Zusatzübungen zu den ökonomische nwendungen linearer Funktionen. Ein Energieversorgungsunternehmen bietet seinen Kunden zu folgenden Bedingungen Strom an: Eine kwh kostet 0,4 bei einer monatlichen Grundgebühr von 7,50. a) Stellen Sie einen Funktionsterm auf. Zeichnen Sie den Graphen für die bnahme bis zu 200 kwh in ein geeignetes Koordinatensystem. b) Die Stromrechnung für 4 Monate beläuft sich auf 50,. Ermitteln Sie, wie viel kwh bezogen wurden. c) Ein Zweitanbieter verkauft Strom für 0,0 pro kwh bei einer monatlichen Grundgebühr von 0. Bestimmen Sie, ab welcher bnahme sich der Wechsel des Stromanbieters lohnt. 2. Der Telefondienst Handybillig (HB) bietet an: Monatliche Grundgebühr 3, jede Gesprächsminute kostet 0,08. nbieter Handypreiswert (HP) wirbt mit 0 Grundgebühr pro Monat, jede Gesprächsminute soll 0,0 kosten. a) Berechnen Sie, bei wie viel Minuten die Kosten bei beiden Tarifen gleich sind. b) Ihnen stehen monatlich zum Telefonieren zur Verfügung (Oma zahlt). Erläutern Sie, welchen Dienst Sie wählen, und geben Sie an, wie lange Sie bei dem gewählten nbieter telefonieren können. c) Stellen Sie den Sachverhalt von a) und b) in einem Koordinatensystem dar. 3. Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife und B. Tarif : Grundgebühr 5 / Monat, die ersten 60 min. sind frei, dann Ct. / min. Tarif B: Grundgebühr 0 / Monat, die ersten 20 min. sind frei, dann 0,5 Ct. / min. Maria surft im Durchschnitt Stunden im Monat. a) Fertigen Sie eine Planskizze an. b) Ermitteln Sie rechnerisch, welcher Tarif für Maria der günstigste ist. c) Berechnen Sie die Surfdauer, bei der Maria für den gleichen monatlichen Rechnungsbetrag bei und B. surfen könnte, und geben Sie dessen Höhe an. d) Stellen Sie den Sachverhalt graphisch in einem Koordinatensystem dar. 4. Ein Ökokühlschrank kostet 0 und hat monatliche Energiekosten von 20. Ein Billigkühlschrank kostet 200 und hat monatliche Energiekosten von. Untersuchen Sie, nach welcher Zeit sich der in der nschaffung teuere Ökokühlschrank bezahlt macht (amortisiert). 5. In einem großen Hotel erfolgt die Warmwasserbereitung für Badezimmer elektrisch mittels Durchlauferhitzer. Pro Jahr entstehen 25000 Kosten für elektrische Energie. Die Umrüstung auf Fernwärme kostet einmalig 50000. Die danach anfallenden Energiekosten betragen nur noch 5000 pro Jahr. a) Untersuchen Sie, in welcher Zeit sich die Investition rentiert hat. Geben Sie auch an, wie hoch die Kosten zu diesem Zeitpunkt sind. b) Zeichnen Sie die Graphen. 6. Klaus möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife, B und C. Tarif : Grundgebühr 5 / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann Ct. / min. Tarif B: Grundgebühr 0 / Monat die ersten 0 Stunden frei, dann 0,8 Ct. / min. Tarif C: Flat Rate / Monat. Klaus surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag. ( Tage /Monat). a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf. b) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. c) Interpretieren Sie die graphische Darstellung ökonomisch. d) Berechnen Sie den günstigsten Tarif für Klaus. e) Bestimmen Sie den Punkt, in dem Kostengleichheit für Tarif und B herrscht. f) Ermitteln Sie, ab welcher Surfzeit Tarif C der günstigste ist.
