Stroppel/Sändig Musterlösung 6. 9. 2, 24min Aufgabe (8 Punkte) Gegeben sind die Mengen { } { M = z C z i Im(z +i) und M 2 = z C } 4 z i = z +i in der komplexen Zahlenebene. (a) Skizzieren Sie M und M 2. (b) Lesen Sie aus Ihrer Skizze ab, welche der komplexen Zahlen, die in beiden Mengen liegen, den kleinsten Betrag haben (d.h. am nächsten an z = liegen) und geben Sie diesen minimalen Betrag an. (a) Verwendet man die Darstellung z = x + yi erhält man aus der linken und rechten Seite der Bedingung für M x+yi i = x+(y )i = x 2 +y 2 2y + bzw. Im(x+yi+i) = y +. Die Quadrate müssen daher die Beziehung x 2 +y 2 2y + y 2 +2y +, erfüllen, bzw. nach y aufgelöst ergibt sich y x 2 /4. Die Menge M besteht also aus den komplexen Zahlen die zu einer gestauchten Parabel mit Scheitel (, ) gehören oder darüber liegen. (Da nur positive y-werte auftreten, erfüllen diese Punkte auch die ursprüngliche Ungleichung.) Für die Punkte z = x+yi, die zu M 2 gehören, gilt x2 +(y ) 2 = 4/ x 2 +( y) 2 x 2 +(y ) 2 = 4. Diese Gleichung beschreibt einen Kreis um i mit Radius 2. Im(z) M 2 + i i 2 + i M 2 Re(z) Seite von 8
(b) Da der Mittelpunkt des Kreises auf der positiven imaginären Achse liegt, fällt der Abstand der Kreispunkte zum Ursprung monoton ab, wenn man von 3i nach i wandert. Die Punkte mit kleinstem Abstand zum Ursprung sind daher die Schnittpunkte mit der Parabel, also ±2 + i mit dem Betrag 5. Seite 2 von 8
Aufgabe 2 (4 Punkte) Gegeben sind die Vektoren f =, f 2 = 2 und der Punkt P = (2, 2,)., f 3 = (a) Zeigen Sie, dass die Vektoren f,f 2,f 3 paarweise orthogonal sind, aber kein Orthonormal-System bilden. (b) Sei E die Ebene senkrecht zu f durch den Punkt P. Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E an und bestimmen Sie den Abstand der Ebene vom Ursprung O. (a) Test auf Orthogonalität: f f 2 = +( ) +2 =, f f 3 = ( )+( ) +2 =, f 2 f 3 = ( )+ + =. Nicht normiert: f 2 = ++4 = 6, f 2 2 = ++ = 2, f 3 2 = ++ = 3, Es genügt natürlich nur bei einem Vektor festzustellen, dass er nicht normiert ist. (b) f p = 2+( ) ( 2)+2 = 6 Beschreibung der Ebene in Hessescher Normalform: (auf positive rechte Seite achten) 6 f x = 6 Abstand zum Ursprung: 6 Seite 3 von 8
Aufgabe 3 (6 Punkte) Gegeben ist das reelle lineare Gleichungssystem Ax = b mit 2 4 A = A α =, b = 2, α R. 2 6 α (a) Für welche Werte des Parameters α ist das System eindeutig lösbar? (b) Geben Sie den Rang der Matrix A α in Abhängigkeit von α an. (c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems für α = 3. (d) Gibt es einen Parameterwert α, für den in einer Lösung des Gleichungssystems alle Variablen den gleichen Wert (d.h. x = x 2 = x 3 ) annehmen? Wir betrachten die erweiterte Matrix [A α b] = 2 4 2 2 6 α Durch Zeilenumformungen