2 Die Reihe für Dezimalzahlen 1 r = r 0 +r 1 10 +r 1 2 100 + = r k 10 k, wobei r k {0,,9} für k N, konvergiert, da r k 10 k 9 10 k für alle k N und ( 1 ) k 9 10 k 9 = 9 = 10 1 1 = 10 10 k=0 k=0 aufgrund der Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe k=0 220
5 Lineare Algebra 51 Einführung Die lineare Algebra ist für die Wirtschaftswissenschaften von zentraler Bedeutung Einerseits liefert sie die theoretischen und praktischen Grundlagen für das Lösen linearer Gleichungssysteme Ferner lassen sich viele ökonomische Phänomene durch sogenannte lineare Modelle beschreiben Eine Menge von m Gleichungen und n Unbekannten der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = d 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = d 2 = a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = d m (51) heisst lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten (Variablen) Die Information über das Gleichungssystem ist in dem Rechteckschema a 11 a 1n A = a m1 a mn 221
sowie d = enthalten Wir nennen A eine m n-matrix und d einen Vektor der Länge m oder einen m-vektor Man schreibt manchmal auch d 1 d m A = (a ij ) i=1,,m;j=1,,n Einen m-vektor kann man auch als m 1-Matrix auffassen Wir definieren den m-dimensionalen reellen Vektorraum wie folgt: x 1 R m = { : x 1,,x m R} x m dh R m besteht aus allen reellen m-vektoren Im Fall m = 3 können wir uns das gut als den normalen dreidimensionalen Raum vorstellen Wir fixieren einen 0 Ursprung, den wir mit dem Vektor 0 identifizieren Ferner fixieren wir drei 0 222
orthogonale Richtungen (x, y und z-richtung) Den Vektor a b c identifizieren wir mit dem Pfeil, den wir erhalten, wenn wir vom Ursprung aus a Einheiten in x-richtung, dann b Einheiten in y-richtung und schließlich c Einheiten in z-richtung gehen Wir definieren eine Addition von Vektoren wie folgt: a 1 a 2 a m + b 1 b 2 b m a 1 +b 1 = a 2 +b 2 a m +b m Addition von Vektoren bedeutet dann einfach aneinandersetzen von Pfeilen Ähnlich erlauben wir, Vektoren mit reellen Zahlen zu multiplizieren: a 1 λa 1 a λ 2 = λa 2 a m λa m 223
Geometrisch bedeutet dies, den Vektor zu verlängern (wenn λ > 1) oder zu stauchen (0 < λ < 1) Ist λ < 0, so ändert der zugehörige Pfeil seine Richtung Der Abstand zwischen zwei Punkten im R 3 x 1 y 1 z 1 und x 2 y 2 z 2 ist (x1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 Entsprechend definieren wir auch den Abstand zwischen Punkten x 1 y 1 und x m y m in R m als m i=1 (x i y i ) 2 224
52 Operationen mit Vektoren und Matrizen DieMengeallerm n-matrizenüberrwirdstetsmitr (m,n) bezeichnetzunächst einmal halten wir fest, wann zwei Matrizen gleich sein sollen: Seien A,B R (m,n), also beide Matrizen haben m Zeilen und n Spalten Dann heißen A und B gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind, dh A = B genau dann, wenn a ij = b ij für 1 i m, 1 j n EntsprechendheißenzweiVektorena,b R m gleich,wennsiekomponentenweise gleich sind Wir haben bereits gesehen, dass Matrizen im Zusammenhang mit Gleichungssystemen auftreten Bevor wir uns dem Lösen von Gleichungssystemen widmen, wollen wir uns die Algebra der Matrizen ein wenig anschauen Spezielle Matrizen Ist A eine m n-matrix, so hat A m Zeilen und n Spalten Eine Matrix mit m = n heißt quadratisch Ist A = (a ij ) i,j=1,,n quadratisch, so heißen die Einträge a 11,a 22,,a nn die Diagonaleinträge von A 225
