Vorlesung im WS 2008/09 von H.-P. Gail & W. M. Tscharnuter Entstehung des Planetensystems Übungsaufgabe: Stationäre Akkretionsscheibe 8. Dezember 2008 Zusammenfassung In der Endphase der Entwicklung einer Akkretionsscheibe um einen Stern ist diese bis zu relativ großen Entfernungen vom Stern quasistationär. In der Näherung eines Einzonenmodells wird der Aufbau einer solchen Akkretionsscheibe durch ein einfaches System von Gleichungen beschrieben. Diese Gleichungen sollen durch ein iteratives Verfahren gelöst werden. Mit einem auf diese Weise konstruierten einfachen Modell lassen sich bereits einige wichtige Rahmenbedingungen bei der Entstehung des Sonnensystems festlegen. 1 Gleichungen des stationären Einzonenmodells 1.1 Aufbaugleichungen Der Aufbau stationärer Akkretionsscheiben in der Einzonennäherung wird durch folgenden Satz von Gleichungen beschrieben: 1. Keplersche Umlauffrequenz Ω K im Abstand s vom Stern GM Ω K = s 3. 1) Hierin ist G die Gravitationskonstante und M die Sternmasse. 2. Effektivtemperatur an der Scheibenoberfläche Teff 4 = 3GM ) Ṁ R 8πσ sb s 3 1. 2) s Hierin ist Ṁ die Massenakkretionsrate, σ sb die Stefan-Boltzmann Konstante und R der Sternradius. 3. Schallgeschwindigkeit c 0 in der Mittelebene der Scheibe c 2 0 = kt c µm amu. 3) Hierin ist T c die Temperatur in der Mittelebene der Scheibe, k die Boltzmannkonstante, µ das mittlere Molekulargewicht und m amu die atomare Masseneinheit. 4. Scheibenhöhe in vertikaler Richtung π c 0 h =. 4) 2 Ω K 5. Viskosität ν in der Näherung von Shakura und Sunyaev ν = α h c 5) Hierin ist α der Parameter dieses empirischen Ansatzes für die effektive Viskosität in der Akkretionsscheibe. 6. Flächendichte Σ νσ = Ṁ ) R 1. 6) 3π s 7. Massendichte ρ c in der Mittelebene ρ c = 1 Σ 2 h. 7) 8. Optische Tiefe τ c bis zur Mittelebene τ c = 1 2 κ hσ. 8) Hierin ist κ h der flußgemittelte Massenextinktionskoeffizient. 9. Temperatur T c in der Mittelebene der Scheibe T 4 c = 1 2 T 4 eff 1 + 3 2 τ c) + T 4 w. 9) 1
Hierin ist T w die Temperatur in der umgebenden Molekülwolke. 10. Radiale Driftgeschwindigkeit v s der Materie beim viskosen Transport in radialer Richtung 11. Druck P c in der Mittelebene 1.2 Parameter Ṁ = 2πsΣv s. 10) P c = c 2 0ρ c. 11) Die Gleichungen enthalten fünf freie Parameter, die bei der Lösung des Systems vorgegeben werden müssen: 1. Die Sternmasse M. 2. Den Sternradius R. 3. Die Akkretionsrate Ṁ. 4. Die Konstante α in der Viskosität in Gleichung 5). 5. Die Temperatur T w der Molekülwolke. Von Interesse sind vor allem Akkretionsscheiben um sonnenähnliche Sterne. Als Parameter setzt man dann M = 1 M, R = 5 R für den Protostern), T w = 20 K typischer Wert), α = 3 10 3. Die Massenakkretionsrate variiert im Verlaufe der Entwicklung einer Akkretionsscheibe. Hier sind Werte von Ṁ = 10 6... 10 8 von Interesse. Der Abstand s ist bei der Berechnung stationärer Modelle in gewissem Sinne auch ein Parameter, der vorgegeben werden muß. Die für die Planetenbildung interessanten Teile der Akkretionsscheibe sind zwischen s = 0.1 AE und s = 30 AE. Stationäre Modelle sind für diesen Abstandsbereich zu berechnen. 1.3 Materialfunktionen Die Gleichungen für die Scheibe enthalten zwei Materialfunktionen: 1. Das mittlere Molekulargewicht µ = µρ, T ). 12) 2. Das Flußmittel des Extinktionskoeffizienten κ h = κρ, T ). 