Algebraische Gleichungen

Algebraische Gleichungen Ingolf Giese April 018 Es werden Gleichungen zweiten und dritten Grades behandelt. Dabei wird auch die Geschichte der Zahlen beleuchtet. Am Ende werden einige Formeln für das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen dargestellt. A. Die p-q-formel Gleichung. Grades 1) ) also x + px + q = 0 aus ax + bx + c = 0 nach Division durch a x x 1 ) x x ) = x x 1 + x )x + x 1 x = 0 Gesucht sind die beiden Lösungen von Gleichung 1): x 1 und x siehe Gleichung )). Vorgehen: Man ergänzt die Gleichung 1) um einen Term "Quadratische Ergänzung"), damit die Binomsche Formel x + a) = x + ax + a benutzt werden kann, also hier mit a = p, d.h. a = p : p ) p ) x + px + q + = 0 p ) p ) x + px + = x + p ) p ) = Das kann man nun leicht durch Wurzelziehen auflösen und erhält: x + p = ± p ) ) x 1, = p ± p ) 1

Probe: Aus Gleichung 1) und ) folgt mit x 1 = p + p ) sofort x 1 + x ) = und wegen x + a)x a) = x a x = p p ) x 1 x = p ) + p p + p = p + p = p ) ) p p ) ) = = p ) ) p ) p ) p ) = q ) Damit hat man, was auch aus dem Vergleichen der Koeffizienten von 1) und ) schon hervorgeht: 4) 5) x 1 + x = p oder x 1 + x ) = p x 1 x = q Das sind zwei sehr schnelle Methoden, um die Richtigkeit der Lösungen zu überprüfen. Einsetz-Probe für x 1 in die Ausgangsgleichung 1): x 1 + px 1 + q = p ) p ) + + p p ) p ) + + q = p ) + p ) p ) p ) + ) + p p ) p ) + p + q p = p p ) 4 ) p p p ) + + p + q = p 4 + p 4 p + q = p 4 p + q = 0 Algebraische Gleichungen

Beispiel 1: x x = 0 x 1 = 1 + 1 + = 1 + = x = 1 1 + = 1 = 1 Probe: x x 1 ) x x ) = x )x + 1) = x + + 1)x + ) 1 = x x Koeffizienten-Probe nach Gleichungen 4) und 5): x 1 + x x 1 x = 1 = = p = 1) = = q Einsetz-Proben: x 1 ) x 1 = = 9 6 = 0 x ) x = 1) 1) = 1 + = 0 Beispiel mit der imaginären Größe i = 1 i = 1: x 4x + 5 = 0 x 1 = + 4 5 = + 1 = + i x = 4 5 = 1 = i Probe: x x 1 ) x x ) = x + i))x i)) = x + i) + i))x + + i) i) = x 4)x + 4 i ) = x 4x + 5 Koeffizienten-Probe nach Gleichungen 4) und 5): x 1 + x = + i + i = 4 = p x 1 x = + i) i) = 4 i = 4 + 1 = 5 = q Einsetz-Proben: x 1 ) 4x 1 + 5 = + i) 4 + i) + 5 = 4 + 4i + i 8 4i + 5 = 4 8 + 5) + 4i 4i) 1 = 1 + 0 1 = 0 x ) 4x + 5 = i) 4 i) + 5 = 4 4i + i 8 + 4i + 5 = 4 8 + 5) + 4i + 4i) 1 = 1 + 0 1 = 0 Algebraische Gleichungen

