1 Der Funktionsbegriff 34 2 Proportionale Funktionen 35 3 Lineare Funktionen 36 4 Geradengleichungen 38 5 Weitere Funktionen 40

Inhalt A B C D E F Grundlagen 1 Zuordnungen und ihre Darstellung 6 2 Einfache Termumformungen 8 3 Einfache lineare Gleichungen und Ungleichungen 9 4 Geometrische Grundkonstruktionen 11 Rechnen im Alltag 1 Proportionale Zuordnungen 12 2 Umgekehrt proportionale Zuordnungen 13 3 Dreisatzrechnung 14 4 Prozent- und Zinsrechnung 15 5 Prozentuale Veränderungen 16 6 Vermischte Übungen zur Prozent- und Zinsrechnung 17 Terme und Gleichungen 1 Ausmultiplizieren und Ausklammern 20 2 Die binomischen Formeln 22 3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen 24 4 Bruchterme 26 5 Einfache Bruchgleichungen 30 6 Parametergleichungen und Formeln 32 7 Test: Terme und Gleichungen 33 Lineare Funktionen 1 Der Funktionsbegriff 34 2 Proportionale Funktionen 35 3 Lineare Funktionen 36 4 Geradengleichungen 38 5 Weitere Funktionen 40 Dreieck, Viereck, Kreis 1 Kongruenz Kongruenzsätze 42 2 Dreieckskonstruktionen 44 3 Probleme geometrisch lösen 46 4 Besondere Vierecke 49 5 Flächeninhalte geradlinig begrenzter Figuren 51 6 Vom Kreis 53 Prismen und Zylinder 1 Die Darstellung von Prismen 54 2 Oberflächen und Rauminhalte von Prismen 55 3 Kreiszylinder 57 4

G H I J K L Ähnlichkeit 1 Ähnliche Dreiecke 58 2 Ähnliche Vielecke 60 3 Strahlensätze 61 4 Test: Ähnlichkeit 63 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1 Gleichungen der Form ax + by = c 64 2 Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen 65 3 Das Gleichsetzungsverfahren 66 4 Das Einsetzungsverfahren 67 5 Das Additionsverfahren 68 6 Anwendungen 70 7 Test: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 71 Wahrscheinlichkeiten 1 Zufallsexperimente 72 2 Ergebnis Ergebnisraum Ereignis 73 3 Laplace-Experimente 75 4 Mehrstufige Zufallsexperimente 77 5 Test: Wahrscheinlichkeiten 79 Quadratwurzeln Reelle Zahlen 1 Quadratwurzeln 80 2 Reelle Zahlen 82 3 Wurzelziehen und Quadrieren 84 4 Umformen von Wurzeltermen 86 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 88 2 Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen 89 3 Die quadratische Ergänzung 90 4 Quadratische Gleichungen mit einer Lösungsformel lösen 92 Quadratische Funktionen 1 Die Funktion f mit f(x) = ax 2 und ihr Graph 94 2 Die Funktionen f: x x 2 + e und f: x (x d) 2 96 3 Die Scheitelpunktform f: x a(x d) 2 + e 97 4 Die allgemeine quadratische Funktion 98 5 Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen 100 Lösungen 102 Mathematische Zeichen 158 Stichwortverzeichnis 159 5

A Grundlagen A Grundlagen 1 Zuordnungen und ihre Darstellung Zuordnungen kann man verbal, also durch Texte, beschreiben oder durch Pfeilbilder, durch Tabellen, durch Grafiken oder Diagramme. Eine Zuordnung Alter Anzahl wird auf verschiedene Arten beschrieben. Verbale Beschreibung: Unter den Schülerinnen und Schülern der Klasse 8 a sind zur Zeit zwölf Dreizehnjährige, fünfzehn Vierzehnjährige und drei Fünfzehn jährige. Beschreibung der Zuordnung durch ein Balkendiagramm 15 14 Alter in Jahren 13 0 5 10 15 Anzahl Beschreibung durch eine Tabelle Alter in Jahren 13 14 15 Anzahl 12 15 3 Die Zuordnung natürliche Zahl Teiler dieser Zahl wird für die natürlichen Zahlen von 1 bis 6 durch ein Pfeilbild dargestellt. Den Pfeil liest man hier hat als Teiler. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Beispiel 3 Die Zuordnung natürliche Zahl Anzahl der Teiler dieser Zahl wird für die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 durch eine Tabelle dargestellt. natürliche Zahl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Anzahl der Teiler 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 6