vereinfacht man sie zu 2 4 [Ãα b] = 2. α+ 6 (a) An der letzten Zeile von [Ãα b] erkennt man, dass das System für alle α R\{ } eindeutig lösbar ist. Alternativ: Das System ist genau dann eindeutig lösbar, wenn deta α = 2α 2 ist, also für α R\{ }. (b) Aus der obigen Darstellung von [Ãα b] folgt: Rg(A α ) = 3 für α, Rg(A ( ) ) = 2. (c) Für α = 3 erhalten wir mit den gleichen Umformungen wie oben das Gleichungssystem 2 4 [Ã3 b] = 2. 2 6 Mit Rückwärtseinsetzen erhält man jetzt die Lösung: x = (,5, 3). Seite 4 von 8
(d) Im Fall x = x 2 = x 3 folgt aus der zweiten Zeile von [Ãα b], dass 2x = 2 ist und somit x = x 2 = x 3 = gilt. Aus der dritten Zeile sieht man dann, dass α = 5 sein muss. Einsetzen in die erste Zeile ergibt auch keinen Widerspruch; also ist (,,) eine Lösung für α = 5. Seite 5 von 8
Aufgabe 4 (6 Punkte) Gegeben sei die folgende Quadrik: 2x 2 2x x 2 2x x 3 +2x 2 2 2x 2 x 3 +2x 2 3 = Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik. Um die euklidische Normalform der Quadrik zu bestimmen, muss man die Matrixbeschreibung der Quadrik aufstellen: ( ) 2 = x x 2 x 3 2 2 }{{} A x x 2 x 3 Das charakteristische Polynom von A ist χ A (λ) = 9λ+6λ 2 λ 3. Somit sind die Eigenwerte von A λ = 3, λ 2 = 3 und λ 3 =. Daraus ergibt sich die euklidische Normalform der Quadrik: 3y 2 3y 2 2 + = Die Quadrik ist ein elliptischer Zylinder (bzw. Kreiszylinder, da die Hauptachsen gleiche Länge haben). Seite 6 von 8
Aufgabe 5 (2 Punkte) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen. ( (a) n ) n 2 +2 (b) lim n + lim ln(sin(π/4+/n)) n + (a) (b) n n 2 +2 = (n n 2 +2)(n+ n 2 +2) n+ 2 = n 2 +2 n+ n 2 +2 = lim n n 2 +2 = lim 2 n + n + n+ n 2 +2 }{{} =. lim ln(sin(π/4+/n)) = n + }{{} ln(sin( lim π/4+ /n)) n + }{{} ln,sin stetig = ln(sin(π/4)) = ln( 2/2) = /2ln(2). 2 Seite 7 von 8
Aufgabe 6 (6 Punkte) (a) Untersuchen Sie die Reihe k= (b) Bestimmen Sie den Wert der Reihe (c) Bestimmen Sie den Wert der Reihe k 2 +k 2 k auf Konvergenz. ( ) k 4k k!. k= k= ( ) 5 + ( 2)k k 6 k. (a) Es ist woraus a k+ a k = (k +)2 +(k +) 2 k 2 k+ k 2 +k = k 2 +3k +2 2 k 2 +k lim a k+ k a k = 2 lim +3/k +2/k 2 = /2 k +/k }{{} folgt. Das Quotientenkriterium liefert die Konvergenz der Reihe. Alternative: Aus k 2 +k 2k 2,k folgt k k k 2 +k k 2 k k 2. Wegen lim k a =, a R + und k + lim k k = folgt weiter mit dem Sandwich-Theorem: lim k k2 +k =. k + k + Wir überprüfen nun mit dem Wurzelkriterium, ob wir die Konvergenz entscheiden können: lim k + k ak = lim k + Damit folgt die Konvergenz der Reihe. k k2 +k = 2 k 2 lim k + k } k2 {{ +k } = 2 <. (b) (c) ( ) k4k k! = ( 4) k = k! k= k= k= ( 4) k = exp( 4) = /e 4. k! k= 5 k + ( 2)k 6 k = k= ( ) k +( ) k 5 3 Es handelt sich um zwei absolut konvergente geometrische Reihen und es gilt k= 5 k + ( )k 3 k = k= ( ) k + 5 k= ( 3) k = /5 + +/3 = 5 4 + 3 4 = 2. Seite 8 von 8
