KAPITEL II Elektrostatik Im stationären Fall vereinfachen sich die Maxwell Gauß- und Maxwell Faraday-Gleichungen zu E( r) = ρ el.( r) E( r) = 0. (II.1a) (II.1b) Dabei hängt die Rotation der jetzt zeitunabhängigen elektrischen Feldstärke E( r) nicht mehr von der magnetischen Induktion ab. II.1 Elektrisches Potential II.1.1 Skalarpotential Betrachte ein einfach zusammenhängendes Gebiet (4) des Raums. Aus der stationären Maxwell Faraday-Gleichung (II.1b) folgt die Existenz einer differenzierbaren skalaren Funktion Φ( r) derart, dass die Beziehung E( r) = Φ( r) (II.) in jedem Punkt r des Gebiets erfüllt wird. Nach Angabe eines beliebigen Punktes r 0 kann man nämlich Φ durch r Φ( r) = Φ( r 0 ) E( r ) d r (II.3) r 0 definieren, wobei das Wegintegral dank dem Stokes schen Satz unabhängig vom Weg ist, so dass Φ( r) eindeutig festgelegt ist, abgesehen von der beliebigen Wahl des Zahlenwerts für Φ( r 0 ). Φ wird als elektrostatisches Potential oder Skalarpotential bezeichnet. Die zugehörige SI-Einheit ist das olt () mit physikalischer Dimension [Φ = M L T 3 I 1. Bemerkungen: Offensichtlich ist das elektrostatische Potential Φ nur bis auf eine additive Konstante bestimmt, entsprechend der Wahl von Φ( r 0 ) in Gl. (II.3). Wie wir im Kap.?? sehen werden, gilt Gl. (II.) nicht mehr im nicht-stationären Fall. II.1. Poisson-Gleichung Das Ausdrücken des elektrostatischen Feldes in der Maxwell Gauß-Gleichung (II.1a) durch das Skalarpotential gemäß Gl. (II.) führt zur Poisson-Gleichung Φ( r) = ρ el.( r) (II.4)
14 Elektrostatik mit dem Laplace-Operator. Insbesondere ergibt sich im akuum, d.h. in Abwesenheit von Ladungen, die Laplace-Gleichung Φ( r) = 0, deren Lösungen die sog. harmonischen Funktionen sind. (II.5) Die Poisson-Gleichung (II.4) ist eine inhomogene (für ρ el. 0!) lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung; die Laplace-Gleichung (II.5) ist die assoziierte homogene Differentialgleichung. Die Bestimmung einer speziellen Lösung der Poisson-Gleichung wird in Abschn. II. diskutiert. Gauß sches Gesetz Sei eine geschlossene Fläche, die ein zusammenhängendes Raumvolumen einschließt. Der elektrische Fluss durch die Oberfläche wird durch Φ E E( r) d S (II.6) gegeben. Dabei ist d S = d S e n der vektorielle Oberflächenelement, wobei e n den Normaleinheitsvektor zu d S bezeichnet. Unter erwendung des Integralsatzes von Gauß ist das Oberflächenintegral auf der rechten Seite gleich dem olumenintegral der Divergenz des Integranden, d.h. E( r) d S = E( r) d 3 r. Unter Betrachtung der Maxwell Gauß-Gleichung (II.1a) lässt sich E( r) ersetzen ρ el. ( r) Φ E = d 3 r. Daher ergibt sich das Gauß sche Gesetz Φ E = Q, (II.7) wobei Q die Gesamtladung im olumen bezeichnet. Dieses Resultat stellt die globale Formulierung der lokalen Maxwell Gauß-Gleichung (II.1a) dar. II.1.3 Elektrisches Feld und Potential von Ladungen II.1.3 a Elektrisches Feld und Potential einer Punktladung Eine Punktladung befinde sich im Punkt r 