1 Zuordnungen und ihre Darstellung Eine Zuordnung Größe A Größe B kann man durch einen Graphen in einem Koordinatensystem darstellen. Auf der Rechtsachse trägt man die Werte der Ausgangsgröße A ab, auf der Hochachse die Werte der zugeordneten Größe B. Jedem Paar (a b) von einander zugeordneten Werten entspricht ein Punkt P(a b) des Graphen. In einem quaderförmigen Becken befinden sich anfangs 20 Liter Wasser. Nun wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Jede Minute fließen zweieinhalb Liter Wasser hinein. Nach 2 Minuten befinden sich 25 Liter Wasser im Becken; demnach gehört der Punkt P(2 25) zum Graphen der Zuordnung. Als Ganzes wird die Zuordnung Zeit x in Minuten Wassermenge y in Litern im Koordinatensystem durch eine steigende Gerade dargestellt. 70 60 50 40 30 20 10 Wassermenge in l 2 4 6 8 10 12 14 16 Zeit in min In vier identische quaderförmige Becken wurde auf verschiedene Arten Wasser eingefüllt. Für jeden Füllvorgang wurde ein Graph gezeichnet, der jeweils die Zuordnung Zeit Wasserhöhe im Becken veranschaulicht. Höhe Höhe Höhe Höhe A B C D Zeit Zeit Zeit Zeit Becken A: Mit zunehmender Zeit steigt der Wasserpegel immer langsamer an. Becken B: Mit zunehmender Zeit steigt der Wasserpegel mal schneller und mal langsamer an. Becken C: Mit zunehmender Zeit steigt der Wasserpegel gleichmäßig an (man sagt auch: er steigt linear an). Becken D: Mit zunehmender Zeit steigt der Wasserpegel immer schneller an. 7

A Grundlagen 2 Einfache Termumformungen Plusklammer-Regel: Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, so darf man das Pluszeichen zusammen mit der Klammer einfach weglassen. Minusklammer-Regel: Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so darf man das Minuszeichen zusammen mit der Klammer weglassen, wenn man dafür alle Vorzeichen in der Klammer ändert. 5x + (2x 3y + z) (7x 5y + 4z) Plus- und Minusklammerregel = 5x + 2x 3y + z 7x + 5y 4z neu ordnen = 5x + 2x 7x 3y + 5y + z 4z = 2y 3z zusammenfassen (1) Kommt dieselbe Variable in einem Produkt mehrfach als Faktor vor, so fasst man die gleichen Faktoren in Potenzschreibweise zusammen. (2) Man darf den Malpunkt weglassen, wenn keine Missverständnisse möglich sind. (3) Beim Umformen von Summen (und Differenzen) dürfen nur gleichartige Summanden zusammengefasst werden. (4) Eine Summe bzw. Differenz wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied mit dieser Zahl multipliziert und die Produkte zusammenfasst. a) x x = x 2 und y y y = y 3 b) a b = ab und x x y = x 2 y = x 2 y und u 3 v = 3uv c) 3a 2 b + 7ab a 2 b + 4ab 2 10ab = 3a 2 b a 2 b + 7ab 10ab + 4ab 2 = 2a 2 b 3ab + 4ab 2 d) 5 (x + 2y) = 5(x + 2y) = 5 x + 5 2y = 5x + 10y e) 4 (2 3b) = 4 2 + ( 4) ( 3b) = 8 + 12b = 12b 8 f) 2x x 2 (2x) 3 = 2x (x x) (2x 2x 2x) = 2x 3 8x 3 = 6x 3 8