Beispiel 51 A = 2 4 8 3 9 27 4 16 64 R (3,3) ist eine quadratische 3 3-Matrix mit den Diagonalelementen 2, 9, 64 (i) Eine m n-matrix, deren Komponenten sämtlich Null sind, heißt Nullmatrix und wird mit 0 bezeichnet,also 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 Ist n = 1, so heißt der entsprechende Vektor Nullvektor, also 0 0 = 0 0 226
(ii) Eine n n-matrix A, deren sämtliche Nicht-Diagonalelemente, also die Einträge a ij mit i j, gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix Die Matrix hat also die Form a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 A = 0 0 a n 1n 1 0 0 0 0 a nn Zur Abkürzung schreiben wir auch A = diag(a 11,a 22,,a nn ) (iii) Die n n-diagonalmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind, heißt Einheitsmatrix (n-ter Ordnung) und wird mit I n bezeichnet, also 1 0 0 0 0 1 0 0 I n = diag(1,1,,1) = 0 0 1 0 0 0 0 1 Die Spalten der Einheitsmatrix sind die Einheitsvektoren in R n Der i-te Einheitsvektor e i ist der Vektor, dessen i-te Komponente 1 ist und dessen 227
andere Komponenten alle 0 sind Also 0 0 e i = 1 0 0 mit dem Eintrag 1 in der i-ten Zeile (iv) Eine quadratische Matrix, deren sämtliche Komponenten oberhalb (bzw unterhalb) der Diagonalen gleich Null sind, heißt untere (bzw obere) Dreiecksmatrix Also hat eine untere Dreiecksmatrix die Gestalt (L: lower) l 11 0 0 0 l 21 l 22 0 0 L = l n 11 l n 12 l n 1n 1 0 l n1 l n2 l nn 1 l nn 228
bzw eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper) U = u 11 u 12 u 1n 1 u nn 0 u 22 u 2n 1 u 2n 0 0 u n 1n 1 u n 1n 0 0 0 u nn Nachdem wir nun einige spezielle Matrizen eingeführt haben, wollen wir einige Operationen auf der Menge der Matrizen erklären Sei A eine m n-matrix Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A erhaltenwireinen m-matrixa (Sprechweise: Atransponiert),diesogenannte transponierte Matrix zu A a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n Für A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn 229
Es gilt stets (A ) = A a 11 a 21 a i1 a m1 a 12 a 22 a i2 a m2 ist A = a 1j a 2j a ij a mj a 1n a 2n a in a mn Beispiel 52 Für die 3 4-Matrix 1 2 3 4 A = 2 3 0 5 6 2 1 2 10 ist A die 4 3-Matrix mit A = 1 2 6 2 3 2 3 0 1 2 4 5 10 230
Symmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, falls A = A Für eine symmetrische Matrix A gilt also a ij = a ji für alle i,j Schiefsymmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A heißt schiefsymmetrisch, falls A = A Für eine schiefsymmetrische Matrix A gilt also a ij = a ji für alle i,j; insbesondere ist a ii = 0 für alle i Beispiel 53 Die Matrix A ist symmetrisch 1 1 2 3 A = 1 2 4 7 3 7 0 Die Matrix B ist schiefsymmetrisch: B = 0 1 3 1 0 2 3 2 0 231
Wir kommen nun zur Addition von Matrizen Weil Vektoren spezielle Matrizen sind, gelten dieselben Regeln auch für Vektoren Addition Zwei Matrizen A,B R (m,n) werden addiert, indem komponentenweise addiert wird, dh für A = (a ij ) und B = (b ij ) ist A+B = a 11 +b 11 a 12 +b 12 a 1n +b 1n a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 2n +b 2n a m1 +b m1 a m2 +b m2 a mn +b mn Entsprechend ist die Differenzmatrix A B durch komponentenweise Subtraktion definiert Es werden nur Matrizen mit gleicher Anzahl von Zeilen und gleicher Anzahl Spalten addiert oder subtrahiert Insbesondere werden zwei Vektoren x,y R n addiert bzw subtrahiert, indem 232
sie koordinatenweise addiert bzw subtrahiert werden, dh x 1 y 1 x 1 ±y 1 x x±y = 2 ± y 2 = x 2 ±y 2 x n y n x n +y n Multiplikation mit einem Skalar Sei A eine m n-matrix, und sei λ R Die Matrix A wird mit dem Skalar λ multipliziert, indem jede Komponente von A mit λ multipliziert wird, dh für A = (a ij ) ist λa 11 λa 12 λa 1n λa λ A = 21 λa 22 λa 2n λa m1 λa m2 λa mn Entsprechend wird ein Vektor x R n mit einem Skalar λ R multipliziert, 233