13) Diese beiden Funktionen müssen zusammen mit den Aufbaugleichungen der Scheibe berechnet werden. Das mittlere Molekulargewicht ist, weil für den Zustand der Gasphase der Scheibenmaterie das lokale thermodynamisches Gleichgewicht gilt, vollständig durch die Vorgabe von ρ, T und der Elementmischung bestimmt. Es muß daher im Prinzip aus einer Berechnung des Dissoziationsgleichgewichts bestimmt werden. Praktisch kann man sich für die meisten Zwecke mit folgender Näherung begnügen: Wenn aller Wasserstoff zu H 2 assoziiert ist und wenn die He Häufigkeit ɛ He = 0.1 nach Teilchenzahl relativ zu H) ist, dann ist µ = 7 3. 14) Das gilt im größten Teil der Akkretionsscheibe, außer in den heißen, innersten Teilen sehr nahe beim Stern, in denen H dissoziiert ist. Das Flußmittel κ h wird in den kühlen, äußeren Teilen der Akkretionsscheibe durch den Staub und eventuell darauf aufgefrorene Eismäntel bestimmt. In diesem Bereich ist κ h eine komplizierte Funktion der Vorgeschichte und des thermodynamischen Zustands der Scheibenmaterie. In der warmen Zone der Scheibe ist die Zusammensetzung des Scheibenmaterials durch den thermodynamischen Zustand vollständig bestimmt. In diesem Bereich kann die Opazität der Staubmischung relativ einfach berechnet werden. In den heißen, inneren Teilen der Akkretionsscheibe, in denen kein Staub existiert, wird κ h wie in einer Sternatmosphäre durch die Extinktion durch Moleküle, Atome und Ionen bestimmt. Die Berechnung von κ h ist dann sehr kompliziert. Für die Zwecke dieser Übung werden einfache Näherungen für κ h verwendet, die später angegeben werden. 2 Lösungsmethode Zur numerischen Lösung des Gleichungssystems werden hauptsächlich zwei Methoden verwendet, die jeweils ihre speziellen Vorzüge und Nachteile haben: entweder eine Fixpunktiteration oder ein Newton-Verfahren. 2.1 Fixpunktiteration Die Aufbaugleichungen für die Akkretionsscheibe, wie sie vorher zusammengestellt wurden, können für gegebenen Abstand s auf folgende Weise gelöst werden: 1. Man berechnet Ω K und T eff nach Gleichung 1) bzw. 2). 2
2. Man schätzt einen Wert für T c und µ. 3. Man berechnet nacheinander c 0, h, ν, Σ und ρ c aus den Gleichungen 3) bis 7). 4. Man berechnet für den Zustand ρ c und T c die Materialfunktionen µρ c, T c ) und κ h ρ c, T c ). 5. Mit den Werten von µ und κ h berechnet man τ und T c nach Gleichung 8) bzw. 9). Falls die Startschätzungen für T c und µ schon richtig waren, dann sollte der in Punkt 5. neuberechnete Wert von T c mit dem Startwert übereinstimmen. Wenn das nicht der Fall ist, dann wiederholt man mit den jeweils neu berechneten Werten von T c und µ die Berechnungen ab Punkt 3. bis Punkt 5. bis z.b. T c,neu T c,alt T c,alt < 10 6 15) erfüllt ist. Dann sind die Gleichungen mit ausreichender Genauigkeit gelöst. Zur praktischen Durchfürung der Rechnung verlegt man die Berechnung von µ und κ h zweckmäßigerweise in separate Subroutinen. Für Testzwecke setzt man in diesen zunächst einfach für µ den Näherungswert nach Gleichung 14) und für κ h einen Wert von 2 cm 2 g 1. Später können dann die Subroutinen durch andere ersetzt werden, in denen eine Berechnung von µ bzw. κ h erfolgt, ohne daß in den Programmteil zur Berechnung von T c eingegriffen werden muß. Weiterhin ist es zweckmäßig, die Berechnungen entsprechend obigen Punkten 3 bis 5 in einer eigenen Subroutine zusammenzufassen, bei der Startwerte µ alt und T c,alt für µ bzw. T c als Eingangsparameter übergeben werden und die Resultate, u.a. auch die neuen Werte µ neu und T c,neu von µ bzw. T c, zurückgegeben werden. Als Startwert für T c zum Beginn der Iteration kann man beispielsweise T c,alt = max 3T eff, T w ) 16) verwenden. Es ist eventuell auch zweckmäßig, nicht direkt den neuen Wert T c,neu n) aus dem n-ten Iterationschritt als Startwert T n+1) c,alt für den n + 1)-ten Iterationsschritt zu verwenden, sondern einen Wert T n+1) c,alt = ω T n) c,neu + 1 ω) T n) c,alt 17) mit ω = 0.5. Zum Testen löst man die Gleichungen am besten zunächst für s = 1 AE. Wenn alles funktioniert, dann kann man ein Modell der Akkretionsscheibe für verschiedene Abstände s i im Bereich zwischen beispielsweise 0.1 AE und 30 AE berechnen. 