Dplomprüfung für Kaufleute 00/I Prüfungsfach: Unternehmensfnanzerung und Betrebswrtschaftslehre der Banken Thema : a) Warum st es trotz Rskoaverson der Markttelnehmer möglch, be der Bewertung von Optonen Modelle zugrunde zu legen, deren Bewertungsglechungen so aussehen, als se de Welt rskoneutral? In welcher Form wrd () m Bnomalmodell der Aktenkursentwcklung () m Log-Normalvertelungsmodell der Aktenkursentwcklung jene Bewertungskorrektur vorgenommen, de de Bewertungsglechungen so aussehen läßt, als se de Welt rskoneutral? (50 Punkte) b) Unterstellen Se m Rahmen deser Telaufgabe, dass Aktenkurse und Kursndzes logarthmsch normalvertelt snd. () Aus welchem Integral kann de Black/Scholes-Formel als dskonterter Erwartungswert des Gewnns aus der Optonsausübung abgeletet werden? Schreben Se das Integral explzt an und erläutern Se nachvollzehbar de Rechenschrtte, de zur Black/Scholes-Formel führen. (70 Punkte) () We muss ene ndexerte Opton konstruert sen, damt se sch analog zu () bewerten lässt? Erläutern Se de dabe zugrunde legenden Annahmen und legen Se m enzelnen und mt nachvollzehbarer Begründung dar, welche Parameter an de Stelle der n () maßgeblchen Parameter enzusetzen snd. (40 Punkte) (3) Unter welcher Bedngung lässt sch ene Opton, deren Basskurs ndexert st und de zum Bezug ener Akte berechtgt, analog zu () und () bewerten? We ändert sch das Ergebns aus () und warum? We snd de Bezugsbedngungen gegebenenfalls zu modfzeren, wenn aus der Akte Dvdenden abfleßen? (0 Punkte) c) In welchen Fällen st man be der Berechnung von Optonswerten auf de Verwendung des bnomalen Modells angewesen? Erläutern Se anhand ener Skzze und der grundlegenden Rechenformeln, we dabe m enzelnen vorzugehen st; beschränken Se sch dabe auf enen der n Betracht kommenden Fälle, den Se selbst auswählen dürfen! (60 Punkte)
Thema : Aufgabe : Portfolo Selecton Unterstellt se m folgenden mmer en Anfangsvermö gen n Höhe von 00.000 DM. Am Markt werden be belebger Telbarket folgende 3 Wertpapere gehandelt: p e σ WP 5 8 - WP 0 0 - -4 WP 3 50 60-4 9 wobe folgende Notaton glt: p = Kurs der Akte zum Zetpunkt t = 0 e~ = stochastscher Kurs der Akte zum Zetpunkt t = ( ) e = E ~ e σ = Kovaranzmatrx mt den Elementen cov ( e ~, ~ ) e j a) Zunächst werden nur de Wertpapere und betrachtet. Ermtteln Se das varanzmnmale Portfolo und geben Se de Höhe von Erwartungswert und Varanz des Endvermögens sowe de entsprechenden Stückzahlen an.(8 Punkte) b) Welcher funktonale Zusammenhang besteht be Aufgabe a) zwschen Erwartungswert und Varanz entlang des effzenten Randes? Stellen Se den effzenten Rand n enem Schaubld dar, wobe kene Leerverkäufe zulässg sen sollen. Geben Se de Koordnaten aller relevanten Punkte an. (6 Punkte) c) Ermtteln Se ausgehend von Aufgabe a), welches Portfolo en Investor mt ener Präferenzfunkton der Form annmmt. Geben Se Φ( µ, σ ) = µ a σ realsert, wenn der Rskoaversonsparameter a den Wert 000 Erwartungswert, Varanz sowe de entsprechenden Stückzahlen an. Leerverkäufe seen ncht zulässg. (6 Punkte) d) Nun wrd der 