Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth

Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter Matrizen versteht, und wie man mit ihnen rechnet Was Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix bedeuten Wie man lineare Gleichungssysteme löst Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 2 / 67

Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 2 Geraden und Ebenen 3 Matrizen 4 Lineare Gleichungssysteme 5 Eigenwerte, Eigenvektoren 6 Ziele erreicht? Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 3 / 67

Motivation Bislang wurden nur eindimensionale Größen betrachtet. Damit können Phänomene beschrieben werden, die nur von einer Zahl (einem Skalar = ein Zahlenwert bezüglich einer Skala) abhängen. Oft benötigt man jedoch einen Satz mehrerer Zahlen zur vollständigen mathematischen Beschreiben, zum Beispiel für Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 4 / 67

Motivation Bislang wurden nur eindimensionale Größen betrachtet. Damit können Phänomene beschrieben werden, die nur von einer Zahl (einem Skalar = ein Zahlenwert bezüglich einer Skala) abhängen. Oft benötigt man jedoch einen Satz mehrerer Zahlen zur vollständigen mathematischen Beschreiben, zum Beispiel für geometrische Sachverhalte (Bewegung, Längen, Winkel, Abstände in 2D, 3D) Größen die in einem geometrischen Raum wirken (z.b. Kraft F wirkt im 3-dimensionalen Raum in x- y- und z-richtung, Geschwindigkeit v,...) Größen, die von mehreren Eigenschaften abhängen (zb Dichte des Gemischs mehrerer Stoffe) Sachverhalte, die in der mehrere Größen auf einmal beschrieben werden können/sollen Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 4 / 67

Notation Wir betrachten allgemein den Raum R n bestehend aus n reellen Zahlen. (man kann -ganz analog- den Raum C n einführen). Aber starten wir mit den wichtigsten Spezialfällen: n = 1: R 1 = R, also die uns bekannten reellen Zahlen n = 2: R 2, geometrisch die 2-dimensionale ( ) Ebene. Es wird beschrieben mit x1 einem 2-Tupel (Vektor) reeller Zahlen n = 3: R 3, geometrisch der 3-dimensionale Raum. Er wird beschrieben mit x 2 x 1 einem 3-Tupel (Vektor) reeller Zahlen x 2 x 3 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 5 / 67

allgemein R n als n-tupel (Vektor) reeller Zahlen x 1 x 2. x n 1 x n zur besseren Übersicht schreiben wir (x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n 1, x n ) T, dabei bezeichnet () T den transponierten Vektor (indem wir Spalten als Zeilen schreiben bzw. später Zeilen als Spalten) Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 6 / 67

allgemein R n als n-tupel (Vektor) reeller Zahlen x 1 x 2. x n 1 x n zur besseren Übersicht schreiben wir (x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n 1, x n ) T, dabei bezeichnet () T den transponierten Vektor (indem wir Spalten als Zeilen schreiben bzw. später Zeilen als Spalten) x i (i = 1,..., n) sind die Koordinaten oder Komponenten des Vektors Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 6 / 67

allgemein R n als n-tupel (Vektor) reeller Zahlen x 1 x 2. x n 1 x n zur besseren Übersicht schreiben wir (x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n 1, x n ) T, dabei bezeichnet () T den transponierten Vektor (indem wir Spalten als Zeilen schreiben bzw. später Zeilen als Spalten) x i (i = 1,..., n) sind die Koordinaten oder Komponenten des Vektors Notation: im geometrischen Zusammenhang schreiben wir x = (x 1,..., x n ) T. Ebenfalls üblich: x, x, x Im entsprechenden Kontext wird oft auch einfach x verwendet. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 6 / 67

Geometrische Interpretation am Beispiel n = 2 Gegeben sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene mit Ursprung O = (0, 0) und Achsen x 1 und x 2. a x 2 p = ( p1 p 2 ) P (p 1, p 2 ) a 2 (0, 0) x 1 a 1 ( ) a1 Ein Vektor a = beschreibt eine Richtung gehe a a 1 Schritte in Richtung 2 positiver x 1 -Achse und a 2 Schritte in Richtung positiver x 2 -Achse. Jeder ( Punkt ) P = (p 1, p 2 ) in R 2 wird charakterisiert durch einen Vektor p1 p =, der am Ursprung angesetzt wird. p heisst dann Ortsvektor zu P. p 2 (analog für beliebiges n) Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 7 / 67

Rechenoperationen Wir wollen Vektoren addieren: a + b =?, dies geschieht komponentenweise a 1 b 1 a 1 + b 1 a + a 2 b =. + b 2. = a 2 + b 2. a n b n a n + b n Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 8 / 67

Rechenoperationen Wir wollen Vektoren addieren: a + b =?, dies geschieht komponentenweise a 1 b 1 a 1 + b 1 a + a 2 b =. + b 2. = a 2 + b 2. a n b n a n + b n und Vektoren mit einer Zahl multiplizieren: λ x =?, λ R x 1 λ x 1 x 2 λ x = λ.. = λ x 2.. x n λ x n Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 8 / 67

Rechenoperationen Wir wollen Vektoren addieren: a + b =?, dies geschieht komponentenweise a 1 b 1 a 1 + b 1 a + a 2 b =. + b 2. = a 2 + b 2. a n b n a n + b n und Vektoren mit einer Zahl multiplizieren: λ x =?, λ R x 1 λ x 1 x 2 λ x = λ.. = λ x 2.. x n λ x n Beispiel, n = 2 ( ( ) 3 2 + = 1) 0.5 ( ) 1, 3 0.5 ( ) 1 = 0.25 ( ) 3 0.75 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 8 / 67

Vektorraum-Eigenschaften Sei a = (a 1, a 2,, a n ) T R n. Dann schreiben wir a für ( 1) a. Den Vektor (0, 0,, 0) T R n bezeichnen wir kurz 0. Damit gilt für a, b, c R n, λ, µ R: Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 9 / 67

Vektorraum-Eigenschaften Sei a = (a 1, a 2,, a n ) T R n. Dann schreiben wir a für ( 1) a. Den Vektor (0, 0,, 0) T R n bezeichnen wir kurz 0. Damit gilt für a, b, c R n, λ, µ R: a) a + 0 = a b) ( a + b) + c = a + ( b + c) c) a + b = b + a d) a + ( a) = 0 e) (λ + µ) a = λ a + µ a f) λ ( a + b) = λ a + λ b g) 1 a = a Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 9 / 67

Vektorraum-Eigenschaften Sei a = (a 1, a 2,, a n ) T R n. Dann schreiben wir a für ( 1) a. Den Vektor (0, 0,, 0) T R n bezeichnen wir kurz 0. Damit gilt für a, b, c R n, λ, µ R: a) a + 0 = a b) ( a + b) + c = a + ( b + c) c) a + b = b + a d) a + ( a) = 0 e) (λ + µ) a = λ a + µ a f) λ ( a + b) = λ a + λ b g) 1 a = a Definition 1.1 Eine Menge V mit Addition + und skalarer Multiplikation, so dass mit a, b V, λ R [λ C] auch a + b V, λ a V und bezüglich +, die Eigenschaften a)-g) gelten, heißt Vektorraum über R [über C] Hinweis: wir werden uns im Folgenden auf reelle Vektorräume beschränken Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 9 / 67