2.2 Newton-Verfahren Im Prinzip ist der Wert T c der Temperatur, die nach Gleichung 9) aus den Aufbaugleichungen für die Akkretionsscheibe berechnet wird, eine Funktion T c = F T c,alt ) 18) der Temperatur T c,alt, mit der man die Berechnung mit Gleichung 3) begonnen hat. Die korrekte Lösung des Gleichungssystems ist diejenige, die T c = F T c ) erfüllt. Man sucht also eine Lösung der Gleichung GT c ) = F T c ) T c = 0, 19) d.h., die Nullstelle der Funktion GT ). Wenn T 1 ein Schätzwert für die Lösung dieser Gleichung ist und δ die Abweichung des Schätzwertes von der tatsächlichen Lösung, dann gilt GT 1 + δ) = 0. Wenn die erforderliche Korrektur klein ist, dann kann hierin nach Taylor entwickelt und die Entwicklung nach dem ersten Glied abgebrochen werden. Es folgt δ = GT ) G 20) T T =T1 oder δ = F T 1) T 1 F T 1. 21) Die Lösung der Gleichungen für die Akkretionsscheibe wird dann folgendermaßen durchgeführt: Man startet mit einem Schätzwert T c,alt, berechnet T c,neu und berechnet dann eine Korrektur δ = T c,neu T c,alt F T 1. 22) Wenn die erforderliche Korrektur noch nicht klein genug ist, dann korrigiert man T c,alt T c,alt + δ 23) und wiederholt die Rechnung. Die Ableitung F/ T verschafft man sich folgendermaßen: Man ruft die Berechnung von T c noch ein zweites mal mit einem nahe benachbarten Anfangswert T 2 auf und approximiert die Ableitung durch den Differenzenquotienten Für T 2 verwendet man F T T c,neu F T 2 ). 24) T c,alt T 2 T 2 = 1 10 n) T c,alt 25) 3
mit beispielsweise n = 3 oder n = 4. Der Wert von n bestimmt die Genauigkeit der Approximation der Ableitung. n darf nicht zu klein sein, sonst wird die Ableitung zu ungenau, aber auch nicht zu groß, sonst gehen bei der Differenzbildung im Zähler zu viele Stellen verloren weil F T 1 ) und F T 2 ) zu nahe beieinander sind. 3 Eigenschaften des Sonnennebels Mit Hilfe des Programms für den Aufbau der Akkretionsscheibe können einige elementare Eigenschaften der protoplanetaren Akkretionsscheibe, in der das Sonnensystem entstanden ist der sog. Sonnennebel), berechnet werden. 3.1 Massenverteilung im Planetensystem Einige wichtige Fragen sind: 1. Wieviel Masse war in dem Bereich vorhanden, in dem das Planetensystem entstanden ist? 2. Wieviel Masse stand zur Bildung der einzelnen Planeten zur Verfügung? 3. Wie waren die Temperatur- und Druckbedingungen im Bereich der Planetenentstehung? 3.1.1 Gesamtmasse Die Masse im Bereich der Entstehung des Planetensystems ist sa M SN = 2π sσs) ds. 26) s i Als innere Grenze des Bereich, aus dem die heutigen Planeten ihre Masse bezogen haben, setzt man s i 0.25 AE an, als Grenze s a 35 AE siehe Tab. 1). Für diesen Bereich ist das Integral numerisch zu berechnen. Dazu berechnet man Σs k ) für ein Gitter von Stützstellen s k zwischen s i und s a. Da das Verhältnis des Abstands s von Außen- zu Innenrand ca. 100 ist, sind logarithmisch äquidistante Stützstellen zweckmäßig. Diese definiert man durch s k = s i 10 h k für k = 0,..., K 27) mit h = 1 K log s a 10. 28) s i Für K wählt man z.b. K = 200, was eine sehr dichte Überdeckung des interessierenden Abstandsbereichs mit numerischen Werten für Σ i = Σs i ) liefert. Die numerische Integration kann dann mit guter Genauigkeit mittels der Trapezregel durchgeführt werden M SN = 2π K k=1 s k Σ k + s k 1 Σ k 1 2 s k s k 1 ). 