3 Wertpaper-Fall betrachtet. Ermtteln Se m Fall ohne schere Anlage- bzw. Verschuldungsmöglchket für enen Investor mt ener Präferenzfunkton der Form dessen Rskoaversonsparameter a den Wert 000 Portfolos sowe de zugehörgen Wertpaperstückzahlen. Hnwes. De nverse Ko varanzmatrx σ - lautet: Φ ( µ, σ ) = µ a σ, annmmt, Erwartungswert und Varanz des optmalen σ = 0 5 0 (8 Punkte) e) Es wrd weterhn der 3 Wertpaper-Fall betrachtet, wobe nunmehr en vollkommener Kaptalmarkt mt enem Znssatz von 0 % exstert. Geben Se für enen Investor, der enen Erwartungswert n Höhe von 0.000 erzelen möchte, Varanz und Wertpaperstückzahlen des entsprechenden Portfolos an. Geben Se außerdem de Höhe der Inanspruchnahme des Kaptalmarktes an. (0 Punkte)
Aufgabe : Kredtvertragstheore: 3 En Investor hat de Wahl zwschen zwe sch gegensetg ausschleßenden Investtonsprojekten IP und IP. Bede Projekte erfordern m Zetpunkt t = 0 ene Investton n Höhe von 000 DM. Im Zet punkt t = entstehen de n der nachfolgenden Tabelle angeführten Zahlungsüberschüsse (Z n ). Darüber hnaus hat der Investor de Möglchket, de Wahrschenlchketsvertelung der Zahlungsüberschüsse durch Erhöhung senes Arbetsensatzes zu verbessern; de entsprechend modfzerten Projekte seen mt IP + und IP + bezechnet. Der erhöhte Arbetsensatz verursacht en Arbetsled mt enem monetären Gegenwert n Höhe von 00 DM. Für enen potentellen Kaptalgeber st ledglch das Ergebns der Investton beobachtbar, ncht aber de Projektwahl und der Arbetsensatz des Investors. Sowohl der Investor als auch sene Kaptalgeber snd rskoneutral. Der Kaptalmarkt verznst schere Anlagen mt 0 %. De Zahlungsüberschüsse (Z n ) sowe de zugehörgen Entrttswahrschenlchketen p(z n ) lauten für de enzelnen Projekte we folgt: Zn 3.000.000.000 0 p(z n /IP) 0, 0,3 0,3 0,3 p(z n /IP + ) 0,35 0,35 0, 0, p(z n /IP) 0,5 0,5 0, 0,3 p(z n /IP + ) 0,35 0,33 0,7 0,5 a) Welches Projekt wählt der Investor, falls er deses voll aus egenen Mtteln fnanzert? (3 Punkte) b) Welchen Znssatz muß ene Bank verlangen, damt se sch, gemessen am Erwartungswert der Kredt rückzahlung, ncht schlechter stellt als be ener Alternatvanlage, wenn se enen Kredt von.000 DM zur Fnanze rung des Projektes ausrecht? De Haftung des Investors blebt auf de Zahlungsüberschüsse aus dem Projekt begrenzt. Ist der Investor noch beret, desen Zns zu zahlen? Nehmen Se dabe an, daß de Bank das Ergebns der Investton beobachten kann! Welches Projekt wrd realsert? ( Punkte) c) Nehmen Se btte m folgenden an, daß der Investor das Investtonsprojekt nur zu DM 400 aus egenen Mtteln und durch de Übernahme ener Betelgung durch enen Kaptalgeber fnanzert. Der Betelgungsvertrag seht vor, daß der Kaptalgeber n t= 60 % der Zahlungsüberschüsse erhält. Welches Projekt wrd der Investor realseren? (5 Punkte) d) Es wrd we n Telaufgabe c) en Betelgungsvertrag mt 60% Betelgungsquote abgeschlossen, wobe aber de Zahlungsüberschüsse für den externen Kaptalgeber ncht mehr kostenlos beobachtbar snd. De Kosten zur Überprüfung der Zahlungsüberschüsse belaufen sch auf 400 DM. De