1. Klausur Mathematik EF 2.10.2013 Seite 3 Aufgabe 1 25 Gegeben sind die Punkte A( - 2-2 ) B( 8 0 ) und C( 7 5 ). a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 2 3 f) 3 g) 5
1. Klausur Mathematik EF 2.10.2013 Seite 4 Die bewerteten Anteile sind im Folgenden jeweils durch Unterstrich markiert Aufgabe 2 20 a) 4 Kosten bei 2 24 = 48 Abzügen ; zwei CD's mit je 24 Bildern und einem Abzug pro Bild: Foto Fix: 2,80 + 0,25 24 2 = 14,80 ; Gut & günstig: 0,35 48 = 16,80 Bilderwelt: 3,70 + 0,15 24 2 = 10,90 b) 4 Zuordnungsgleichungen Anzahl x der Abzüge Kosten y einer CD für Foto Fix: Gut & günstig: Bilderwelt: y = 2,80 + 0,25 x y = 0,35 x y = 3,70 + 0,15 x S 1 c) Schnittpunkte der Geraden 3 Foto Fix Gut & günstig: 2,80 + 0,25 x = 0,35x x = 28 Einsetzen z. B. bei Gut & günstig: 0,35 28 = 9,80 S 1 ( 28 9,80 ) S 2 S 3 3 Foto Fix Bilderwelt: 2,80 + 0,25 x = 3,70 + 0,15 x x = 9 Einsetzen z. B. bei Foto Fix: 2,80 + 0,25 9 = 5.05 S 2 ( 9 15,05 ) 3 Gut & günstig Bilderwelt: 0,35 x = 3,70 + 0,15 x x = 18,5 Einsetzen z. B. bei Gut & günstig: 0,35 18,5 = 6,475 S 3 ( 18,5 6,475 ) Erläuterung: Bei einem Schnittpunkt von zwei Graphen sind die Kosten der beiden Anbieter gleich, 1 wenn die Anzahl der Abzüge dem x -Wert entspricht. 1 Bis zu einer Anzahl von 18 Abzügen ist Gut & günstig der preiswerteste Anbieter, 1 ab einer Anzahl von 19 Abzügen ist Bilderwelt der preiswerteste Anbieter.
1. Klausur Mathematik EF 2.10.2013 Seite 5 Aufgabe 3 18 Ein Güterzug fährt um 12:00 Uhr durch den Bahnhof von Köln. Ein Regionalexpress folgt später. Er ist schneller als der Güterzug. Im Diagramm wurde dargestellt, wann sich die Züge wie weit von Köln entfernt haben. a) 6 Da der Regionalexpress Köln später passiert und schneller ist (Graph steiler), wird er durch den steileren roten bzw. zum Schluss oberen Graphen beschrieben und hält etwa 2 h nach seiner Durchfahrt durch Köln auf der Strecke an. Für 2,5 h < t < 2,6 h sind die Funktionswerte gleich (die Strecke ist etwa ----- s = 260 km ). b) 3 Aus dem Graphen (grün markiert): Nach zwei Stunden hat der Güterzug ca. 160 km zurückgelegt. c) 3 Die Ausweichstelle (Überhol- / Schnitt stelle der Graphen) ist etwa 110 km von Köln entfernt. d) 3 Zeit für erste 100 km aus dem Graphen: Regionalexpress: 1,3 h - 0,5 h = 0,8 h = 48 min Der Güterzug benötigt etwa 1,25 h = 75 min e) 3 Die Durchschnitssgeschwindigkeit des Güterzuges ist s 200km km v( s = 200km) = = = 80 t 2,5h h Aufgabe 4 10 Die Seitenzahlen beziehen sich auf unser Lehrbuch Entscheide mit Begründung, welche der folgenden Funktionen quadratische Funktionen sind: Kurz: Eine (Potenz- ) Funktion ist quadratisch (oder vom Grad 2), wenn die Variable quadratisch (die höchste auftretende Potenz der Variablen ist 2) und sonst allenfalls lineare oder absolute Summanden auftreten. Speziell hier... (1) 2 Die Funktion ist eine quadratische Funktion, da sich der Funktionsterm durch einfaches Umstellen auf die Normalform (oder allgemeine Form) einer quadratischen Funktion (s.s. 23) umstellen lässt. Die Normalform einer quadratischen Funktion hat die Form:, wobei a 0 gelten muss und b und c beliebige reelle Zahlen sind. Da gilt hier a = - 0,9 0, b = 0,15 und c = 4