0, während im Rest des Raums akuum herrscht. Dann ist die Situation kugelsymmetrisch um r 0. Insbesondere sollte das elektrische Feld E( r) in konstantem Abstand r r 0 von der Punktladung einen konstanten Betrag E ( r r 0 ) haben. Für die Richtung des elektrischen Feldes, die am meistens symmetrische Möglichkeit ist, das es in jedem Punkt entlang der Radialrichtung mit Einheitsvektor ( r r 0 )/ r r 0 zeigt. Somit ist ein vernünftiger Ansatz E( r) = E ( r r 0 ) r r 0 r r 0. (II.8) Betrachte man jetzt eine in r 0 zentrierte Kugel mit Radius R. In jedem Punkt der Kugelfläche ist das elektrische Feld normal, d.h. parallel zur Radialrichtung r r 0, und nach außen gerichtet, so dass E( r) d S = E( r) d S
II.1 Elektrisches Potential 15 gilt. Dabei ist definitionsgemäß die Menge der Punkte mit r r 0 = R, so dass E( r) im Integral durch E(R) ersetzt werden kann. Da dieser Betrag konstant über bleibt, kann er aus dem Integral herausgezogen werden: E( r) d S = E(R) d S = 4πR E(R). Dabei wurde benutzt, dass das Oberflächenintegral im mittleren Glied genau der Flächeninhalt der Kugel mit Radius R darstellt. Dank dem Gauß schen Gesetz (II.7) ist die linke Seite auch mit der Gesamtladung innerhalb des durch abgeschlossenen olumens verknüpft. Hier ist diese Gesamtladung einfach gleich der Ladung, die im Zentrum der Kugel liegt: E( r) d S =. Somit ergibt sich insgesamt = 4πR E(R) bzw. E(R) = 4π R. Nach Einsetzen dieses Betrags in den Ansatz (II.8) ergibt sich schließlich für das elektrische Feld einer Punktladung im Punkt r 0 E( r) = Man prüft problemlos nach, dass das zugehörige Skalarpotential 4π r r 0 r r 0 3 für r r 0. (II.9a) Φ( r) = 4π r r 0 für r r 0 (II.9b) lautet, wobei hier Φ( r) = 0 im Unendlichen gewählt wurde. II.1.3 b Elektrisches Feld und Potential mehrerer Punktladungen Betrachte man jetzt N Punktladungen 1,..., N, die sich jeweils in r 1,..., r N befinden, in Abwesenheit weiterer Ladungen im ganzen Raum. Zur Bestimmung des entsprechenden elektrischen Feldes bzw. Skalarpotentials soll man nur darauf beachten, dass die Grundgleichungen der Elektrostatik sowohl die stationären Maxwell- Gleichungen (II.1) als äuivalent die Beziehung (II.) und die Poisson-Gleichung (II.4) linear ( sind. Demzufolge gilt ein Superpositionsprinzip für die Lösungen der Gleichungen: wenn ρel.,1 ( r), Φ 1 ( r) ) und ( ρ el., ( r), Φ ( r) ) die Poisson-Gleichung (II.4) auf R 3 erfüllen, dann genügen die Funktionen ( ρ el.,1 ( r) + ρ el., ( r), Φ 1 ( r) + Φ ( r) ) ebenfalls der Poisson-Gleichung auf R 3. Dementsprechend lautet das Skalarpotential für die N Punktladungen Φ( r) = a=1 a 4π r r a für r { r 1,..., r N }, (II.10a) wieder mit der Wahl Φ( r) = 0 für r. Das zugehörige elektrische Feld ist E( r) = a=1 a 4π r r a r r a 3 für r { r 1,..., r N }, (II.10b) wie sich entweder aus der Gradientbildung des Skalarpotentials (II.10a) oder aus der Superposition der elektrischen Felder (II.9b) der individuellen Punktladungen folgern lässt.