3 Einfache lineare Gleichungen und Ungleichungen 3 Einfache lineare Gleichungen und Ungleichungen Um Gleichungen systematisch zu lösen, werden sie Schritt für Schritt vereinfacht. Die Lösungsmenge soll sich dabei nicht verändern. Deshalb werden beim Vereinfachen von Gleichungen nur so genannte Äquivalenzumformungen angewendet. Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man (1) auf der linken oder der rechten Seite der Gleichung eine Termumformung vornimmt (z. B. gleichartige Summanden zusammenfasst oder Klammern ausmultipliziert), (2) auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Term addiert oder subtrahiert, (3) beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl (ungleich Null) bzw. dem gleichen Term (ungleich Null) multipliziert oder dividiert. Um zu überprüfen, ob eine bestimmte Zahl eine Lösung der Gleichung ist, führt man eine Probe durch. Dazu setzt man die Zahl in die Gleichung ein und rechnet die linke und die rechte Seite der Gleichung getrennt aus. Nur, wenn beide Rechnungen dasselbe Ergebnis liefern, ist die eingesetzte Zahl ein Lösung. Wir lösen die Gleichung 4x 3 = 2x + 5 durch Äquivalenzumformungen. 4x 3 = 2x + 5 2x Auf beiden Seiten werden 2x subtrahiert. 2x 3 = 5 + 3 Auf beiden Seiten wird 3 addiert. 2x = 8 : 2 Beide Seiten werden durch 2 geteilt. x = 4 Wir erhalten die Zahl 4. Probe: 4 4 3 0 2 4 + 5 Wir setzen für x die gefundene Zahl 4 16 3 0 8 + 5 ein und prüfen, ob die linke und die 13 = 13 (wahr) rechte Seite übereinstimmen. Die Aussage 13 = 13 ist wahr, also ist x = 4 wirklich die Lösung. Die Lösungsmenge lautet L = {4}. bedeutet so viel wie ist gleichwertig zu. Tipp 9

A Grundlagen Formeln und Gleichungen, die Größen enthalten, kannst du nach denselben Regeln umformen wie Terme oder Gleichungen. Beim Umformen musst du darauf achten, dass du die Formel oder Gleichung nicht mit Null multiplizierst bzw. nicht durch Null dividierst. Die Zinsformel Z = K }} p soll nach dem Prozentsatz p aufgelöst werden. 100 Z = K }} p 100 100 Z 100 = K p : K } Z K 100 = p bzw. p = } Z K 100 Auch Ungleichungen kannst du durch Äquivalenzumformungen lösen. Aber Vorsicht! Sobald du beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du das Relationszeichen umdrehen. Das heißt: aus > wird dann <, aus $ wird # und umgekehrt. Da bei Ungleichungen in der Regel mehr als eine Lösung auftritt, ist es zudem wichtig die jeweils gültige Grundmenge anzugeben. Beispiel 3 4(3 2x) 2 > 2(1 3x) + 3 Klammern auflösen 12 8x 2 > 2 6x + 3 Seiten einzeln zusammenfassen 10 8x > 6x + 5 + 6x 10 2x > 5 10 2x > 5 : ( 2) x < 2,5 neues Relationszeichen Falls die Grundmenge aus allen natürlichen Zahlen besteht, so lautet die Lösungsmenge: L = {x * N x # 2} = {0; 1; 2} Besteht die Grundmenge aus allen ganzen Zahlen, so lautet die Lösungsmenge: L = {x * Z x # 2} = { ; 1; 0; 1; 2} Besteht die Grundmenge aus allen rationalen Zahlen, so kann man die Lösungsmenge nicht mehr in aufzählender Form angeben und schreibt dafür: L = {x * Q x < 2,5}. 3 2 1 0 1 2 3 4 2,5 gehört nicht zur Lösungsmenge 10