Prüfkosten snd vom Investor zu tragen. Nur für den Fall, daß de dem Investor zustehenden Zahlungsüberschüsse ncht ausrechen, wrd der externe Kaptalgeber zu Zahlung der Prüfkosten herangezogen. Im Falle ener (aufgedeckten) Falschmeldung verlert der Investor senen Antel an den Zahlungsüberschüssen. In desem Fall erhält der externe Kaptalgeber den gesamten Zahlungsüberschuß abzüglch der Prüfkosten. Mt welcher Wahrschenlchket muß der externe Kaptalgeber ene Ergebnsmeldung des Investors von Null prüfen lassen? Dese Wahrschenlchket sollte zur Ensparung von Prüfkosten so nedrg we möglch sen, aber hoch genug, um dem Investor enen Anrez zu geben, den tatsächlchen Zahlungsüberschuß zu melden. ( Punkte) e) We hoch fallen de gesamten Prüfkosten aus, wenn mt den errechneten Wahrschenlchketen aus d) auch tatsächlch geprüft wrd und das n Telaufgabe c) bestmmte Investtonsprojekt zu ener eventuellen Realsaton herangezogen wrd? Zu welchen Telen müssen de Prüfkosten vom Investor bzw. vom Kaptalgeber getragen werden? Bleben bede Vertragstele nach we vor an ener Durchführung der Investton nteressert? (6 Punkte)
Aufgabe 3: Optonsbewertung 4 Es exsteren europäsche Kauf- und Verkaufsoptonen auf ene ConSors-Akte mt Basskurs K = 50 und ener Restlaufzet von Monaten. Der Kurs der Akte, dessen Logarthmen normalvertelt snd, beträgt heute S = 60. Ene Dvdendenabfluß während der Laufzet der Opton st mt Scherhet ncht zu erwarten. Aus hstorschen Aktenkursen wurde für de jährlche Volatltät des Aktenkurses S * ene Schätzung von 00 % ermttelt. Der Kaptalmarktzns für rskolose Anlagemöglchketen und für Kredtaufnahme beträgt enhetlch = 5 % p.a.. Verwenden Se für de m folgenden geforderten Berechnungen de relevanten Werte der am Ende des Aufgabentels angegebenen Wertetabelle für de Vertelungsfunkton der standardserten Normalvertelung! a) Berechnen Se zunächst den Wert der Kaufopton nach der Black/Scholes-Formel! Ist deser Wert exakt, falls de oben getroffenen Annahmen erfüllt snd? (0 Punkte) b) Berechnen Se den Wert der entsprechenden Verkaufsopton nach dem Black/Scholes-Modell? Ist deser Wert exakt oder nur ene obere oder untere Grenze? Begründen Se Ihre Antwort! (5 Punkte) c) Se snd Mtarbeter ener klenen, regonal tätgen Bank, de hren Kunden ene selbst entwckeltes Dscount- Zertfkat anbeten möchte. Das Zertfkat st so konstruert, daß der Kunde, der en solches Zertfkat erworben hat, nach Monaten entweder enen Betrag von 50 Euro oder ene ConSors-Akte erhält. Dabe hat de Bank das Wahlrecht, mt welcher deser beden Alternatven se hrer Verpflchtung nachkommt. In welche beden separat bewertbaren Komponenten lässt sch das Dscount-Zertfkat zerlegen? Ermtteln Se vor desem Hntergrund den Pres, den de Bank von hren Kunden für deses Zertfkat mndestens erhalten muß. Gehen Se dabe davon aus, daß de Optonen aus den Telaufgaben a) und b) zu den von Ihnen errechneten Presen tatsächlch gehandelt werden. (0 Punkte) d) We hoch st de erwartete Rendte für den Käufer enes solchen Dscount-Zertfkats? (3 Punkte) e) Um auch für wenger