Die Funktion Funktionen bezeichnen in der Mathematik Zuordnungen, die bestimmte Eigenschaften aufweisen. Du trainierst verschiedene Begriffe, die für das Arbeiten mit Funktionen wichtig sind, und arbeitest mit einigen Grundtypen von Funktionen. Notiere Definitionen und wichtige Begriffe in deiner Mitschrift! Information 1 Abhängigkeiten Im Alltag, in der Natur und in der Mathematik treten viele Zusammenhänge auf, in denen zwei Größen voneinander abhängen. Beispiele: Der Wasserstand in einer Regentonne hängt von der Niederschlagsmenge ab. Die zurückgelegte Strecke bei einer Radtour hängt von der Fahrzeit ab. Die Anzahl der Lehrer/innen an einer Schule hängt von der Anzahl der Klassen ab. Aufgabe 1 Abhängigkeiten Ergänze die folgenden Sätze. Die Kosten für SMS hängen von... ab. Die Anzahl der Badegäste im Freibad hängt von.... ab. Der Flächeninhalt eines Quadrats hängt von.... ab. Das Volumen eines Würfels hängt von.... ab. Information 2 Was ist eine Funktion? Das Volumen eines Würfels hängt von der Kantenlänge des Würfels ab. Diese Beziehung kann auf verschiedene Weise beschrieben werden. V = a 3 V(a) = a 3 Sprechweise: V von a ist gleich a 3. Um auszudrücken, dass ein Würfel die Kantelänge 2 hat, kannst du die Variable a durch 2 ersetzen. V(2) = 2 3 = 8 Sprechweise: V an der Stelle 2 ist 8. 1
Solche Abhängigkeiten werden Funktionen genannt. Text in der Alltagsprache: Das Volumen eines Würfels hängt von der Kantenlänge des Würfels ab. Mathematische Sprechweise: V ist eine Funktion von a. Dabei bezeichnet a die unabhängige Variable und V die abhängige Variable. Aufgabe 2 Zuordnungsübung: Unabhängige Variablen Ordne vorgegebenen Texten und Funktionen die entsprechende unabhängige Variable zu! Information 3 Definition Funktion Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Das bedeutet für Abhängigkeiten, die in Worten formuliert werden, dass es stets eine eindeutige Antwort gibt. Für zahlenmäßige Abhängigkeiten bedeutet es, dass jedem Wert der unabhängigen Variablen genau eine reelle Zahl zugeordnet werden kann. 2
Beispiele für eindeutige Zuordnungen: - Jedem Menschen kann eindeutig ein Geburtsdatum zugeordnet werden. - Jeder Kantenlänge kann eindeutig ein Würfelvolumen zugeordnet werden: V(a) = a 3 - Zu einem x-wert gibt es einen bestimmten y-wert: Beispiele für nicht eindeutige Zuordnungen: - Einem bestimmten Geburtsdatum kann nicht immer eindeutig eine Person (z. B. innerhalb einer Schule) zugeordnet werden. Es kann mehrere Personen mit dem gleichen Geburtsdatum geben. - Zu einem vorgegebenen Volumen eines Quaders kann nicht eindeutig eine bestimmte Höhe angegeben werden. - Es gibt x-werte, denen zwei y-werte zugeordnet sind: Aufgabe 3 - Eindeutige Zuordnung 3
Information 4 Fachbegriffe Für das Arbeiten mit Funktionen ist es hilfreich, ein paar Fachbegriffe zu kennen. Beispiel: f(x) = 2x 1 x wird als unabhängige Variable (da sie variiert wird) bzw. als Argument bezeichnet. f(x) ist für ein gegebenes x der entsprechende Funktionswert an der Stelle x. f(x) = 2x 1 ist die Funktionsgleichung. 2x 1 ist der Funktionsterm. 4
Aufgabe 4 - Zuordnungsübung: Funktion - Begriffe Aufgabe 5 - Zuordnungsübung: Funktion - Begriffe 5
Zuordnung Diagramm: Die Betrachtung eines Funktionsgraphen findet immer für wachsende x statt, d.h. der Graph wird grundsätzlich von links nach rechts "gegangen" (und nie umgekehrt!). (Deshalb ja auch zeigt der Pfeil an der x-achse nur nach rechts, obwohl die x-achse natürlich nach beiden Seiten ins Unendliche geht.) 6