16 Elektrostatik II.1.3 c Elektrisches Feld und Potential einer Ladungsverteilung Ähnlich dem Übergang (I.15) von einer diskreten Massenverteilung {m a }, entsprechend einer endlichen Anzahl von Massenpunkten, zu einer durch eine Massendichte ρ( r) beschriebenen kontinuierlichen erteilung, kann man von einer endlichen Anzahl von Punktladungen { a } zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ el. übergehen, indem man das Rezept a f( r a ) f( r)ρ el. ( r) d 3 r (II.11) a für jede Funktion f der Positionen der Punktladungen anwendet, wobei das durch die Ladungsverteilung besetzte Raumvolumen bezeichnet. Dementsprechend lautet das elektrostatische Potential bzw. Feld für eine beliebige elektrische Ladungsverteilung ρ el. ( r) Φ( r) = ρ el. ( r ) 4π r r d3 r, (II.1a) bzw. E( r) = ρ el. ( r ) 4π r r r r 3 d3 r. (II.1b) Bemerkungen: Der orsicht halber sollte der Punkt r außerhalb des olumens sein, um unangenehme Divisionen durch 0 zu vermeiden. Hiernach wird das Potential (II.1a) auf eine alternative Weise hergeleitet ( II..). Setzt man in die Gl. (II.1a) (II.1b) die Ladungsverteilung (I.6a) für eine Menge von Punktladungen ein, so findet man natürlich Gl. (II.10a) und (II.10b) wieder. II.1.4 Elektrostatische potentielle Energie II.1.4 a Coulomb-Kraft Betrachte wieder N Punktladungen 1,..., N, die sich jeweils in r 1,..., r N befinden. Da die Punktladung a ruht, lautet die darauf wirkende Lorentz-Kraft F a ( r a ) = a Ea ( r a ) (II.13a) wobei E a ( r a ) das elektrische Feld bezeichnet, das die anderen Ladungen b mit b a im Punkt r a erzeugen. Unter erwendung der Gl. (II.10b) für dieses Feld folgt F a ( r a ) = b=1 b a a 4π r a r b r a r b 3. (II.13b) Falls es nur zwei Punktladungen 1, in den Punkten r 1, r gibt, lautet die Kraft, welche auf 1 ausübt F 1 = 1 4π r 1 r r 1 r 3. (II.14a) Dies ist die bekannte Coulomb-Kraft, die sich aus dem Potential ( r 1, r ) = 1 4π r 1 r, (II.14b)
II.1 Elektrisches Potential 17 gemäß F 1 = 1 ( r 1, r ) ableiten lässt, wobei 1 den Gradienten bezüglich des Ortsvektors r 1 bezeichnet. Bemerkungen: Der Ausdruck der Coulomb-Kraft (II.14a) einer elektrischen Punktladung auf eine andere ist antisymmetrisch unter dem Austausch der zwei Ladungen: F 1 = F 1, in Übereinstimmung mit dem dritten newtonschen Gesetz (I.19). Wenn die Punktladungen sich relativ zu einander bewegen, ist die Kraft zwischen ihnen nicht mehr die Coulomb-Kraft (II.14a). II.1.4 b Potentielle Energie Sei a der Gradient bezüglich des Ortsvektors r a der a-ten Punktladung eines Systems aus N Ladungen. Wie im vorigen Paragraphen bezeichnen E a bzw. F a das elektrische Feld bzw. die Kraft der anderen Ladungen b mit b a. Aus der Maxwell Thomson-Gleichung a E a = 0 und der Gl. (II.13a) folgt a F a = 0: laut der Behauptung vom I.1.3 c ist die Kraft F a konservativ. Genauer gilt F a ( r a ) = a ( { r b } ) (II.15a) mit einer potentiellen Energie, die durch (5) ( { r b } ) = 1 c,d=1 c d c d 4π r c r d (II.15b) gegeben ist. Alternativ gilt ( { r b } ) = 1 c Φ c ( r c ), c=1 (II.15c) wobei Φ c durch Gl. (II.10a) mit r = r c und Summierung über die Punktladungen d mit d c gegeben wird. Beweis: Mit dem Potential (II.15b) gilt unter erwendung der Kettenregel a = 1 ( ) c d 1 a = 1 ( ) c d r c r d δ ca 4π r c r d 4π r c r d 3 + δ r c r d da r c r d 3 = 1 d a c,d=1 c d a d 4π r a r d r a r d 3 1 a c 4π c a c,d=1 c d r c r a r c r a 3. Ersetzt man d bzw. c durch b in der ersten bzw. zweiten Summe der zweiten Zeile, so sind beide Summanden gleich und man findet genau das gesuchte Ergebnis (II.13b). Im Limes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ el. wird die potentielle Energie (II.15c) zu = 1 ρ el. ( r)φ( r) d 3 r (II.16) mit dem Raumvolumen, das die Ladungsverteilung besetzt; eigentlich kann durch R 3 ersetzt werden (5) Dieser Ausdruck stimmt natürlich mit der durch Gl. II.18 hier ohne äußeres Potential definierten gesamten potentiellen Energie eines Mehrteilchensystems überein.
