Aufgaben zum Begleitseminar Finanzwissenschaft A Aufgabe 1 Die Nutzenfunktionen U 1 und U 2 zweier Haushalte seien gegeben durch u 1 = (x 1 ) 13 (y 1 ) 2 3 bzw. u 2 = (x 2 ) 23 (y 2 ) 1 3 mit den zwei zur Verfügung stehenden Gütermengen x = x 1 + x 2 bzw. ȳ = y 1 + y 2. Stellen Sie die Tauschkurve y 1 = f( x, ȳ, x 1 ) algebraisch dar. Aufgabe 2 Es besteht die Möglichkeit ein Schwimmbad zu bauen, das die Nachbarn Anton und Bert gemeinsam nutzen. Anton hat eine Zahlungsbereitschaft von 4, Bert bringt das Schimmbad einen Nutzen von 5. Der Bau des Schwimmbades führt zu Kosten von 6. Zeigen Sie, dass nur eine Verpflichtung beider Nachbarn zum Bau des Schwimmbades und damit zu einem effizienten Ergebnis führt. Aufgabe 3 Beweisen Sie die Optimalitätsbedingung zur Bereitstellung öffentlicher Güter algebraisch, graphisch und verbal! Aufgabe 4 Hans isst x 1 Kartoffeln, Helga x 2 Kartoffeln. Gemeinsam beschauen sie in ihrem Garten G Blumen. Die Nutzen von Hans und Helga betragen u 1 (x 1, G) = x 1 G bzw. u 2 (x 2, G) = 0, 75 (ln x 2 + ln G). Die Anbaurestriktion in ihrem Garten (sie sind Selbstversorger) ist gegeben durch x 1 + x 2 + G = 10. Bestimmen Sie die effiziente Allokation unter der Nebenbedingung, dass u 1 = 4 ist. 1
Aufgabe 5 Gegeben seien die Nutzenfunktionen zweier Haushalte: u 1 (x 1, G) = x 1 G bzw. u 2 (x 2, G) = x 22 G Haushalt 1 habe 10, Haushalt 2 habe 16 Geldeinheiten zur Verfügung. Mit p x = p G = 1 lauten die Budgetrestriktionen der Haushalte also x 1 +g 1 = 10 bzw. x 2 +g 2 = 16. Zudem ist G = g 1 + g 2. (a) Zunächst optimiert Haushalt 1, ausgehend davon, daß sich Haushalt 2 an der Bereitstellung des öffentlichen Gutes G nicht beteiligt, seinen Nutzen. Wie verteilen sich dann seine Ausgaben? (b) Anschließend reagiert Haushalt 2 und optimiert, gegeben die von Haushalt 1 zur Verfügung stehende Menge des öffentlichen Gutes, seinen Nutzen. Wie verteilen sich beim zweiten Haushalt die Ausgaben? (c) Auf die Aktion des zweiten Haushaltes hin kann Haushalt 1 ein höheres Nutzenniveau erreichen, wenn er seine Ausgaben anders aufteilt. Errechnen Sie die neue Ausgabenaufteilung. (d) Stellen Sie dann die Reaktionsfunktionen der beiden Haushalte g 1 (g 2 ) bzw. g 2 (g 1 ) allgemein dar. Wo liegt das Nash-Gleichgewicht? Zeigen Sie, dass es nicht das Allokationsoptimum sein. Aufgabe 6 Die Nutzenfunktionen zweier Haushalte seien gegeben durch: u 1 = x 1a G u 2 = x 2a G Beiden Haushalten stehe jeweils ein Budget y 1 = y 2 = y in gleicher Höhe zur Verfügung. Die Preise seien mit p x = p g = 1 gegeben. (a) Wie hoch ist in Abhängigkeit von a und y die effiziente Menge G des öffentlichen Gutes? Warum ist sie in diesem Fall unabhängig von der Nutzenhöhe der Haushalte eindeutig gegeben? Erläutern Sie den Einfluß des Parameters a auf das Ergebnis. (b) Angenommen, jeder Haushalt beteiligt sich mit der Menge g i an der Bereitstellung. Leiten Sie die Reaktionsfunktionen der Haushalte in Abhängigkeit von a und y her und berechnen Sie das Nash-Gleichgewicht G N. (Die Reaktionsfunktionen sind identisch!) (c) Angenommen, der Staat stellt die Menge Γ zur Verfügung. Welchen Einfluß hat das auf die effiziente Menge G? (d*) Stellen Sie die Reaktionsfunktionen und das Nash-Gleichgewicht auch in Abhängigkeit des Parameters Γ auf. Erläutern Sie den Verdrängungseffekt anhand der Größe GN Γ 2
Aufgabe 7 In einer 2er-WG überlegen die Bewohner 1 und 2, sich PAY-TV-Programme anzuschaffen. Die Auswahl an Tarifen und Anzahl an Kanälen ist ebenso vielseitig wie preislich gestaltbar - gesucht wird die für die beiden optimale Ausgabenhöhe. Die Nutzenfunktionen seien dabei gegeben durch u 1 = x 1 G u 2 = x 2 G mit G als Ausgaben für die Pay-TV-Kanäle und x als privatem Gut. Die jeweiligen Budgets seien durch y 1 = 50 bzw. y 2 = 30 und die Preise durch p x = p G = 1 gegeben. Für die Aufteilung der Gesamtkosten einigen sich beide auf Lindahl-Preise. (a) Erläutern Sie zunächst die Problematik, für die der Lindahl-Mechanismus einen Lösungsansatz darstellen soll. (b) Ermitteln Sie die optimale Menge von G sowie die jeweiligen Kostenanteile, die die beiden Bewohner zu tragen haben. (c) Warum ist nicht zu erwarten, dass es zu der in (b) ermittelten Kostenverteilung tatsächlich kommt? Verdeutlichen Sie ihre Antwort auch, indem sie mit den Zahlen aus (b) auf die Grenzrate der Transformation und die Grenzrate der Substitution von Bewohner 1 eingehen. 3