Aufgabe 7 (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (a) lim x x+tanx x+sinx (b) lim x + ( ) sinx x (a) Der Grenzwert führt auf einen unbestimmten Ausdruck. Die Regel von l Hospital ist anwendbar und daher gilt (b) lim x + ( ) sinx = lim x x+tanx lim x x+sinx = lim + cos 2 x x +cosx = 2 2 = x + exp = lim x + exp ( ln ( ) ) sinx = lim x exp( sinx lnx) x + sinx xlnx }{{} x }{{} = exp() = e = }{{} Seite 9 von 8
Aufgabe 8 (7 Punkte) Gegeben ist die Funktion f: R 2 R: (x,y) x 3 y 2 2x. (a) Bestimmen Sie alle kritischen Stellen von f. Welcher Typ liegt jeweils vor? (b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f auf der Geraden y = x. (a) Mit dem Gradienten ( ) 3x 2 2 gradf(x,y) = 2y folgt aus der notwendigen Bedingung gradf = : Aus der Hesse-Matrix 6 y = und x = ± 3 ( ) 6x Hf(x,y) = 2 ergibt sich an der Stelle ( 6/3,) ein Sattelpunkt und an der Stelle ( 6/3,) ein Maximum. (b) Die Gerade lässt sich durch ( ) t C: R R 2 : t t parametrisieren. Damit ist die auf Extrema zu untersuchende Funktion einer Veränderlichen h(t) = f(c(t)) = t 3 (t ) 2 2t = t 3 t 2 mit den Ableitungen h (t) = 3t 2 2t und h (t) = 6t 2. Die notwendige Bedingung h (t) = führt auf t = und t 2 = 2 3 mit h (t ) = 2 und h (t 2 ) = 2. Somit sind die lokalen Extrema: An der Stelle (, ) lokales Maximum mit Wert f(, ) = An der Stelle (2/3, /3) lokales Minimum mit Wert f(2/3, /3) = 3/27 Seite von 8
Aufgabe 9 (8 Punkte) Gegeben seien die Parameter α R und β R sowie das Vektorfeld x 2αxy +3sin(y)+5yz f: R 3 R 3 : y αx 2 +3xcos(y)+5xz. z βxy (a) Für welche Parameter α, β besitzt f ein Potential? (b) Berechnen Sie ein Potential von f für die Parameterwerte aus (a). (c) Sei nun β = 5 und folgende Parametrisierung der Kurve K gegeben. +t C: [,] R 3 : t tπ Bestimmen Sie alle α R für die gilt. K f(s) ds = (a) R 3 ist einfach zusammenhängend, die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Potentials lautet somit βx 5x (β 5)x = rot(f) = 5y βy = (5 β)y, 2αx+3cos(y)+5z 2αx 3cos(y) 5z also α R, β = 5. (b) Wegen grad(u) = f gilt zunächst U(x,y,z) = 2αxy +3sin(y)+5yzdx = αx 2 y +3xsin(y)+5xyz +c (y,z). Mit d dy U(x,y,z) = αx2 +3xcos(y)+5xz + d dy c (y,z) =! αx 2 +3xcos(y)+5xz folgt c (y,z) = c 2 (z) und schließlich d d U(x,y,z) = 5xy + dz dz c 2(z) =! 5xy c 2 (z) = c R. Ein Potential ist somit U(x,y,z) = αx 2 y +3xsin(y)+5xyz. Seite von 8