rskoberete Kunden en Angebot zu haben, beschleßt de Bank, neben dem Dscount- Zertfkat noch ene Aktenanlehe auf ene ConSors-Akte mt enem Nomnalbetrag von 00 Euro, enem Kupon von 0 % und ener Laufzet von ebenfalls Monaten anzubeten. Dabe erhält der Kunde nach Monaten de Znsen und entweder den Nennwert der Anlehe oder zwe ConSors-Akten. We unterschedet sch de Aktenanlehe vom Dscount-Zertfkat aus Telaufgabe c)? In welche beden separat bewertbaren Komponenten lässt sch de Aktenanlehe zerlegen? Ermtteln Se vor desem Hntergrund den Pres, den de Bank für de Aktenanlehe mndestens erhalten muss! (0 Punkte) Wertetabelle: x N(x) 0,73 0,767647-0,6889 0,435754-0,3787 0,44544 0,84906 0,573349 0,3865 0,59679 0,45069 0,67387 0,47586 0,68673 0,4909 0,68839
5 Aufgabe 4: Optonsprestheore a) Der Inhaber ener ncht dvdendengeschützten amerkanschen Kaufopton muss sch unmttelbar vor Abfluss ener scheren Dvdende von 5 auf de zugrundelegende Akte entscheden, ob er de Opton vorzetg ausübt. Der Basskurs der Opton legt be 65, de jährlche Volatltät des ex-kurses beträgt σ = 0,6 und der Znssatz 5 % p.a. De Restlaufzet der Opton nach Abfluß der Dvdende beträgt 6 Monate. Für welche cum-dvdende-aktenkurse unmttelbar vor Dvdendenfällgket wrd vorzetg ausgeübt und für welche Aktenkurse ncht? Hnwes: Berechnen Se den Optonswert für enen cum-kurs von 90 und 00, wobe jewels de Frage der Sofortausübung zu prüfen st. Skzzeren Se den Verlauf der Dfferenz der Optonswerte für de beden alternatven Ausübungsstrategen n Abhänggket vom cum-kurs S und bestmmen Se durch enen Interpolatonsschrtt den krtschen Aktenkurs, für den de beden Strategen glechwertg snd. (0 Punkte) b) Ermtteln Se den Wert der Opton aus Telaufgabe a) 3 Monate vor Dvdendenfällgket be enem Aktenkurs zu desem Zetpunkt von 80 - näherungswese durch Ermttlung ener (numersch anzugebenden) Wertuntergrenze. Unterstellen Se be Ihren Berechnungen, dass sch de Volatltät σ = 0,6 auf den ex-kurs bezeht! Beschreben Se, we vorzugehen wäre, wenn sch de Volatltät auf den cum-kurs bezöge. Geben Se dabe jewels an, we de Parameter der BlackScholes-Formel anzupassen wären. - exakt durch Ausschreben enes Integrals, das Se natürlch ncht numersch auszuwerten brauchen. Machen Se dabe explzt kenntlch, n welche zwe Telbereche der Integratonsberech zu zerlegen st und we jewels de Funkton lautet, über de zu ntegreren st. (8 Punkte) Wertetabelle X 0,08757 0,8456 0,47767 0,57544 0,57797 0,57797 0,5879 0,6078 0,60883 0,63447 X 0,6376 0,73983 0,8654 0,8879 0,89544 0,89797 0,9094 0,93447 0,9376,64 N(x) 0,53489 0,573 0,68356 0,775 0,7836 0,7836 0,7998 0,784 0,7868 0,737 N(x) 0,73799 0,7703 0,799 0,833 0,847 0,854 0,8645 0,8497 0,8566 0,8778