Bemerkungen: Geschichte der Zahlen Bei der Lösung quadratischer Gleichungen Beispiel ) treten oft Wurzeln aus negativen Zahlen auf, die imaginären Größen mit der Einheit i := 1. Diese sind schwer vorstellbar, heißen ja auch "imaginär". Sie werden rein formal definiert, als die Größen, deren Quadrate negativ sind. Aber kann man sich denn ) 4 oder sogar 1) 1) wirklich vorstellen, insbesondere, wenn man bedenkt, dass die Multiplikation aus der Abkürzung der Addition gleicher Zahlen hervorgegangen ist? Zu Beginn des Rechnens vor mindestens 5000 Jahren gab es nur das Zählen, also die positiven ganzen Zahlen. Negative Zahlen waren auch bei den Griechen nicht "sinnvoll", weil dort die Mathematik im Allgemeinen mit Geometrie verbunden war. Es ergaben sich aber Probleme, z.b. bei Aufgaben wie 5 + x = 5 x = 5 5 = 0 Die Null wurde erst sehr spät als Zahl anerkannt, ab dem. oder 7.) Jahrhundert n. Chr. zuerst bei den Indern, dann bei den Arabern, und viel später ab 100) erst in Europa. Die Null wurde auch dazu sehr wichtig, um große Zahlen in der Dezimalschreibweise z.b. 1050 statt dem römischen Zeichen ML) darstellen zu können. Und noch mehr Probleme traten auf bei Aufgaben wie 5 + x = x = 5 = Der bis dahin bekannte Zahlenraum musste wegen der Subtraktion um die negativen Zahlen erweitert werden in Europa etwa ab 1500). Mit der Multiplikation ganzer Zahlen blieb man in diesem Zahlenbereich, bis sich neue Aufgaben zeigten wie x 5 = 8 x = 8/5 Jetzt musste der bekannte Zahlenraum wegen der Division noch einmal erweitert werden, und zwar um die rationalen Zahlen Brüche aus ganzen Zahlen). Dabei muss aber bei der Division die Null im Nenner ausgeschlossen werden. Aber mit weitergehenden Aufgaben wie x x = x = x = = 1.414156709504880... entstanden wieder neue Zahlenarten: die irrationalen Zahlen G. Cardano, im 16. Jahrhundert), die nicht als Bruch von ganzen Zahlen, also als rationale Zahlen, geschrieben werden können. Durch das Potenzieren und deren Umkehrung Logarithmen) und wegen den Winkelfunktionen kommen dann zu den irrationalen Zahlen im 18. Jahrhundert noch weitere Zahlen dazu, nämlich die transzendenten Zahlen wie z.b. e und π. Diese können nicht Lösung einer algebraischen Gleichung also mit einem Polynom beliebigen Grades) sein. Insgesamt heißen alle diese Zahlen reelle Zahlen. 4 Algebraische Gleichungen

Aber auch dieser Zahlenraum muss nun noch einmal erweitert werden, wie das obige Beispiel zeigt: x 4x + 5 = 0 x 1, = ± i mit i = 1 Damit hat man die komplexen Zahlen a + b i, die eine ganz neue Dimension darstellen. Sogar im eigentlichen Sinn, denn die komplexen Zahlen können in der -dimensionalen Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden - die imaginären Zahlen sind nicht Teil der reellen Achse, wie alle anderen bisherigen Zahlen, sondern bilden eine zweite Achse, die imaginäre Achse. Die komplexen Zahlen füllen dann als Summe von einem Real- und einem Imaginärteil die ganze Gaußsche Zahlenebene aus. Eine Multiplikation mit i kann in der Gaußschen Zahlenebene als Drehung um 90 Grad dargestellt werden. Mit Hilfe der komplexen Zahlen können sogar die Lösungen einer kubischen Gleichung allgemein durch Wurzelausdrücke dargestellt werden Cardanische Formel, siehe Kapitel B.). Und mit diesen Zahlen als Koeffizienten kann man wieder algebraische Gleichungen Polynome in x) beliebigen Grades schreiben und lösen. Das wirklich Erstaunliche ist nun aber, dass dabei keine neuen Zahlentypen auftreten! Alle Lösungen aller algebraischen Gleichungen beliebigen Grades, auch mit komplexen Koeffizienten, sind weiterhin "nur" komplexe Zahlen "Fundamentalsatz der Algebra"). Und die imaginäre Größe i taucht in der wohl schönsten mathematischen Gleichung auf: e iπ + 1 = 0 oder e iπ = 1 Hier tauchen alle wichtigen Größen der heutigen Mathematik 0, 1, i, e und π) in einer einfachen Gleichung auf. Die direkte Folgerung daraus kann man sich kaum noch vorstellen: i i = 0.078795765076190854... Das Ergebnis von i i ist wegen e π tatsächlich eine reelle Zahl! Die komplexen Zahlen sind aber nicht das Ende: Z.B. benutzt man heute auch nach William Hamilton, 184) die hyperkomplexen Zahlen "Quaternionen", das sind vierdimensionale Größen der Form a + b i + c j + d k mit i = j = k = ijk = 1). Sie erlauben eine rechnerisch elegante Beschreibung und damit auch schnellere Berechnungen) von Drehungen im dreidimensionalen Raum z.b. in der Computergrafik, insbesondere für Computerspiele) und haben auch in der Quantenmechanik, der speziellen Relativitätstheorie und der Theorie des Elektromagnetismus eine Bedeutung. Ein dreidimensionales Zahlensystem mit zwei quasi-imaginären Größen) ist nicht sinnvoll definierbar, aber man kann ein sinnvolles) achtdimensionales Zahlensystem mit sieben quasi-imaginären Größen), den Oktonionen, definieren, das vielleicht in der achtdimensionalen Supersymmetrie und der Stringtheorie eine Rolle spielen könnte. Algebraische Gleichungen 5