Aufgabe 8 Die Kosten einer Universitätsfakultät hängen ab von der Anzahl ihrer Studenten (H) sowie dem Qualitätsniveau der Lehre (G) und werden durch folgende Kostenfunktion dargestellt: C(H, G) = 6.250.000 + H 2 + H G. Die Überlegungen in den Aufgabenteilen (a) bis (d) beziehen sich auf eine variable Studentenzahl H bei einem gegebenen Qualitätsniveau G. (a) Skizzieren Sie den Verlauf der Kostenfunktion und kennzeichnen Sie den Punkt minimaler Durchschnittskosten. (b) Ermitteln Sie die die Grenzkostenfunktion (MC H ) und die Durchschnittskostenfunktion (AV C H ). (c) Geben Sie die Skalenelastizität (ε H = AV C H MC H ) an und interpretieren Sie diese Größe. (d) Wie lautet die kostenminimierende Studentenzahl (H ) der Fakultät? Alle Studenten haben die gleiche Nutzenfunktion: u(x, G) = x G, wobei x ihren Konsum und G wiederum die Qualität des Studiums bezeichnet. Jeder Student hat ein Einkommen von y = 10.000, das er für Konsum zum Preis von eins und die Zahlung von Studiengebühren verwenden kann. (e) Welche Kombination von x, G und H erfüllt die notwendigen Bedingungen für den maximalen Nutzen eines Studenten? (f) Wie hoch sind die Studiengebühren eines Studenten in (e)? 4
Aufgabe 9 Der Brauereisektor sei durch ein repräsentatives Unternehmen beschrieben, das sich als Preisnehmer verhält. Die Kostenfunktion des Unternehmens ist C(y) = 1 2 y2, wobei y 0 die Bierproduktion in Hektolitern und C(y) die Kosten in Euro bezeichnet. Die Preis-Absatz-Funktion auf dem Biermarkt ist P (y) = 300 2y. Durch die Bierproduktion entsteht in der Nachbarschaft der Brauerei unangenehmer Geruch. Die betroffenen Anwohner bewerten den dadurch verursachten Schaden mit S(y) = 60y Euro. (a) Bestimmen Sie die Menge ȳ und den Preis P, die sich im Wettbewerbsgleichgewicht auf dem Biermarkt einstellen. (b) Durch welche notwendige Bedingung ist die effiziente Produktionsmenge y gekennzeichnet? Wie groß ist y? Erklären Sie mit Hilfe der notwendigen Bedingung, warum das in Teilaufgabe (a) bestimmte Wettbewerbsgleichgewicht nicht effizient ist. Welche Bedeutung haben fehlende Eigentumsrechte im vorliegenden Beispiel für die festgestellte Ineffizienz? Halten Sie es für realistisch, dass in einer Situation wie in diesem Beispiel eine effiziente Allokation durch Verhandlungen herbeigeführt wird? (c) Um die Geruchsbelästigung einzudämmen, wird eine Biersteuer eingeführt. Wie hoch muss der Steuersatz in Euro pro Hektoliter sein, damit die effiziente Lösung erreicht wird? Welchen Preis zahlen die Konsumenten dann für einen Hektoliter Bier? Wie groß ist das Steueraufkommen? (d) Anstelle der Steuer wird nun überlegt, die effiziente Produktionsmenge durch Subventionierung des Brauereisektors zu erreichen. Wie müsste eine entsprechende Subvention ausgestaltet sein? Welcher Unterschied besteht zwischen Besteuerung und Subventionierung langfristig, wenn der Biermarkt durch freien Marktzutritt und freien Marktaustritt gekennzeichnet ist? 5
Aufgabe 10 Die Kostenfunktionen eines Stahl- und eines Fischereiunternehmens sind C s (s, x) = 101 + s 2 + (x 3s) 2 C f (f, x) = f 2 + 2x. Dabei bezeichnen s 0 die Stahlproduktion, x 0 den Umfang der Wasserverschmutzung des Stahlunternehmens, p s > 0 den Stahlpreis, f 0 den Fischfang und p f > 0 den Fischpreis. Die Gewinne der beiden Unternehmen seien π s (s, x) und π f (f, x). (a) Welche Allokation (s, x, f) ergibt sich, falls ein nicht handelbares Recht auf Wasserverschmutzung existiert? (b) Welche Allokation (s, x, f) ergibt sich, falls Wasserverschmutzung verboten ist? (c) Berechnen Sie die Pareto-optimale Allokation (s, f, x ). Vergleichen Sie die Paretooptimale Wasserverschmutzung mit der Wasserverschmutzung in den Teilaufgaben (a) und (b). (d) Bestimmen Sie den Abgabensatz t auf Wasserverschmutzung, der zur Pareto-optimalen Allokation führt. (e) Welcher Subventionssatz z für eine Verminderung der Wasserverschmutzung unter x 2 führt zur Pareto-optimalen Allokation? 6