Der Weg ins Chaos und zurück Otto-von-Guericke- Fakultät für Informatik Institut für Simulation und Grafik Das virtuelle Labor 20.12.2007
Wo treffen wir auf chaotische Systeme Herzschlag Populationsentwicklungen von Insekten Ausbreitung von Grippewellen tropfender Wasserhahn Verkehrstaubildung Wetter
Inhalt Der Weg ins Chaos Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Logistische Gleichungen Bifurkation Methoden zur Chaoskontrolle Ott-Grebogi-Yorke Methode Ansatz von Pecora und Carroll Probleme bei großen Systemen Zusammenfassung Quellen
Eigenschaften von chaotsichen Systemen nichtlinear dynamisch Chaos nicht Zustand sondern Dynamik des Systems Verhalten nicht langfristig vorhersagbar kleine Änderung an Eigangsvariablen großer Einfluss auf das System (Butterfly-Effect)
Der Weg ins Chaos Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Logistische Gleichungen Bifurkation Methoden zur Chaoskontrolle Ott-Grebogi-Yorke Methode Ansatz von Pecora und Carroll Probleme bei großen Systemen Zusammenfassung Quellen
Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Schwammspinner Schädling in warmen Gebieten Europas und Nordafrikas im 19.Jh nach Massachusetts veschleppt Ausbreitung bis Mitte des 20. Jahrhunderts über die gesamte USA
Logistische Gleichungen logistische Gleichung x n+1 = g r (x n ) = rx n (1 x n ) x n - relative Populationsgröße r - Wachstumsrate n - Periode
Bifurkation Das Feigenbaum-Diagramm
Bifurkation Auswertung des Feigenbaum-Diagramms r < 3: Population konvergiert gegen Grenzwert 3 < r < 1 + 6 ( 3, 45): Population oszilliert zwischen 2 Punkten 1 + 6 < r < 3, 54: Population oszilliert zwischen 4 Punkten r > 3, 54: Population oszillieren zwischen 2 n Punkten (Periodenverdopplung) r 3, 57: Chaos, keine Perioden mehr
Der Weg ins Chaos Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Logistische Gleichungen Bifurkation Methoden zur Chaoskontrolle Ott-Grebogi-Yorke Methode Ansatz von Pecora und Carroll Probleme bei großen Systemen Zusammenfassung Quellen
Ott-Grebogi-Yorke Methode OGY-Methode vorgestellt 1990 von Edward Ott, Celso Grebogi und James A. Yorke Idee: Kontrolle erlangen durch gezieltes Stören des Systems Vorteil: sehr flexibel einsetzbar Nachteil: schwer gute Parameter zu finden
Ansatz von Pecora und Carroll Ansatz von Pecora und Carroll vorgestellt 1990 von Louis M. Pecora und Thomas L. Carroll Idee: System aufteilen und Teilsysteme synchronisieren Nutzen: Basis für weitere Synchronisierungsverfahren Nachteil: begrenzten Anzahl möglicher Zerlegungen, davon führen meist nur wenige zur Synchronisation
Probleme bei großen Systemen Beispiel: Wetter sehr hohes Datenaufkommen viele relevante Informationen zu wenig bekannte Größen derzeit zu wenig Rechenkapazität
Zusammenfassung chaotische Systeme sind dynamische, nichtlineare Systeme sie beschreiben Systemen mit chaotischem Verhalten (Butterfly-Effekt, nicht langfristig vorhersehbar) es gibt Methoden um das Chaos zu kontrollieren (OGY-Methode, Synchronisationsansatz) Anwendung der Methoden nicht immer möglich
Quellen Baker/Gollub: Chaotic Dynamics, 1996 Kaithleen T.Alligood, Tim D. Sauer, James A. Yorke: Chaos An Introduction to dynamical Systems, 1996 Thomasz Kapitaniak: Controlling Chaos, 1996 J. Briggs and F. D. Peat: Die Entdeckung des Chaos,1993. http://de.wikipedia.org/wiki/schwammspinner