Vorlesung 15 ABSCHLUSS UND ZUSAMMENFASSUNG 431
Wiederholung! Größen im Zusammenhang mit Fluss:! Energie des Flusses! Duale Energie: Lagrange-Potential! Dualitätslücke! Zyklusaktualisierung in Form von Energieverbesserung! Dualitätslücke ergibt sich als Zykluspotential! Nun: Beschränkung des erwarteten Fortschritts und der Konvergenz anhand dieser Größen 432
Konvergenz: Hilfsresultate Distanz von optimaler Lösung! Theorem 4.1: Konvergenz: Siehe Tafel! Jede Iteration verringert die Energie des aktuellen Flusses im EW um den Bruchteil (1-1/t) von der Energiedistanz zum optimalen Wert.! Lemma 4.5 (Erwarteter Fortschritt): Siehe Tafel!! Beweis:! In Iteration i wird Nichtbaumkante e i mit Wkt. p e gezogen! Energieabfall dadurch nach Lemma 4.3: Siehe Tafel!! Einsetzen in Erwartungswerte: Siehe Tafel!! Def. von p e und Lemma 4.4 => Ergebnis! Lemma 4.6 (Konvergenzrate): Siehe Tafel!! Beweis: Siehe Tafel! 433
Laufzeitanalyse! Lemma 6.1 (Initiale Energie): Siehe Tafel! 1 1 2 3 1 4 5 6 1 1/2 2 3 1/2! Lemma 6.2 (Güte der bauminduzierten Spannungen): Siehe Tafel! 1/2 4 1/2 5 6! Aufgabe: Berechnen Sie den Fortschritt (Energiedifferenz) zwischen Iteration 0 und Iteration 1! 434
Beweis der Garantie und der Laufzeit! Beweis von Theorem 3.2 (Garantie):! Benutzen Thm. 4.1, Def. von K und Lemma 6.1! Siehe Tafel!! Beweis der Laufzeit:! Verwenden Baum T mit st(t) = O(m log n log log n) in der Zeit O(m log n log log n) => t = O(m log n log log n)! f 0 wird in Zeit O(n) berechnet! R e für alle Kanten: Tarjans LCA in O(m) oder eigene DS in O(m log n)! Initialisierung der DS: O(n log n)! Pro Iteration: O(log n) für Zyklusaktualisierung! Zahl der Iterationen: O(m log n log(n² -1 ) log log n) 435
Fazit! Erster einfacher Laplace-Löser mit beweisbarer LZ O(m)! CG superlinear! Multigrid nicht stringent beweisbar für allgemeine Fälle! Ausnutzung der Dualität von bauminduzierten Spannungen und elektrischen Flüssen! Schnellerer Algorithmus existiert:! Benutzt den einfachen! Ist aufwändiger zu analysieren! Laufzeit: O(m log 2 n log(² -1 ) log log n)! Anstelle von O(log(n² -1 )) nun O(log(² -1 ))! Literatur: Kelner et al.: A Simple, Combinatorial Algorithm for Solving SDD Systems in Nearly-Linear Time. STOC 2013. 436
Zusammenfassung der Vorlesung Angekündigte vs tatsächliche Inhalte:! Dualität von Graphen und Matrizen! Grundlegende Graphenalgorithmen in Matrixalgebra! Netzwerkanalyse! Optimierung von Matrixstrukturen für Graphenalgorithmen! Spektrale Methoden! Lastbalancierung mit Diffusion! Spektrale Partitionierung Clusteranalyse! Ausdünnung von Graphen! Gleichungssystemlöser! Layouten von Graphen 437
Zusammenhänge! Aufgabe:! Stellen Sie die Themen als Knoten eines Graphen dar!! Ziehen Sie Kanten zwischen verwandten Themen!! Beschriften Sie die Kanten mit der Art der Verwandtschaft! 438
Lernziele! Verständnis für Zusammenhang zwischen Graphen und Matrizen! Auftretende Fragestellungen aus der Graphentheorie auf ihren algorithmischen Kern reduzieren! Analyse und/oder Lösung mit Techniken der linearen Algebra! Effiziente praktische Lösung der behandelten Probleme ist wichtiger Bestandteil der Übungen! Geht (teilweise) auch auf Aspekte der Parallelverarbeitung ein! Vorgestellte Methoden selbstständig auf verwandte Fragestellungen anwenden 439
Bachelor-/Masterarbeiten! Gerne!! Insbesondere in den vorher genannten Themengebieten! Beschreibungen liegen aus und sind auf Gruppenwebseite zu Studium und Lehre:! http://parco.iti.kit.edu/lehre.shtml [http://www.uni-rostock.de/weiterbildung/fernstudien/medien-bildung/masterabschluss/]! Bei Interesse einfach ansprechen! [http://www.oc.tu-bs.de/dickschat/masterarbeiten_de.html] 440 H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Termine! Programmierübungen:! 26. Juni (Übungsblatt 4)! 8. Juli (Projektbesprechungen)! Projektpräsentationen:! 17. Juli! Prüfungen:! 5. August! 7. August! 15. Oktober! evtl. auf Anfrage 441