29) Diese Masse ist für einige Werte der Akkretionsrate Ṁ zu berechnen. Dies ist mit einem Wert von M SN = 0.02 M zu vergleichen, der die Minimalmasse für den Sonnennebel darstellt. Diese ergibt sich, wenn man die Masse der in den Planeten enthaltenen schwerflüchtigen Element um den Anteil der flüchtigen Elemente vor allem H, He) in der kosmischen Elementmischung ergänzt, der nicht oder nur zum Teil in den Planeten enthalten ist. Daraus kann eine minimale Akkretionsrate Ṁ abgeschätzt werden, bei der noch genügend Masse vorhanden ist, um das Sonnensystem zu bilden. 3.1.2 Planetenmassen Entsprechende Berechnungen können für die einzelnen Planeten durchgeführt werden. Als Einzugsbereich für ihre Massen definiert man den Radiusbereich bis zum halben Abstand zum jeweiligen Nachbarplaneten. Die entsprechenden Radien sind in Tab. 1 angegeben. Im Bereich zwischen Mars und Jupiter befindet sich der Asteroidengürtel der Überrest einer gescheiterten Planetenbildung. Der Bahnradius dieses hypothetischen Planeten ist hier als das geometrische Mittel des Bahnradius von Mars und Jupiter angesetzt. 1 Die Annahme, daß ein Planet seine Masse aus einem auf diese Weise definierten Einzugsbereich bezogen hat, ist nicht korrekt, wie inzwischen bekannt ist, kann aber für eine grobe Orientierung über die Verhältnisse im frühen Sonnennebel verwendet werden. Die Gesamtmasse im Einzugsbereich wird analog zu Gleichung 26) berechnet, nur mit den Grenzen r i und r a des jeweiligen Einzugsbereichs, und natürlich mit einer geringen Zahl von Stützpunkten in dem Abstandsbereich. Bei den terrestrischen Planeten sind nur die schwerflüchtigen Elemente in den Planeten kondensiert. Deren Massenanteil an der Elementmischung, aus der das Sonnensystem entstanden ist, beträgt X cond = 0.0076. Die äußeren Planeten enthalten ebenfalls die schwerflüchtigen Elemente und zusätzlich den nicht 1 Entsprechend der Bode-Titius-Regel. Dies Vorgehen ist zwar nicht begründet, liefert aber vielleicht einen gewissen Anhaltspunkt für die usrprünglich einmal vorhanden gewesene Masse im Asteroidengürtel 4
Tabelle 1: Einige Daten für die Planeten: Masse M e, mittlere Massendichte ρ Pl des Planeten, mittlerer Bahnradius a, innerer und äußerer Radius r i bzw. r a der Einzugszone des Planeten Planet M e ρ Pl a r i r a kg g cm 3 AE AE AE Merkur 3.30 10 23 5.43 0.387 0.267 0.560 Venus 4.87 10 24 5.24 0.723 0.560 0.862 Erde 5.97 10 24 5.52 1.000 0.862 1.26 Mars 6.42 10 23 3.94 1.524 1.26 2.16 Asteroiden 2.8 2.16 4.00 Jupiter 1.90 10 30 1.34 5.205 4.00 7.38 Saturn 5.68 10 29 0.69 9.545 7.38 14.4 Uranus 8.68 10 28 1.32 19.19 14.4 25.0 Neptun 1.03 10 29 1.64 30.01 25.0 35.0 in Mineralen gebundenen Sauerstoff, der ursprünglich als Wassereis ausgefroren war. Dies entspricht einem zusätzlichen Massenanteil von X eis = 0.0048. Weiterhin haben sie auch flüchtige Elemente H, He, C, N) bei ihrer Entstehung aufgesammelt, aber keineswegs den gesamten vorhandenen Bestand. 3.2 Temperaturbedingungen Man kann eine mittlere Temperatur in dem Einzugsbereich der Masse eines Planeten berechnen durch T = ra r i T s) sσs) ds/ ra r i sσs) ds. 30) Diese ist wichtig für die Zusammensetzung des Planetenmaterials. Die Berechnung erfolgt analog zu Gleichung 29). 