6 Aufgabe 5: Fnanzmathematk Se haben de Möglchket, am..0 en Haus zu enem Pres von Mo. DM zu erwerben. De erzelbare Mete beträgt 4.000 DM p.a. und wrd jewels am Ende des Jahres gezahlt werden. Ihr gegenwärtges Vermögen beträgt 460.000 DM. Der zur Restfnanzerung des Kaufpreses benötgte Kredt hat folgende Kondtonen: Es handelt sch um en Annutätendarlehen mt ener Laufzet von 4 Jahren und enem effektven Jahreszns von 6 %. De Raten snd jährlch am 3.. fällg. Nach der 4. Rate st der Kredt vollständg getlgt. De Auszahlung des Darlehens erfolgt unter Abzug enes Dsagos von 30.000 DM. Se können davon ausgehen, daß der Verkehrswert des Hauses jährlch um 3 % stegt und das Haus am Ende des 4. Jahres verkauft werden soll. Alternatve Geldanlagen verznsen sch mt 5,5 % p.a. a) Berechnen Se de sch aus obgen Vorgaben ergebende jährlche Annutät des Kredts. (3 Punkte) b) Welcher Nomnalzns steht m Kredtvertrag für deses Annutätendarlehen? Hnwes: Führen Se zur Berechnung des Znssatzes ene Interpolaton mt enem Interpolatonsschrtt durch. Als Interpolatonsgrenzen verwenden Se Znssätze von 3,6% und 3,7%. (7 Punkte) c) Prüfen Se anhand enes geegneten Entschedungskrterums, ob sch der Kauf des Hauses lohnt! (8 Punkte) d) Es gelte en Steuersystem mt enem Steuersatz von 40% auf jeglche Enkünfte. Ausgaben, de zur Erzelung der Ennahmen getätgt werden (sog. Werbungskosten), wrken sch steuermn dernd aus. Im vorlegenden Fall kommen als Werbungskosten de gezahlten Kredtznsen, de jährlche Gebäudeabschrebung n Höhe von % des Kaufpreses und das Dsago n Betracht. Im Falle der Veräußerung des Hauses wrd der Veräußerungsgewnn (= Verkaufspres - Buchwert) der Steuer unterworfen. Steuerschulden und Steuererstattungen für en Jahr werden jewels am Ende des Jahres zahlungswrksam. Lohnt sch der Kauf des Hauses unter desen veränderten Rahmenbedngungen? (0 Punkte) e) We würde Ihre Antwort n Telaufgabe d) lauten, wenn Veräußerungsgewnne bem Verkauf von Häusern steuerfre bleben? (4 Punkte) f) Inwefern hat das Dsago Enfluß auf Ihre Ergebnsse n den Telaufgaben c) und d)? Welche Varablen beenflussen dabe de Auswrkungen des Dsagos auf de Vortelhaftgket des Hauskaufs und warum? (6 Punkte) Aufgabe 6: Vermschte Verständnsaufgaben. Welche ökonomschen Überlegungen sprechen dagegen, als Anreznstrumente für Manager Optonen zu gewähren, de zum Bezug ener festen Stückzahl von Akten zu enem festen Bezugspres führen? Warum st deser Optonstyp dennoch sehr häufg verbretet? (0 Punkte). Dskuteren Se das Pro und Kontra der Forderung, dass der Wert von an das Management ausgegebenen Optonen auch dann als Personalaufwand n der Gewnn- und Verlustrechnung ausgewesen werden soll, wenn be Ausübung der Optonen auf bedngtes Kaptal zurückgegrffen wrd. (8 Punkte)
7 3. Was sprcht aus Aktonärsscht gegen de Ausgabe von Optonen, be deren Ausübung auf bedngtes Kaptal zurückgegrffen wrd? Inwefern st de Antwort auf dese Frage davon abhängg, we sch der Aktonärskres zusammensetzt? Sehen Se Unterschede zwschen Deutschland und den USA und worn bestehen dese gegebenenfalls? (8 Punkte) 4. Erörtern Se das Pro und Kontra von Optonen, mt denen de Manager dann Geld verdenen, wenn de Akte des Unternehmens besser abschnedet als - de allgemene Entwcklung am Aktenmarkt, gemessen an enem möglchst umfassenden Index ("Marktndex") - de Entwcklung enes bestmmten Marktsegments, gemessen an enem Index, n welchen de Akten von