Beachten Sie immer den Unterschied zwischen Punkt und Vektor! Ein Punkt ist fest durch Koordinatenursprung und Koordinaten (Ortsvektor) bestimmt. Ein Vektor beschreibt nur eine Richtung und kann an jedem Punkt angesetzt werden. Wie kommt man nun von einem Punkt zum anderen? x 2 P (p 1, p 2 ) P Q Q(q 1, q 2 ) p q x 1 Seien P = (p 1, p 2,..., p n ) und Q = (q 1, q 2,..., q n ) Punkte im R n. Der Vektor q 1 p 1 q 2 p 2 P Q = beschreibt die Richtung von Punkt P zu Punkt Q.. q n p n Es gilt q = p + P Q, wobei p und q die Ortsvektoren zu P und Q sind. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 10 / 67

Mit diesen Eigenschaften können wir uns im Vektorraum bewegen. Zur Beschreibung einer Bewegung bzw. eines Objekts benutzen wir jedoch oft spezielle Kenngrößen: Längen, Abstände und Winkel Welche Bedingungen sollte eine Länge erfüllen? Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 11 / 67

Mit diesen Eigenschaften können wir uns im Vektorraum bewegen. Zur Beschreibung einer Bewegung bzw. eines Objekts benutzen wir jedoch oft spezielle Kenngrößen: Längen, Abstände und Winkel Welche Bedingungen sollte eine Länge erfüllen? Definition 1.2 Sei V ein Vektorraum über R. Eine Abbildung : V R heißt Norm auf V, falls folgende Bedingungen gelten: x V : x = 0 x = 0 und x 0 x V, λ R : λx = λ x x, y V : x + y x + y (V, ) heißt normierter Raum. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 11 / 67

Wie definiert man so eine Norm? Die natürlichste Möglichkeit kann vom Satz des Pythagoras abgeleitet werden: x x 2 Sei x = ( x1 x 1 x 2 ). Dann ist x = x 2 1 + x2 2. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 12 / 67

Wie definiert man so eine Norm? Die natürlichste Möglichkeit kann vom Satz des Pythagoras abgeleitet werden: x x 2 ( x1 ) Sei x =. Dann ist x = x x 2 1 + x2 2. 2 Sein nun n = 3. Man kann wieder mittels Satz des Pythagoras herleiten: x = x 2 1 + x2 2 + x2 3 x 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 12 / 67

Wie definiert man so eine Norm? Die natürlichste Möglichkeit kann vom Satz des Pythagoras abgeleitet werden: x x 2 ( x1 ) Sei x =. Dann ist x = x x 2 1 + x2 2. 2 Sein nun n = 3. Man kann wieder mittels Satz des Pythagoras herleiten: x = x 2 1 + x2 2 + x2 3 Definition 1.3 x 1 Sei x = (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) T R n. Dann ist x 2 = x 2 1 + x2 2 + + x2 n 1 + x2 n die euklidische Norm. Man nennt sie auch Länge oder Betrag des Vektors und schreibt x statt x 2. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 12 / 67

Wie definiert man so eine Norm? Die natürlichste Möglichkeit kann vom Satz des Pythagoras abgeleitet werden: x x 2 ( x1 ) Sei x =. Dann ist x = x x 2 1 + x2 2. 2 Sein nun n = 3. Man kann wieder mittels Satz des Pythagoras herleiten: x = x 2 1 + x2 2 + x2 3 Definition 1.3 x 1 Sei x = (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) T R n. Dann ist x 2 = x 2 1 + x2 2 + + x2 n 1 + x2 n die euklidische Norm. Man nennt sie auch Länge oder Betrag des Vektors und schreibt x statt x 2. Beispiel x = 3 1. Dann x 2 = x = ( 3) 2 + 1 2 + 7 2 = 59 7.68 7 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 12 / 67

Der Betrag eines Vektors erüllt in der Tat die Bedingungen einer Norm. Es gibt auch andere Möglichkeiten eine Norm zu definieren. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 13 / 67

Der Betrag eines Vektors erüllt in der Tat die Bedingungen einer Norm. Es gibt auch andere Möglichkeiten eine Norm zu definieren. Definition 1.4 Ein Vektor der Länge eins heißt Einheitsvektor. Sei x = (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) T. Der Vektor e x = x x heißt Einheitsvektor in Richtung x. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 13 / 67

Der Betrag eines Vektors erüllt in der Tat die Bedingungen einer Norm. Es gibt auch andere Möglichkeiten eine Norm zu definieren. Definition 1.4 Ein Vektor der Länge eins heißt Einheitsvektor. Sei x = (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) T. Der Vektor e x = x x heißt Einheitsvektor in Richtung x. Mit einer Norm können wir auch Abstände berechnen. Da Vektoren frei verschiebbar sind, macht dies nur für Punkte, also Ortsvektoren, Sinn! Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 13 / 67

Der Betrag eines Vektors erüllt in der Tat die Bedingungen einer Norm. Es gibt auch andere Möglichkeiten eine Norm zu definieren. Definition 1.4 Ein Vektor der Länge eins heißt Einheitsvektor. Sei x = (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) T. Der Vektor e x = x x heißt Einheitsvektor in Richtung x. Mit einer Norm können wir auch Abstände berechnen. Da Vektoren frei verschiebbar sind, macht dies nur für Punkte, also Ortsvektoren, Sinn! Seien P = (p 1, p 2,..., p n ) und Q = (q 1, q 2,..., q n ) Punkte in R n mit Ortsvektoren p und q. Der Abstand zwischen P und Q ist P Q = q p = (q1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + + (q n p n ) 2 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 13 / 67

Der Betrag eines Vektors erüllt in der Tat die Bedingungen einer Norm. Es gibt auch andere Möglichkeiten eine Norm zu definieren. Definition 1.4 Ein Vektor der Länge eins heißt Einheitsvektor. Sei x = (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) T. Der Vektor e x = x x heißt Einheitsvektor in Richtung x. Mit einer Norm können wir auch Abstände berechnen. Da Vektoren frei verschiebbar sind, macht dies nur für Punkte, also Ortsvektoren, Sinn! Seien P = (p 1, p 2,..., p n ) und Q = (q 1, q 2,..., q n ) Punkte in R n mit Ortsvektoren p und q. Der Abstand zwischen P und Q ist Beispiel P Q = q p = (q1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + + (q n p n ) 2 P = (1, 2, 3), Q = ( 1, 2, 4) P Q = P Q = ( 2)2 + 0 2 + 1 2 = 5 2 0, 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 13 / 67

Zur Messung von Winkeln führen wir das Skalarprodukt ein. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 14 / 67

Zur Messung von Winkeln führen wir das Skalarprodukt ein. Definition 1.5 Sei V ein Vektorraum über R. Eine Abbildung, : V V R heißt Skalarprodukt (inneres Produkt) auf V, falls folgende Bedingungen gelten: x V : x, x = 0 x = 0 und x, x 0 x, y V : x, y = x, y x, y, z V, λ, µ R : λx + µy, z = λ x, z + µ y, z (V,, ) heißt euklidischer Vektorraum. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 14 / 67

Zur Messung von Winkeln führen wir das Skalarprodukt ein. Definition 1.5 Sei V ein Vektorraum über R. Eine Abbildung, : V V R heißt Skalarprodukt (inneres Produkt) auf V, falls folgende Bedingungen gelten: x V : x, x = 0 x = 0 und x, x 0 x, y V : x, y = x, y x, y, z V, λ, µ R : λx + µy, z = λ x, z + µ y, z (V,, ) heißt euklidischer Vektorraum. Theorem 1 Sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Dann ist x = x, x eine Norm auf V, (V,, ) ein normierter Raum. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 14 / 67

