C7 Differentgleichungen (DG) C7.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen Motivation: z.b. Newton 2. Gesetz: (enthalten Ableitungen der gesuchten Funktionen) [Stoffgliederung im Skript für Kapitel C7 weicht ab vom Altland-Delft-Text] Geschwindigkeit: Ort: Kraft Beschleunigung: Typische Problemstellung: für orts - und/oder zeitabhängige Kraft, bestimme die Trajektorie! Das führt zu einer "Differentialgleichung" (DGL): Beispiel 1: Harmonischer Oszillator in einer Dimension: "Rückstellkraft" "Antriebskraft" Beispiel 2: Radioaktiver Zerfall Zerfallsrate (proportional zur Zahl der Atome!) Zahl der radioaktiven Atome Zerfallskonstante [Dimension: 1/Zeit] Anfangswert: Atome zum Zeitpunkt. Aufgabe: finde! Lösung: Schlau geraten: welche Funktion ist proportional zu ihrer Ableitung? Exponentialfunktion! Also Ansatz: Grafische Analyse: Steigung negativ Steigung weniger negativ kleines größeres (3) in (1): Anfangswert: Gesuchte Lösung:
Weitere Beispiele: wichtige Differentialgleichungen in der Physik: Ort Mechanik: Newton 2: (gewöhnliche DGL 2. Ordnung): (gesuchte Funktion hängt nur von einer Variable ab, hier t) (Ableitungen 2. Ordnung kommen vor) Elektrodynamik: Maxwell-Gleichungen (gekoppelte partielle DGL 1. Ordnung) Magnetfeld Elektrisches Feld (nur Ableitungen 1. Ordnung kommen vor) (gesuchte Funktion hängt von mehreren Variablen ab, hier x,y,z,t) Quantenmechanik: Schrödinger-Gleichung: (partielle DGL 2. Ordnung) Hydrodynamik: Navier-Stokes-Gleichung: (nicht-lineare partielle DGL 2. Ordnung) (gesuchte Funktion kommt nicht nur linear vor) Wellenfunktion Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit AllgemeinerTrick: durch Einführen neuer Variablen lassen sich höhere Ableitungen eliminieren; der Preis ist ein System von mehreren DGL. Beispiel: Newton 2: lässt sich schreiben als: Im Folgenden betrachten wir folglich nur DGL, die nur erste Ableitungen enthalten. Definition: Sei auf einem Gebiet eine stetige Funktion gegeben, d.h. ein stetiges (zeitabhängiges) Vektorfeld. Dann ist ein "System von gewöhnlichen Differentialgleichungen (DGL) erster Ordnung". (gesuchte Vektorfunktion hängt nur von einer Variable ab, partiellen Ableitungen kommen nicht vor) (keine höheren Ableitungen) Gesucht wird nach Lösung(en) auf einem Intervall, also eine differenzierbare, vektorwertige Funktion mit den Eigenschaften: und
"Anfangswertproblem": Finde Lösungen mit "Anfangsbedingungen" so, dass Visualisierung der Fragestellung für n = 2: Gegeben: Kraft als Funktion von Ort und Zeit: Zeit Raum Kraft Gesucht: Trajektorie Raum Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen einer DGL? Ist in der Physik immer gewährleistet, falls Problem physikalisch sinnvoll gestellt ist! Mathematisch gibt es für gewöhnliche DGL erster Ordnung mehrere denkbare Möglichkeiten (abhängend von der Form der Gleichung, d.h. der Form von ): - es gibt gar keine Lösung, - es gibt eine und genau eine Lösung, ("eine eindeutige") - es gibt mehrere Lösungen, die die angegebene Anfangsbedingung erfüllt erfüllen - oder: es gibt zwar eine Lösung, aber nur in einer hinreichend kleinen Umgebung des Anfangswertes ("lokale Existenz") - oder: es existiert eine Lösung für alle ("globale" Lösung) Theorie der Existenz v. Lösungen einer gegebenen DGL ist i.a. ein schwieriges mathematisches Problem!
