Planung Tag 02 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 45
Mengenlehre VII Mengenoperationen: 1) Vereinigungsmenge: A B { x x A x B} 2) Schnittmenge: A 3) Differenzmenge: B { x x A x B} A \ B { x x A x B} A ohne B Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 46
Mengenlehre VII Mengenoperationen: 4) Das Komplement: Sei A G. Dann ist das Komplement zu A bzgl. G wie folgt definiert: A { x x G x A} Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 47
Übung 10: Mengenoperationen Gegeben sind die Mengen : Stellen Sie in aufzählender Form die folgenden Mengen dar: Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 48 {2;3; 4} {3;6;9}, {1;2;3;4;5;6}, {1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10} C B A G G C B A,, ) ( \ ) ) ) ) ) ) C B A f B A e B A d A A c A A b A a
Mengenlehre VIII Gesetze der Mengenoperationen (Gegeben seien Mengen A, B, C G ) Gesetz Kommutativgesetze A B = B A A B = B A Assoziativgesetze A B C = A B C A B C = A B C Distributivgesetze A B C = A B (A C) A B C = A B (A C) De Morgansche Gesetze A B = A B A B = A B Idempotenzgesetze A A = A A A = A Neutralitätsgesetze A G = G A = A A G = A A = Komplementierung A A = G A A = A = A A B = A B Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 49
Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 50
Zahlenmengen 1) 0 2) 3) 4) { 1;2;3; Die Zahlenmengen: } { 0;1;2;3; } { 0; 1; 2; 3; } { x x x y ist ein Bruch { x y { x x Die natürlichen Zahlen } \{0} } Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen ist ein Dezimalbruch } Die reellen Zahlen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 51
Zahlenmengen Addition: Rechenoperationen in N: Sei N N eine Menge mit n Elementen und M N eine Menge mit m Elementen, mit N M =. Dann erklärt N M als Menge mit n + m Elementen die Addition. Multiplikation: erklärt die Multiplikation, eine n-malige Addition a, b N: a + b N und a b N Umkehrung: Die Aussageformen a + x = b und a x = b, mit a, b N können auch für alle x N falsch sein. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 52
Zahlenmengen Addition: Multiplikation: Rechenoperationen in Z: a,b Z x Z : a + x = b Umkehrung: Die Aussageform a x = b, mit a, b Z kann auch für alle x Z falsch sein. Rechenoperationen in Q: In der Menge der rationalen Zahlen sind die Addition und Multiplikation von Zahlen endlich oft uneingeschränkt möglich. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 53
Zahlenmengen Bezeichnungen: Elementare Rechenregeln in Q: a b Q a b Zähler Nenner Berechnungen an einem Bruch: Erweitern: Kürzen: a a c 3 32 6 0,75 0,75 b bc 4 42 8 a a : c 8 8 : 4 2 0,6 0,6 b b : c 12 12 : 4 3 Vergleich: q 1 p 1 = q 2 p 2 q 1 p 2 = q 2 p 1 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 54
Zahlenmengen Multiplikation und Division von Brüchen: Elementare Rechenregeln in Q: Multiplikation: a b c d = a c b d z.b. 3 4 5 7 = 3 5 4 7 = 15 28 Division: a b : c d = a b d c = a d b c z.b. 3 : 5 = 3 7 = 3 7 = 21 4 7 4 5 4 5 20 Bem.: Ganz Zahlen werden als Brüche betrachtet: a Z a = a 1 Addition und Subtraktion von Brüchen: a ± c = a d ± c b = a d±c b b d b d b d b d z.b. 3 ± 5 = 3 7 ± 5 4 = 21±20 4 7 4 7 4 7 28 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 55
Zahlenmengen Q ist als Zahlenmenge für die höhere Mathematik nicht ausreichend, auch wenn Computer ausschließlich und hocheffektiv in Q rechnen. Rechenoperationen in R: In der Menge der reellen Zahlen sind die Addition und Multiplikation von Zahlen uneingeschränkt möglich. R zusammen mit den beiden Rechenoperationen der Addition und der Multiplikation und den zugehörigen Rechengesetzen bildet damit die Grundlage für die Hochschulmathematik. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 56