Zur Messung von Winkeln führen wir das Skalarprodukt ein. Definition 1.5 Sei V ein Vektorraum über R. Eine Abbildung, : V V R heißt Skalarprodukt (inneres Produkt) auf V, falls folgende Bedingungen gelten: x V : x, x = 0 x = 0 und x, x 0 x, y V : x, y = x, y x, y, z V, λ, µ R : λx + µy, z = λ x, z + µ y, z (V,, ) heißt euklidischer Vektorraum. Theorem 1 Sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Dann ist x = x, x eine Norm auf V, (V,, ) ein normierter Raum. Theorem 2 Sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum mit Norm x := x, x,. Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung x, y V : x, y x y Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 14 / 67

Definition 1.6 Seien x = (x 1, x 2,..., x n ) und y = (y 1, y 2,..., y n ) Vektoren in R n. Das (euklidische) Skalarprodukt x, y is definiert als x, y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... x n y n. i=1 Man schreibt auch x y anstatt x, y. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 15 / 67

Definition 1.6 Seien x = (x 1, x 2,..., x n ) und y = (y 1, y 2,..., y n ) Vektoren in R n. Das (euklidische) Skalarprodukt x, y is definiert als x, y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... x n y n. i=1 Man schreibt auch x y anstatt x, y. Beispiel x = 3 2, y = 1 1 2. Dann ist x, y = 3 ( 1) + ( 2) ( 2) + 1 4 = 5 4 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 15 / 67

Definition 1.6 Seien x = (x 1, x 2,..., x n ) und y = (y 1, y 2,..., y n ) Vektoren in R n. Das (euklidische) Skalarprodukt x, y is definiert als x, y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... x n y n. i=1 Man schreibt auch x y anstatt x, y. Beispiel x = 3 2, y = 1 1 2. Dann ist x, y = 3 ( 1) + ( 2) ( 2) + 1 4 = 5 4 Sei x = (x 1, x 2,..., x n ) T. Dann x 2 = x, x = x 2 1 + x2 2 +..., x2 n, also gerade die Länge des Vektors x. Mit anderen Worten: x 2 2 = x, x. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 15 / 67

x ϕ y Seien x, y R n und ϕ der von x und y eingeschlossene Winkel. Dann gilt cos ϕ = x, y x y Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 16 / 67

x ϕ y Seien x, y R n und ϕ der von x und y eingeschlossene Winkel. Dann gilt cos ϕ = x, y x y Ist ϕ = 90, so stehen die Vektoren x und y senkrecht aufeinander. Definition 1.7 Seien x, y R n. Gilt x, y = 0, so nennen wir x und y orthogonal zueinander. Gilt zusätzlich x = y = 1, so nennen wir sie orthonormal. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 16 / 67

x ϕ y Seien x, y R n und ϕ der von x und y eingeschlossene Winkel. Dann gilt cos ϕ = x, y x y Ist ϕ = 90, so stehen die Vektoren x und y senkrecht aufeinander. Definition 1.7 Seien x, y R n. Gilt x, y = 0, so nennen wir x und y orthogonal zueinander. Gilt zusätzlich x = y = 1, so nennen wir sie orthonormal. Beispiel 1 3 x = 2, y = 0. Dann x = 6, y = 10, x, y = 4. Also 1 1 4 cos ϕ = 6 10 0.51, also ϕ = 58.9. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 16 / 67

Kreuzprodukt Im 3-dimensionalen Raum (und nur dort!) haben wir noch eine weitere wichtige Größe: Definition 1.8 Seien x und y Vektoren in R 3. Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) ist definiert wie folgt: x 1 y 1 x 2 y 3 x 3 y 2 x 2 y 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 x 3 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 17 / 67

Kreuzprodukt Im 3-dimensionalen Raum (und nur dort!) haben wir noch eine weitere wichtige Größe: Definition 1.8 Seien x und y Vektoren in R 3. Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) ist definiert wie folgt: x 1 y 1 x 2 y 3 x 3 y 2 x 2 y 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 x 3 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 Beispiel 0.5 2 ( 1) 4 ( 2) 3 2 x = 1, y = 2, x y = 3 2 0.5 4 = 4 3 4 0.5 ( 2) 2 ( 1) 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 17 / 67

Eigenschaften des Kreuzprodukts Seien a, b, c R 3. Sei c = a b. Dann ist c orthogonal zu a und b. a, b, c bilden ein Rechtssystem c dentspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelograms a b = ( b a) a ( b + c) = a b + a c Achtung: es gilt nicht ( a b) c = a ( b c) Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 18 / 67

Spatprodukt Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren a, b, c, die ein Parallelepiped (Spat) im R 3 aufspannen. Definition 1.9 Das Spatprodukt ist definiert als Kombination von Kreuz-und Skalarprodukt: [ a, b, c] := ( a b) c Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 19 / 67

Spatprodukt Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren a, b, c, die ein Parallelepiped (Spat) im R 3 aufspannen. Definition 1.9 Das Spatprodukt ist definiert als Kombination von Kreuz-und Skalarprodukt: [ a, b, c] := ( a b) c Für das Volumen V des Parallelepipeds gilt: V = ( a b) c ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b weitere Eigenschaften können aus den Eigenschaften von Kreuz- und Skalarprodukt abgeleitet werden Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 19 / 67

Spatprodukt Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren a, b, c, die ein Parallelepiped (Spat) im R 3 aufspannen. Definition 1.9 Das Spatprodukt ist definiert als Kombination von Kreuz-und Skalarprodukt: [ a, b, c] := ( a b) c Für das Volumen V des Parallelepipeds gilt: V = ( a b) c ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b weitere Eigenschaften können aus den Eigenschaften von Kreuz- und Skalarprodukt abgeleitet werden Beispiel Seien a = (1, 1, 2) T, b = (0, 1, 0) T, c = (1, 0, 1) T. Dann ist V = ( a b) c = 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 19 / 67

Linearkombination Definition 1.10 Seien v 1, v 2,..., v k k Vektoren in R n. Ein Vektor u R n heißt Linearkombination der Vektoren v 1, v 2,..., v k falls es k reelle Zahlen λ 1, λ 2,..., λ k gib so dass k u = λ i v i. i=1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 20 / 67

Linearkombination Definition 1.10 Seien v 1, v 2,..., v k k Vektoren in R n. Ein Vektor u R n heißt Linearkombination der Vektoren v 1, v 2,..., v k falls es k reelle Zahlen λ 1, λ 2,..., λ k gib so dass k u = λ i v i. i=1 Beispiel 1 1 5 Sei v 1 = 2, v 2 = 3. Dann ist u = 13 eine Linearkombination von v 1 0 1 3 und v 2 denn u = 2 v 1 + 3 v 2 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 20 / 67

Definition 1.11 Seien v 1, v 2,..., v k k Vektoren in R n. Wir nennen v 1, v 2,..., v k (linear) Unabhängig, wenn gilt k λ i v i = 0 genau dann wenn λ i = 0 für alle i i=1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 21 / 67

Definition 1.11 Seien v 1, v 2,..., v k k Vektoren in R n. Wir nennen v 1, v 2,..., v k (linear) Unabhängig, wenn gilt Beispiel 1 k λ i v i = 0 genau dann wenn λ i = 0 für alle i i=1 Seien v 1, v 2, u wie zuvor, also u = 2 v 1 + 3 v 2. Dann ist u 2 v 1 3 v 2 = 0. Es gilt also λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 3. Die Vektoren sind folglich nicht linear unabhängig. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 21 / 67

