Ziel: Zeichnung gibt gute visuelle Repräsentation der Konnektivität zwischen den Knoten

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1 Szenario Zeichnen großer ungerichteter Graphen Eingabe: G = (V, E) Ausgabe: 2D- oder 3D- Koordinaten x i für jeden Knoten i 2 V Ziel: Zeichnung gibt gute visuelle Repräsentation der Konnektivität zwischen den Knoten Übersichtlichkeit Wenige Überschneidungen Unsere Modellierung: Physikalisches System in Konfiguration mit minimaler Energie 272 Kräftegesteuerte Algorithmen Force-directed Algorithms In der Literatur nicht ganz eindeutig verwandter Begriff Grundsätze: Berechnung von Kräften, die auf die Knoten wirken Bewegung der Knoten entlang der Richtung dieser Kräfte Wiederholung der beiden ersten Operationen, bis das System in einen Gleichgewichtszustand eintritt (Äquilibrium) [ mvcdiagram_anneal_layout.png] spring.avi 273

2 Das Feder-elektrische Modell Spring-electrical Model Problemmodellierung: Knoten sind elektrisch geladen Knoten werden durch Federn gegenseitig angezogen Elektrische Kräfte stoßen die Knoten voneinander ab Anziehende Kraft zwischen Nachbarn i und j: Proportional zur quadrierten Distanz zwischen i und j F a (i, j) = - x i x j 2 / K * (x i x j ) / x i x j K ist ein Skalierungsparameter, abhängig von der Größe des endgültigen Layouts Abstoßende Kraft zwischen allen Knotenpaaren: Invers proportional zur Distanz zwischen i und j F r (i, j) = K 2 / x i x j * (x i x j ) / x i x j 274 Zahlenbeispiel Knoten i: (5, 1) Knoten j: (2, 5) K = 10 F a (i, j) = - x i x j 2 / K * (x i x j ) / x i x j = - 25 / 10 * (3; -4) / 5 = (-1,5; 2) Translation um -1,5 in x-richtung und +2 in y-richtung (bzw. negiert) F r (i, j) = K 2 / x i x j * (x i x j ) / x i x j = 100 / 5 * (3; -4) / 5 = (12; -16) Translation um 12 in x-richtung und -16 in y-richtung (bzw. negiert) 275

3 Energie des Systems und Algorithmus Energie: E(x) = Σ {i, j} 2 E x i x j 3 / 3K Σ i ϕ K 2 ln( x i x j ) NB: Es gibt Varianten dieses Modells Eingabe für Algorithmus beliebig: Zufällige Platzierung der Knoten Ein wie auch immer gewähltes initiales Layout Wiederholung von Kraftberechnung und Verschiebung Verschiebung skaliert um abnehmende Schrittlänge 276 Algorithmus ForceDirectedAlgorithm(G, x, tol) converged = false; step = initial_step_length; while not converged { x 0 = x; for i 2 V { f = 0; // berechne Kraftvektor f for each j 2 N(i) do f := f + F a (i, j); for j i, j 2 V do f := f + F r (i, j); x i := x i + step * (f / f ); // Normalisierung nur einmal pro Knoten } step := update_step_length(step, x, x 0 ); if ( x x 0 < tol * K) converged = true; // K ist Teil des Modells } return x; 277

4 Beispiel Diskussion des Algorithmus Funktioniert für kleine Graphen recht gut Mögliche Verbesserung: Adaptive Aktualisierung der Schrittgröße Für große Graphen ergeben sich Probleme: Problem von vielen lokalen Minima => Multilevel-Ansatz Quadratische Komplexität bei der Berechnung von F r Wie vermeiden? => Geometrische Datenstruktur zur Approximation von F r Idee: Für weit entfernte Knoten reicht ein Näherungswert Laufzeit dann auf O(n log n + m) gedrückt 279

5 Schnelle Kraft-Approximation FD-Algorithmus ist verschachtelte Schleife: Außen über jeden Knoten F a : Innen über Nachbarn F r : Innen über alle anderen Knoten Quadratische Laufzeit für F r Aber: Berechnung der Abstoßungskraft ähnelt n-körper- Problem (Physik) Weit entfernte Knoten in gleicher Region als einen Superknoten verwenden Realisiert mit Quadtree / Octree 280 Quadtree-Datenstruktur Rekursive Datenstruktur, 2D: Quadtree, 3D: Octree Auf dieser Folie: Knoten = Knoten des Quadtrees, Punkt = zu speicherndes Objekt Prinzipielle Idee: Wurzelknoten repräsentiert Ebene / Raum (bzw. Ausschnitt) Fläche des Knotens wird in vier gleich große Rechtecke geteilt, wenn gewünschte Auflösung noch nicht erreicht Mögliches Kriterium: Zahl der Punkte im Knoten [ de/a/a7/quadtree.png] 281

