Modellieren Reale Welt Welt der Mathematik
Kenntnisse in der Welt der Mathematik! Funktion, ganzrationale Funktionen Nullstellenberechnung, Vielfachheiten Grenzwertverhalten, Symmetrie, Monotonie Bestimmen von Schnittpunkten Bestimmen von Extremstellen und Extrempunkten Bestimmen von Wendestellen und Wendepunkten Skizzieren von Graphen (auch: graphisch ableiten) Zusammenhänge zwischen Funktionsgraph und Ableitungsgraph
Heute: Zusammenhänge Wie können wir unsere mathematischen Kenntnisse bei realen Problemen nutzen?
Im tropischen Regenwald führen die Pflanzen einen enormen Kampf um das Licht. Lianen z.b. wachsen erstaunlich schnell, um an den Urwaldriesen entlang nach oben zum Licht zu kommen. Man beobachtete eine Liane über einen längeren Zeitraum und stellte fest, dass die Länge der Liane in Abhängigkeit von der Zeit in etwa durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades beschrieben werden kann, die im Ursprung einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente) hat. (Beobachtungsbeginn ist zur Zeit x=0, wenn der Keimling aus dem Erdboden kommt.)aus Messergebnissen stellte man fest, dass f folgende Funktionsgleichung hat: 1 l + 60000 4 3 ( x) = x x (x ist die Zeit in Tagen, l(x) ist die Länge in dm). a) Wann ist das Wachstum der Pflanze am größten und wie viel wächst sie an diesem Tag? b) Nach wie viel Tagen hört nach diesem Modell die Pflanze auf zu wachsen? c) Wie lang ist die Liane nach 60 Tagen, und wie lang ist sie, nachdem sie das Längenwachstum eingestellt hat? d) Wie lang ist die Liane nach einem Jahr? 1 500 e) Zeichne die Funktion ins Heft (nur für positive x- und y-werte warum?). Wie muss man den Definitionsbereich der Funktion bei diesem Modell sinnvoll wählen?
Wie lösen wir ein Problem in der realen Welt? Reale Welt Welt der Mathematik
Wie lösen wir ein Problem in der realen Welt? Verstehen! Übertragen! Rechnen in Welt der Mathematik zurück übertragen Problemlösung angeben
Wie lösen wir ein reales Problem? Verstehen! Übertragen! Problem verstehen! Worum geht es? Was will ich wissen? (Skizzen machen, mit anderen diskutieren, ) reales Problem mathematisch formulieren Rechnen zurück übertragen Passt die Modellierung? Angeben Welche mathematischen Werkzeuge/ Methoden brauche ich? mathematisch lösen (bekannte Verfahren!) rechnerische Lösung auf reale Problemstellung übertragen Problemlösung angeben
Im tropischen Regenwald führen die Pflanzen einen enormen Kampf um das Licht. Lianen z.b. wachsen erstaunlich schnell, um an den Urwaldriesen entlang nach oben zum Licht zu kommen. Man beobachtete eine Liane über einen längeren Zeitraum und stellte fest, dass die Länge der Liane in Abhängigkeit von der Zeit in etwa durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades beschrieben werden kann, die im Ursprung einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente) hat. (Beobachtungsbeginn ist zur Zeit x=0, wenn der Keimling aus dem Erdboden kommt.)aus Messergebnissen stellte man fest, dass f folgende Funktionsgleichung hat: 1 1 l ( x) = x 4 + x 3 60000 500 (x ist die Zeit in Tagen, l(x) ist die Länge in dm). a) Wann ist das Wachstum der Pflanze am größten und wie viel wächst sie an diesem Tag? b) Nach wie viel Tagen hört nach diesem Modell die Pflanze auf zu wachsen? c) Wie lang ist die Liane nach 60 Tagen, und wie lang ist sie, nachdem sie das Längenwachstum eingestellt hat? d) Wie lang ist die Liane nach einem Jahr? e) Zeichne die Funktion ins Heft (nur für positive x- und y-werte warum?). Wie muss man den Definitionsbereich der Funktion bei diesem Modell sinnvoll wählen?