indem jede Koordinate von x mit λ multipliziert wird, dh x 1 λ x 1 x λ x = λ 2 = λ x 2 λ x n x n Im folgenden fassen wir einige Rechenregeln für die Addition und skalare Multiplikation von Matrizen zusammen: Seien A,B,C m n-matrizen und seien λ,µ R Skalare Kommutativgesetz: Assoziativgesetze: Distributivgesetze: A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (λµ)a = λ(µa) λ(a + B) = λa + λb (λ+µ)a = λa+µa Spezialisierung auf Vektoren liefert dieselben Rechengesetze für Vektoren, dh für x,y,z R n und λ,µ R gilt: 234
Kommutativgesetz: Assoziativgesetze: Distributivgesetze: x+y = y+x (x+y)+z = x+(y+z) (λµ)x = λ(µx) λ(x + y) = λx + λy (λ+µ)x = λx+µx Jeder Vektor x R n lässt sich mit Hilfe von Einheitsvektoren zerlegen: x 1 x x = 2 = x 1 e 1 +x 2 e 2 + +x n e n x n Wir sagen auch, dass x eine Linearkombination von e 1,,e n ist Dazu später mehr Die Operation des Transponierens ist mit den hier erklärten Rechenoperationen (Addition und Multiplikation mit einem Skalar) verträglich: (A+B) = A +B und (λa) = λa 235
Es gibt kein Produkt von m-vektoren, das wieder einen m-vektor liefert Man kann aber sehr wohl ein Skalarprodukt von Vektoren definieren, dh das Produkt zweier reeller m-vektoren ist eine reelle Zahl: Skalarprodukt Seien x,y R n Dann heißt die reelle Zahl x,y = n x i y i das Skalarprodukt der Vektoren x und y DieZahl x,x = n i=1 x2 i bezeichnen wirals x (NormoderLängedes Vektors x) Es ist der Abstand des Punktes x vom Ursprung Wir fassen im folgenden einige Eigenschaften des Skalarproduktes zusammen: i=1 236
Seien x,y,z R n und sei λ R Dann gilt [S1] x,y = y,x [S2] λ x,y = x,λ y = λ x,y [S3] x+y,z = x,z + y,z [S4] x,y x y [S5] λx = λ x [S6] x = 0 x = 0 [S7] x+y x + y [S8] x+y x y Im R 3 hat das Skalarprodukt eine schöne Interpretation Wenn wir wieder drei orthogonale Richtungen (x, y und z-richtung) auszeichnen und der Vektor a = x 1 y 1 den Pfeil vom Ursprung zum Punkt y 1 bezeichnet z 1 z 1 x 1 237
x 2 (analog für b = y 2 ), so gilt z 2 a,b = cos(α) a,a b,b = cos(α) a b wobei α der Winkel zwischen den Pfeilen ist, die zu a und b gehören Für Vektoren der Länge 1 ist also das Skalarprodukt der Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren Insbesondere bedeutet Skalarprodukt 0, dass die Pfeile senkrecht aufeinander stehen 238
Multiplikation von Matrizen Sei A eine m n-matrix, und sei B eine n k-matrix (beachte: Die Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl der Zeilen von B sein!) Dann ist das Produkt A B der beiden Matrizen definiert als die m k-matrix C, deren Komponente c ij das Skalarprodukt aus i-ter Zeile von A und j-ter Spalte von B ist, also c ij = n a ip b pj = p=1 a i1 a in, b 1j b nj Wir können das Skalarprodukt als ein spezielles Matrixprodukt auffassen Seien a,b R n zwei Vektoren Dann ist a eine 1 n-matrixund b eine n 1Matrix Somit existiert das Matrixprodukt a b, und es gilt n a b = a j b j = a,b j=1 Ferner ist durch die Definition des Produktes zweier Matrizen auch ein Matrix- Vektor-Produkt erklärt, weil ein Vektor ja auch als eine Matrix aufgefasst werden kann 239
Beispiel 54 (1) Seien 1 5 A = 3 0, B = 2 1 ( ) 1 5 3 6 2 2 3 4 Dann ist C = A B 9 15 18 14 = 3 15 9 18 0 12 9 8 (2) Sei A = 1 2 2 3 und b = 4 1 ( ) 1 2 Dann ist A b = 3 4 2 240