branchenglechen oder branchenverwandten Unternehmen engehen ("Branchenndex") (8 Punkte) 5. Erläutern Se das Pro und Kontra der Ausgabe von - endfällgen ("europäschen") - laufend ausübbaren ("amerkanschen") Optonen an Manager! (5 Punkte) 6. Warum st be amerkanschen Optonen auf US-Akten de Frage der vorzetgen Ausübung wenger bedeutsam als be amerkanschen Optonen auf deutsche Akten? Warum kann be amerkanschen Optonen auf US-Akten m Falle ener sehr langen Laufzet de Frage der vorzetgen Ausübung auch dann ncht vernachlässgt werden, wenn de Optonen "am Geld" ausgegeben werden und de als langfrstg konstant unterstellte Dvdendenrendte - verstanden als Quotent aus laufender Dvdende und laufendem Aktenkurs - nur % beträgt? (6 Punkte) 7. Beschreben Se ene Fallkonstellaton, n der de Black/Scholes-Formel auch dann zu ener exakten Bewertung ener ncht dvdendengeschützten amerkanschen Opton führt, wenn während der Laufzet deser Opton ene Dvdende aus der zugrunde legenden Akte abfleßt. (3 Punkte)
8 Lösungen Bankexamen 00/I Aufgabe : Portfolo Selecton Unterstellt se m folgenden mmer en Anfangsvermögen n Höhe von 00 000 DM. Am Markt werden be belebger Telbarket folgende 3 Wertpapere gehandelt: p e σ WP 5 8 - WP 0 0 - -4 WP 3 50 60-4 9 wobe folgende Notaton glt: p = Kurs der Akte zum Zetpunkt t = 0 e~ = stochastscher Kurs der Akte zum Zetpunkt t = e = E( e~ ) cov e ~, ~ σ = Kovaranzmatrx mt den Elementen ( ) f) Zunächst werden nur de Wertpapere und betrachtet. Ermtteln Se das varanzmnmale Portfolo und geben Se de Höhe von Erwartungswert und Varanz des Endvermögens sowe de entsprechenden Stückzahlen an. 8 Punkte e j Lösung: σ = x mn = W 8000 σ p= pσ p 6000 s mn = 40 Mo µ mn = 84 00 g) Welcher funktonale Zusammenhang besteht be Aufgabe a) zwschen Erwartungswert und Varanz entlang des effzenten Randes? Stellen Se den effzenten Rand n enem Schaubld dar, wobe kene Leerverkäufe zulässg sen sollen. Geben Se de Koordnaten aller relevanten Punkte an. Lösung: (6 Punkte) s = 0,65 (µ - 84 000) + 40 000 000 Alles n WP: s = 400 Mo µ = 60 000 Alles n WP: s = 00 Mo µ = 00 000
9 h) Ermtteln Se ausgehend von Aufgabe a), welches Portfolo en Investor mt ener Präferenzfunkton der Form Φ( µ, σ ) = µ a σ realsert, wenn Rskoaversonsparameter a den Wert annmmt. Geben Se Erwartungswert, Varanz sowe de 000 entsprechenden Stückzahlen an. Leerverkäufe seen ncht zulässg. Lösung: 6 Punkte Abletung des effzenten Randes n µ = 00 000 (alles n WP) = 0 000 < /a = Abletung der Indfferenzkurve. Also: Wegen Leerverkaufsbeschränkung alles n WP x = 0000 s = 00 Mo µ = 00 000 ) Nun wrd der 3 Wertpaper-Fall betrachtet. Ermtteln Se m Fall ohne schere Anlagebzw. Verschuldungsmöglchket für enen Investor mt ener Präferenzfunkton der Form Φ ( µ, σ ) = µ a σ, dessen Rskoaversonsparameter a den Wert annmmt, 000 Erwartungswert und Varanz des optmalen Portfolos sowe de zugehörgen Wertpaperstückzahlen. Hnwes. De nverse Kovaranzmatrx σ - lautet: Lösung: σ = 0 5 0 8 Punkte es - p = 7460 ps - p = 550 es - e = 0848 s = 0,03887 (µ 44 854,37) + 94 747,57 Im Optmum: µ = 86 78,5 s = 4380553,3
