...... Name, Matr.-Nr, Unterschrift Klausur Strömungsmechanik II 05. 08. 011 1. Aufgabe a Konti: Impuls: Energie: u x + v = 0 ρ u u x + v u ρ c p u T x + v T = η u = λ T dimensionslose Größen: ū = u u ; v = η = v ; ρ = ρ ; x = x u ρ L ; ȳ = L ; η η ; c p = c p c p ; T = T T ; λ = λ λ Konti: u ū L + v Impuls: = 0 = keine Kennzahl u ρ L ρ ū ū ρ ū ū ū ū = η η u ū L = η ū η u L L ρ u }{{} K 1 Energie: ρ c p u T L ρ c p ū T K 1 = ρ c p ū T T = η L ρ u T λ T L = λ T L ρ c p u T }{{} K L λ T λ T K = λ L ρ c p u
b K = K 1 = η L ρ u = 1 Re λ η = 1 L ρ c p u η P r 1 Re c dimensionslose Dgl.: Konti: Impuls: Energie: ρ ū ū ρ c p ū T ū + v = 0 ū T konstante Stoffwerte: ρ = c p = λ = η = 1 = 1 ū Re η = 1 P r 1 Re λ T Vergleich von Impuls- und Energiegl.: Die Gleichungen werden identisch, wenn man in der Energiegleichung T durch u ersetzt und fordert, dass Pr = 1 ist. d.h. η c p λ = 1
. Aufgabe h 1 L 1, x = x L, u = u, p = p, u W ρu W =, v = v L, h 1 u W h 1 ρ = ρ ρ = 1, x-impuls: h1 1, Re h 1 L L 1 η = η = 1 η u ρ W x = u u x = 1 L Re h 1 x = 1 L Re h 1 L u u x + u W h 1 Lh 1 x + v u [ Re h 1 L u, v u = ρu W L + η u ρu W L x + L u u x + v u = 1 v Re h 1 x + η u uw L + h 1 u L x + u gegeben ] u x + u W h 1 u Reibungskräfte sind sehr viel größer als Trägheitskräfte Re h 1 L 1. Die Änderung der Schubspannung in -Richtung ist sehr viel größer als die Änderung der Normalspannung in x-richtung h 1 L 1. Die Änderung des Druckes in -Richtung kann gegenüber der Änderung des Druckes in x-richtung vernachlässigt werden. dimensionsbehaftete vereinfachte x-impulsgleichung: dp dx = η u
3. Aufgabe a 90 gedrehter Dipol: Multiplikation mit i F z = im πz - oder - Drehung mittels φ = φ π F z = = M πre iφ eiπ/ = M cos π πz + i sin π = im πz M πre iφ π/ Komplexe Potentialfunktion des gesamten Strömungsfeldes: F z = im πz + u z b Ψ = Mx πx + + u oder Φ = M πx + + u x u = Φ x = Mx πx + + u M sin φ cos φ = + 1 πr v = Mx πx + = Mcos φ sin φ πr c v = 0 sin φ = cos φ φ = oder r ± n 1π 4 n = 1... 4 d Staupunkte: u = v = 0 v = 0 aus Teilaufgabe c einsetzen in u: M sin φ cos φ u = 0 1 = 0 πr = sin φ cos φ πr M Mit φ = π/4 oder φ = 5π/4 folgt: sin φ cos φ = 1/ Mit φ = 3π/4 oder φ = 7π/4 folgt: sin φ cos φ = 1/ π Da r = R = 1 und M < 0 gefordert, muss gelten: M = 1 M = π und somit φ 1 = 3π/4 oder φ = 7π/4 r S1, φ S1 = 1, 3π/4, r S, φ S = 1, 7π/4. e Staupunktstromlinien: Ψ = Mr cos φ πr Ψ 1 = Ψφ 1 = 3π/4, R = 1 = π 1/ π + u r sin φ + 1/ = Ψ = Ψφ 1 = 7π/4, R = 1 = π 1/ 1/ = π Linie 1: πr cos φ = + r sin φ = cos φ + r sin φ πr r
r sin φ r cos φ = 0 r 1, = 1 ± + 4 sin φ cos φ sin φ Linie : = cos φ r + r sin φ r sin φ + r cos φ = 0 r 3,4 = 1 sin φ ± + 4 sin φ cos φ f Obere Staupunktstromlinie ist Stromlinie gehörend zu R = 1, φ = φ 1 = 3π/4, also Linie 1. Asmptote: 1 = r sin φ = + cos φ r Mit r folgt φ 0 oder φ π. In beiden Fällen gilt: lim 1 =. r g Stromlinienbild: - x v = 0 Staupunkt
4. Aufgabe a Geschwindigkeitsprofil für t > 0: u,t x U 0 t > 0 b Räumlich ausgebildetes Geschwindigkeitsprofil u x = u x = v x = v x = 0 Druck entlang der Platte konstant x = 0 Einführen in Navier-Stokes-Gleichungen: v u ρ t + v u v ρ t + v v = 0 = η u = + η v Aus Konti folgt mit der Haftbedingung v = 0 = 0 v, t = konst. = 0 Einsetzen: u t = ν u = 0 c Anfangsbedingungen t = 0: u 0, t = 0 = 0 Randbedingungen t > 0: u = 0, t > 0 = U 0 und u, t > 0 = 0. d Geschwindigkeitsprofil ξ = fu/u 0 : ξ= νt 1 u U0 Die Profile sind für verschiedene Zeitpunkte t > 0 ähnlich, d.h. sie lassen sich durch Skalierung von ineinander überführen. Im Gegensatz zur Skalierung mit der Grenzschichtdicke δ wird hier eine Skalierung mit Hilfe der Viskosität und der Zeit herangezogen.
