Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 4 Doz.: Blath, Gündel vom Hofe Ass.: Altmann, Fackeldey, Hammer 8. Okt 4 Oktober Klausur Analysis I für Ingenieure Name:.................................... Vorname:.................................... Matr. Nr.:................................ Studiengang:................................ Neben einem handbeschriebenen A4-Blatt mit Notizen sind keine weiteren Hilfsmittel zugelassen. Die Lösungen sind in Reinschrift auf A4 Blättern abzugeben. Für jede Aufgabe bitte ein neues Blatt verwenden. Auf jedes Blatt bitte Name und Matrikelnummer schreiben. Mit Bleistift oder Rotstift geschriebene Klausuren können nicht gewertet werden. Bitte geben Sie im Zweifelsfalle auch Ihre Schmierzettel ab und markieren Sie diese entsprechend. Geben Sie im Rechenteil immer den vollständigen Rechenweg und im Verständnisteil, wenn nichts anderes gesagt ist, immer eine kurze, aber vollständige Begründung an. Insbesondere soll immer klar werden, welche Sätze oder Theoreme verwendet wurden! Ohne Begründung bzw. Rechenweg gibt es keine Punkte! Die Bearbeitungszeit beträgt 9 Minuten. Die Gesamtklausur ist mit 3 Punkten bestanden, wobei in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens Punkte erreicht werden müssen. Korrektur 3 Σ 4 5 6 Σ
Rechenteil. Aufgabe Punkte Sei D R und f : D R gegeben durch: f() = 4, D. a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich D von f. b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f. c) Untersuchen Sie die Funktion f auf globale Maima und Minima. a) [ Punkte] Ma. Definitionsbereich: 4 darf nicht negativ werden, also: 4 und somit was dann D = { R } = [, ] ergibt. b) [ Punkte] Nullstellen gdw. f() =, also 4 = (4 ) =, D ergibt dann =, = und 3 =. c) [6 Punkte] Bestimme zunächst Ableitungen: f () = 4, f () = ( 6) (4 ) 4, < dann f () = = ergibt N = und N =. Einsetzen in f ergibt, dass in N ein Ma vorliegt, da f ( ) = <... und dass in N ein Min vorliegt, da f ( ) = >.. Überprüfen der Ränder: Da f() = f() = und f () auf D \ {, }, sind die Etrema auch globale Etrema.
. Aufgabe Punkte a) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung cos 4 () = cos () sin (). b) Geben Sie alle kompleen Lösungen der Gleichung z 3 = 7e 3iπ in der Form z = a + bi an. c) Für welche kompleen Zahlen z = a + bi gilt sowohl Re(z) = z als auch z + > 3? a) [3 Punkte] Die gegebene Gleichung ist äquivalent zu cos ()[cos () + sin ()] = Unter Ausnutzung der Gleichung cos () + sin () = ergibt sich also cos () = und somit cos() =. Damit ergibt sich als Lösungsmenge L = { R = π/ + kπ, k Z}. (Alternativ auch Fallunterscheidung und durch cos() teilen.) b) [3 Punkte] Da die rechte Seite schon in der Eulerschen Darstellung gegeben ist, erhalten wir direkt z = 3 3π + kπ 7 = 3, arg(z) =, k Z 3 Somit ergeben sich die drei Lösungen z = 3e iπ = 3, z = 3e 5iπ/3 = 3 cos(5π/3) + 3i sin(5π/3) (3Grad), z 3 = 3e 7iπ/3 = 3 cos(7π/3) + 3i sin(7π/3) (6Grad). c) [4 Punkte] Die Lösungen z C sollen zwei Bedingungen erfüllen. Mit z = a + bi ergibt die erste Gleichung a = a + b. Demnach muss a gelten und quadrieren ergibt weiter a = a + b = b. Also ist b = und somit z = a R. Die Ungleichung muss also nur noch für reelle Zahlen untersucht werden. Da wir schon wissen, dass a gelten muss, brauchen wir keine Fallunterscheidung und erhalten direkt z + = a + = a + > 3 a >. Somit ergibt sich die Lösungsmenge L = {z = a + bi C b =, a > }.