4 Geometrische Grundkonstruktionen 4 Geometrische Grundkonstruktionen Zu den geometrischen Grundkonstruktionen gehören vor allem folgende Aufgaben: Mit Zirkel und Lineal eine Mittelsenkrechte zu einer gegebenen Strecke zu zeichnen, eine gegebene Strecke zu halbieren, eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden durch einen bestimmten Punkt zu zeichnen, eine Winkelhalbierende zu zeichnen, eine Parallele zu einer gegebenen Geraden zu zeichnen. Konstruiere die Mittelsenkrechte zu }} AB Zeichne Kreise um A und B mit gleichem Radius. Die Gerade durch die Schnittpunkte dieser Kreise ist die gesuchte Mittelsenkrechte zu } AB. A Halbiere die Strecke }} AB Zeichne die Mittelsenkrechte zu } AB. Sie halbiert die Strecke. B Konstruiere die Senkrechte zu g durch P Zeichne einen Kreis um P, der die Gerade g in den Punkten A und B schneidet. Konstruiere danach die Mittelsenkrechte zu } AB. Sie ist die gesuchte Senkrechte zu g durch P. A P B g Beispiel 3 Konstruiere die Winkelhalbierende von a Zeichne um S einen Kreis, der die Schenkel in den Punkten A und B schneidet, danach um A und B Kreise mit gleichem Radius, die sich in P schneiden. } SP ist die gesuchte Winkelhalbierende w a. S a B A wa P Beispiel 4 Konstruiere eine Parallele zur Geraden g im Abstand a Zeichne eine beliebige Senkrechte zu g und trage darauf vom Schnittpunkt A mit der Geraden g zweimal den Abstand a ab. Der Endpunkt sei B. Die Mittelsenkrechte zu } AB ist die gesuchte Parallele zu g. B a a A g Beispiel 5 11

B Rechnen im Alltag B Rechnen im Alltag 1 Proportionale Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen, einer Ausgangsgröße auch das Doppelte, Dreifache, Vierfache der zugeordneten Größe, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor. Die Größenpaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich. Stellt man sie im Koordinatensystem dar, dann liegen die Bildpunkte auf einer Geraden, die durch den Ursprung verläuft. Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto mehr. Ein 720 m 2 großes Baugrundstück kostet 43 200 1. Wie teuer ist das Nachbargrundstück von 810 m 2 (gleicher Preis pro m 2 )? Vorüberlegung: Die Zuordnung Grundstücksgröße Grundstückspreis ist proportional, weil ein doppelt (dreimal, ) so großes Grundstück auch das Doppelte (Dreifache, ) kostet. Zuordnungstabelle : 720 810 Grundstücksgröße in m 2 Grundstückspreis in 1 720 43200 : 720 1 60 810 48600 810 Die Rechnungen folgen den Pfeilen: (1) 43 200 1 : 720 = 60 1 (2) 60 1 810 = 48 600 1 Antwort: Das Nachbargrundstück mit 810 m 2 kostet 48 600 Euro. Der Wagen von Herrn Wagner verbraucht 11,0 Liter Super auf 100 km. a) Wie weit kommt er mit 55,0 Litern Benzin? b) Er fährt 620 km. Wie viele Liter Benzin hat er verbraucht? Vorüberlegung: siehe. Zuordnungstabelle 6,2 5 Fahrstrecke in km Benzinmenge in ø 100 11,0 500 55,0 620 68,2 5 6,2 Die Rechnungen folgen den Pfeilen: a) 100 km 5 = 500 km b) 11,0 6,2 = 68,2 Tipp: Wenn dir der direkte Schluss von 100 km auf 620 km nicht gelingt, dann kannst du auch über 1 km schließen und rechnen: (11,0 : 100) 620. Antworten: a) Er kommt 500 km weit, b) er verbraucht 68,2 Liter Benzin. 12