Aufgabe a) V Es wird der Tag gesucht, an dem das Wachstum am größten ist. Ü Es wird die Stelle des Graphen gesucht, an der die Steigung am größten ist (Steigung maximal). Also wird eine Wendestelle gesucht.
R Funktion: Ableitungen: 1 1 l(x) = x + x 60000 500 1 l '( x) = x³ + 15000 l''( x) = 1 5000 x 4 3 2 + 1 l' ''( x) = x + 2500 3 500 6 500 6 500 x² x
Hinreichende Bedingung für Stelle mit maximaler Steigung: 2. Ableitung = 0 und 3. Ableitung < 0 l''(x) 0 = l' ''( x) < 0 1 2 6 x + x = 0 x 5000 500 1 = 0 oder x 2 = 60
ZA Ist x = 0 ein sinnvolles Ergebnis??? NEIN! 1 6 l' ''(60) = 60 + = 0,012 < 2500 500 0 Am 60. Tag ist das Wachstum am größten!
V Wie viel wächst die Liane an diesem Tag? Wie viele dm wächst sie an diesem Tag? l(x) l (x) beschreibt die Länge der Liane an einem Tag beschreibt, wie schnell sie an diesem Tag wächst (dm pro Tag), also die Geschwindigkeit, mit der sie wächst. ( Steigung der Länge ist die Geschwindigkeit der Länge ) l (x) beschreibt, die Geschwindigkeit der Geschwindigkeit (die Beschleunigung der Länge )
Also suchen wir den Wert der 1. Ableitung an der Stelle x= 60: l (60) 1 3 15000 500 3 2 l'(60) = 60 + 60 = 7,2 Sie wächst an diesem Tag mit der Geschwindigkeit 7,2 dm pro Tag.
Aufgabe b) V Nach wie vielen Tagen hört die Liane auf zu wachsen? Wir suchen den Tag, an dem die Liane nicht mehr wächst. Ü Wir suchen die Stelle x der Funktion l, an der das Wachstum Null ist und die Funktion l später nicht weiter wächst. R Also hinreichende Bedingung für Wachstum gleich Null: l (x) = 0 und l (x) < 0
1 3 2 15000 x + 3 x 500 = 0 x 1/2 = 0 oder x 3 = 90 ZA Ist x = 0 sinnvolles Ergebnis?? NEIN!
l''(90) 1 2 6 = x + x 5000 500 = 0,54 ZA Die Stelle 90 ist Maximalstelle. Nach 90 Tagen wächst die Liane nicht mehr.
c) V Gesucht ist die Länge an einzelnen Tagen. Ü Also müssen wir die Funktionswerte l(60) und l(maximalstelle), also l(90), ausrechnen. R l(60) = 216 dm l(90) = 364,5 dm ZA Nach 60 Tagen hat die Liane eine Länge von 216 dm, nach 90 Tagen eine Länge von 364,5 dm.
d) V Gefragt ist nach der Länge der Liane nach einem Jahr, also nach 365 Tagen. Ü Gesucht ist der Funktionswert an der Stelle 365, also l(365). R 1 1 60000 500 1 1 60000 500 l(x) = x4 + x3also l(365) = 3654 + 3653 198561
Z Macht das Sinn? NEIN! Eine negative Länge ist unsinnig. Also passt das Modell (die Wahl unserer Funktionsgleichung) nicht für diesen Zeitpunkt. Als sinnvolle Definitionsmenge kann nicht ganz R angegeben werden. (Vgl. e) A Die Frage kann mit den vorhandenen Angaben nicht beantwortet werden, da die gegebene Funktionsgleichung offensichtlich für den Zeitpunkt keinen Sinn macht. Wenn die Liane nicht mehr wächst, bleibt sie entweder so lang, wie sie nach 90 Tagen war, oder sie stirbt vielleicht ab. Hier muss also mit Informationen der Biologie die richtige Antwort gefunden werden.
Rückblick Welche mathematischen Kenntnisse brauchen wir? Reale Welt Welt der Mathematik
Aufgaben Siehe Arbeitsblatt! Viel Spaß beim Lösen der Aufgaben!