Definition 1.11 Seien v 1, v 2,..., v k k Vektoren in R n. Wir nennen v 1, v 2,..., v k (linear) Unabhängig, wenn gilt Beispiel 1 k λ i v i = 0 genau dann wenn λ i = 0 für alle i i=1 Seien v 1, v 2, u wie zuvor, also u = 2 v 1 + 3 v 2. Dann ist u 2 v 1 3 v 2 = 0. Es gilt also λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 3. Die Vektoren sind folglich nicht linear unabhängig. Beispiel 2 3 0 0 Seien v 1 = 0, v 2 = 2, v 1 = 0 Nun gilt λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = 0 0 0 1 nur, falls λ 1 = 0, λ 2 = 0, λ 3 = 0. Die Vektoren sind folglich linear unabhängig. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 21 / 67

Untersuchung von Vektoren auf Unabhängigkeit führt i.a. auf ein lineares Gleichungssystem. Ausnahme: zwei Vektoren v 1, v 2 sind linear unabhängig, genau dann wenn sie parallel sind, d.h. es gibt ein λ R\{0} so dass v 1 = λ v 2 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 21 / 67 Definition 1.11 Seien v 1, v 2,..., v k k Vektoren in R n. Wir nennen v 1, v 2,..., v k (linear) Unabhängig, wenn gilt Beispiel 1 k λ i v i = 0 genau dann wenn λ i = 0 für alle i i=1 Seien v 1, v 2, u wie zuvor, also u = 2 v 1 + 3 v 2. Dann ist u 2 v 1 3 v 2 = 0. Es gilt also λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 3. Die Vektoren sind folglich nicht linear unabhängig. Beispiel 2 3 0 0 Seien v 1 = 0, v 2 = 2, v 1 = 0 Nun gilt λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = 0 0 0 1 nur, falls λ 1 = 0, λ 2 = 0, λ 3 = 0. Die Vektoren sind folglich linear unabhängig.

Definition 1.12 Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraumes heißt Dimension. Der Raum R n hat die Dimension n. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 22 / 67

Definition 1.12 Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraumes heißt Dimension. Der Raum R n hat die Dimension n. Definition 1.13 Eine Menge n linear unabhängiger Vektoren im R n heißt Basis. Theorem 3 Sei e 1, e 2,..., e n eine Basis in R n. Dann lässt sich jeder Vektor u R n \ 0 eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen, d.h. es gilt mit mindestens einem λ i 0. u = n λ i e i i=1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 22 / 67

Wir haben bisher -und werden auch weiterhin- die Standardbasis im R n verwenden, d.h. e 1 = 1 0 0. 0, e 2 = 0 1 0. 0, e n = 0 0. 0 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 23 / 67

Wir haben bisher -und werden auch weiterhin- die Standardbasis im R n verwenden, d.h. e 1 = 1 0 0. 0, e 2 = 0 1 0. 0, e n = 0 0. 0 1 Sei v = v 1 v 2 v 3 R 3. Dann gilt v = v 1 1 0 0 + v 2 0 1 0 + v 3 0 0 1 = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 23 / 67

Geraden Wir beschränken uns nun auf den 3-dimensionalen Raum R 3. Wir wissen bereits, wie man einen Punkt im R 3 darstellt. Definition 2.1 Eine Gerade im R 3 wird bestimmt durch einen Punkt (mit Ortsvektor p), durch den sie geht, sowie die Richtung r, in die sie verläuft. g := x 1 x 2 x 3 = p 1 p 2 p 3 + λ r 1 r 2 r 3 = p + λ r, λ R Jeder Punkt auf der Gerade wird für ein bestimmtes λ erreicht. Sei Q = (q 1, q 2, q 3 ) R 3. Dann liegt Q auf der Geraden g genau dann wenn es ein λ 0 gibt so dass q = p + λ 0 r. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 24 / 67

Beispiel Sei P = (1, 2, 3) T, Q = (3, 2, 1) T. Die Gerade durch die Punkte P und Q ist gegeben durch g = x 1 x 2 = p + λ P Q = 1 2 2 + λ 4. x 3 3 4 Der Punkt A(3, 2, 1) liegt (mit λ = 1) auf g, der Punkt B = (3, 1, 1) jedoch nicht. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 25 / 67

Ebenen Es gibt mehrere Wege eine Ebene zu beschreiben: über 3 gegebene Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen) über 2 gegebene Punte und eine Richtung über 1 gegebenen Punkt und 2 (nicht parallele) Richtungen über 1 gegebenen Punkt und einen Normalenvektor Die Varianten 1-3 sind sehr ähnlich. Es ergibt sich die Parameterform Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 26 / 67

Ebenen Es gibt mehrere Wege eine Ebene zu beschreiben: über 3 gegebene Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen) über 2 gegebene Punte und eine Richtung über 1 gegebenen Punkt und 2 (nicht parallele) Richtungen über 1 gegebenen Punkt und einen Normalenvektor Die Varianten 1-3 sind sehr ähnlich. Es ergibt sich die Parameterform Definition 2.2 Ein Ebene im R 3 in Parameterdarstellung ist gegeben durch E := x 1 x 2 = p + λ r + µ s = p 1 p 2 + λ r 1 r 2 + µ s 1 s 2 x 3 p 3 r 3 s 3 wobei p der Ortsvektor zum Punkt P = (p 1, p 2, p 3 ) ist, r, s linear unabhängig sind und λ, µ R. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 26 / 67

Ebenen Es gibt mehrere Wege eine Ebene zu beschreiben: über 3 gegebene Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen) über 2 gegebene Punte und eine Richtung über 1 gegebenen Punkt und 2 (nicht parallele) Richtungen über 1 gegebenen Punkt und einen Normalenvektor Die Varianten 1-3 sind sehr ähnlich. Es ergibt sich die Parameterform Definition 2.2 Ein Ebene im R 3 in Parameterdarstellung ist gegeben durch E := x 1 x 2 = p + λ r + µ s = p 1 p 2 + λ r 1 r 2 + µ s 1 s 2 x 3 p 3 r 3 s 3 wobei p der Ortsvektor zum Punkt P = (p 1, p 2, p 3 ) ist, r, s linear unabhängig sind und λ, µ R. Seien P, Q und R drei verschiedene Punkte im R 3. Dann ist die Ebene durch die Punkte gegeben durch E := p + λ P Q + µ P R. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 26 / 67

Eine Ebene ist bestimmt durch zwei Richtungen. Es gibt (bis auf das Vorzeichen) genau ein Richtung, die senkrecht auf der Ebene steht. Sei E = p + λ r + µ s und n = r s. Sei P = (p 1, p 2, p 3 ) T ein gegebener Punkt in der Ebene. Dann gilt für jeden weiteren Punkt X = (x 1, x 2, x 3 ) T in der Ebene x 1 p 1 n 1 P X n = 0 x 2 p 2 n 2 = 0 ( x p) n = 0 x 3 p 3 Diese Darstellung heißt Normalenform. Es gilt weiterhin: n 3 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 27 / 67

Eine Ebene ist bestimmt durch zwei Richtungen. Es gibt (bis auf das Vorzeichen) genau ein Richtung, die senkrecht auf der Ebene steht. Sei E = p + λ r + µ s und n = r s. Sei P = (p 1, p 2, p 3 ) T ein gegebener Punkt in der Ebene. Dann gilt für jeden weiteren Punkt X = (x 1, x 2, x 3 ) T in der Ebene x 1 p 1 n 1 P X n = 0 x 2 p 2 n 2 = 0 ( x p) n = 0 x 3 p 3 Diese Darstellung heißt Normalenform. Es gilt weiterhin: Es ist d := p n bekannt. Also ist n 3 ( x p) n = x n p n n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = d Dies ist die Ebenengleichung in Koordinatenform Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 27 / 67

