Algorithmen für geographische Informationssysteme 6. Vorlesung: 14. Mai 2014
Ausgleichung bei linearem funktionalen Modell Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen P 2 Δh 2,3 = 7.0 m P 3 Δh 1,2 = 4.1 m Δh 4,2 = 5.4 m Δh 3,4 = 1.1 m P 1 h 1 = 0 m Δh 4,1 = 1.2 m P 4 Gesucht: h 2, h 3, h 4
Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente
Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente 2. Welche Unbekannte sind gesucht? Vektor X, u Elemente
Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente 2. Welche Unbekannte sind gesucht? Vektor X, u Elemente 3. Wie ließen sich die wahren Beobachtungen L bei gegebenen wahren Unbekannten X berechnen? funktionales Modell Φ: X L bzw. L = Φ X = AX Designmatrix A, n Zeilen, u Spalten Zeile i, Spalte j:?
Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente 2. Welche Unbekannte sind gesucht? Vektor X, u Elemente 3. Wie ließen sich die wahren Beobachtungen L bei gegebenen wahren Unbekannten X berechnen? funktionales Modell Φ: X L bzw. L = Φ X = AX Designmatrix A, n Zeilen, u Spalten Zeile i, Spalte j:? 4. Löse Normalgleichung A T AX = A T L. Liefert ausgeglichene Unbekannte X
Beispiel: Ausgleichung von Höhendifferenzen Ausgeglichene Beobachtungen: L = AX Ausgleichung bei linearem 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 A funktionalen Modell X 4.2 2.6 1.3 m 4.2 6.8 1.3 1.3 5.5 m L Δh 1,2 = 4.1 m P 1 4.2 0 m 4.2 m 6.8 2.6 m Δh P 2,3 = 7.0 m 2 P 3 Δh 4,2 = 5.4 m 1.3 5.5 Δh 4,1 = 1.2 m P 4 1.3 m 1.3 Δh 3,4 = 1.1 m
Quelle: wikipedia
Jede Beobachtung ist die Realisierung einer Zufallsvariablen X. Gelegentlich ist eine a-priori- der Beobachtung bekannt, gegeben als Varianz σ 2 : = E X E X 2. Quelle: wikipedia Erwartungswert
Jede Beobachtung ist die Realisierung einer Zufallsvariablen X. Gelegentlich ist eine a-priori- der Beobachtung bekannt, gegeben als Varianz σ 2 : = E X E X 2. Quelle: wikipedia Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E(L) T.
Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2.
Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. Varianzen
Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. Kovarianzen
Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. Korrelationskoeffizienten 1 ρ 12 1 Maß für stochastische Abhängigkeit
Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. In der Regel: Σ LL = σ 1 2 0 0 σ 2 2.
Σ LL oft schwer a priori abzuschätzen, aber srelationen bekannt: Σ LL = σ 0 2 Q LL Varianz der Gewichtseinheit (unbekannte Konstante) Kofaktormatrix (lässt sich gut abschätzen)
Ausgleichungsziel: v T v Min
Ausgleichungsziel: v T v Min v T Pv Min mit P = Q 1 Quelle: wikipedia Verbesserungen genauer Beobachtungen werden besonders bestraft.
Ausgleichungsziel: v T v Min v T Pv Min mit P = Q 1 Gauß-Normalgleichung: A T PAX = A T PL
Wie genau sind Größen, die aus Beobachtungen abgeleitet wurden? Kovarianzfortpflanzungsgesetz
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Gesucht: Kovarianzmatrix des Vektors f Σ LL f = FL Σ ff
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Gesucht: Kovarianzmatrix des Vektors f Σ LL f = FL Σ ff Beispiel: L 1 L 2 f = l 1 + l 2 = 1 1 L 1 L 2 Σ LL = 3 0 0 4 [cm 2 ]
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T Linearität des Erwartungswerts!
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T = E F L E L L E L T F T Linearität des Erwartungswerts!