2 Umgekehrt proportionale Zuordnungen 2 Umgekehrt proportionale Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen, einer Ausgangsgröße die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel, der zugeordneten Größe, dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. Die Größenpaar e einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich. Stellt man sie im Koordinatensystem dar, dann liegen die Bildpunkte auf einer gekrümmten fallenden Kurve, auf einer Hyperbel. Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto weniger. Wird das Erdreich bei einer Baustelle mit einem Lkw abtransportiert, der 4 m 3 laden kann, dann sind 30 Fahrten notwendig. Wie viele Fahrten werden es, wenn ein Lkw mit einer Tragfähigkeit von 6 m 3 eingesetzt wird? Vorüberlegung: Die Zuordnung Ladevolumen Anzahl der Fahrten ist antiproportional, weil ein Lkw mit doppelter (halber) Tragfähigkeit halb so viele (doppelt so viele) Fahrten durchführen muss. Zuordnungstabelle : 4 6 Ladevolumen V in m 3 Anzahl der Fahrten 4 30 4 1 120 6 20 : 6 Die Rechnung folgt den Pfeilen: 1. Schritt: 30 Fahrten 4 = 120 Fahrten 2. Schritt: 120 Fahrten : 6 = 20 Fahrten Antwort: Ein Lkw mit einer Tragfähigkeit von 6 m 3 muss 20-mal fahren. Ein Baugebiet wird in 12 Bauplätze zu je 800 m 2 eingeteilt. Wie viele Bauplätze zu je 600 m 2 hätte man ausweisen können? Vorüberlegung: Die Zuordnung Grundstücksgröße Anzahl der Bauplätze ist antiproportional, weil bei doppelt (halb) so großen Grundstücken halb (doppelt) so viele Bauplätze entstünden. Zuordnungstabelle : 8 6 Grundstücksgröße in m 2 Anzahl der Bauplätze 800 12 8 100 96 600 16 : 6 Die Rechnung folgt den Pfeilen: 1. Schritt: 12 Plätze 8 = 96 Plätze 2. Schritt: 96 Plätze : 6 = 16 Plätze Antwort: Man könnte 16 Bauplätze zu je 600 m 2 ausweisen. 13

B Rechnen im Alltag 3 Dreisatzrechnung Mithilfe eines Dreisatzes kannst du bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen fehlende Größen berechnen. Dazu müssen ein Größenpaar (Ausgangsgröße und zugeordnete Größe) und mindestens eine weitere Größe gegeben sein. Eine Dreisatzrechnung läuft so ab: Du prüfst, ob eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung vorliegt. Du schreibst die Lösung in drei Sätzen auf: 1. Schritt: Das bekannte Größenpaar 2. Schritt: Du schließt (in der Regel) auf die Einheit und rechnest. 3. Schritt: Du schließt auf das Vielfache, rechnest und antwortest. Lege zunächst eine Zuordnungstabelle an. Eine Strickmaschine stellt in 4 Stunden 15 Pullover her. Wie lange braucht die Maschine, um 50 Pullover zu stricken? Vorüberlegungen: (1) Die Zuordnung Strickzeit Anzahl fertiger Pullover ist proportional, weil bei doppelter (halber) Strickzeit doppelt (halb) so viele Pullover fertig werden. (2) Man sollte von vornherein in Minuten rechnen. : 15 50 Zuordnungstabelle Fertige Pullover Strickzeit in min 15 240 : 15 1 16 50 800 50 Dreisatzrechnung Du weißt: Für 15 Pullover braucht sie 240 min. Du rechnest: Für einen Pullover braucht sie 240 min : 15 = 16 min; für 50 Pullover braucht sie 16 min 50 = 800 min Antwort: Für 50 Pullover werden 13 Stunden 20 Minuten benötigt. 5 Bagger heben eine Grube in 6 Stunden aus. Wie lange brauchen 3 Bagger? Vorüberlegung: Die Zuordnung ist antiproportional, weil die doppelte Anzahl von Baggern die Grube in der halben Zeit ausheben würden. : 5 3 Zuordnungstabelle Anzahl der Bagger Arbeitszeit in h 5 6 5 1 30 3 10 : 3 Dreisatzrechnung 5 Bagger brauchen 6 h. 1 Bagger braucht 6 h 5 = 30 h. 3 Bagger brauchen 30 h : 3 = 10 h. Antwort: Drei Bagger brauchen 10 Stunden. 14