5. Aufgabe a Temperaturverhältnis: c p T 0 = c p T + u c p T 0 = c p T + M γrt mit c P = γ γ 1 R c p T 0 = c p T T 0 T = 1 + γ 1 1 + γ 1 M M b Kanal A: Mit A A /A e = 0.5 folgt aus Diagramm: M ea,1 = aus T 0 T = 1 + γ 1 M T p γ folgt mit = : T 0 p 0 p ea,1 = p 0A 1 + γ 1 γ MeA,1 mit p = γm 1 γ 1 p 1 [ γm ] ea,1 γ 1 p ea = p ea, = p ea,1 [ = p 0A 1 + γ 1 ] γ [ MeA,1 γm ] ea,1 γ 1 [ ] = p 0A [γ 1] γ 7 c Der statische Druck im Querschnitt e von Kanal B entspricht dem statischen Druck in [ Querschnitt e in Kanal A, also p eb = p ea = p 0A 1 + M ] γ [ ea,1 1 + γ γ+1 M ea,1 1 ]. d Kanal B: p 0B, = p 0B,e = p ea 1 + γ 1 M eb γ Mit A B /A B = 0.5 folgt aus Diagramm: M B,1 = 3 Aus b: p 0B = p 0B,1 = p 0B, γ+1 M B,1 1 + M B,1 γ γm B,1 γ 1 1
= p ea 1 + γ 1 = p ea 1 + γ 1 M eb M eb γ γ+1 M B,1 γ 1 + M B,1 4.5 4.5γ 3.5 γ γ γm 17 B,1 γ 1 1 1 e Machzahlverläufe M 3 Kanal B Kanal A 1 * e x
6. Aufgabe a Grenzschichtprofile: δ δ δ u a u u laminar turbulent Ablöseprofil u a u a u b Nein. Da bei der Methode der Differentialgleichungen bei der korrekten Wahl der beschreibenden Differentialgleichungen schon mehr Informationen über die genaue Beziehung zwischen den Einflussgrößen in die Ermittlung der Kennzahlen eingeht, kann es passieren, dass mit dieser Methode weniger Kennzahlen als mit der Dimensionsanalse ermittelt werden. Abhängig vom Gleichungssstem und den eingeführten Bezugsgrößen werden unterschiedliche Kennzahlen ermittelt. c Drehungsfreiheit: rot v = 0 v x u = 0 h px, 1η x + h px, 1η x = 0 erfüllt! Bestimmungsgleichung: Kontinuitätsgleichung u x + v = 0 h px, h px, = 0 p = 0 1η x 1η Es gilt also für das Potential ϕ = h px,. Die Bestimmungsgleichung ist die Laplace Gleichung für den 1η Druck. d Vorteile einer turbulenten Grenzschicht: Erhöhte Wärmeübertragung zwischen Festkörper und umgebendem Fluid Erhöhter Impulsaustausch mit der umgebenden Strömung, dadurch spätere Ablösung Erhöhter Stoffaustausch Maßnahmen zur Einleitung eines vorzeitigen laminar-turbulenten Umschlags: Stolperdraht Stark erhöhte Oberflächenrauhigkeit Wirbelgenerator...