18 Elektrostatik Bemerkung: Die letztere Gleichung könnte auf erster Sicht verwirrend sein, denn das elektrostatische Potential Φ im Integral wird in einem Punkt betrachtet, wo sich Ladungen befinden. Das heißt, dass dies nicht dem Gültigkeitsbereich der Gl. (II.1a) entspricht, für die der Punkt r außerhalb der Ladungsverteilung sein soll. Dies bedeutet nur, dass Φ( r) nicht durch Gl. (II.1a) gegeben ist. II.1.4 c Energie des elektrostatischen Feldes Die potentielle Energie (II.16) einer Ladungsverteilung ρ el. lässt sich auch durch das elektrostatische Feld E( r), das die erteilung erzeugt, ausdrücken. In der Tat gilt R3 E( r) = d 3 r, (II.17) wobei das Integrand als die elektrische Energiedichte e el. ( r) des Feldes im Punkt r interpretiert werden kann. Zum Beweis dieses Ergebnisses kann das Integral auf der rechten Seite der Gl. (II.16) zuerst über das olumen einer Kugel mit Radius R berechnen, dann am Ende den Grenzwert R betrachten. Dank der Maxwell Gauß-Gleichung (II.1a) gilt 1 ρ el. ( r)φ( r) d 3 r = [ E( r) Φ( r) d 3 r. Dabei lässt sich das Integrand mithilfe der Identität [ E( r) Φ( r) = [ Φ( r) E( r) E( r) Φ( r) = [ Φ( r) E( r) + E( r) umschreiben: 1 ρ el. ( r)φ( r) d 3 r = ɛ 0 [Φ( r) E( r) E( r) d 3 r + d 3 r. Der zweite Term auf der rechten Seite gibt das gesuchte Ergebnis im Limes R, so dass man nun beweisen soll, dass der erste Term in diesem Limes verschwindet. Tatsächlich kann das erste olumenintegral auf der rechten Seite mit dem Gauß schen Integralsatz in ein Oberflächenintegral über die Kugelfläche transformiert werden [Φ( r) E( r) d 3 r = Φ( r) E( r) d S. Wenn R groß genug ist, befinden sich alle Ladungen innerhalb der Kugel r R. Dann nehmen das elektrostatische Potential und das Feld mit R ab, gemäß (53) r =R Φ(R) 1 R, E(R) 1 R. Dagegen gilt d S = R d Ω mit d Ω dem Raumwinkelelement. Insgesamt kommt E( r) r =RΦ( r) d S 4πR 1 1 R R 1 R, so dass dieser Term im Grenzwert R Null wird. (53) Dies folgt aus dem Gauß schen Gesetz (II.7), unter erwendung des gleichen Arguments wie in II.1.3 a.