0 x = 747,43 6485,4 38, 8505 j) Es wrd weterhn der 3 Wertpaper-Fall betrachtet, wobe nunmehr en vollkommener Kaptalmarkt mt enem Znssatz von 0 % exstert. Geben Se für enen Investor, der enen Erwartungswert n Höhe von 0 000 erzelen möchte, Varanz und Wertpaperstückzahlen des entsprechenden Portfolos an. Geben Se außerdem de Höhe der Inanspruchnahme des Kaptalmarktes an. 0 Punkte Lösung: s = 0000 = 498,73 667,5 x = 09,738 86,43 344,569 S = 73 08,63 Aufgabe 3: Optonsbewertung a) d = 0,73 d = - 0,68888 C = 7,30 exakter Wert, da europäsche Opton b) P = C + K/r T S P = 4,9 c) Dscount-Zertfkat stellt für den Käufer ene Kombnaton aus Zerobond und Put-Verkauf und für de Bank ene Kombnaton aus Put-Verkauf und Kredt dar. Pres des Dscount-Zertfkats muß genauso hoch sen, we de Summe der beden, m äquvalenten Depot enthaltenen Wertpapere. Pres des Put: 4,9 Euro 50 Pres des Zero-Bond: 47,6 Euro =, 05 Pres des Dscount-Zertfkats: 3,70 Euro
d) 5 % e) äquvalent zu Dscount-Zertfkat mt dem Untersched, dass 0 % Dvdende gezahlt werden, um deren Barwert der Pres des Dscount-Zertfkats zu erhöhen st. da 00 Euro Nennwert benötgt man Puts 0,05 Kurs der Anlehe = 4, 9 = 84,45 % Aufgabe 4: Optonsprestheore a) T = 0,5 r =,05 K = 85 σ = 0,6 S = 90 S = 85 BS(S; K; r; T; σ) = BS(85; 65;,05; 0,5; 0,6) C = 85 N(0,9094) 65 0,5 N(0,47767),05 85 0,8645 63,4335 0,68356 C = 6,04 S K = 5 kene Sofortausübung, da (S K) C = -,04 S = 00 S = 95 BS(S; K; r; T; σ) = BS(95; 65;,05; 0,5; 0,6) C = 95 N(,64) 65 0,5 N(0,73983),05 95 0,8778 63,4335 0,7703 C = 34,53 S K = 35 Sofortausübung, da (S K) C = 0,47 BS (S - K),04 90 96,89 00 S -,5
S *,04 0 = 90 = 96,89,5 b) Wert be Ausübung vor Dvdende: BS(80; 65;,05; 0,5; 0,6) C = 80 N(0,8879) 65 0,5,05 N(0,5879) C = 8,67 80 0,833 64, 0,7998 falls nur der Kurs abzüglch Dvdende ene jährlche Volatltät von 0,6 aufwest: BS(75,06; 60;,05; 0,5; 0,6) = 75,06 N(0,9376) 60,05-0,5 N(0,6376) = 75,06 0,8566 59,76 0,73799 = 8,3 80 nach Anpassung der Volatltät: σ = 0,6 = 0,64 75 BS(75,06; 60;,05; 0,5; 0,64) = 75,06 N(0,89797) 60,05-0,5 N(0,57797) = 75,06 0,8540 59,76 0,7836 = 8,63 (sehe oben) Wert be Durchhalten: BS(80-5 0,5,05 = 75,06; 65;,05; 0,75; 0,6) C = 75,0606 N(0,6078) 65 0,75,05 N(0,08757) 75,0606 0,784 6,664 0,53489 C =,4 Wertuntergrenze
3 Aufgabe 5: Fnanzmathematk Se snd Arbetnehmer, wohnen mt Ihrer Famle zur Mete und wssen defntv, daß Se am 3..04 nach Südamerka auswandern werden. Ihre gegenwärtge Mete beträgt DM 4.000 de jewels am Ende des Jahres fällg st. Der Egentümer der Immoble betet Ihnen am..0 an dese zu enem Pres von Mo. DM zu kaufen. Da Ihr gegenwärtges Vermögen ledglch DM 460.000,-- beträgt müßten Se um das Kaufangebot wahrzunehmen enen Kredt aufnehmen. De Bank A offerert Ihnen enen Kredt n Höhe von nomnal DM 600.000,-- unter Abzug enes Dsagos von 0% auf de Kredtsumme. De Rückzahlungsraten snd jewels n glecher Höhe am Jahresende fällg und der Effektvzns beträgt 6% p.a.. Ihr aktuelles Bruttoenkommen beträgt DM 450.000, de