4 Ausfrieren von Wasserdampf In der kosmischen Elementmischung ist der Überschuß von O gegenüber C so groß, daß nur ein Teil des O in dem sehr stabilen CO Molekül und in Mineralen gebunden ist. Dieser überschüssige Sauerstoff bildet mit dem reichlich vorhandenen Wasserstoff H 2 O, das bei höheren Temperaturen als Wasserdampf vorliegt, bei niedrigeren Temperaturen als Eismantel auf den Staubkörnern ausfriert. Wir nehmen zur Vereinfachung an, daß entsprechend den chemischen Wertigkeiten der Sauerstoff und die mineralbildenden Elemente in den Festkörpern formal als SiO 2, MgO, Al 2 O 3 und CaO vorliegen und daß die Elemente Si, Mg, Al und Ca vollständig als Minerale auskondensiert sind. Die Häufigkeiten der Elemente relativ zu Wasserstoff seien mit ɛ bezeichnet. Einige Werte sind in Tabelle?? angegeben. Dann ist die Häufigkeit des frei verfügbaren Sauerstoffs ɛ O,eff = ɛ O ɛ C 2ɛ Si ɛ Mg 3 2 ɛ Al ɛ Ca. 31) Die Massendichte ρ der Materie der Akkretionsscheibe wird durch den Wasserstoff und das Helium bestimmt. Der Beitrag aller schwereren Elemente beträgt etwa 1% und wird vernachlässigt. Wir bezeichnen mit N H die Anzaldichte der H-Kerne pro Volumeneinheit. Die Massendichte ist dann ρ = N H + 4ɛ He N H ) m H. 32) Hier ist m H die Masse der H-Atome. Der erste Term auf der rechten Seite ist der Beitrag der H 2 Moleküle zur Massendichte, deren Teilchendichte gleich 1 2 N H und deren Masse gleich 2m H ist. Der zweite Term ist der Beitrag der He-Atome zur Massendichte, deren Teilchendichte gleich ɛ He N H und deren Masse gleich 4m H ist. Wenn die Massendichte ρ gegeben ist aus dem Modell der Akkretionsscheibe) dann kann aus dieser Gleichung N H berechnet werden. Die Teilchendichte den H 2 O Moleküle ergibt sich als n H2O = ɛ,eff N H 33) und der maximale Partialdruck des Wasserdampfs in der Gasphase, wenn kein Eis vorhanden ist, ist durch p H2O,max = ɛ O,eff N H kt 34) gegeben, wobei k die Boltzmann-Konstante ist. Der Dampfdruck von Wassereis be sehr niedrigen Temperaturen ist log 10 p v,eis = 2445.6 + 8.23 log T 10 T 35).01677 1.205 10 5 T ) T 3.632 5
Tabelle 2: Häufigkeiten ɛ einiger wichtiger Elemente nach Teilchenzahl relativ zu Wasserstoff für die Sonnenatmosphäre und für Meteoriten, sowie deren Fehler σ. Die Häufigkeiten sind nach den astronomischen Gepflogenheiten in der Form approximiert werden. Dieses ist bei der Berechnung der Scheibenmodelle zu verwenden, um die Verteilung von Eis in der Akkretionsscheibe zu bestimmen. log 10 ɛ = 12 a gegeben. Z Elem. Sonne Meteoriten a σ a σ 1 H 12.00 2 He 10.99 0.02 1.92 6 C 8.59 0.11 7 N 7.93 0.11 8 O 8.74 11 Na 6.17 0.04 6.30 0.02 12 Mg 7.53 0.09 7.56 0.01 13 Al 6.37 0.06 6.46 0.01 14 Si 7.51 0.04 7.55 0.01 16 S 7.14 0.05 7.19 0.04 19 K 5.08 0.07 5.11 0.02 20 Ca 6.31 0.04 6.33 0.01 26 Fe 7.45 0.05 7.49 0.01 28 Ni 6.23 0.04 6.23 0.02 Der Druck ist in Einheiten dyn cm 2. Wenn p H2O,max p v,eis, dann sind alle vorhandenen H 2 O Moleküle in der Gasphase vorhanden. Wenn p H2O,max > p v,eis, dann sind gerade soviele H 2 O Moleküle ausgefroren, daß der Partialdruck der restlichen H 2 O Moleküle gleich dem Dampfdruck ist. Wenn f den Anteil der H 2 O Moleküle bezeichnet, der als Eis ausgfroren ist, dann gilt 1 f)p H2O,max = p v,eis. Falls der hiernach berechnete Wert f < 0 wird p H2O,max < p v,eis ), dann ist kein Eis vorhanden und man muß f = 0 setzen. Konkret berechnet man dann den Kondensationsgrad von Wassereis als f eis = max 1 p ) v,eis, 0. 36) p H2O,max Der Extinktionskoeffizient für Staubteilchen mit Eismantel, wenn aller Wasserdampf ausgefroren ist, kann durch κ eis = 2 10 4 T 2 37) approximiert werden. Den Übergang von Staubteilchen mit Eis zu nackten Staubteilchen kann durch κ = κ staub 1 f eis ) + f eis κ eis 38) 6