Eine Ebene ist bestimmt durch zwei Richtungen. Es gibt (bis auf das Vorzeichen) genau ein Richtung, die senkrecht auf der Ebene steht. Sei E = p + λ r + µ s und n = r s. Sei P = (p 1, p 2, p 3 ) T ein gegebener Punkt in der Ebene. Dann gilt für jeden weiteren Punkt X = (x 1, x 2, x 3 ) T in der Ebene x 1 p 1 n 1 P X n = 0 x 2 p 2 n 2 = 0 ( x p) n = 0 x 3 p 3 Diese Darstellung heißt Normalenform. Es gilt weiterhin: Es ist d := p n bekannt. Also ist n 3 ( x p) n = x n p n n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = d Dies ist die Ebenengleichung in Koordinatenform Sei e n := n n der Einheitsvektor in Richting n, d e := p e n. Dann ist die Hessesche Normalform der Ebene gegeben durch q e n = d e Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 27 / 67

Beispiel Gegeben seien die Punkte P = (1, 2, 1), Q = ( 2, 1, 1), R = (5, 5, 0). Dann ist die durch die 3 Punkte aufgespannte Ebene in Parameterform x 1 1 3 4 E := x 2 = 2 + λ 1 + µ 7, 1 2 1 x 3 in Normalenform (mit P Q P R = (13, 11, 25) T ) x 1 1 13 x 2 2 11 = 0 x 3 + 1 25 und in Koordinatenform 13x 1 + 11x 2 + 25x 3 = 10 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 28 / 67

Lagebeziehungen einfach: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 29 / 67

Lagebeziehungen einfach: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene Gerade-Gerade identisch parallel schneiden sich in einem Punkt windschief Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 29 / 67

Lagebeziehungen einfach: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene Gerade-Gerade identisch parallel schneiden sich in einem Punkt windschief Gerade-Ebene Gerade liegt in Ebene parallel schneiden sich in einem Punkt Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 29 / 67

Lagebeziehungen einfach: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene Gerade-Gerade identisch parallel schneiden sich in einem Punkt windschief Gerade-Ebene Gerade liegt in Ebene parallel schneiden sich in einem Punkt Ebene-Ebene parallel schneiden sich in einer Gerade Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 29 / 67

Matrizen Matrizen beschreiben lineare Operatoren auf Vektoren, sie verallgemeinern die lineare Funktion y = ax. Sie treten auch bei linearen Gleichungssystemen auf. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 30 / 67

Definition 3.1 Unter einer reellen n m-matrix A R n m versteht man die n m Zahlen a ij, i = 1,..., n, j = 1,... m,die in dem rechteckigen Schema a 11 a 12 a 1,m 1 a 1,m a 21 a 22 a 2,m 1 a 2,m A =.... a n 1,1 a n 1,2 a n 1,m 1 a n 1,m a n,1 a n,2 a n,m 1 a n,m zusammengefasst werden. Wir schreiben auch kurz A = (a ij ). Die Matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten. Die Zahlen a ij heißen Matrixelemente. Die Elemente a i,i heißen Diagonalelemente. Eine Matrix heißt quadratisch wenn m = n. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 31 / 67

Definition 3.1 Unter einer reellen n m-matrix A R n m versteht man die n m Zahlen a ij, i = 1,..., n, j = 1,... m,die in dem rechteckigen Schema a 11 a 12 a 1,m 1 a 1,m a 21 a 22 a 2,m 1 a 2,m A =.... a n 1,1 a n 1,2 a n 1,m 1 a n 1,m a n,1 a n,2 a n,m 1 a n,m zusammengefasst werden. Wir schreiben auch kurz A = (a ij ). Die Matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten. Die Zahlen a ij heißen Matrixelemente. Die Elemente a i,i heißen Diagonalelemente. Eine Matrix heißt quadratisch wenn m = n. Beispiel Es sind A = ( ) 1 1.5 6 2 1 3 R 0.5 0 1 2 3 und A = 2 1 3 R 3 3. 0.5 0 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 31 / 67

Definition 3.2 Eine Matrix I R n n mit 1 als Diagonalelementen und 0 sonst, 1 0 0 0 1 0 I =...... 0 0 1 heißt Einheitsmatrix (manchmal auch mit E bezeichnet) Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 32 / 67

Definition 3.2 Eine Matrix I R n n mit 1 als Diagonalelementen und 0 sonst, 1 0 0 0 1 0 I =...... 0 0 1 heißt Einheitsmatrix (manchmal auch mit E bezeichnet) Weitere spezielle Matrizen: A heißt Diagonalmatrix: n i=1 a ii 0, i j a ij = 0 A heißt obere Dreiecksmatrix: a ij = 0 für i > j A heißt untere Dreiecksmatrix a ij = 0 für i < j Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 32 / 67

Addition von Matrizen Definition 3.3 Seien A = (a ij ) R n m und B = (b ij ) R n m. Die Summe der Matrizen A und B erhält man durch komponentenweises addieren der Einträge a 11 a 12 a 1,m b 11 b 12 b 1,m a 21 a 22 a 2,m C : =...... + b 21 b 22 b 2,m...... a n,m 2 a n,m b n,m 2 b n,m a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1,m + b 1,m a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2,m + b 2,m =...... a n,m 2 + b n,m 1 a n,m + b n,m Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 33 / 67

Addition von Matrizen Definition 3.3 Seien A = (a ij ) R n m und B = (b ij ) R n m. Die Summe der Matrizen A und B erhält man durch komponentenweises addieren der Einträge a 11 a 12 a 1,m b 11 b 12 b 1,m a 21 a 22 a 2,m C : =...... + b 21 b 22 b 2,m...... a n,m 2 a n,m b n,m 2 b n,m a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1,m + b 1,m a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2,m + b 2,m =...... a n,m 2 + b n,m 1 a n,m + b n,m Beispiel ( ) 2 1 3 A =, B = 0.5 0 1 ( ) ( ) 3 1 0 1 0 3, A + B = 0.5 0.5 2 1 0.5 3 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 33 / 67

Sei 0 die Nullmatrix, deren Komponenten alle gleich 0 sind. Zu A = (a ij ) R n m ist A := ( a ij ) R n m die Matrix die entsteht, wenn man das Vorzeichen aller Komponenten ändert. Dann gilt: A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A A + A = A + ( A) = A A = 0 A + B = B + A Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 34 / 67

Sei 0 die Nullmatrix, deren Komponenten alle gleich 0 sind. Zu A = (a ij ) R n m ist A := ( a ij ) R n m die Matrix die entsteht, wenn man das Vorzeichen aller Komponenten ändert. Dann gilt: A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A A + A = A + ( A) = A A = 0 A + B = B + A Man kann Matrizen auch mit Skalaren multiplizieren. Definition 3.4 Die Multiplikation einer Matrix A = (a ij ) R n m mit einem Skalar λ R ergibt eine Matrix B = λa, a 11 a 12 a 1,m λa 11 λa 12 λa 1,m a 21 a 22 a 2,m B = λ...... = λa 21 λa 22 λa 2,m...... a n,m 2 a n,m λa n,m 2 λa n,m Jede Komponente von A wird mit λ multipliziert. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 34 / 67

