Manfred Drosg Der Umgang mit Unsicherheiten Ein Leitfaden zur Fehleranalyse facultas
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 13 1.1 Wissenschaftlichkeit 14 1.2 Sichere (fehlerfreie) Daten 16 2 Grundlegendes über Daten 19 2.1 Was ist Messen? 20 2.1.1 Wissenschaftlich relevante Messungen (Schätzwert) 21 2.1.2 Direkte Vergleichsmessungen 21 2.1.3 Indirekte Vergleichsmessungen 22 2.2 Was heißt analog, was digital? 22 2.3 Umgang mit Datenwerten (Zahlen) 23 2.3.1 Geltende Ziffern 24 2.3.2 Verkürzen von Zahlen 24 2.3.3 Rundung 24 2.3.3.1 Rundung auf die nächste gerade Ziffer 25 3 Grundlegendes über Unsicherheiten (Fehler) 26 3.1 Typische Quellen der (inneren) Unsicherheit (Beispiel) 27 3.1.1 Eichunsicherheit 27 3.1.2 Linearitätsunsicherheit 27 3.1.3 Digitalisierungsunsicherheit 28 3.2 Definitionen 28 3.2.1 Begriffsklärung 28 3.2.2 Notwendige Voraussetzung 29 3.2.3 Abweichungen 29 3.2.4 (Zufällige) Unsicherheiten 30 3.2.4.1 Explizite Angabe der Unsicherheit 31 3.2.4.2 Signifikante Stellen (implizite Unsicherheit) 31 3.2.4.3 Verwendung ganzer Zahlen 32 3.2.4.4 Rundungsunsicherheiten 33 3.2.5 Größtfehler (Toleranzen) 34 3.2.6 Abgrenzung (Schranken) 35 3.2.7 Ausreißer" 36 3.2.7.1 Vorgangsweise beim Auftreten eines Ausreißers 37 3.3 Unsicherheit einer einfachen Messung 39 3.3.1 Länge 39 3.3.2 Kreisfläche 39
8 3.4 Unsicherheiten zusammengesetzter Größen 41 3.4.1 Konsequenzen aus der quadratischen" Addition 44 3.4.2 Quadratische" Subtraktion 45 4 Zufallige Ereignisse (radioaktiver Zerfall) 47 4.1 Zeitliche Verteilung von radioaktiven Ereignissen 47 4.1.1 Untersetzung 49 4.1.2 Zählverluste (Totzeit) 51 4.1.3 Direkte Korrektur der Totzeit ( live time") 52 4.1.4 Korrektur mit Hilfe eines Impulsgenerators 54 4.1.4.1 Regelmäßige Signale 55 4.2 Unsicherheit durch Induktion (Beispiel) 56 4.2.1 Eigenschaften von (geordneten) Datensätzen 57 4.2.1.1 Zentralmaße 58 4.2.1.2 Streuungsmaße 59 4.2.1.3 (Äußere) Unsicherheit von Datenwerten 61 4.2.1.4 Auswertung des Beispiels 63 4.2.2 Reproduzierbarkeit innerhalb von Datensätzen 64 4.2.3 Lineare Regression (kleinste Abweichungsquadrate) 65 5 Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 69 5.1 Häufigkeitsverteilung (Spektrum) 69 5.1.1 Merkmale von Verteilungen 72 5.1.1.1 Merkmale unimodaler Verteilungen 72 5.1.2 Wirkung der Datenunsicherheit auf die Verteilung 74 5.1.2.1 Differenzielle Nichtlinearität 75 5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 77 5.2.1 Binomial-Verteilung 78 5.2.2 Poisson-Verteilung 79 5.2.3 Normal-(Gauß-)Verteilung 82 5.2.3.1 Eigenschaften der Normalverteilung 83 5.2.3.2 Die Gaußsche Fehlerfunktion 84 5.3 Statistische Sicherheit 87 5.4 Der Umgang mit Wahrscheinlichkeiten 88 6 Unsicherheit durch Deduktion 93 6.1 Theoretische Situation 93 6.2 Praktische Situation 93 6.2.1 Schätzwerte mit Hilfe innerer Unsicherheiten 95 6.2.1.1 Zählung von Kernstrahlung 95 6.2.2 Innere und äußere Unsicherheiten 97 6.2.2.1 Toleranzen von Widerständen 98