6 Quadtree für die Approximation Ist ein Graph-Knoten weit weg für die Kraftberechnung, genügt ein innerer Baumknoten, es muss kein Blatt sein Innerer Baumknoten repräsentiert Menge von Graphknoten am Schwerpunkt der Menge: x S = (Σ j 2 S x j / S ) Abstoßende Kraft von Knoten i zum Superknoten S: f r (i, S) = K 2 S / x i x S * (x i x S ) / x i x S Aber was bedeutet weit weg? Eine Möglichkeit (Barnes-Hut-Kriterium): Superknoten ist weit weg von Knoten i, wenn die Breite d S des Quadrats (Rechtecks), in dem S liegt, klein ist im Vergleich zur Distanz von S und i: d S / x i x S µ 282 Verfahren anhand einer Abbildung µ 0 ist Parameter, in der Praxis bewährt: µ = 1.2 Je kleiner µ, desto genauer die Näherung Abbildung: [NS12, S. 531] Links: Quadtree, rechts: Superknoten mit Verbindung zum Knoten oben in der Mitte bei µ = 1 283

7 Analyse der Quadtree-basierten Berechnung Annahme: Punkte sind im Quadtree geeignet verteilt Dann: Bau des Quadtrees benötigt O(n log n) Zeit Bestimmen aller Superknoten zu einem Graph-Knoten i in O(log n) Zeit => Laufzeit der Bestimmung der abstoßenden Kraft reduziert sich von O(n 2 ) auf O(n log n) Weitere Verbesserung: Approximation zwischen Paaren von Superknoten, nicht nur zwischen Blatt-Superknoten-Paar 284 Einordnung Problem 1 umgangen: Keine quadratische Komplexität mehr pro Iteration Für große Graphen wäre das zu hoher Aufwand Problem 2 noch vorhanden: Keine wirklich globale Sichtweise Viele lokale Minima der Energiefunktion Dann meist: Zu schnelle Konvergenz gegen schlechtes Minimum oder zu langsame Konvergenz Multilevel-Ansatz führt häufig zu besseren Minima in schnellerer Zeit 285

8 Multilevel-Ansatz 3 Phasen: Rekursive Vergröberung Initiale Lösung Wechsel von Lösungsinterpolation und lokaler Verbesserung der Interpolation Rekursive Vergröberung: Erzeugt Hierarchie von Graphen Jede gröbere Hierarchieebene hat weniger Knoten und Kanten Trotz Vergröberung bleibt Struktur der Eingabe (einigermaßen) erhalten 286 Rekursive Vergröberung im Detail Oft benutzt: Nicht erweiterbares Matching Kanten des Matchings und deren Endpunkte werden zu einem neuen Knoten verschmolzen Vorgehen beim Verschmelzen der Kante e = {u, v}: Bilde neuen Superknoten x mit w(x) = w(u) + w(v) Kante e wird gelöscht Kanten von Knoten y u, v, x werden auf x umgebogen, dabei parallele Kanten verschmelzen und ihre Gewichte addieren: w(y, x) = w(y, u) + w(y, v) (wobei nicht existierende Kanten Gewicht 0 haben) Übung: Darstellung der Vergröberung als Matrixoperation Alternative: Berechnung unabhängiger Knotenmenge U mit geeignet gewichteten Kanten zwischen Knoten in U 287

9 Initiales Layout auf gröbstem Graphen Zielgraph ist wegen Vergröberung recht klein Algorithmus kann beliebig, sollte gut sein Zum Beispiel FD-Algorithmus von Folie 277 Für kleine Graphen gute Lösungen Wegen kleiner Größe trifft man hoffentlich globales Optimum für gröbsten Graphen 288 Interpolation und Verbesserung Interpolation: Jede verschmolzene Kante e = {u, v} wird wieder expandiert: Die beiden Knoten u und v erhalten die Position ihres Superknotens x (ggf. leicht verwackelt ) Alte Adjazenzinformation wird wiederhergestellt Lokale Verbesserung: Z. B. mit FD-Algo von Folie 277 Frage/Übung: Wie lässt sich das Multilevel-Konzept auf die Partitionierung/das Clustering von Graphen anwenden? (Aus diesem Kontext stammt die Abbildung zum Multilevel-Prinzip.) 289

10 Alles auf einen Blick 1) Rekursive Vergröberung 3) Interpolation und lokale Verbesserung 2) Initiales Layout 290 Zusammenfassung 1 Kräftegesteuerter Algorithmus zum Zeichnen von Graphen Funktioniert gut für kleine Graphen Große Graphen: Laufzeit verbessert mit Quadtree bzw. Octree Qualität verbessert mit Multilevel-Verfahren Quadtree ist geometrische Datenstruktur: Gruppiert Punkte in derselben Region in einem inneren Knoten Moderater Baumabstieg, Schwerpunkt => Distanz-Approximation Multilevel-Verfahren: 3 Phasen: Vergröberung, initiale Lösung, Interpolation und Verfeinerung Bietet mit lokaler Verfeinerung globale und lokale Sicht 291

11 Zusammenfassung 2 Spektrales Graphenzeichnen Eigenvektoren entsprechen Modi von Schwingungen Niederfrequente vs. hochfrequente EV Benutzt 2 EV zu den kleinsten positiven EW Vorherige Motivation: Frequenzbilder Halls Formulierung: Platzierungsproblem ähnlich zu Clustering Schnelle Implementierung mit Multigrid Bezug zur Partitionierung? 292