Sei 0 die Nullmatrix, deren Komponenten alle gleich 0 sind. Zu A = (a ij ) R n m ist A := ( a ij ) R n m die Matrix die entsteht, wenn man das Vorzeichen aller Komponenten ändert. Dann gilt: A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A A + A = A + ( A) = A A = 0 A + B = B + A Man kann Matrizen auch mit Skalaren multiplizieren. Definition 3.4 Die Multiplikation einer Matrix A = (a ij ) R n m mit einem Skalar λ R ergibt eine Matrix B = λa, a 11 a 12 a 1,m λa 11 λa 12 λa 1,m a 21 a 22 a 2,m B = λ...... = λa 21 λa 22 λa 2,m...... a n,m 2 a n,m λa n,m 2 λa n,m Jede Komponente von A wird mit λ multipliziert. Matrizen mit dieser Addition und skalaren Multiplikation bilden einen Vektorraum Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 34 / 67

Matrix-Vektor-Multiplikation Definition 3.5 Sei A = (a ij) R n m und x = (x 1, x 2,..., x m) T R m. Dann ist Ax R n, a 11 a 12 a 1,m x 1 a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1,mx m a 21 a 22 a 2,m x 2 Ax =......... = a 21x 1 + a 22x 2 + + a 2,mx m. a n,1 a n,m 2 a n,m x m a n,1x 1 + + a n,mx m Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 35 / 67

Matrix-Vektor-Multiplikation Definition 3.5 Sei A = (a ij) R n m und x = (x 1, x 2,..., x m) T R m. Dann ist Ax R n, a 11 a 12 a 1,m x 1 a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1,mx m a 21 a 22 a 2,m x 2 Ax =......... = a 21x 1 + a 22x 2 + + a 2,mx m. a n,1 a n,m 2 a n,m x m a n,1x 1 + + a n,mx m Beispiel ( ) 1 2 1 3 A =, x = 1, 0.5 0 1 2 ( ) 2 1 + ( 1) ( 1) + 3 2 Ax = = 0.5 1 + 0 ( 1) + ( 1) 2 ( ) 9 1.5 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 35 / 67

Matrix-Vektor-Multiplikation Definition 3.5 Sei A = (a ij) R n m und x = (x 1, x 2,..., x m) T R m. Dann ist Ax R n, a 11 a 12 a 1,m x 1 a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1,mx m a 21 a 22 a 2,m x 2 Ax =......... = a 21x 1 + a 22x 2 + + a 2,mx m. a n,1 a n,m 2 a n,m x m a n,1x 1 + + a n,mx m Beispiel ( ) 1 2 1 3 A =, x = 1, 0.5 0 1 2 ( ) 2 1 + ( 1) ( 1) + 3 2 Ax = = 0.5 1 + 0 ( 1) + ( 1) 2 ( ) 9 1.5 A hat so viele Spalten wie x Komponenten. Das Ergebnis ist ein Vektor mit so vielen Komponenten, wie A Zeilen hat. Vektoren werden immer von rechts mit Matrizen multipliziert. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 35 / 67

Exkurs: lineare Abbildungen Definition 3.6 Seien V 1, V 2 zwei Vektorräume. Jede Abbildung A von V 1 nach V 2 heißt genau dann lineare Abbildung, wenn gilt: A(x + y) = Ax + Ay x, y V 1 A(λx) = λax x V 1, λ R Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 36 / 67

Exkurs: lineare Abbildungen Definition 3.6 Seien V 1, V 2 zwei Vektorräume. Jede Abbildung A von V 1 nach V 2 heißt genau dann lineare Abbildung, wenn gilt: A(x + y) = Ax + Ay x, y V 1 A(λx) = λax x V 1, λ R Sei V 1 = R m, V 2 = R n. Jede lineare Abbildung A : R m R m ist darstellbar durch eine Matrix A R n m. Jede Matrix A R n m definiert eine lineare Abbildung von R m nach R n Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 36 / 67

Exkurs: lineare Abbildungen Definition 3.6 Seien V 1, V 2 zwei Vektorräume. Jede Abbildung A von V 1 nach V 2 heißt genau dann lineare Abbildung, wenn gilt: A(x + y) = Ax + Ay x, y V 1 A(λx) = λax x V 1, λ R Sei V 1 = R m, V 2 = R n. Jede lineare Abbildung A : R m R m ist darstellbar durch eine Matrix A R n m. Jede Matrix A R n m definiert eine lineare Abbildung von R m nach R n Anwendungen Beispiele für lineare Abbildungen: Koordinaten-(Basis-)transformation, Drehung, Verschiebung, Diskrete Integration, Diskretes Differenzieren,... Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 36 / 67

Matrizenmultiplikation anders ausgedrückt ist Ax = ( m j=1 a ijx j ) i=1,...,n. x als Vektor ist eine m 1-Matrix. Dies motviert folgende Verallgemeinerung auf Matrizen: Definition 3.7 Sei A R n m und B R m p. Dann ist C := A B R n p mit c ij = n a ik b kj, k=1 maw. das Element von C in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 37 / 67

Matrizenmultiplikation anders ausgedrückt ist Ax = ( m j=1 a ijx j ) i=1,...,n. x als Vektor ist eine m 1-Matrix. Dies motviert folgende Verallgemeinerung auf Matrizen: Definition 3.7 Sei A R n m und B R m p. Dann ist C := A B R n p mit c ij = n a ik b kj, k=1 maw. das Element von C in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B. Beispiel Sei ( ) 2 1 3, B = 0.5 0 1 2 1 ( ) 7 7 0 4. Dann A B = 0 2.5 1 3 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 37 / 67

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Seien A R n m, B R m p, C R n p (A B) C = A (B C) (A + B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C I A = A I = A Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 38 / 67

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Seien A R n m, B R m p, C R n p (A B) C = A (B C) (A + B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C I A = A I = A ACHTUNG! Es gilt (im allgememeinen) nicht A B = B A Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 38 / 67

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Seien A R n m, B R m p, C R n p (A B) C = A (B C) (A + B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C I A = A I = A ACHTUNG! Es gilt (im allgememeinen) nicht A B = B A Beispiel ( ) ( ) ( ) 2 5 4 2 13 11 = 3 1 1 5 11 9 ( ) ( ) ( ) 4 2 2 5 3 22 = 1 5 3 1 11 2 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 38 / 67

Definition 3.8 Unter der transponierten Matrix versteht man die Matrix A T = (a ji ), die man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält. Gilt A = A T so heißt A symmetrisch. Ist A = A T, so heißt A schiefsymmetrisch Es gilt für A = (a ij ) R n m und B = (b ij ) R n m : Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 39 / 67

Definition 3.8 Unter der transponierten Matrix versteht man die Matrix A T = (a ji ), die man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält. Gilt A = A T so heißt A symmetrisch. Ist A = A T, so heißt A schiefsymmetrisch Beispiel A = ( ) 2 0.5 2 1 3 R 2 3 A T = 1 0 R 3 2 0.5 0 1 3 1 Es gilt für A = (a ij ) R n m und B = (b ij ) R n m : Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 39 / 67

Definition 3.8 Unter der transponierten Matrix versteht man die Matrix A T = (a ji ), die man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält. Gilt A = A T so heißt A symmetrisch. Ist A = A T, so heißt A schiefsymmetrisch Beispiel A = ( ) 2 0.5 2 1 3 R 2 3 A T = 1 0 R 3 2 0.5 0 1 3 1 Es gilt für A = (a ij ) R n m und B = (b ij ) R n m : (A T ) T ) = A (A + B) T = A T + B T (A B) T = B T A T (A 1 ) T = (A T ) 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 39 / 67