3. Aufgabe Punkte Berechnen Sie folgende bestimmte bzw. unbestimmte Integrale: a) 3 3 + d, b) π/ e cos() d, c) ( 3 + ) 5 (3 + ) d. a) [3 Punkte] Substitution u = 3 +, du = 3 d dann ist 3 3 + d = u du = 3 u3/ = 3 (3/ 3/ ) = 4 3. b) [4 Punkte] π/ e cos() d = e sin() π/ π/ = e sin() π/ ( e sin() d e cos() π/ = e sin() π/ + e cos() π/ Also kann man nach dem Integral umstellen π/ e cos() d = e sin() + e cos() π/ π/ π/ cos()e d e cos() d = [(eπ/ + ) ( + e )] = (eπ/ ). ) c) [3 Punkte] Substitution u = 3 +, du = (3 + ) d ( 3 + ) 5 (3 + )d = u 5 du = u6 6 + C = (3 + ) 6 + C. 6
Verständnisteil 4. Aufgabe Punkte a) Zeigen Sie direkt anhand der Grenzwertdefinition, dass die Folge (a n ) mit a n := ()n n konvergiert. b) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle R \ {} und n N \ {} n k = n+ gilt. k= c) Folgern Sie aus b), dass die Folge (b n ) definiert durch b n := n k= ( ) k konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert. a) [3 Punkte] Sei ε >. Wählt man n N mit n > ε, so gilt für alle n n, dass a n = () n n = n < ε. n Die Folge konvergiert also gegen. [Die Alternative mit Sandwichkriterium (Nachweis ohne Grenzwertdef.) gibt ma. Punkt: Die Folge konvergiert nach dem Sandwichkriterium gegen, da n ()n n n und lim n n = und lim n n =.] b) [4 Punkte] Induktionsanfang: Für n = gilt nach Def. k= k = =. Induktionsvoraussetzung: Für ein n N gelte n k= k = n+. Induktionsschritt: Es gilt n+ k = k= n k= k + n+ n+ = (IV) + n+ = n+ + ( ) n+ = n+. (Es sollte ersichtlich sein, an welcher Stelle die Induktionsvoraussetzung benutzt wird.) c) [3 Punkte] Für = ergibt sich aus b), dass b n = n k= ( ) k = n+ = ( ) n. Wegen < < gilt lim n ( ) n =, also folgt limn b n =.
5. Aufgabe Punkte Es seien a, b R. Betrachten Sie die Funktion f : R R mit { sin ( ) f() := falls > a + b falls. a) Untersuchen Sie, für welche Parameter a, b R die Funktion f stetig auf R ist. b) Untersuchen Sie, für welche Parameter a, b R die Funktion f differenzierbar auf R ist. c) Können die Parameter a, b R so gewählt werden, dass der Grenzwert lim f () eistiert? a) [4 Punkte] Die Funktion ist stetig in allen R \ {}, da dort Komposition aus stetigen Funktionen. Stetigkeit in = : Wegen sin ( ) gilt sowie lim f() = lim sin lim ( ) = f() = lim(a + b) = b = f(). Folglich ist f stetig in genau dann, wenn a R beliebig und b = ist. b) [5 Punkte] Die Funktion ist differenzierbar in allen R \ {}, da dort Komposition aus differenzierbaren Funktionen. Diff barkeit in = : Hierfür muss f insbesondere stetig in, also nach a) b = sein. Wegen sin ( ) gilt dann sowie f() f() sin lim = lim ( ) = lim sin f() f() a lim = lim = a. ( ) = Folglich ist f differenzierbar in genau dann, wenn a = b = ist, und dann ist f () =. c) [ Punkte] Für > ist mit Produkt- und Kettenregel ( ) f () = sin + ( ( ) ) cos = sin ( ) cos ( ). Dieser Ausdruck divergiert für, folglich gibt es keine Wahl von a, b R, so dass der Grenzwert lim f () eistiert.
6. Aufgabe 9 Punkte Gegeben sei die Funktion f() = sin(). a) Berechnen Sie den Grenzwert lim f(). b) Finden Sie Folgen (a n ) and (b n ), die lim n f(a n ) = und lim n f(b n ) = erfüllen. c) Zeigen Sie, dass die Gleichung f() = π im Intervall [π/, 5π/] mindestens eine Lösung hat. a) [ Punkte] Die Funktion sin()/ ist beschränkt und somit gilt = lim lim f() lim = Nach dem Sandwich-Prinzip gilt also lim f() =. b) [4 Punkte] Wir betrachten die Folgen a n = nπ (alternativ a n ) und b n = π/ + nπ. Für diese beiden Folgen gilt dann lim f(a n) = lim n n nπ =, lim f(b n) = lim n n π/ + nπ = π 4 + lim nπ =. n c) [3 Punkte] Wir definieren die Funktion g() := f()π und zeigen mit dem Zwischenwertsatz, dass g eine Nullstelle im Intervall [π/, 5π/] besitzt. Offensichtlich ist g stetig und es gilt g(π/) = π 4 π <, g(5π/) = 5π 4 π > Somit werden nach dem ZWS auch alle Zwischenwerte, inbesondere die, angenommen. Funktion g besitzt also eine Nullstelle im Intervall [π/, 5π/]. Die [beim Arbeiten mit der falschen Funktion gibt es ma. Punkt]