4 Prozent- und Zinsrechnung 4 Prozent- und Zinsrechnung Grundbegriffe: 4 % von 12000 1 sind 480 1. Prozentrechnung: Prozentsatz p % Grundwert G Prozentwert W Zinsrechnung: Zinssatz p % Kapital K Jahreszinsen Z J Grundaufgaben in der Prozentrechnung in der Zinsrechnung Berechnung eines Prozentwerts: Berechnung der Jahreszinsen: W = }} G 100 p Z J = }} K 100 p Berechnung eines Prozentsatzes: Berechnung eines Zinssatzes: p % = } W G 100 % p % = Z J } K 100 % Berechnung des Grundwerts: Berechnung des Kapitals: G = W } p 100 Zinsen für t Tage: Z t = Z J }} t 360 = }} K 100 p }} t 360 K = Z J } p 100 Zinsen für m Monate: Z m = Z J } m 12 = }} K 100 p } m 12 Herr Mair verdiente bisher monatlich 3 260 1. Sein Lohn wird um 2,4 % erhöht. Wie viel Euro bekommt er mehr? Gegeben: G = 3260 1; p = 2,4; Gesucht: W Rechnung: W = }} G 100 p = }}} 3260 1 2,4 = 32,60 1 2,4 = 78,24 1 100 Antwort: Herr Mair bekommt nun 78,24 1 mehr. Ein Stiftungskapital von 120 000 1 bringt in einem Jahr 6 600 1 Zinsen. Zu welchem Zinssatz ist es angelegt? Gegeben: Z J = 6600 1; K = 120000 1; Gesucht: p % Rechnung: p % = Z J 6600 1 } 100 % = }}}} 100 % = 5,5 % K 120000 1 Antwort: Das Kapital wurde zu 5,5 % angelegt. Karina hat sich einen Computer gekauft und berichtet: Meine Eltern haben 70 % dazugegeben, nämlich 686 1. Wie teuer war der Computer? Beispiel 3 Gegeben: p = 70; W = 686 1; Gesucht: G Rechnung: G = } W 686 1 p 100 = }}} 100 = 980 1 70 Antwort: Karinas Computer kostete 980 1. 15

B Rechnen im Alltag 5 Prozentuale Veränderungen Den häufig auftretenden Rechenfall Anfangswert (A) ± prozentuale Veränderung = Endwert (E) löst du am besten mithilfe von Prozentfaktoren q: Endwert = Anfangswert Prozentfaktor oder E = A q Bei prozentualer Abnahme ist q = 1 }} p p, bei Zunahme ist q = 1 + }} 100 100. Umkehrungen: Anfangswert: A = } q E bzw. Prozentfaktor: q = } E A Aus q kannst du bei Bedarf den Prozentsatz der Veränderung bestimmen. Zinseszinsen: Bei der Verzinsung eines Kapitals K 0 (Anfangskapital) über n Jahre berechnest du den Endwert K n (Endkapital) mithilfe von Prozentfaktoren. K n = K 0 q 1 q 2 q 3 q n, K n = K 0 q q q q = K 0 q n, wenn es im 1. Jahr p 1 %, im wenn es in allen Jahren p % Zinsen 2. Jahr p 2 %, im 3. Jahr gibt (gleich bleibender Zinssatz). Zinsen gibt. Beispiel 3 Bestimme die Prozentfaktoren a) bei einer Abnahme um 25 % (8 %, 1 %, 0,5 %), b) bei einer Zunahme um 16 % (50 %, 100 %, 1 %, 0,5 %). Lösungen: a) Aus p % = 25 % folgt q = 1 0,25 = 0,75. Die anderen Prozentfaktoren heißen q = 0,92; q = 0,99; q = 0,995. b) Aus p % = 16 % folgt q = 1 + 0,16 = 1,16. Die anderen Prozentfaktoren heißen: q = 1,5; q = 2,0; q = 1,01; q = 1,005. Der Stromverbrauch einer Schule betrug in einem Jahr 76000 kwh. Die Aktion Macht unnötiges Licht aus hatte Erfolg. Im nächsten Jahr sank der Stromverbrauch um 7 %. Wie hoch war nun der Verbrauch? Gegeben: A = 76000 kwh, p = 7 q = 0,93; Gesucht: E Rechnung: E = A q = 76000 kwh 0,93 = 70680 kwh Antwort: Der Stromverbrauch sank auf 70680 kwh. Ein Kapital K 0 = 450000 1 wird im 1. Jahr mit 4 %, im zweiten Jahr mit 5 %, im 3. Jahr mit 6 % und danach noch fünf Jahre lang mit 6,5 % verzinst. Berechne das Endkapital nach acht Jahren (K 8 ). Gegeben: q 1 = 1 + }} 4 100 = 1,04; q 2 = 1,05; q 3 = 1,06; q 4 = q 5 = = q 8 = 1,065 Rechnung: K 8 = 450000 1 1,04 1,05 1,06 1,065 5 < 713656,22 1 Antwort: Das Endkapital beträgt 713656,22 1. 16