Definition 3.8 Unter der transponierten Matrix versteht man die Matrix A T = (a ji ), die man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält. Gilt A = A T so heißt A symmetrisch. Ist A = A T, so heißt A schiefsymmetrisch Beispiel A = ( ) 2 0.5 2 1 3 R 2 3 A T = 1 0 R 3 2 0.5 0 1 3 1 Es gilt für A = (a ij ) R n m und B = (b ij ) R n m : (A T ) T ) = A (A + B) T = A T + B T (A B) T = B T A T (A 1 ) T = (A T ) 1 Dabei ist A 1 die inverse matrix zu A (falls diese existiert). Wir werden diese demnächst kennenlernen. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 39 / 67

Inverse Matrix Definition 3.9 Eine Matrix A heißt regulär oder invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt, so dass A B = B A = I mit der Einheitsmatrix I. B ist die inverse Matrix Wir bezeichnen sie mit A 1. Die Matrix A heißt dann regulär oder invertierbar. Eine Matrix, zu der es keine inverse gibt, heißt singulär Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 40 / 67

Inverse Matrix Definition 3.9 Eine Matrix A heißt regulär oder invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt, so dass A B = B A = I mit der Einheitsmatrix I. B ist die inverse Matrix Wir bezeichnen sie mit A 1. Die Matrix A heißt dann regulär oder invertierbar. Eine Matrix, zu der es keine inverse gibt, heißt singulär Theorem 4 Jede nicht-quadratische Matrix A R n m mit n m ist singulär. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 40 / 67

Inverse Matrix Definition 3.9 Eine Matrix A heißt regulär oder invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt, so dass A B = B A = I mit der Einheitsmatrix I. B ist die inverse Matrix Wir bezeichnen sie mit A 1. Die Matrix A heißt dann regulär oder invertierbar. Eine Matrix, zu der es keine inverse gibt, heißt singulär Theorem 4 Jede nicht-quadratische Matrix A R n m mit n m ist singulär. Beispiel Die Matrix A = ( ) ( ) 1 2 1 2 besitzt die inverse Matrix A 1 1 1 = : 1 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 = 1 1 1 1 ( ) 1 0, 0 1 ( ) 1 2 1 1 ( ) 1 2 = 1 1 ( ) 1 0 0 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 40 / 67

Inverse Matrix Definition 3.9 Eine Matrix A heißt regulär oder invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt, so dass A B = B A = I mit der Einheitsmatrix I. B ist die inverse Matrix Wir bezeichnen sie mit A 1. Die Matrix A heißt dann regulär oder invertierbar. Eine Matrix, zu der es keine inverse gibt, heißt singulär Theorem 4 Jede nicht-quadratische Matrix A R n m mit n m ist singulär. Beispiel Die Matrix A = ( ) ( ) 1 2 1 2 besitzt die inverse Matrix A 1 1 1 = : 1 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 = 1 1 1 1 ( ) 1 0, 0 1 ( ) 1 2 1 1 ( ) 1 2 = 1 1 ( ) 1 0 0 1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 40 / 67

Rang einer Matrix Wir möchten Kriterien, die uns sagen, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Definition 3.10 Sei A R n m. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A heißt Spaltenrang von A. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A heißt Zeilenrang von A. Es gilt stets, dass Zeilenrang und Spaltenrang identisch sind. Daher bezeichnen wir als Rang einer Matrix die maximale Anzahl linear unbhängiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 41 / 67

Rang einer Matrix Wir möchten Kriterien, die uns sagen, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Definition 3.10 Sei A R n m. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A heißt Spaltenrang von A. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A heißt Zeilenrang von A. Es gilt stets, dass Zeilenrang und Spaltenrang identisch sind. Daher bezeichnen wir als Rang einer Matrix die maximale Anzahl linear unbhängiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Beispiel ( ) ( ) 1 2 1 2 A = hat Rang 2, B = hat Rang 1. 1 1 2 4 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 41 / 67

Rang einer Matrix Wir möchten Kriterien, die uns sagen, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Definition 3.10 Sei A R n m. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A heißt Spaltenrang von A. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A heißt Zeilenrang von A. Es gilt stets, dass Zeilenrang und Spaltenrang identisch sind. Daher bezeichnen wir als Rang einer Matrix die maximale Anzahl linear unbhängiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Beispiel ( ) ( ) 1 2 1 2 A = hat Rang 2, B = hat Rang 1. 1 1 2 4 Theorem 5 Sei A R n n. Dann ist A invertierbar genau dann, wenn sie Rang n hat. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 41 / 67

Determinanten Definition 3.11 Die Determinate det A = A einer quadratischen Matrix A ist eine Funktion, die der Matrix A R n n eindeutig ein Skalar zuordnet. Gilt det A 0, so ist A invertierbar. Die allgemeine Definiton der Determinante ist kompliziert und unpraktisch. Wir betrachten zuerst drei Spezialfälle: Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 42 / 67

Determinanten Definition 3.11 Die Determinate det A = A einer quadratischen Matrix A ist eine Funktion, die der Matrix A R n n eindeutig ein Skalar zuordnet. Gilt det A 0, so ist A invertierbar. Die allgemeine Definiton der Determinante ist kompliziert und unpraktisch. Wir betrachten zuerst drei Spezialfälle: n = 1: det A = det a 11 = a 11 n = 2: det A = a 11 a 12 a 21 a 22 := a 11 a 22 a 12 a 21 n = 3: mit Regel von Sarrus a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 :=a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 42 / 67

Man kann Determinaten rekursiv berechnen. Definition 3.12 Sei A = (a ij ) R n n und A ij, die Matrix, die entsteht, wenn man in A die i-te zeile und j-te Spalte streicht. Dann heißt α ij := ( 1) i+j det A ij algebraisches Komplement zum Element a ij. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 43 / 67

Man kann Determinaten rekursiv berechnen. Definition 3.12 Sei A = (a ij ) R n n und A ij, die Matrix, die entsteht, wenn man in A die i-te zeile und j-te Spalte streicht. Dann heißt α ij := ( 1) i+j det A ij algebraisches Komplement zum Element a ij. Theorem 6 Sei j eine beliebige Spalte von A R n n. Dann gilt: det A = A = a 1j α 1j + a 2j α 2j + + a nj α nj = analog, sei i eine beliebige Zeile von A R n n. Dann gilt: det A = A = a i1 α i1 + a i2 α i2 + + a in α in = n a kj α kj k=1 n a ik α ik k=1 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 43 / 67

Beispiel 0 1 3 2 Sei A = 1 5 2 3 0 0 0 2. Wir entwickeln det A nach der ersten Spalte: 0 1 3 2 5 2 3 1 3 2 det A =0 ( 1) 1+1 0 0 2 + ( 1) ( 1)2+1 0 0 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 + 0 ( 1) 3+1 5 2 3 1 3 2 + 0 1 3 2 ( 1)4+1 5 2 3 0 0 2 1 3 2 = 0 0 2 dies entwickeln wir nach der 2. Zeile 1 3 2 = 0 ( 1) 2+1 3 2 3 2 + 0 1 2 ( 1)2+2 1 2 + ( 2) 1 3 ( 1)2+3 1 3 = 2 1 3 1 3 = 2 (1 3 3 ( 1)) = 12 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 44 / 67

Mit Hilfe des algebraischen Komplements kann man zu gegebener regulärer Matrix A R n n die inverse Matrix berechnen. Es ist α 11 α 12 α 1n A 1 = 1 α 21 α 22 α 2n det A...... α n1 α n2 α nn Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 45 / 67