B. Kubische Gleichungen Gleichung. Grades 6) ax + bx + cx + d = 0 Gesucht sind die drei Lösungen dieser Gleichung: x 1, x und x. Die Lösungen sind dabei um einiges aufwendiger zu finden als bei den Gleichungen. Grades. Gerolamo Cardano hat 1545 zum ersten Mal ein Lösungsverfahren eigentlich von Nicolo Tartaglia und Scipione del Ferro entwickelt) beschrieben. Man kann zuerst versuchen, die Ausgangsgleichung so umzuformen, dass der quadratische Term verschwindet "reduzierte Form"). Dazu benutzt man die Substitution x = z h mit einer neuen Variablen z: ax + bx + cx + d = 0 z h) + b a z h) + c a z h) + d a = 0 z z h + zh h ) + b a z zh + h ) + c a z h) + +d a = 0 z + h + b a )z + h b a h + c a )z + h + b a h c a h + d a ) = 0 Man sieht, dass bei h = b a der quadratische Term verschwindet, also hat man damit: 7) 8) 9) z + pz + q = 0 mit h = b a p = ac b a q = b 9abc + 7a d 7a und PS: Nach der gleichen Methode kann man auch bei einer Gleichung. Grades ax +bx+ c = 0 mit der Substitution x = z h schreiben: ax + bx + c = 0 z h) + b a z h) + c a = 0 z + h + b a )z + h b a h + c a ) = 0 Hier fällt mit h = b a z + q = 0 mit der lineare Term weg, also folgt: q = 4ac b 4a 6 Algebraische Gleichungen

Durch Ziehen der Wurzel kann z und somit auch x sofort ohne der üblichen quadratischen Ergänzung - siehe Kapitel A.) dargestellt werden durch: x = z b a = ± b 4ac 4a b a x 1, x = b ± b 4ac a Entsprechend wird auch bei der normierten Gleichung. Grades x + px + q = 0 die in Gleichung ) beschriebenen Lösung erreicht. Zurück zu den Gleichungen. Grades: Die sogenannte Diskriminante D, definiert durch p ) q 10) D := + ) also D = 7a d + 4b d 18abcd + 4ac b c 108a 4 zeigt an, ob es 1 reelle und komplexe Lösungen gibt bei D > 0), oder ob es verschiedene reelle Lösungen gibt bei D < 0). Bei D = 0 hat die Gleichung eine -fach-lösung x 1 = x = x = 0, wenn p = q = 0 ist, aber eine reelle 1-fache und eine reelle -fache Lösung, wenn q 0 und p 0 ist. Die Lösungen von Gleichung 7) findet man mit der Cardanischen Formel, wobei die Diskriminante D wieder benutzt wird und die Nebenbedingung u v = p erfüllt sein muss: 11) u = + D mit v = D z 1 z z = u + v = e 1 u + e v = e u + e 1 v e 1 = 1 + i e = 1 i Interessant ist hierbei, dass in den Formeln komplexe Zahlen auftreten, auch wenn alle Lösungen reell sind insbesondere bei D < 0). Die Lösungen der ursprünglichen Gleichung 6) erhält man dann durch Einsetzen der z-werte in x = z b a. Eine Alternative ist, im Fall D > 0 nur die reelle Lösung z 1 = u + v zu benutzen, und die anderen beiden Lösungen nach der Polynom-Division der Ausgangsgleichung Algebraische Gleichungen 7

durch z z 1 ) in eine Gleichung. Grades umzuwandeln und diese nach den bekannten Methoden zu lösen. Erstaunlich ist, dass im 16. Jahrhundert ein solch kompliziertes Verfahren gefunden werden konnte. Zusätzlich wurde von Cardano auch ein noch komplizierteres) Verfahren für Gleichungen 4. Grades entwickelt. Für algebraische Gleichungen höheren Grades gibt es prinzipiell keine solchen Lösungsformeln. Im heutigen Computer-Zeitalter sind diese Formeln aber nicht mehr unbedingt wichtig, da es einfacher ist, ein Programm zu entwickeln, dass die Lösungen einer Gleichung beliebigen Grades durch Approximation z.b. Newton-Verfahren) berechnet. Beispiel von Cardano mit einer reellen Lösung: Ausgangsgleichung: x + x + 9x 1 = 0 Die Berechnungen nach den obigen Gleichungen 7) bis 10) ergeben dann: x = z h mit h = b a = 1 p = 6 q = 0 also D = 108 z + 6z 0 = 0 und Damit ergibt sich für die erste Lösung: u = 10 + 108 = 10 + 6 = 1 + v = 1 z 1 = u + v = x 1 = z h = 1 Dabei ist u v = 1 + )1 ) = 1 = = p erfüllt. Weiter folgt mit den oben definierten e 1 und e für die anderen beiden Lösungen: z x z x = e 1 u + e v = 1 + i = z h = + i = e u + e 1 v = 1 i = z h = i Diese beiden Lösungen kann man aber auch durch Polynom-Division und Benutzen der p-q-formel nach Gleichung ) direkt ermitteln: x +x +9x 1) : x 1) = x + 4x + 1 x, = ± i x x 4x +9x 4x 4x 1x 1 1x 1 Zur Herleitung der. Wurzel aus 10 + 108 siehe auch das nachfolgende Kapitel. 8 Algebraische Gleichungen