7. Eine Zeitschrift, die zum Stückpreis von 2,20 zu kaufen ist, hat eine uflage von 20.000 Exemplaren. Mit Hilfe der Marktforschung stellt der Verlag fest, dass sich die Nachfrage bei einer Preissenkung um 0,20 pro Zeitschrift um 5000 Exemplare erhöhen lässt. a) Bestimmen Sie die Gleichung der zugehörigen linearen Nachfragefunktion p N. b) Berechnen Sie den Preis bei einer nachgefragten uflage von.000 Exemplaren. c) Ermitteln Sie, welche Verkaufszahlen der Verlag erwarten kann, wenn er den Preis der Zeitschrift auf,50 je Exemplar senkt? 8. Bei einem Verkaufspreis von 35 GE/ME werden von einem Produkt ME angeboten und 05 ME nachgefragt. Wenn der Preis um 25 GE/ME steigt, dann sinkt die Nachfrage um 75 ME, während sich die angebotene Menge auf 80 ME erhöht. a) Bestimmen Sie aus den ngaben die Gleichungen der zugehörigen linearen ngebots- und Nachfragefunktionen. b) Ermitteln Sie Gleichgewichtspreis und menge. c) Berechnen Sie den ngebotsüberschuss bei einem Preis von 55 GE/ME. d) Bei einem Preis von GE/ME herrscht ein Nachfrageüberschuss. Berechnen sie diesen. 9. Eine Brauerei rechnet für die uslieferung seiner Getränkekisten mit dem eigenen Verkaufsfahrzeug 0,80 pro Kiste bei monatlichen Fixkosten von 8. a) Erstellen Sie einen Term für die Kosten der uslieferung von x Kisten. Berechnen Sie die entstehenden Kosten für die uslieferung von 2500 Kisten. b) Ein Logistikunternehmen bietet die uslieferung von Getränkekisten für,5 pro Kiste an. Erstellen Sie einen Term für die Kosten der uslieferung von x Kisten. Untersuchen Sie, für welche uslieferungszahlen das Logistikunternehmen kostengünstiger wäre. c) Unterbreiten Sie der Brauerei ein ngebot, so dass die Kosteneinsparung bei einem bsatz von 00 Kisten 680 beträgt. 0. Die bbildung zeigt den Graphen einer linearen Kostenfunktion (Gesamtkosten). a) Entnehmen Sie dem Graphen die fixen Kosten und die variablen Stückkosten in /ME. Geben Sie die Gesamtkosten K bei einer Produktion von x Mengeneinheiten (ME) an. b) Bestimmen Sie, welcher Verkaufspreis je ME zu erzielen ist, wenn 80 ME erzeugt werden und dabei gerade kein Verlust entstehen soll.. Die Kosten K für die Herstellung von Tennisbällen hängen linear von der produzierten Stückzahl x ab. a) Geben Sie anhand der Graphik an, wie teuer die Produktion von 000 bzw. 00 Bällen ist. Bestimmen Sie den Term für die Kostenfunktion K. Geben Sie die Höhe der fixen Kosten K f sowie der variablen Stückkosten k v an. b) Für den Erlös gilt unter 2500 Stück ein Pauschalbetrag von E = 750. b 2500 Stück steigt der Erlös linear mit der nzahl der verkauften Bälle (E 2 ). Bestimmen Sie die Erlösfunktion E 2 (x) für x 2500 und die Schnittpunkte S und S 2. Kommentieren Sie die x Werte zwischen S und S 2 im ökonomischen Sachzusammenhang.
