt sich, dass durch die Verschiebung um = aus dem Tiefpass mit der Übertragungsfunktion () ein Hochpass mit der Übertragungsfunktion ()wird. 8.4 Interpretation von Übertragungsfunktionen a) Die Übertragungsfunktion stellt das Verhältnis von -Transformierten des Ausgangs- und Eingangssignals dar. Y U j j 4 4 Ausmultipliieren führt u der leichung Y U 4 ücktransformation in den Zeitbereich mit der Verschiebungsregel führt u der Differenengleichung y k y k u k u k 4 b) Die Nullstellen und Pole können an der Übertragungsfunktion direkt abgelesen werden u = / und, = j/. Sie sind im folgenden Pol-Nullstellen-Diagramm dargestellt. - - ealteil() Nach dem Pol-Nullstellen-Diagramm liegen die Pole im Einheitskreis, das System ist stabil. Die Pole bilden ein konjugiert komplexes Polpaar.

Amplitudengang A() c) Wegen der Stabilität des Systems errechnet sich der Frequengang aus der Übertragungsfunktion () mit der Substitution = e j u 4 4 j e cos j sin j e cos j sin Der Amplitudengang kann entweder über die Linearfaktoren berechnet werden, oder es werden Betrag und Phase direkt berechnet. A cos sin cos cos sin 9 cos sin cos cos sin 4 6 cos cos 9 9 7 cos cos 6 6 sin sin arctan arctan cos cos 4 Amplituden- und Phasengang sind in der folgenden rafik dargestellt. Phasengang () / -/ Normierte Kreisfrequen - - -/ / Normierte Kreisfrequen Das System stellt einen Bandpass dar, da der Frequenbereich um = / stärker verstärkt wird als der niedrige und hohe Frequenbereich. 8.5 Interpretation von Pol-Nullstellen-Diagrammen a) Aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm werden die Nullstellen = sowie = sowie die Pole = / und = - / abgelesen. Daraus ergibt sich die Systemfunktion u a Der Endwert der Sprungantwort entspricht nach dem Endwertsat der -Transformation dem Wert (). Damit gilt die leichung

a a 6 und der Parameter a ergibt sich u a = 4. Die Systemfunktion lautet damit 4 b) Die -Transformierte der Sprungantwort errechnet sich u 8 4 4 4 A B C H 4 6 6 4 7 7 6 6 6 6 Mit Partialbrucherlegung ergibt sich die Darstellung 6 H 4 6 5 5 Mit den Korrespondenen ur -Transformation kann die Sprungantwort bestimmt werden u k k 6 h k 4 k 6 k k k 5 5 c) Das System antwortet auf die Anregung mit der Folge u k k k wegen des Linearitätsprinips und der Zeitinvarian des Systems mit dem Signal y k h k h k d) Die Übertragungsfunktion 4 4 6 6 hat nur Pole innerhalb des Einheitskreises, das System ist demnach stabil. Mit der Substitution = e j ergibt sich der Frequengang u e j 4 e 6 6 j j e

8.6 Fourier-Transformierte eines Systems Die Fourier-Transformierte j Y U e entspricht der Summenformel für unendliche geometrische eihen. Sie kann als unendliche Fourier- eihe dargestellt werden. k Y e U j k e Damit lautet die Impulsantwort g[k] gk k k mit der -Transformierten () Y U jk ücktransformation in den Zeitbereich führt u der Differenengleichung y k y k u k 8.7 Filtervergleich a) Aus der Korrespondentabelle ergibt sich a b) Die Übertragungsfunktion hat den Pol = a, wegen der Bedingung < a < ist das System damit stabil und nicht schwingungsfähig. Die Übertragungsfunktion hat Pole, die nicht im Ursprung liegen. Damit handelt es sich bei dem Filter um einen rekursiven Filter, der eine unendlich lange Impulsantwort besitt (II-Filter). c) Der Frequengang ergibt sich mit der Substitution j e a e a j e j j e d) Die weite Impulsantwort kann dargestellt werden als k k k k 7 k7 g k a k k 7 a k a k 7 a k a a k 7 Damit führt eine Transformation in den -Bereich u a a a a 7 7 7 7 7