C. n-te Wurzeln. Wurzel aus reellen und komplexen Zahlen Gesucht ist die. Wurzel aus der komplexen) Zahl z = z re + z im i. Dabei benutzt man die wichtige Eulersche Formel: 1) e α i = cosα) + sinα) i Man berechnet zuerst zwei Größen: Die Länge der Zahl in der Gaußschen Zahlenebene r und den Winkel α im Bogenmaß), den die Zahl mit der positiven reellen Achse bildet - das sind die Polarkoordinaten der Zahl mit z = r e α i. Vergleiche dazu auch die Skizze am Ende des Kapitels. 1) r = zre + zim 14) tanα) = z im z re mit z re 0 Aus tanα) muss dann mit der Umkehrfunktion arctan der Winkel berechnet werden: ) zim α = arctan wenn z re > 0 I. und IV. Quadrant) z re ) zim α = arctan + π wenn z re < 0, z im > 0 II. Quadrant) z re ) zim α = arctan π wenn z re < 0, z im < 0 III. Quadrant) bzw. einfacher mit z re α = arctanz im, z re ) Dabei sollte die arctan-funktion mit Parametern benutzt werden, weil der Winkel in allen 4 Quadranten π bis π) auftreten kann und arctan das richtig berücksichtigt. Aus z = r e α i und aus den Gleichungen 1) und 18) folgt dann durch Wurzelziehen für die wegen der Peridizität von sin und cos) möglichen Wurzeln für k = 0, 1 und : [ ) ) ] z = α + k π α + k π 15) r cos + sin i Die Wurzel für k = 0 heißt Hauptwert der Wurzel. Beispiel mit einer reellen Zahl z = 8, also α = π: [ ) ) ] π + k π π + k π 8 = cos + sin i 1 w 0 = + 1 ) i = 1 + i w 1 = 1 w = 1 ) i = 1 i Interessanterweise ist in der komplexen Ebene) der Hauptwert 1+ i und nicht. Algebraische Gleichungen 9

n-te Wurzel aus reellen und komplexen Zahlen Gesucht ist die n-te Wurzel aus der komplexen) Zahl z = z re + z im i. Wie in der Gleichung 15) für die. Wurzel gilt für die n möglichen n-ten Wurzeln für k = 0, 1,,..., n 1: n [ ) ) ] z = n α + k π α + k π 16) r cos + sin i n n Eine analoge Formel erhält man auch für das Potenzieren einer komplexen Zahl: 17) z n = r n cosα) + sinα) i) n = r n cosnα) + sinnα) i) In all diesen Fällen benutzt man die Formel von de Moivre 18) - Beispiel mit n = : cosα) + sinα) i) = cos α) + cosα) sinα) i + sin α) i = cos α) sin α)) + cosα) sinα) i = cosα) + sinα) i Das lässt sich dann auf den allgemeinen Fall mit Exponent n durch Induktion verallgemeinern: Der Induktionsanfang mit n = 1 ist trivial. Sei also die Behauptung für alle Zahlen bis n richtig. Dann folgt für n + 1 Induktionsschritt) aus der Induktionsbehauptung und den Produktregeln für sin und cos: 18) cosα) + sinα) i) n+1 = cosnα) + sinnα) i) cosα) + sinα) i) = [cosnα) cosα) sinnα) sinα)] + [sinnα) cosα) + cosnα) sinα)] i = 1 [cosn 1)α) + cosn + 1)α) cosn 1)α) + cosn + 1)α)] + 1 [sinn 1)α) + sinn + 1)α) + sin n 1)α) + sinn + 1)α)] i = cosn + 1)α) + sinn + 1)α) i P.S.: Aus Gleichung 1) folgt für α = π die oben erwähnte "schönste" Gleichung: e iπ = cosπ) + sinπ) i) = 1 Die komplexe Größe z = z re + z im i bzw. r e α i in der Gaußschen Zahlenebene: mactex-016/pdflatex http://www.sarahandrobin.com/ingo/algebraische-gleichungen.pdf, http://www.sarahandrobin.com/ingo/index.html 10 Algebraische Gleichungen