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T = E F L E L L E L T F T Linearität des Erwartungswerts! = F E L E L L E L T F T
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T = E F L E L L E L T F T Linearität des Erwartungswerts! = F E L E L L E L T F T = FΣ LL F T
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = FΣ LL F T
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = FΣ LL F T Beispiel: f = L 1 + L 2 = 1 1 L 1 L 2 Σ LL = 3 0 0 4 [cm 2 ] Σ ff = 1 1 3 cm2 0 0 4 cm 2 1 1 = 7 cm2
Kovarianzfortpflanzungsgesetz für X? Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min:
Kovarianzfortpflanzungsgesetz für X? Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: mit Σ XX = FΣ LL F T F = A T PA 1 A T P
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 der ausgeglichenen Beobachtungen: Σ LL = AΣ XX A T wegen L = AX
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 der ausgeglichenen Beobachtungen: Σ LL = AΣ XX A T wegen L = AX
Problem: Berechnung von Σ XX = σ 2 0 A T PA 1 erfordert Kenntnis von σ 2 0. Lösung: Schätze σ 0 2 durch Ausgleichung (Kenntnis von srelationen Q LL vorausgesetzt)
σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis)
σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n
σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n σ 0 2 = vt Pv n u = vt v n 1 = n i=1 X L i n 1 2
σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n σ 0 2 = vt Pv n u = vt v n 1 = n i=1 X L i n 1 2
σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n Stichprobenvarianz σ 0 2 = vt Pv n u = vt v n 1 = n i=1 X L i n 1 2
E σ 0 2 = E Beweis für Spezialfall Mittelwert n 2 i=1 X L i n 1
E σ 0 2 = E = 1 n i=1 n X L i 2 n 1 E X μ + μ L n 1 i=1 i = 1 E n X μ 2 2 X μ L n 1 i=1 i μ + L i μ 2 = 1 n 1 n 2 E X μ n 2 n i=1 i=1 2 i=1 X μ L i μ + L i μ 2 = 1 E n X μ 2 2n X μ X μ + n L n 1 i=1 i μ 2 = 1 E n L n 1 i=1 i μ 2 n X μ 2 = 1 n 1 n i=1 E L i μ 2 ne X μ 2 = 1 n 1 nσ 0 2 nσ X 2 = 1 2 nσ n 1 0 2 n σ 0 n Beweis für Spezialfall Mittelwert = σ 0 2 μ = E X
Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen v = L L = 4.2 6.8 1.3 1.3 5.5 m σ 0 2 = vt Pv n u 4.1 7.0 1.1 1.2 5.4 m = 0.11 m2 5 3 σ 0 = 0.23 m = = 0.055 m2 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 m Δh 1,2 = 4.1 m P 1 4.2 Δh P 2,3 = 7.0 m 2 P 3 Δh 4,2 = 5.4 m 1.3 Δh 4,1 = 1.2 m 6.8 5.5 P 4 1.3 Δh 3,4 = 1.1 m
Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 0.625 0.500 0.375 = 0.055 m 2 0.500 1.000 0.500 0.375 0.500 0.625 = 0.0344 0.0275 0.0206 0.0275 0.0550 0.0275 0.0206 0.0275 0.0344 m 2
Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 0.625 0.500 0.375 = 0.055 m 2 0.500 1.000 0.500 0.375 0.500 0.625 = 0.0344 0.0275 0.0206 0.0275 0.0550 0.0275 0.0206 0.0275 0.0344 m 2
Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 0.625 0.500 0.375 = 0.055 m 2 0.500 1.000 0.500 0.375 0.500 0.625 = 0.0344 0.0275 0.0206 0.0275 0.0550 0.0275 0.0206 0.0275 0.0344 m 2
Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 0.625 0.500 0.375 = 0.055 m 2 0.500 1.000 0.500 0.375 0.500 0.625 = 0.0344 0.0275 0.0206 0.0275 0.0550 0.0275 0.0206 0.0275 0.0344 m 2 σ h2 = σ h4 = σ h3 = 0.0344 m 2 = 0.185 m 0.0550 m 2 = 0.235 m
Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen P 1 4.2 Δh 1,2 = 4.1 m 0 m 4.2 m 6.8 2.6 m Δh P 2,3 = 7.0 m 2 P 3 Δh 4,2 = 5.4 m 1.3 5.5 Δh 4,1 = 1.2 m σ h2 = σ h4 = 0.0344 m 2 = 0.185 m σ h3 = 0.0550 m 2 = 0.235 m P 4 1.3 m 1.3 Δh 3,4 = 1.1 m
Σ LL = AΣ XX A T = 0.0344 0.0069 0.0069 0.0206 0.0138 0.0069 0.0344 0.0206 0.0069 0.0138 0.0069 0.0206 0.0344 0.0069 0.0138 0.0206 0.0069 0.0069 0.0344 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0275 m 2
Σ LL = AΣ XX A T = 0.0344 0.0069 0.0069 0.0206 0.0138 0.0069 0.0344 0.0206 0.0069 0.0138 0.0069 0.0206 0.0344 0.0069 0.0138 0.0206 0.0069 0.0069 0.0344 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0275 m 2
Σ LL = AΣ XX A T = 0.0344 0.0069 0.0069 0.0206 0.0138 0.0069 0.0344 0.0206 0.0069 0.0138 0.0069 0.0206 0.0344 0.0069 0.0138 0.0206 0.0069 0.0069 0.0344 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0275 m 2
Σ LL = AΣ XX A T = 0.0344 0.0069 0.0069 0.0206 0.0138 0.0069 0.0344 0.0206 0.0069 0.0138 0.0069 0.0206 0.0344 0.0069 0.0138 0.0206 0.0069 0.0069 0.0344 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0275 m 2 σ Δh1,2 = σ Δh2,3 = σ Δh3,4 = σ Δh4,1 = 0. 0344 m 2 = 0.185 m σ Δh4,2 = 0. 0275 m 2 = 0.166 m Vergleich: σ 0 = 0.23 m sgewinn durch Ausgleichung
Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 der ausgeglichenen Beobachtungen: Σ LL = AΣ XX A T wegen L = AX