Vertikale Verschiebung a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um nach. Es gilt also: g() = f() b) Zeichne den Graphen der Funktion h mit h() = f() ein. Oben oder unten? f() + d mit d > verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach. f() d mit d > verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach. Horizontale Verschiebung Die Graphen der quadratischen Funktionen f und g mit f() 5 g() f() = bzw. g() = (+) 4 sind dargestellt. Vervollständige die Wertetabellen. Was fällt dir auf? Es gilt: g() = f( ). Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um E. nach. Markiere Punkte auf den beiden Graphen, die einander unter dieser Verschiebung entsprechen. Links oder rechts? f( + c) mit c > verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach. f( c) mit c > verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach. Verschiebungen a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f: ) Horizontale Verschiebung um Einheiten nach ) Vertikale Verschiebung um Einheiten nach Es gilt also: g() = f( ) b) Zeichne den Graphen der Funktion h mit h() = f( + ) ein. Datum:. November 8
Vertikale Skalierung a) An jeder Stelle ist der Funktionswert von g doppelt so groß wie der Funktionswert von f. Es gilt also: g() = b) An jeder Stelle ist der Funktionswert von h halb so groß wie der Funktionswert von f. Zeichne den Graphen von h ein. Es gilt also: h() = Streckung oder Stauchung? a f() mit a > den Graphen von f in vertikaler Richtung um den Faktor a. Bei < a < wird der Graph von f in vertikaler Richtung um den Faktor a. Scheitelpunkt verschieben Eine Gleichung der dargestellten quadratischen Funktion f ist f() =. Der Graph der quadratischen Funktion g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f: ) Horizontale Verschiebung um Einheiten nach ) Vertikale Verschiebung um Einheiten nach Eine Gleichung von g ist also g() = f( ) =. Scheitelpunktform Die quadratische Funktion f mit f() = a hat ihren Scheitel im Punkt. Wir verschieben den Graphen von f um S Einheiten in horizontaler Richtung und um y S Einheiten in vertikaler Richtung: f( ) = Die quadratische Funktion g mit g() = a ( S ) + y S hat ihren Scheitel also im Punkt S =.
Horizontale Skalierung Die Graphen der Eponentialfunktionen f und g mit f() g() f() = bzw. g() = 4 sind dargestellt. Vervollständige die Wertetabellen. 4 Es gilt: g() = f( ). Der Graph von g entsteht durch des Graphen von f in horizontaler Richtung. Markiere Punkte auf den beiden Graphen, die einander unter dieser Skalierung entsprechen. Ziehharmonika Der Graph der Funktion h mit ( ) h() = f verläuft durch die Punkte ( ), ( ), ( ), (4 ) und (6 ). Zeichne den Graphen von h ein. Der Graph von h entsteht durch des Graphen von f in horizontaler Richtung. Streckung oder Stauchung? f(b ) mit b > den Graphen von f in horizontaler Richtung um den Faktor b. Bei < b < wird der Graph von f in horizontaler Richtung um den Faktor b. Skalierungen a) Der Graph von g entsteht durch Skalierung des Graphen von f in horizontaler Richtung und in vertikaler Richtung: g() = a f(b ) Lies a und b aus der Abbildung ab: a = b = b) Zeichne den Graphen von h mit h() = f(4 ) ein.
Spiegelungen Der Graph von g entsteht durch Spiegelung des Graphen von f...... an der -Achse. Zeichne den Graphen von g ein:... an der y-achse. Zeichne den Graphen von g ein:... am Ursprung ( ). Zeichne den Graphen von g ein: An jeder Stelle gilt: g() = An jeder Stelle gilt: g() = An jeder Stelle gilt: g() = Gerade Funktionen und ungerade Funktionen Gilt h() = h( ) an jeder Stelle, dann nennen wir h eine gerade Funktion. Der Graph jeder geraden Funktion ist also symmetrisch zur -Achse. Beispiele für gerade Funktionen sind, 4, 6 und cos(). Gilt h() = h( ) an jeder Stelle, dann nennen wir h eine ungerade Funktion. Der Graph jeder ungeraden Funktion ist also symmetrisch zum Punkt. Beispiele für ungerade Funktionen sind,, 5 und sin(). Auf die Reihenfolge kommt es an. Wollen wir in die selbe Richtung verschieben und skalieren, dann kommt es auf die Reihenfolge an: a) Wir strecken die Gerade y = zuerst um den Faktor in vertikaler Richtung: y = Danach verschieben wir die Gerade um nach oben: y = b) Wir verschieben die Gerade y = zuerst um Einheiten nach oben: y = Danach strecken wir um den Faktor in vertikaler Richtung: y = an jeder Stelle ersetzen Gib nach jedem Schritt eine neue Funktionsgleichung an. Wir starten mit f () = e. ) Der Graph von f wird an der -Achse gespiegelt: f () = ) Der Graph von f wird um Einheiten nach links verschoben: f () = ) Der Graph von f wird in horizontaler Richtung um den Faktor gestreckt: f 4 () = 4
Die Funktion sin(4 ) + 5 entsteht schrittweise aus der Funktion sin(). Verschiebung Entscheide in jedem Schritt, ob eine Verschiebung oder eine Skalierung durchgeführt wird. um... Einheiten um den Faktor... sin() sin() sin() + 5 sin( ) + 5 sin(4 ) + 5 Verschiebungen & Skalierungen Skalierung Die Funktion A sin(ω + ϕ) + c entsteht schrittweise aus der Funktion sin(). A >... Amplitude ω >... Kreisfrequenz ϕ >... Nullphasenwinkel Verschiebung um... Einheiten um den Faktor... sin() A sin() A sin(ω ) A sin(ω ( + ϕ ω )) A sin(ω + ϕ) + c Allgemeine Sinusfunktion Skalierung In welchem Schritt ändert sich die Periodendauer? f () = sin() t = π 8 = ϕ = f () = f 4 () = f () = f 5 () = 5
Glockenkurven Links ist der Graph der Funktion f mit f () = e dargestellt. Der Graph von f schließt mit der -Achse eine Fläche mit Inhalt A = π ein. Der Graph von f entsteht durch Skalierung des Graphen von f in vertikaler Richtung: f () = Es gilt: A = Der Graph von f entsteht durch Skalierung des Graphen von f in horizontaler Richtung: f () = Es gilt: A = Der Graph von f 4 entsteht durch Verschiebung des Graphen von f in horizontaler Richtung: f 4 () = Es gilt: A 4 = Die Funktion f mit f() = σ π e ( µ σ ) (σ > ) Gaußsche Glockenfunktion ist eine wichtige Funktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Beschreibe, wie du ihren Graphen aus dem Graphen von f () = e erhalten kannst. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f also mit der -Achse ein? Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4. Lizenz. http://mmf.univie.ac.at