Satz (Picard & Lindelöf): Falls Lipshitz-stetig in und stetig differenzierbar in ist, existiert eindeutig eine lokale Lösung des Anfangswertproblems. "Stetig differenzierbar": Ableitung ist stetig, d.h., Funktion hat "keine Zacken": "Lipshitz-stetig": Steigung zwischen zwei beliebigen Punkte auf der Kurve ist begrenzt, d.h., Funktion hat "keine Sprünge": Steigung endlich: Steigung unendlich: Bemerkungen zur physikalischen Anwendung: (i) Satz (1) gewährleistet Determinismus a la Newton: Spezifikation von Anfangsort und - Geschwindigkeit [in Gl. (c.1), (c.2)] legt weitere Bewegung eindeutig fest! (ii) Allgemeiner: DGL sind für sinnvolle Beschreibung physikalischer Prozesse geeignet. C7.2 Lösungstrategien im Eindimensionalen Im Folgenden: stetig differenzierbar a) Trivialfall: rechte Seite unabhängig von x Integration: Lösung: Fazit: Das Lösen von (1) entspricht dem Finden der Stammfunktion v. g(t) b) "Autonome" DGL: [siehe Altland-Delft, Abschnitt C7.4] rechte Seite hat keine explizite Abhängigkeit von t [explizite t-abhängigkeit wäre gegebn, falls ] Umstellen: Sei die Stammfunktion von also:
Definiere: Kettenregel Dann: Integration: Auflösen nach x(t): Umkehrfunktion v. H Kurzfassung dieser Rechnung: "Trennung (oder Separation) der Variablen" x nach links, t nach rechts: Fläche = letzter Schritt: Auflösen nach x(t)... Beispiel 3: mit Anfangsbedingung: Grafische Analyse: Steigung = 1 je größer, je größer die Steigung! je größer, je größer die Steigung!
Beispiel 3, explizit gerechnet, mittels "Trennung der Variablen" (Gl. j.1-4): Trennung der Integration: Einsetzen der Anfangsbedingung: Umkehrfunktion: (6) aufgelöst nach x(t): Check: Produktregel Die Lösung gilt nur im dann c) "Separable DGL" (lösbar durch Trennung oder "Separation" der Variablen) [analog zu (h.4), aber mit extra g(t)] Umstellen: Stammfunktion: also Substitution: Kettenregel Differenzieren: (6) Stammfunktion: Einsetzen: letzter Schritt: auflösen nach x(t)
Kurzfassung: Lösungschema für separable DGL: WICHTIG! Trennen: Ausgedrückt durch Stammfunktionen: gemeint ist: Umkehrfunktion: Beispiel 4: mit Grafische Analyse Bereich: Steigung Trennen: divergiert wie verschwindet wie Anfangsbedingung (2): Umkehrfunktion = gesuchte Lösung: Steigung [für t > würde (7) die Lösung x(t), liefern, was nicht erlaubt ist, da x(t) > x(0) = 1] Fazit: Lösung existiert nur mit
C7.3 Autonome DGL in zwei Dimensionen Betrachte DGL mit stetig differenzierbaren "Autonom": rechte Seite ist zeitunabhängig: Gesucht sind Lösungen Direkte Lösung ist oft schwierig. Trick: Überführung in 1-dimensionale DGL! Interpretiere die gesuchte Lösung als eine durch parametrisierte Bahnkurve; entlang dieser ist eine von abhängige Variable: Kettenregel Wir erhalten eine 1-dimensionale DGL für Man merke sich (5) mit der Eselsbrücke: Beispiel 5: Newton 2: (siehe C7d.2,3) (m = Masse, p = Impuls) (= Kraftfeld) Bahnkurve: DGL (o.7) für Bahnkurve: Eselsbrücke (o.7)! Trennen der Variablen: Annahme: F(x) habe die Form: (Vorzeichen per Konvention) Fazit: Energie-Erhaltung!
Beispiel 6: Feldlinien in 2 Dimensionen sei ein Vektorfeld. Zeichne die Feldlinien! Strategie: Finde Raumkurve mit Dann ist Vektorfeld ist tangential an Raumkurve (verschiedene Anfangsbedingungen liefern verschiedene Raumkurven) In 2d: Feldlinie: DGL für Feldlinie: Eselsbrücke (o.7)! Beispiel: DGL für Feldlinie: Trennen, Umgestellt: Feldlinien bilden Kreise! Konstante unabhängig von x und y