Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 Ausführliche Lösungen Kapitel. U U Finden Sie weitere Beispiele für solche Abhängigkeiten. Die Leistung eines Verbrennungsmotors hängt von der Drehzahl ab. Die Fläche eines Kreises hängt von seinem Radius ab. Die Stromrechnung hängt bei konstantem kwh- Preis von der Energiemenge ab. Formulieren Sie für die restlichen Beispiele und für die, die Sie bei der Übung U gefunden haben die Zusammenhänge. Fahrzeit Weg Bei gleichbleibender Geschwindigkeit beeinflusst die Fahrzeit den zurückgelegten Weg. Geschwindigkeit Bremsweg Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs beeinflusst die Länge des Bremswegs. Laufzeit Zinsertrag Die Laufzeit einer Kapitalanlage beeinflusst den Zinsertrag. Alter Körpergröße Das Alter des Kindes beeinflusst seine Körpergröße. Drehzahl Leistung Die Drehzahl eines Verbrennungsmotors beeinflusst die Motorleistung. Radius Fläche Der Radius eines Kreises beeinflusst seine Fläche. Energiemenge Die genutzte Energiemenge beeinflusst die Stromrechnung Stromrechnung. U Tragen Sie entsprechend der Wertetabelle die Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem und verbinden Sie diese zu einem Graphen. Bestimmen Sie durch ablesen den Bremsweg für die Geschwindigkeiten 0 ; 0 ; 70 ; 90 und 0 km/h. Die Polizei misst einen Bremsweg von 90 m. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr das Fahrzeug? Für die Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Bremsweg etwa 9 m. Für die Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Bremsweg etwa m. Für die Geschwindigkeit von 70 km/h beträgt der Bremsweg etwa 8 m. Für die Geschwindigkeit von 90 km/h beträgt der Bremsweg etwa 80 m. Für die Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Bremsweg etwa 0 m. Bei einem gemessenen Bremsweg von 90 m fuhr das Fahrzeug mit einer Geschwindigkeit von etwa 9 km/h. Zur Vorgehensweise: Die x- Achse (Abszisse) des Koordinatensystems repräsentiert die Menge der unabhängigen Variablen, die y- Achse (Ordinate) die der abhängigen Variablen. Bevor Wertepaare in ein Koordinatensystem als Punkte eingetragen werden ist immer zu überlegen, welche die unabhängige und welche die abhängige Variable ist. Weiterhin ist es wichtig einen geeigneten Maßstab für die Skalierung der Achsen zu finden. Dazu schaut man sich die größten und die kleinsten Werte der Tabelle an und entscheidet in wie viel Teile die beiden Achsen einzuteilen sind. Hat man dann entsprechend der Wertetabelle alle Punkte in das Koordinatensystem eingetragen, so verbindet man diese Punkte zu einem Graphen. Nun lassen sich aus dem Graphen auch für solche x- Werte, die nicht in der Wertetabelle vorkommen, die entsprechenden Funktionswerte mehr oder weniger genau ablesen. Umgekehrt kann man für einen bestimmten Funktionswert auch den zugehörigen x- Wert ablesen. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt davon ab, wie genau der Graph gezeichnet wurde. Erstellt von R. Brinkmann z_0_0_0..007 :9 Seite von 7
Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 y Bremsweg in m 0 0 0 0 0 0m f( x) 00 90 80 70 60 0 0 0 80m 8m m = 90m 0 0 9m 9km / h 0 0 0 0 0 0 60 70 80 90 00 0 0 x Geschwindigkeit in km/h U Berechnen Sie die abgelesenen Werte, wenn die Funktionsgleichung f (x) = 0,0 x lautet. Die Funktionswerte werden berechnet, indem man die entsprechenden x- Werte in die Funktionsgleichung einsetzt. f( x) = 0,0x = x 00 x = 0 f 0 = 0,0 0 = 0,0 900 = 9 x = 0 f 0 = 0,0 0 = 0,0 00 = x = 70 f 70 = 0,0 70 = 0,0 900 = 9 x = 90 f 90 = 0,0 90 = 0,0 800 = 8 x = 0 f 0 = 0,0 0 = 0,0 00 = Bei einer Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Bremsweg 9 m Bei einer Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Bremsweg m Bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h beträgt der Bremsweg 9 m Bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h beträgt der Bremsweg 8 m Bei einer Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Bremsweg m Gemessen wurde ein Bremsweg von 90 m, gesucht ist die Geschwindigkeit. Erstellt von R. Brinkmann z_0_0_0..007 :9 Seite von 7
Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 Ansatz: f x = 90 0,0x = 90 diese Gleichung ist nach x aufzulösen. 0,0x = 90 : 0,0 x = 9000 x = 9000 x = 900 0 x = 0 0 Betrag auflösen: x = 0 0 x = ± 0 0 ± 9,9 / Nur der positive Wert ist in Bezug der Aufgabenstellung sinnvoll, da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten. Bei einem gemessenen Bremsweg von 90 m betrug die Geschwindigkeit etwa 9,9 km/h. Bemerkung: Erst die Rechnung liefert genaue Werte, dennoch ist es sinnvoll, die berechneten Werte durch ablesen aus dem Graphen zu kontrollieren. A Beschreiben Sie den funktionalen Zusammenhang und benennen Sie die Art der Variablen. a) Bei einem Patienten wird mal täglich Fieber gemessen. b) Je schneller ich fahre, desto höher ist der Benzinverbrauch. c) Herr Meier ist Fliesenleger und arbeitet im Akkord. a) Die Temperatur eines Patienten hängt oft von der Tageszeit aber auch von seinem Zustand ab. Abends ist die gemessene Temperatur meist höher als morgens. unabhängige Variable: Tageszeit abhängige Variable: Temperatur b) Unter der Annahme, dass keine größeren Steigungen zu überwinden sind und im höchsten Gang gefahren wird gilt: unabhängige Variable: Geschwindigkeit abhängige Variable: Benzinverbrauch c) Akkordarbeiter werden nach Leistung bezahlt. Für Herrn Meier bedeutet das, je mehr m Fliesen er pro Zeiteinheit verlegt, desto höher ist sein Verdienst in dieser Zeit. unabhängige Variable: Arbeitsleistung abhängige Variable: Verdienst Erstellt von R. Brinkmann z_0_0_0..007 :9 Seite von 7
Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 A Es sei f ( x) = x + für x bzw. D = { x x } a) Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen in ein Koordinatensystem. b) Bestimmen Sie für die angegebene eingeschränkte Definitionsmenge die Wertemenge. c) Wie ändert sich die Wertemenge, wenn die Definitionsmenge alle reellen Zahlen umfasst? a) x = f( ) = ( ) + = 6+ = 8+ = 7 9 7 x = f( ) = ( ) + = 9+ = + = x = f( ) = ( ) + = + = + = x = f( ) = ( ) + = + = + = x = 0 f( 0) = 0 + = 0+ = x = f() = + = + = x = f = + = + = 9 7 x = f( ) = + = + = x = f( ) = + = 8+ = 7 x 0 ( x) f 7, 0, 0,, 7 Trick: Alle Parabeln sind symmetrisch zu der Achse, die senkrecht durch ihren Scheitelpunkt verläuft. Deshalb genügt es, die Funktionswerte bis zum Scheitelwert zu berechnen. Danach wiederholen sich die Werte aus Symmetriegründen. Dadurch erspart man sich die halbe Rechnung b) Für die Definitionsmenge D = { x x } ist unmittelbar aus dem Graphen die Wertemenge ablesbar: W = { y 7 y } 0 6 7 8 Erstellt von R. Brinkmann z_0_0_0..007 :9 Seite von 7
Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 c) Für die Definitionsmenge werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer, { } wenn die x- Werte außerhalb des Intervalls x x liegen. Das bedeutet, sowohl für sehr große als auch für sehr kleine x- Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen. Man sagt, sie streben gegen Unendlich. Die mathematische Schreibweise hierfür lautet: lim f x = x ± A Formulieren Sie mit Hilfe der mathematischen Schreibweise. a) Die Funktion f (x) nimmt an der Stelle -7 den Funktionswert an. b) Der Punkt P ( ) liegt auf dem Graphen von f (x). c) An der Stelle hat die Funktion f (x) den Funktionswert 6. d) Der Funktionswert von f (x) ist kleiner für alle reellen Zahlen. a) Für x = 7 ist der Funktionswert, das bedeutet: f ( 7) = b) Wenn der Punkt P ( ) auf dem Graphen von f (x) liegt, bedeutet das, die Koordinaten des Punktes erfüllen die Funktionsgleichung. Die erste Koordinate eines Punktes ist immer der x- Wert, die zweite der Funktionswert. Allgemein ausgedrückt: ist P ( x f(x) ). Beispiel: P f = c) An der Stelle bedutet x = f () = 6 d) Der Funktionswert von f x ist kleiner für alle reellen Zahlen bedeutet: f x < für alle x A Welche Wertetabelle gehört zu einer Funktion? Begründen Sie Ihre Antwort. a) x 0 b) x 0 f( x) 8 7 6 f x a) Die Wertetabelle gehört nicht zu einer Funktion, da zur Variablen x = zwei Funktionswerte vorhanden sind. Das ist für eine Funktion nicht erlaubt, denn es handelt sich bei einer Funktion um eine eindeutige Zuordnung. Zu jedem x- Wert der Definitionsmenge gehört genau ein Funktionswert. Sollte es x- Werte geben, zu denen kein Funktionswert existiert, dann gehören diese Werte nicht zur Definitionsmenge der Funktion. b) Die Wertetabelle gehört zu einer Funktion, da zu jedem Wert der Variablen x genau ein Funktionswert f(x) gehört. Dabei dürfen unterschiedlichen x- Werten sogar gleiche Funktionswerte zugeordnet werden, wie z. B. f () = und f () =. A a) Nennen Sie ein alltägliches Beispiel für eine Zuordnung, die eine Funktion ist. b) Nennen Sie ein Beispiel für eine Zuordnung die keine Funktion ist. a) Da jeder Schüler für seine Klausur genau eine Note bekommt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine Funktion. Der Schüler ist die unabhängige Variable, die Note die von seiner Leistung abhängige. b) Ordnet man Noten den Schülern zu, wie es beispielsweise bei der Zeugnisschreibung geschieht, handelt es sich um keine eindeutige Zuordnung und damit auch nicht um eine Funktion, denn eine bestimmte Note kann mehreren Schülern zugeordnet werden. Eine solche Zuordnung nennt man Relation. Erstellt von R. Brinkmann z_0_0_0..007 :9 Seite von 7
Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 A6 Welcher Graph gehört zu einer Funktion f : x f(x)? Begründen Sie Ihre Entscheidung a) b) c) 6 0 6 0 0 a) Der Graph gehört zu einer Funktion, denn zu jedem x- Wert gehört ein Funktionswert. Dabei ist es unerheblich, dass unterschiedliche x- Werte gleiche Funktionswerte haben. Entscheidend ist, dass die Zuordnung der x- Werte eindeutig ist. b) Der Graph gehört zu keiner Funktion, denn z.b. für den x- Wert gibt es Funktionswerte. Es handelt sich um keine eindeutige Zuordnung. c) Der Graph gehört zu keiner Funktion, denn z.b. für den x- Wert gibt es Funktionswerte. Es handelt sich um keine eindeutige Zuordnung. A7 Berechnen Sie für die Funktion f ( x) = x x den Funktionswert und Koordinatenpunkt: Beispiel: f () = = = aus f () = folgt P a) f( ) b) e) f( ) f) f 0 c) f f g) f d) f( u ) h) f( u+ ) Funktionswerte werden berechnet, indem man die x- Werte, auch Argumente genannt in die entsprechende Funktionsgleichung einsetzt und den so entstandenen Term so weit wie möglich vereinfacht. Sofern es sich bei den Argumenten um Zahlen handelt, kann die Berechnung mit dem Taschenrechner geschehen. Handelt es sich hingegen um allgemeine Variablen wie a, u oder v, dann ist der Funktionsterm zu vereinfachen. Jedes Wertepaar, bestehend aus Funktionsargument und Funktionswert stellt ein Punkt im Koordinatensystem dar. a) f = = = = aus f = folgt P( ) b) f ( 0) = 0 0 = 0 0 = aus f ( 0) = folgt P( 0 ) c) f aus f folgt P = = + = = 8 8 8 d) e) f u u u aus f u u u folgt P u f u = = ( ) 9 9 9 9 f ( ) = ( ) ( ) = 9 + 6 = + = aus f ( ) = folgt P Erstellt von R. Brinkmann z_0_0_0..007 :9 Seite 6 von 7
Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 f) = ( ) f = = = = aus f folgt P,,8 g) h) Bemerkung: Kommen in einem Ergebnis Wurzeln vor, so kann in der Koordinatendarstellung auf zwei Stellen gerundet werden, denn genauer lässt sich der Punkt nicht in das Koordinatensystem einzeichnen. Wird hingegen das Ergebnis für weitere Rechnungen benötigt, so sollte nicht gerundet werden um Rundungsfehler zu vermeiden. f( ) = ( ) ( ) = + = + = aus f = folgt P,,8 f u+ = u+ u+ = u + u+ u = u + u+ u = u + u u+ = u u aus f( u+ ) = u u folgt P( u+ f( u) ) Erstellt von R. Brinkmann z_0_0_0..007 :9 Seite 7 von 7