6 Vermischte Übungen zur Prozent- und Zinsrechnung 6 Vermischte Übungen zur Prozent- und Zinsrechnung Lies die Aufgabe genau durch. Schreibe auf, welche Größen gegeben sind und welche Größe gesucht ist. Überlege, ob es sich um eine Situation handelt, die zu den Grundaufgaben gehört oder um einen Rechenfall mit prozentualen Veränderungen. 1. Frau Büttner stellt fest, dass ihr Theater-Jahresabonnement um 24 1 und damit um 15 % teurer wurde. Wie viel Euro bezahlte sie bisher? Aufgaben 2. Alexanders Eltern kaufen ein Fertighaus für 160 000 1. Der Kaufvertrag sieht vor, dass 22 % der Kaufsumme sofort zu zahlen sind. 3. Charlottes Vater nimmt ein Darlehen von 220 000 1 auf. Er muss dafür jährlich 12 540 1 Zinsen zahlen. Welcher Zinssatz war vereinbart? 4. Frau Lechner begleicht eine Rechnung über 2 450,00 1 mit 2 % Skonto. Wie hoch ist der Überweisungsbetrag? 5. Die Bruttobezüge eines Beamten betragen monatlich 4 268,00 1. Ausgezahlt werden 3 280,50 1. Wie hoch sind die Steuerabzüge in Prozent? 6. Herr Wagner versichert seinen Hausrat mit 120 000 1 gegen Feuer, Einbruch und Wasserschäden. Die jährliche Prämie beträgt 1,15 der Versicherungssumme. Es kommen 15 % Versicherungssteuer hinzu. Welchen Betrag muss er überweisen? 1 (ein Promille) ist ein Tausendstel des Grundwerts. Tipp 7. Ein Schiff wird mit 4 500 000 1 versichert. Jährlich werden 39 375 1 Prämie fällig. Wie viel Promille sind das? 8. Lukas Tante besitzt Bundesschatzbriefe im Wert von 2 500 1, die mit 5,25 % verzinst werden, sein Vater welche im Wert von 12 000 1 bei einer Verzinsung von 6,5 %. Berechne jeweils die Jahreszinsen. 17

B Rechnen im Alltag Tipp Beispiel Nach deutschem Recht rechnet man das Zinsjahr zu 360 Zinstagen und jeden Zinsmonat zu 30 Tagen. Berechne die Zinsen von 3600 1 für 73 Tage bei einem Zinssatz von 7%. Gegeben: K = 3600 1, p = 7, t = 73 Gesucht: Z t Rechnung: Z t = }}}} 36001 7 73 73 }} = 252 1 }} 100 360 360 = 51,10 1 Antwort: Die Zinsen für 73 Tage betragen 51,10 Euro. Aufgaben 9. Berechne die Zinsen von 7 800 1 bei 8 % für 101 Tage. Z t = }}}}} 7800 1 }} 100 360 = 10. Berechne die Zinsen a) von 9 600 1 bei 9,5 % für 22 Tage, b) von 150 000 1 bei 5,7 % für 36 Tage. 11. Kai hat zu Anfang des Jahres 800 1 auf seinem Sparbuch. Er zahlt am 31. Mai noch 400 1 ein. Es gibt 2,25 % Zinsen. Berechne das Sparguthaben zum Jahresende (31. Dezember). Tipp: Verzinse das Anfangsguthaben für ein Jahr, die Einzahlung von 400 2 für 7 Monate. Berechne die Summe der Zinsen und dann das Guthaben zum Jahresende. 12. Wie viele Monate wurde ein Kapital von 22 800 1 verzinst, wenn es bei einem Zinssatz von 5,5 % 522,50 1 Zinsen brachte? 13. Frau Winter hat zwei Handwerkerrechnungen nicht termingerecht bezahlt. Rechnung (1) über 2 380,00 1 und Rechnung (2) über 4 400,00 1. Für Rechnung (1) sind Verzugszinsen für 45 Tage, für Rechnung (2) für 70 Tage zu zahlen, Zinssatz = 8 %. Welche Beträge muss Frau Winter nun überweisen? 14. Frankas Kreditkonto wies seit dem 15. September 2006 ein Soll von 4 200,00 1 auf. Dafür musste sie 9,5 % Schuldzinsen zahlen. a) Bestimme den Kontostand zum 31. Dezember des Jahres. b) Am 15. Februar des nachfolgenden Jahres zahlte sie 2 200,00 1 zurück. Sie beglich ihre restlichen Schulden am 30. Juni 2007. Wie viel Euro wurden dann fällig? 18