1. Klausur Mathematik EF 2.10.2013 Seite 6 (2) 2 Auch diese Funktion ist eine quadratische Funktion; sie ist in der Scheitelpunktform gegeben. Die Scheitelpunktform (s.s. 23) hat die Form: a 0 und und beliebige reelle Zahlen., mit Bei der gegebenen Funktion ist a = 1 0, und = - 4 und = - 0,1. Alternativ kann man auch die Scheitelpunktform in die Normalform umformen (Klammer mit der binomischen Formel auflösen!) und dann ergibt sich (3) 2 Diese Funktionsgleichung lässt sich umstellen zu f(x) = 19,1x 4, woran man leicht erkennt, dass es eine lineare und keine quadratische Funktion ist. Die Normalform einer quadratischen Funktion ist nicht gegeben; der Funktionsterm ließe sich zwar auf die Form bringen, aber dann wäre a = 0, was bei quadratischen Funktionen ausgeschlossen ist. (4) 2 Diese Funktionsgleichung gehört zu einer quadratischen Funktion; sie ist in der faktorisierten Form gegeben (s.s. 23). Die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion ist mit a 0 und x 1 und x 2 beliebige reelle Zahlen. Im gegebenen Fall ist a = 1, x 1 = - 2 und x 2 = 0. Alternativ kann man die Klammern auflösen und erhält wieder die Normalform einer quadratischen Funktion mit a =1, b = 2 und c = 0. (5) 2 Die gegebene Funktionsgleichung gehört nicht zu einer quadratischen Funktion, da sie sich durch Termumformungen nicht auf die Normalform einer quadratischen Funktion bringen lässt, da es einen Summand x 3 gibt. Hinweise: 3x 3 + 0,1x 2 kann man nicht zusammenfassen, schon gar nicht zu 3,1x 5! Was sollte ein Meter und ein Quadratmeter auch geben; ein "Pentro"-meter? Aufgabe 5 23 a) Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen: Allgemein: Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist; also (1) 3 f ( x) = ( x + 3,5)( x 1,5) = 0 x+ 3,5 = 0-3,5 oder x - 1,5 = 0 +1,5 x = -3,5 oder x = 1,5 (2) 3 f (x) = x 2 7x = x (x-7) = 0, also x = 0 oder x = 7 sind die gesuchten Nullstellen
1. Klausur Mathematik EF 2.10.2013 Seite 7 (3) 2 f ( x) = 4x + 0,8 = 0-0,8 4x = -0,8 : 4 x = -0,2 ist die gesuchte Nullstelle (4) 3 f (x) = (x 6) 2 +3= x² - 12x + 39 = 0 x 1;2 = 6 ± 36 39 = 6 ± - 3 hat keine Lösung / Nullstellen, denn der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ oder kurz : (x - 6)² = - 3 ist unlösbar, da Quadrat nie negativ wird. (5) 3 f (x) = 0,19x 2 + 0,1 = 0 <=> 0,19 x² = - 0,1 : 0,19 <=> x² < 0 Quadratzahlen sind aber immer positiv, also gibt es keine Lösung / Nullstellen. 2 (6) 4 f ( x) = x + 2x 1 = 0 mit "pq-formel" x 1;2 = 1± 1+ 1 = 6 ± 2 also x = 0,414 oder x = - 2,414 sind die gesuchten Nullstellen. b) 5 Bestimme für die erste Funktion f ( x) = ( x + 3,5)( x 1,5) die Koordinaten des Scheitelpunktes S. Der x-wert des Scheitelpunkts liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen; d.h. auf der halben Strecke zwischen den Nullstellen. Die Nullstellen der Funktion sind x 1 = -3,5 und x 2 =1,5 (siehe 5 a) (1), also die Mitte ist die Stelle x S = [-3,5 + 1,5] : 2 = - 2 : 2 = - 1. Dann x S = - 1 einsetzen in f(x) also f(-1) = (- 1 + 3,5)(-1-1,5) = 2,5 (- 2,5) = - 6,25 Der Scheitelpunkt ist also S( -1-6,25 )