6.2.3 Faltung von Unsicherheitsverteilungen 98 6.2.4 Zum Vorzeichen der Unsicherheit 99 6.2.5 Vom Nutzen wiederholter Messungen 100 6.2.5.1 Im Falle innerer Unsicherheiten 101 6.2.5.2 Im Falle äußerer Unsicherheiten 102 6.3 Ausgleichsrechnung (kleinste Abweichungsquadrate) 106 6.3.1 Gewichteter Mittelwert 108 6.3.2 Ausgleichsgerade (Gewichtete Lineare Regression) 110 6.3.3 Allgemeiner Fall der Ausgleichsrechnung 113 6.4 Datenkonsistenz innerhalb von Datensätzen 113 6.4.1 Kriterium von Chauvenet 114 6.4.2 Verwerfen von Daten mit inneren Unsicherheiten 116 7 Korrelationen 117 7.1 Allgemeines 117 7.1.1 Zusammenhangsmaß 118 7.2 Korrelierte (systematische) innere Unsicherheiten 119 7.2.1 Vorzeichen der systematischen" Unsicherheit 120 7.2.2 Abgrenzung zu unkorrelierten Unsicherheiten 121 7.2.2.1 Unsicherheit eines einzelnen Datenwertes 121 7.2.2.2 Unsicherheiten bei Mehrfachmessungen (Beispiele) 123 7.2.3 Weitere Beispiele korrelierter Unsicherheiten 128 7.2.3.1 Kalibrierung von Messgeräten 128 7.2.3.2 Zählung 129 7.2.3.3 Wirkungsquerschnittsmessung 129 7.2.3.4 Zusammenfassung 131 7.2.4 Gibt es äußere Skalenunsicherheiten? 132 7.3 Abgrenzung zu Systematischen Fehlern" 133 7.3.1 Grobe Fehler" 133 7.3.2 Korrekturen 134 7.3.2.1 Unterlassene Korrekturen 134 7.3.2.2 Fehlerhafte Korrekturen 136 7.3.2.3 Unnötige Korrekturen 136 7.4 Korrelationen bei der Linearen Regression 138 7.4.1 Ausgleichsgerade mit Gewichtung (Beispiel) 138 7.4.2 Ausgleichsgerade ohne Gewichtung (Beispiel) 140 7.4.2.1 Signifikanz linearer Korrelationskoeffizienten 142 7.5 Datenkonsistenz zwischen Datensätzen 143 7.5.1 Widersprüchliche Datensätze (Beispiel) 145 7.5.2 Abhängige (korrelierte) Datensätze 147 7.6 Anschauungsmodell Scheibenschießen 149
10 8 Der rechnerische Umgang mit Unsicherheiten 152 8.1 Rechenoperationen mit beiden Unsicherheitsarten 156 8.1.1 Unsicherheit von Summen 157 8.1.2 Unsicherheit von Differenzen 158 8.1.3 Unsicherheit von Produkten 160 8.1.4 Unsicherheit von Quotienten 161 8.1.5 Unsicherheit von Potenzen (Wurzeln) 163 8.1.6 Unsicherheit bei exotischeren Funktionen 164 8.2 Gesamtunsicherheit 165 8.2.1. Kombination von beiden Unsicherheitsarten 165 8.2.2 Gesamtunsicherheit eines einzelnen Schätzwertes 166 8.2.3 Gesamtunsicherheit von Datensätzen 167 8.2.3.1 Systematische Unsicherheiten von Messparametern 168 8.3 Innere Unsicherheiten im diagnostischen Einsatz 169 8.3.1 Die Verlässlichkeit des Space Shuttles 169 8.3.2 Analogie zum Bayesschen Prinzip 169 8.3.3 Der CHI-Quadrat Test 170 8.3.3.1 Güte eines Fits 172 9 Darstellung bzw. Abschätzung von Unsicherheiten 174 9.1 Graphische Darstellung, auch von Unsicherheiten 174 9.1.1 Grundlegendes 174 9.1.2 Diagramme 176 9.1.3 Unsicherheitsbalken (Fehlerbalken) 177 9.1.4 Unsicherheitsfläche (Fehlerfläche) 177 9.1.5 Linearisierung 178 9.2 Korrekte Darstellung von Unsicherheiten 179 9.3 Bestimmung der Größe von inneren Unsicherheiten 180 9.3.1 Ideale Methode bei der Bestimmung der Unsicherheit 181 9.3.2 Praktikable Methoden die Unsicherheit zu bestimmen 181 9.4 Abschätzung der Größe von inneren Unsicherheiten 182 9.4.1 Abschätzung nach oben 183 9.4.2 Abschätzung nach unten 186 10 Rückwirkung der Unsicherheit auf das Experiment 187 10.1 Messoptimierung 187 10.1.1 Gründe für und gegen eine Messoptimierung 188 10.1.2 Gängige Planungskriterien für ein Experiment 189 10.2 Optimierung von Untergrundmesstmgen 190 10.2.1 Optimierung einer einfachen Untergrundmessung 190 10.2.2 Optimierung einer aufwendigen Untergrundmessung 191 10.3 Optimierung in Hinblick auf die Totzeit 193
11 10.4 Optimierung in Bezug auf die erwartete Kurvenform 195 10.4.1 Optimierung bei waagrechten Abhängigkeiten 196 10.4.2 Optimierung bei linearen Abhängigkeiten 197 10.4.3 Optimierung des Winkels bei einer Winkelverteilung 198 10.5 Optimierung der Gesamtunsicherheit 199 10.5.1 Die quasiabsolute Messmethode 199 Lösungen der Übungsaufgaben 207 Stichwortverzeichnis 214