Lösungen zu ufgabe : Funktionsterm: f(x) = 0,4 x + 7,50 x kwh ; f(x) Bemerkung: Die Rechnung erfolgt ohne Einheiten, diese werden den jeweiligen Ergebnissen angefügt. f( x) 0 35 25 20 5 0 5 0 80 20 60 200 0 x 200 nsatz: f(x) = 0,4x + 7,50 gilt für die monatliche brechnung. Für 4 Monate betragen die Grundgebühren. 4 4 f x = 0,4x + P x 50,4 f x = 0,4x + = 50, 4 0,4x + = 50, 4 0,4x = 20,4 : 0,4 x = 860 Der Energiebezug in 4 Monaten betrug 860 kwh zu c) nbieter I: f(x) = 0,4x + 7,50 nbieter II: g(x) = 0,x + 0 Kostengleich im Schnittpunkt S. f(x) = g(x) 0,4x + 7,50 = 0,x + 0 0,x 0,04x + 7,50 = 0 ; 7,5 0,04x = 2,5 : 0,04 x = 62,5 Kostengleich bei 62,5 kwh. Bei einem monatlichen Energiebezug von mehr als 62,5 kwh ist nbieter II günstiger als nbieter I. Lösungen zu ufgabe 2: f( x) g( x) 0 35 25 20 5 0 5 0 80 20 60 200 0 x HB : f(x) = 0,08x + 3 HP : g(x) = 0,x + 0 Schnittpunkt: g(x ) = f(x ) 0,x + 0 = 0,08x + 3 0,08x 0 0,02x = 3 x = 50 s s s s s s s y = g(x ) = 0, 50 + 0 = 25 S 50 25 Bei 50 Gesprächsminuten sind bei beiden nbietern die Kosten gleich (25 ). s s 200
Bedingung: P x 3 HB : f(x HB) = 0,08xHB + 3 = xhb = = 22,5 PHB ( 22,5 ) 0,08 0 HP : f(x HP) = 0,x HP + 0 = xhp = = 200 PHP ( 200 ) 0, HB ist der günstigere nbieter, denn für kann dort 22,5 Minuten telefoniert werden. zu c) 35 f( x) g( x) h( x) 25 20 5 0 0 5 0 20 60 80 00 20 60 80 200 220 2 0 x 2 Lösungen zu ufgabe 3: Planskizze: y Tarif Tarif B 0 P B ( 20 0 ) S( x s y s ) 5 P ( 60 5 ) 60 min 20 min x Tarif : y = f(x) = 0,0x + b Tarif B: y = g(x) = 0,005 x + b Tarif : P ( 60 5) : y = f(60) = 0,0 60 + b = 5 b = 4,4 y= f(x) = 0,0x + 4,4 Tarif B: P (20 0): y = g(20) = 0,005 20 + b = 0 b = 9,4 y= g(x) = 0,005x + 9,4 Monatliche Surfdauer h = 800 min. Tarif : y = f(800) = 22, Tarif B: y = g(800) = 8, Tarif B ist für Maria der beste. B B B
zu c) Zu ermitteln ist der Schnittpunkt beider Geraden: f x = g x 0,0x + 4,4 = 0,005x + 9,4 x = 000 S (000 4, ) s s s s s Für eine Surfdauer von 000 Minuten sind beide Tarife gleich, die Kosten betragen dann 4, zu d) f( x) g( x) h( x) i( x) 0 25 20 5 0 5 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 22 24 26 28 0 x f(x) für Tarif, g(x) für Tarif B, h(x) = 5 ; i(x) = 0 x chse in Stunden, y chse in. Lösungen zu ufgabe 4: Das Problem führt auf 2 lineare Funktionen, von denen der Schnittpunkt der zugehörigen Graphen zu bestimmen ist. K (x) = 20x + 0 K (x) = x + 200 K (x) = K (x) 20x + 0 = x + 200 x 20x + 0 = 200 0 20x = 200 : 20 x = 0 eingesetzt in K (x) : K (0) = 20 0 + 0 = 600 Probe: K (x) : K (0) = 0 + 200 = 600 2 2 2 2 Schnittpunkt S 0 600 800 800 700 f( x) g( x) 600 500 0 0 200 00 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 0 x 2 Ergebnis: Der Wert x = 0 bedeutet, nach 0 Monaten hat sich der Ökokühlschrank amortisiert. Der Wert y = 600 bedeutet, für beide Kühlschränke sind nach 0 Monaten die gleichen Kosten entstanden ( 600 ). b jetzt wird der Ökokühlschrank billiger. Lösungen zu ufgabe 5: x chse :Jahre y chse :Kosten Durchlauferhitzer :f x = 25000x Fernwärme : g(x) = 5000x + 50000 Kostengleichheit herrscht im Schnittpunkt beider Geraden.