Stichwortverzeichnis Abnahme 16 Absolutglied 88 achsensymmetrisch 49 Additionsverfahren 68 Anfangswert 16 Äquivalenzumformungen 9 Argument 34 Ausklammern 20 Ausmultiplizieren 20 Baumdiagramme 77 Betragsfunktion 40 Bruchgleichung 30 Bruchterme 26 Definitionsmenge 26, 34 Diskriminante 92 Distributivgesetz 20 Dreieckskonstruktionen 44 Dreisatz 14 Einsetzungsverfahren 67 Endwert 16 Ereignis 73 sicheres 73 unmögliches 73 Ergänzung quadratische 90 Ergebnisraum 73 Ergebnisse 72 Flächeninhalt von Dreiecken 51 von Kreisen 53 von Vierecken 51 Formeln binomische 22 Formvariable 32 Funktion 34 lineare 36 proportionale 35 quadratische 94, 98 stückweise lineare 40 umgekehrt proportionale 41 Funktionswert 34 Gegenereignis 73 gemischtquadratisch 88 Gleichsetzungsverfahren 66 Gleichungen 9 lineare, mit zwei Variablen 64 quadratische 88 Gleichungssystem lineares (LGS) mit zwei Variablen 65 Glied lineares 88 quadratisches 88 Graphen 7 Grundaufgaben 15 Grundwert 15 Hyperbel 41 Inkreis 49 Jahreszinsen 15 Kapital 15 kongruent 42 Kongruenzabbildungen 42 Kongruenzsätze 43 Kreis 53 Kreiszylinder 57 159

Stichwortverzeichnis Laplace-Experimente 75 Lösungsvariable 32 Mantelfläche 55 Maximum 99 mehrstufig 77 Minimum 99 Minusklammer-Regel 8 Mittelsenkrechte 11 Normalform 92 Normalparabel 94 Parabel 94 n-ter Ordnung 100 Parallele 11 Parameter 32 Pfadregel 77 Plusklammer-Regel 8 Potenzfunktion 100 Prisma 54 Oberfläche 55 Rauminhalt (Volumen) 56 Probe 9 produktgleich 13 Proportionalitätsfaktor 35 Prozentfaktor 16 Prozentsatz 15 Prozentwert 15 punktsymmetrisch 49 Quadratfunktion 94 Quadratwurzel 80 Quadrieren 84 quotientengleich 12 Radikand 80 reinquadratisch 88 Scheitel 94 Sehnenviereck 50 Senkrechte 11 Spiegelachsen 49 Steigung 38 Strahlensatz erster 61 zweiter 61 Symmetriebetrachtungen 46 Tangentenviereck 50 Umfang 53 Umkreis 49 Ungleichungen 10 Vielecke ähnliche 60 Vierecke 49 Wahrscheinlichkeit 72 Winkelhalbierende 11 Wurzelterme 86 Wurzelziehen 84 y-achsenabschnitt 38 Zahlen irrationale 82 reelle 82 Zahlenpaare geordnete 64 Zinsen 16 Zinseszinsen 16 Zinssatz 15 Zufall 72 Zufallsexperimente 72 Zunahme 16 Zuordnungen 6 antiproportionale 13 proportionale 12 160