Die Übertragungsfunktion hat gemeinsame Pole und Nullstellen = und = a. Polynom-Division ergibt 7 7 a 6 a 6 5 4 4 5 6 a a a a a a Derselbe Ausdruck ergibt sich, wenn die Folge direkt über die Impulse dargestellt wird: k 4 5 6 a k a k a k a k a k 4 a k 5 a k 6 g k a k k 7 Es ergibt sich die Übertragungsfunktion 4 5 a a a a a a a 4 5 6 6 6 5 4 4 5 6 a a a a a a 6 e) Die Übertragungsfunktion hat nur Pole im Koordinatenursprung und ist damit unabhängig von dem Parameter a immer stabil und nicht schwingungsfähig. Es handelt sich damit um einen nichtrekursiven Filter mit endlicher Impulsantwort (FI-Filter). f) Der Frequengang errechnet sich wieder durch die Substitution = e jω u j e a e e j e a 7 j7 j g) Der Filter hat denselben Frequengang wie der Filter, wenn für den weiten Faktor gilt: 7 j7 a e Da die Exponentialfunktion den Betrag hat, ergibt sich als Forderung für a: a Dieses Ergebnis kann auch anschaulich interpretiert werden. Für sehr kleine Beträge von a ist die Impulsantwort u dem Zeitpunkt, an dem der FI-Filter seine Impulsantwort begrent, ohnehin nahe null und damit nicht relevant. h) Es ergeben sich folgende Vor- und Nachteile II-Filter (rekursiv) N =, geringer ealisierungsaufwand Stabilität muss geprüft werden Sprungantwort schwingt bei reellen Pole nicht über Stationärer Endwert wird nie exakt erreicht FI-Filter (nicht rekursiv) N = 6, hoher ealisierungsaufwand immer stabil Sprungantwort kann überschwingen Stationäre Endwert wird erreicht

8.8 Eigenschaften eines FI-Filters a) Das Filter ist kausal, da die Impulsantwort für k < null ist. Das System reagiert damit erst, nachdem es angeregt wird, es ist kausal. b) FI-Filter sind immer stabil, da sie nur Pole im Koordinatenursprung haben. c) Zur Bewertung der linearen Phase muss der Frequengang berechnet werden. Der Frequengang ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort. e e e e e e j j j j4 j5 j6 e e e e e e e j j j j j j j j e cos cos cos Wegen der Symmetrie der Impulsantwort kann der Term e -j ausgeklammert werden. Er stellt die lineare Phase dar. Das System weist deshalb wegen der Symmetrie der Impulsantwort eine lineare Phase auf. 8.9 Vorwärts- und ückwärtsprädiktor a) Die Impulsantwort des ückwärtsprädiktors ergibt sich nach einer Transformation in den -Bereich a a und anschließender ücktransformation u k g k a k Der Vorwärtsprädiktor hat die -Transformierte V V a und die Impulsantwort V V a g k k a k v b) Da beide Systeme stabil sind, kann der Frequengang direkt aus der -Transformierten abgelesen werden u und V j a e j a e V c) Der gesamte Frequengang ergibt sich durch Multiplikation der einelnen Prädikatoren. a e j V V j a e d) Für die Variablen a und a V muss die Bedingung a = a V gelten. In dem Fall ist a e j V j a e

Amplitudengang Das Eingangssignal erscheint somit unverändert am Ausgang. e) Das ückwärtsprädiktionsfilter ist für < a < ein Tiefpass erster Ordnung. A a cos j a sin j a e a a a cos cos a sin Der Vorwärtsprädikator muss ein um ückwärtsprädikator inverses Verhalten besiten. Es ergibt sich das in dem folgenden Diagramm dargestellte Verhalten..5 ückwärtsprädikator Vorwärtsprädikator eihenschaltung.5.5 - -/ / Normierte Kreisfrequen 8. Transformation eines Filters in ein minimalphasiges Filter Das Filter hat die Übertragungsfunktion 6 6 Die Nullstelle = kann erraten werden. Damit errechnen sich die weiteren Nullstellen mit 6 u, j e j.86 Alle drei Nullstellen liegen außerhalb des Einheitskreises und müssen deshalb über einen Allpass kompensiert werden. A j j j j Die Übertragungsfunktion des minimalphasigen Systems M () ergibt sich damit u

M A 8. Synthese eines minimalphasigen Filters a) Das Filter hat die Übertragungsfunktion j j 4 4 8.5 j.5.5 j.5.5 k k k.5.5 Aus der Bedingung für die Verstärkung von ergibt sich die leichung 4 8 k k.5 Damit muss k = / sein. b) Da die Pole nicht alle im Koordinatenursprung liegen, handelt es sich um ein II-Filter mit unendlich langer Impulsantwort. c). Wird das Filter in ein minimalphasiges Filter überführt, liegen die Nullstellen genau auf den Polen des Systems. Damit hat es die Übertragungsfunktion M k