(c) Für β = 5 ist das Kurvenintegral wegunabhängig. = f(s) ds = U(C()) U(C()) = α4π +6sin(π) = α4π K Die Bedingung ist somit für α = 4π erfüllt. Alternative: Kurvenintegral: K f(s) ds = = = = = f(c(t)) C (t)dt = 2α(+t)tπ +3sin(tπ) α(+t) 2 +3(+t)cos(tπ) π dt 5(+t)tπ 2α(+t)tπ +3sin(tπ)+απ(+t) 2 +3π(+t)cos(tπ)dt απ +4απt+3απt 2 +3sin(tπ)+3π(+t)cos(tπ)dt [ απt+2απt 2 +απt 3 3 π cos(tπ)+3(+t)sin(tπ) ] 3 sin(tπ)dt [ απt+2απt 2 +απt 3 3 π cos(tπ)+3(+t)sin(tπ) ] + 3 π [cos(tπ)] = [ απt+2απt 2 +απt 3 +3(+t)sin(tπ) ] = [απ +2απ +απ] = 4απ Die Bedingung ist somit für α = 4π erfüllt. Seite 2 von 8
Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe (7 Punkte) Gegeben ist die Menge M = {v,v 2,v 3,v 4 } von vier Vektoren des R 4 mit 2 4 v =, v 2 = 4, v 3 = 2, v 4 = 3 3 2 7 6 9. (a) Stellen Sie v 4 als Linearkombination der Vektoren v und v 2 dar, d.h. bestimmen Sie Parameter α,β R so, dass v 4 = αv +βv 2. α = 4 β = 3 (b) Stellen Sie v 4 als Linearkombination der Vektoren v 2 und v 3 dar, d.h. bestimmen Sie Parameter γ,δ R so, dass v 4 = γv 2 +δv 3. γ = 5 δ = 2 (c) Geben Sie eine Basis B M des von M erzeugten Vektorraums W = L(M) aus Vektoren von M an. B : {v,v 2 } oder beliebige andere zwei (d) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis B für W in dem Sie das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren auf die Basis B anwenden. B : { 3 v, 3 (,,,) } bzw. andere je nach Wahl der Basis Seite 3 von 8
Aufgabe (2 Punkte) Bestimmen Sie folgende Ableitungen in den jeweiligen Definitionsbereichen. d dx xe2x = d x 3 dx(x+) = 2 (2x+)e 2x x+7 (x+) 3 Seite 4 von 8
Aufgabe 2 (4 Punkte) Gegeben ist die Matrix a+bi A = i C3 3 mit a,b R. i (a) Geben Sie die Determinante von A in Abhängigkeit von a und b an. deta = a+bi (b) Für welche Paare (a,b) R 2 haben alle Eigenwerte die algebraische Vielfachheit? (c) Für welche Werte von a und b ist der Vektor (a,b) R 2 {(,),(, )} i (a,b) = (,2) ein Eigenvektor? Seite 5 von 8
Aufgabe 3 (3 Punkte) Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Stufe 3 der folgenden Funktionen um den angegebenen Entwicklungspunkt x. (a) f: R R: x cos(x/2), x = T 3 (f,x,) = 8 x2. (b) g: R {} R: x ln(x 2 ), x = T 3 (g,x,) = 2(x ) (x ) 2 + 2 3 (x )3 Seite 6 von 8
Aufgabe 4 (6 Punkte) Berechnen Sie folgende Integrale. (x+) ( 5e x sin(2x) ) dx = [5xe x + 2 (x+)cos(2x) 4 ] sin(2x) cos(x) ( sin(x) 3 +3sin(x) 2 +3sin(x)+ ) dx = [ ] 4 (sin(x)+)4 3x 2 +2 x 3 +2x dx = [ ln x 3 +2x ] 2 3x 2 +2 x 3 +2x dx = ( ) 4 ln 3 Seite 7 von 8
Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 5 (7 Punkte) Bestimmen Sie für die Funktion f: R 2 R: (x,y) sin(x)e x y den Gradienten gradf(x,y) = (cos(x)+sin(x))e x y sin(x)e x y und die Hesse-Matrix Hf(x,y) = 2cos(x)e x y ( cos(x)+sin(x) ) e x y ( cos(x)+sin(x) ) e x y sin(x)e x y. Bestimmen Sie das Taylorpolynom T 2 ( f,(x,y),(π/2,) ) der zweiten Stufe um den Entwicklungspunkt (x,y ) = (π/2,). T 2 ( f,(x,y),(π/2,) ) = e π 2 ( +(x π 2 ) (y ) (y )(x π 2 )+ 2 (y )2 ) Seite 8 von 8