Mit Hilfe des algebraischen Komplements kann man zu gegebener regulärer Matrix A R n n die inverse Matrix berechnen. Es ist α 11 α 12 α 1n A 1 = 1 α 21 α 22 α 2n det A...... α n1 α n2 α nn Inverse einer 2 2 Matrix ( ) ( ) a11 a Sei A = 12. Dann ist A a 21 a 1 1 a22 a = 12 a 22 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 45 / 67

Mit Hilfe des algebraischen Komplements kann man zu gegebener regulärer Matrix A R n n die inverse Matrix berechnen. Es ist α 11 α 12 α 1n A 1 = 1 α 21 α 22 α 2n det A...... α n1 α n2 α nn Inverse einer 2 2 Matrix ( ) ( ) a11 a Sei A = 12. Dann ist A a 21 a 1 1 a22 a = 12 a 22 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 Wir werden noch eine einfachere Möglichkeit zur Berechnung der inversen Matrix kennenlernen. Aber werfen wir erst einen Blick auf Eigenschaften der Determinante. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 45 / 67

Theorem 7 Sei A R n n. Dann ist A invertierbar (regulär), genau dann, wenn det A 0 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 46 / 67

Theorem 7 Sei A R n n. Dann ist A invertierbar (regulär), genau dann, wenn det A 0 Theorem 8 Sei A R n n eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix. Dann ist die Determinante von A gleich dem Produkt der Diagonaleinträge det A = a 11 a 22 a nn Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 46 / 67

Theorem 7 Sei A R n n. Dann ist A invertierbar (regulär), genau dann, wenn det A 0 Theorem 8 Sei A R n n eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix. Dann ist die Determinante von A gleich dem Produkt der Diagonaleinträge Theorem 9 Seien A, B R n n. Dann gilt: det (A B) = det A det B det A = det A T det A = a 11 a 22 a nn det A 1 = (det A) 1 falls A invertierbar ist Theorem 10 Seien v 1,..., v n n Vektoren in R n. Dann sind die Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante v 1 v n mitden v i als Spalten ungleich Null ist. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 46 / 67

Rechenregeln für Determinanten Sei A R n n mit Spaltenvektoren ( a 1, a 2,..., a n ). Dann gilt für die Determinante det A = a 1 a 2... a n ein gemeinsamer Faktor einer Spalte kann vor die Determinante gezogen werden: a 1... a i 1 λ a i a i+1... a n = λ a 1... a i 1 a i a i+1... a n Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 47 / 67

Rechenregeln für Determinanten Sei A R n n mit Spaltenvektoren ( a 1, a 2,..., a n ). Dann gilt für die Determinante det A = a 1 a 2... a n ein gemeinsamer Faktor einer Spalte kann vor die Determinante gezogen werden: a 1... a i 1 λ a i a i+1... a n = λ a 1... a i 1 a i a i+1... a n Bei Vertauschung zweier Spalten ändert sich das Vorzeichen der Determinante: a 1... a i 1 a i a i+1... a k 1 a k a k+1... a n = a 1... a i 1 a k a i+1... a k 1 a i a k+1... a n Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 47 / 67

Rechenregeln für Determinanten Sei A R n n mit Spaltenvektoren ( a 1, a 2,..., a n ). Dann gilt für die Determinante det A = a 1 a 2... a n ein gemeinsamer Faktor einer Spalte kann vor die Determinante gezogen werden: a 1... a i 1 λ a i a i+1... a n = λ a 1... a i 1 a i a i+1... a n Bei Vertauschung zweier Spalten ändert sich das Vorzeichen der Determinante: a 1... a i 1 a i a i+1... a k 1 a k a k+1... a n = a 1... a i 1 a k a i+1... a k 1 a i a k+1... a n hat eine Matrix 2 gleiche (parallele) Spalten, so gilt det A = 0 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 47 / 67

Rechenregeln für Determinanten Sei A R n n mit Spaltenvektoren ( a 1, a 2,..., a n ). Dann gilt für die Determinante det A = a 1 a 2... a n ein gemeinsamer Faktor einer Spalte kann vor die Determinante gezogen werden: a 1... a i 1 λ a i a i+1... a n = λ a 1... a i 1 a i a i+1... a n Bei Vertauschung zweier Spalten ändert sich das Vorzeichen der Determinante: a 1... a i 1 a i a i+1... a k 1 a k a k+1... a n = a 1... a i 1 a k a i+1... a k 1 a i a k+1... a n hat eine Matrix 2 gleiche (parallele) Spalten, so gilt det A = 0 der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Spalte ein vielfaches einer anderen Spalte addiert: a 1... a i 1 a i a i+1... a n = a 1... a i 1 ( a i + λ a k ) a i+1... a n Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 47 / 67

Rechenregeln für Determinanten Sei A R n n mit Spaltenvektoren ( a 1, a 2,..., a n ). Dann gilt für die Determinante det A = a 1 a 2... a n ein gemeinsamer Faktor einer Spalte kann vor die Determinante gezogen werden: a 1... a i 1 λ a i a i+1... a n = λ a 1... a i 1 a i a i+1... a n Bei Vertauschung zweier Spalten ändert sich das Vorzeichen der Determinante: a 1... a i 1 a i a i+1... a k 1 a k a k+1... a n = a 1... a i 1 a k a i+1... a k 1 a i a k+1... a n hat eine Matrix 2 gleiche (parallele) Spalten, so gilt det A = 0 der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Spalte ein vielfaches einer anderen Spalte addiert: a 1... a i 1 a i a i+1... a n = a 1... a i 1 ( a i + λ a k ) a i+1... a n Die gleichen Regeln gelten auch für Zeilen anstatt Spalten! Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 47 / 67

Anwendung: man kann mit diesen Eigenschaften eine Determinante so umformen, dass man das Ergebnis leicht berechnen kann. Man überführt dabei eine beliebige Determinante a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn in die Form ã 11 ã 12 ã 1n 0 ã 22 ã 2n,... 0 0 ã nn also in die Form einer oberen Dreiecksmatrix. Die Determinante ist dann gleich dem Produkt der Diagonalelemente, siehe Satz 8. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 48 / 67

Man addiert geschickt vielfache der Zeilen untereinander. Dies wird am besten in einem Beispiel deutlich: Beispiel Es ist (mit Z für Zeile ) 3 1 0 2 2 1 0 1 1 = ( 3) 1 1/3 0 2 2 1 0 1 1 2.Z=2.Z 2 1.Z 1 1/3 0 = ( 3) 0 8/3 1 0 1 1 = ( 3) 8 1 1/3 0 3 0 1 3/8 0 1 1 3.Z=3.Z 2.Z = ( 3) 8 1 1/3 0 3 0 1 3/8 0 0 11/8 = ( 3) 8 11 [1 1 3 8 ] = 11 Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 49 / 67

Lineare Gleichungssysteme Definition 4.1 Unter einem linearen Gleichungssystem (LGS) verstehen wir ein ein System aus m Gleichungen derselben n unbekannten Variablen x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. =. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m fasst man x 1,..., x n zum Lösungsvektor x, die Zahlen b 1,..., b m zu einem Vektor b und die Zahlen a ik zu einer Koeffizientenmatrix A zusammen, kann man das Gleichungssystem in Matrixform schreiben: Ax = b Lineare Gleichungssysteme gehören zu den häufigsten Problemen in der Mathematik, auch wir haben sie bereits früher angetroffen. Daniel Gerth (JKU) Lineare Algebra 50 / 67