f x = g x 25000x = 5000x + 50000 5000x 20000x = 50000 :20000 x = 2,5 f 2,5 = 25000 2,5 = 62500 g 2,5 = 5000 2,5 + 50000 = 62500 Die Investition hat sich nach 2,5 Jahren rentiert. In beiden Fällen belaufen sich die bis dahin angefallenen Kosten auf 62500.. 0 5 9. 0 4 8. 0 4 7. 0 4 6. 0 4 5. 0 4 4. 0 4 3. 0 4 2. 0 4. 0 4 Kosten 62500 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 Zeit in Jahren Lösungen zu ufgabe 6: x chse Zeit in Stunden y chse Kosten in Tarif : Ct./min sind 60 Ct. = 60Ct./h = 0,6 /h (Steigung) f x = 0,6x + b 5 Freistunden bedeuten, in den ersten 5 Stunden fallen nur die Grundgebühren von 5 an. P 5 5 durch diesen Punkt verläuft der Graph von f x P 5 5 :f 5 = 5 0,6 5 + b = 5 3 b = 2 Funktionsgleichung für Tarif : f x = 0,6x + 2 Tarif B: 0,8 Ct./min sind 60 0,8 Ct. = 48 Ct./ h = 0,48 / h (Steigung) g x = 0,48x + b 0 Freistunden bedeuten, in den ersten 0 Stunden fallen nur die Grundgebühren von 0 an. P 0 0 durch diesen Punkt verläuft der Graph von g x P 0 0 :g 0 = 0 0,48 0 + b = 0 4,8 b = 5,2 Funktionsgleichung für Tarif B: g x = 0,48x + 5,2 Tarif C: Flat Rate unabhängig von der Surfzeit. Funktionsgleichung für Tarif C: h x = (Parallele zur x chse)
50 Kosten in Tarif C Tarif Tarif B 20 0 P(0 0) P(5 5) zu c) Interpretation: Bis etwa 26 Stunden ist Tarif der günstigste. Von ca. 26 Stunden bis ca. 73 Stunden ist Tarif B der günstigste. b etwa 73 Stunden lohnt sich die Flat Rate. zu d) Monatliche Surfdauer 2h = 60 h Kosten bei Tarif : f ( 60) = 0,6 60 + 2 = 38 Kosten bei Tarif B: g( 60) = 0, 48 60 + 5,2 = 34 Kosten bei Tarif C: h( 60) = Für eine monatliche Surfzeit von 60 Stunden ist Tarif B der günstigste. zu e) Kostengleichheit für Tarif und B ist der Schnittpunkt von f ( x ) mit g( x ). f ( x) = g( x) 0,6x + 2 = 0,48x + 5,2 0,48x 0,2x + 2 = 5,2 2 0,2x = 3,2 :0,2 2 80 x = 26,6 = 26 = 3 3 80 6 80 80 2 80 f = + = = + = 3 2 8 g 8 0 3 3 25 3 25 0,48 5,2 2 Kostengleichheit herrscht bei 26 h = 26h min Surfdauer. 3 2 Die Kosten betragen dann 8. Das entspricht dem gemeinsamen Punkt P 26 8 3 der Geraden von f ( x ) und g( x) zu f) us der Zeichnung ist abzulesen, dass der Schnittpunkt von g(x) mit h(x) den Punkt markiert, ab dem für längere Surfzeiten die Flat Rate günstiger ist als Tarif B. g x = h x 0, 48x + 5,2 = 5,2 0, 48x = 34,8 :0, 48 x = 72,5 0 20 50 60 70 Zeit in Stunden b einer Surfdauer von 72,5 Stunden ist Tarif C der günstigste.
Lösungen zu ufgabe 7: p N(x) = m x + b x: nachgefragte Menge p N(x) : zugehöriger Preis Preis 2,20 uflage 20 000 P ( 20 000 2,2) Preis 2,00 uflage 25 000 P2 ( 25 000 2) Der Zusammenhang zwischen Preis und uflage ist lt. ufgabenstellung linear. y2 y 2 2,2 0,2 m = = = = p N(x) = x + b x2 x 25000 20000 5000 25000 25000 P2 ( 25000 2 ) : f(25000) = 25000 + b = 2 b = 7 25000 p N(x) = x + 7 25000 Preis bei einer uflage von x = 000 : P 000 x p N(00) = 000 + 7 =,4 Preis, 25000 zu c) Preis von,50 P( x,50 ) p N(x) = x + 7 =,5 x = 5,5 x = 37500 25000 25000 Bei einem Preis von,50 ist mit einer uflage von 37500 zu rechnen. Lösungen zu ufgabe 8: ngebot: P ( 35) und P (80 60) p (x) = m x + b 2 60 35 25 m = = = 0,5 p (x) = 0,5 x + b 80 50 P ( 35) 35= 0,5 + b b= 35 5 = 20 p (x) = 0,5 x + 20 Nachfrage: Q (05 35) und Q ( 60) p (x) = m x + b 2 N 60 35 25 m = = = p N(x) = x + b 05 75 3 3 Q (05 35) 35 = 05 + b b = 35 + 35 = 70 p N(x) = x + 70 3 3 p (x) = p N(x) 0,5 x + 20 = x + 70 + x 3 3 5 x + 20 = 70 20 6 5 6 x = 50 6 5 x = 60 p (60) = 0,5 60 + 20 = 50 Der Gleichgewichtspreis beträgt 50 GE/ME, die Gleichgewichtsmenge ist 60 ME.