Zahlenmengen Q ist als Zahlenmenge für die höhere Mathematik nicht ausreichend, auch wenn Computer ausschließlich und hocheffektiv in Q rechnen. Rechenoperationen in R: In der Menge der reellen Zahlen sind die Addition und Multiplikation von Zahlen uneingeschränkt möglich. R zusammen mit den beiden Rechenoperationen der Addition und der Multiplikation und den zugehörigen Rechengesetzen bildet damit die Grundlage für die Hochschulmathematik. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 57
Zahlenmengen Rechengesetze für (a, b, c, 0,1, a 1 R) Operationen: + Assoziativgesetz a ( b c) ( a b) c a ( bc) ( a b) c Kommutativgesetz Existenz des neutralen Elements Existenz des inversen Elements Distributivgesetz a b b a a 0 a a b ba a 1 a 1 a ( a) 0 a a 1 ( a 0) a ( b c) a b a c Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 58
Zahlenmengen II Die Menge, zusammen mit den zwei Verknüpfungen und + und den Rechengesetzen, bezeichnen die Mathematiker als Körper. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 59
Übung 12: Zahlenmengen Nicht alle Zahlenmengen sind Körper. Welche der Rechengesetze, die wir für kennen gelernt haben, gelten nicht in,, 0,? Wie nennt man die beiden Ausführungsrichtungen des Distributivgesetzes? Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 60
Zahlenmengen Vereinbarungen zu den Rechengesetzen für (a, b R ) a ( b) a b 1 a a 1, (a 0) ab a b b a b 1 a, a 0 a b a + b Alle weiteren Beziehungen müssen bewiesen werden!!! Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 61
Zahlenmengen Folgerungen aus den Rechengesetzen für (a, b R) Es existiert nur eine Null. Es existiert nur eine Eins. Für alle a existiert nur je genau ein Inverses Element für + und (a0). ( a)b ab ( 1) a a a 0 0 ( a 1 ) 1 a ( a) ( b) ab ( a) a a b 0 a 0 b a b c d ac bd 0 (uvm.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 62
Zahlenmengen Wdh.: elementare Rechenregeln (aus der Schule bekannt) 1. Klammern werden immer zuerst ausgerechnet. 2. Potenzen werden nach Klammern ausgerechnet. 3. Punktrechnung wird nach Potenzen ausgerechnet. 4. Strichrechnung wird nach Punktrechnung ausgerechnet. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 63
Zahlenmengen Bezeichnungen zu Rechenoperationen a + b = s Die Summe (Ergebnis der Addition) 1. Summand 2. Summand a b = d Die Differenz (Ergebnis der Subtraktion) Minuend Subtrahend a b = p Das Produkt (Ergebnis der Multiplikation) 1. Faktor 2. Faktor a: b = q Der Quotient (Ergebnis der Division) Dividend Divisor Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 64
Intervalle Intervalle I R heißt Intervall, wenn mit beliebigen a, b I auch jede Zahl x zwischen a und b zu I gehört. 1) Endliche Intervalle (a, b R und a < b) [ a; b] { x a x b} ] a; b] { x a x b} [ a; b[ { x a x b} ] a; b[ { x a x b} abgeschlossenes Intervall halboffene Intervalle offenes Intervall Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 65
Übung: Intervalle Für welche Mengen stehen die folgenden Intervalle? 1) [ a; a ] 2) ] a; a[ 3) ]0;4[ 4) ] 1; 2[ Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 66
Intervalle Intervalle I Die Symbole und sind wie folgt definiert: x R gilt x <. x R gilt x >, R 2) Unendliche Intervalle (a, b R) [ a; [ { x a x} ] a; [ { x a x} ] ; b[ { x x b} ] ; b] { x x b} Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 67
Intervalle Besondere Intervalle: + + 0 - - 0 Intervalle II ] 0; [ [ 0; [ ] ;0[ ] ;0] Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 68
Übung: Intervalle I Für welche Mengen stehen die folgenden Intervalle? 1) ] ; ] 2) ] 5; [ 3) ]0; [ 4) ] ; 2[ Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 69
Potenzen Potenz a n Exponent Basis Es gelten die folgenden Rechengesetze: a n a m = a n+m a n m = a n m a n b n = ab n a nm = a (nm ) Definition und Folgerungen: Def. : a R, n N a n a a n mal a 1 1 a a 0 a0 = 1 n Z ist damit möglich. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 70