Nettoausgaben belaufen sch pro Jahr auf DM 60.000. Durch den Kauf der Immoble würden Se vom Staat alljährlch ene Egenhemzulage von DM.500 erhalten. Sämtlche Zahlungen fallen jewels am 3.. enes Jahres an. Fre Geldströme erbrngen aufgrund Ihrer geschckten Aktenanlagestratege 0% steuerfre p.a.. Vom Immoblenmarkt st zu erwarten, daß de Prese alljährlch um 7% stegen. Ene Spekulatonssteuer auf Immoblen exstert ncht. Ihr aktueller Steuersatz beträgt 40%. Se wssen scher, daß Se am 3..04 nach Südamerka auswandern werden und versuchen Ihren Kaptalgrundstock für Ihre neue Exstenz zu maxmeren. De Formel für den nachschüssgen Rentenbarwertfaktor lautet: RBF ns + = a) We hoch snd de alljährlchen Raten wenn der Kredt nach 4 Jahren getlgt sen soll? (4 Punkte) b) Nach welcher Maßgabe entwckelt sch de Tlgung m Zetablauf be enem Annutätendarlehen?(7 Punkte) () Ann = Tl + *K () Ann = Tl + *(K-Tl) ()-() => Tl = Tl * (+) n 0,06 540.000 + = R R = 55.839,406 0,06 4 c) We hoch st hr Endvermögen wenn Se sch für den Kauf des Hauses entscheden? (8 Punkte) Überschuß p.a. 56660,594 56660,594 56660,594 56660,594 Bruttolohn * (-Steuern) - Annutät + Egenhemzulage - Nettokonsum Sonderposten 30796,0 Immoverkau f Endsumme: 573757,83 d) We hoch st hr Endvermögen wenn Se auf den Hauskauf verzchten und weterhn zur Mete wohnen?(5 Punkte) Alternatve : weter meten Überschuß p.a. 86000 86000 86000 86000 Bruttolohn * (-Steuern) - Mete - Nettokonsum Sonderposten 673486 Vermögen Endsumme: 5367
4 En Immoblenmakler offerert Ihnen nun ene mt Ihrem Haus dentsche Immoble zum Kauf und betet Ihnen darüber hnaus ene Metgarante pro Jahr n Höhe von DM 4.000 bs zum Ende des Jahres 04 an. Hnwes: Tl t + = d) We entscheden Se sch jetzt wenn Se deses Kaufangebot annehmen und Se weterhn n Ihrem ursprünglchen Haus zur Mete wohnen bleben. Be der Fremdmmoble steht hnen ferner de Möglchket offen sowohl mttels Schuldznsen, Dsago als auch ener %gen Abschrebung pro Jahr Ihr zu versteuerndes Enkommen zu reduzeren. Natürlch erhöhen de Metennahmen Ihr zu versteuerndes Enkommen. (5 Punkte) Alternatve 3: Fremdhauskauf: ( + ) Tlt BruttoEK*s (zahlungswrksam) 64960 69403,89 744,66 7907,34 (Bruttolohn-Schuldzns+Fremdmete)(- s) Steuererstattung aus ncht 3000 8000 8000 8000 (Dsago + Abschrebung)*s zahlungswrksamen Vorgängen Nettozahlungen 07439,406 4845,77 696,56 308,307 Metkosten, Nettokonsum, Tlgung Sonderposten 30796,0 Veräußerungserlös Saldo 8950,594 6558,0484 5947,7499 366885,04 Aufznsung auf ende t=4 95,9 75695,385 65359,549 366885,04 Ensumme: 6709,7 e) Ene wetere Bank offerert Ihnen en Fnanzerungsangebot. Be sowohl dentschem Nomnalbetrag als auch Dsago wll dese de Rückzahlung über monatlche nachschüssge Annutätsraten n Höhe von DM 5.000 abwckeln. We hoch st der jährlche Nomnalzns? (9 Punkte) (Für de Extrapolaton snd Monatsznssätze von 0,73% und 0,75% zu verwenden; es st nur en Extrapolatonsschrtt durchzuführen.) Extrapolaton: Zns = 0,0075 Annutät= 493,054 Zns = 0,0073 Annutät= 486,743 Zns über Extrapolaton errechnet: 0,0077003 =>Jahreszns: 9,44%