zu c) Preis 55 GE/ME zugehörige ngebot- und Nachfragemengen berechnen p (x) = 55 0,5 x + 20 = 55 0,5 x = 35 x = 70 p N(x) = 55 x + 70 = 55 x = 5 x = 45 3 3 Bei einem Preis von 55 GE/ME beträgt der ngebotsüberschuss 70 45 = 25 ME. zu d) Preis GE/ME zugehörige ngebot- und Nachfragemengen berechnen p (x) = 0,5 x + 20 = 0,5 x = 20 x = p N(x) = x + 70 = x = x = 90 3 3 Bei einem Preis von GE/ME beträgt der Nachfrageüberschuss 90 = 50 ME. Lösungen zu ufgabe 9: K( x) = 0,8x + 8 2500 Kisten: K (2500) = 0,8 2500 + 8 = 28 Die uslieferung von 2500 Kisten kostet 28. K (x) = 0,8x + 8 Brauerei, K 2(x) =,5x Logistikunternehmen Kostenunterschied: U(x) = K (x) K 2(x) = 0,8x + 8,5x = 0,35x + 8 Gewinn für die Brauerei wenn U(x) > 0 0,35x + 8 > 0 0,35x > 8 x < 20 Bis zu 20 Kisten ist das Logistikunternehmen kostengünstiger. zu c) Neue Kostenfunktion für das Logistikunternehmen: K 2(x) = m x Kostenunterschied: U(x) = K (x) K 2(x) = 0,8x + 8 m x Bei 00 Kisten soll der Gewinn 680 sein. U(00) = 0,8 00 + 8 m 00 = 680 3200 + 80 m 00 = 680 m = 0,84 K (x) = 0,84x. Das bedeutet 0,84 pro Kiste. 2 Begriffsdefinitionen zur betrieblichen Kostenrechnung: Gesamtkosten sind die in einem Betrieb bei der Produktion eines Produktes entstehenden Kosten K(x) = kv x + b. Fixkosten sind die Kosten, die auch dann entstehen, wenn nichts produziert wird. (Zinsen, Mieten, Versicherungen, Gehälter usw.) K f (x) = K(0) = b Variable Kosten sind die Gesamtkosten ohne Fixkosten. K v(x) = K(x) K f (x) = kv x Variable Stückkosten sind die variablen Kosten pro Stück. K v(x) kv x = = kv x x Erlösfunktion Preis p mal usbringungsmenge x: E(x) = p x Gewinnfunktion Erlös Gesamtkosten: G(x) = E(x) K(x)
Lösungen zu ufgabe 0: Die Kostenfunktion ist hier eine lineare Funktion: K(x) = m x + b. Die fixen Kosten sind K(0) = b = 450 (abgelesen aus dem Graphen). Die variablen Stückkosten sind k v(x) = m, also die Steigung der Geraden von K( x). bzulesen sind die Punkte P ( 0 450 ) und P ( 200 500) 500 450 m = = 0,25 variable Stückkosten kv = 0,25 / ME 200 0 Kostenfunktion: K(x) = 0,25x + 450 Wenn kein Verlust entstehen soll, müssen Erlös und Kosten bei 80 ME gleich sein. us E(x) = p x und K(x) = 0,25x + 450 folgt: 495 p 80 = 0,25 80 + 450 = 495 p = = 2,75 80 Der Stückpreis muss mindestens 2,75 betragen, damit kein Verlust entsteht. Lösungen zu ufgabe : 000 Bälle: P 000 600, 00 Bälle: P 00 000 2 Kostenfunktion: K(x) = m x + b 000 600 P ; P2 m = = 0,2 K(x) = 0,2x + b 00 000 P 000 600 : K(000) = 0,2 000 + b = 600 b = 0 K(x) = 0,2x + 0 Fixkosten: K(0) = b = 0 Variable Stückkosten: k = m = 0,2 / Stück Erlösfunktion für x < 2500 : E(x) = 750 v Erlösfunktion für x 2500 : P 2500 600 ; P 00 200 E (x) = m x + b 2 2 200 600 m = = 0,4 E 2(x) = 0,4x + b 00 2500 P 00 200 : E 00 = 0,4 00 + b = 200 b = 0 E (x) = 0,4x 0 2 2 2 Schnittpunkt S : K(x) = E (x) 0,2x + 0 = 750 x = 750 K(750) = 750 S 750 750 Schnittpunkt S : E (x) = K(x) 0,4x 0 = 0,2x + 0 x = 00 2 K(00) = 0,2 00 + 0 = 200 S 00 200 Für 750 < x < 4500 entsteht ein Verlust, da E(x) < K(x). Schnittpunkt von E (x) mit E 2(x) ist S3 E 2(x) = E (x) 0,4x 0 = 750 x = 2875 E (2875) = 0,4 2875 0 = 750 S (2875 750) 2 3 Für den Kunden ist der Bereich 2500 x < 2875 sehr lukrativ. Er bekommt beispielsweise 2800 Bälle günstiger als 2500 Bälle. 2