Fakultät für Human- und Sozialwissenschaften Institut für Anewandte Beweunswissenschaft JP Forschunsmethoden & Analyseverfahren Formelsammlun und Entscheidunsbaum JP Dr. Christian Maiwald christian.maiwald@hsw.tu chemnitz.de Tel: +49 (371) 531 37275 Dr. Doris Oriwol doris.oriwol@hsw.tu chemnitz.de Tel: +49 (371) 531 37392
1 Formelsammlun 1.1 Deskriptive Statistik Mittelwert MW = 1 n n x i Varianz VAR = 1 n 1 Standardabweichun SD = VAR n (x i MW) 2 Spannweite SW = max min Interquartilsabstand d IQ = Q 0.75 Q 0.25 Variationskoeffizient VK = SD MW Momentenkoeffizient der Schiefe Quartilskoeffizient der Schiefe m = 1 SD 3 n (n 1)(n 2) n (x i MW) 3 p = (Q 1 p MED) (MED Q p ) Q 1 p Q p Wölbun w = 1 SD 4 1 n n (x i MW) 4 3 2
1 Formelsammlun Standardfehler SF = SD n Konfidenzintervall MW ±u 1 α/2 SF mit u 1 α/2 - entsprechendes Quantil der Standardnormalverteilun 1.2 Testverfahren für zwei metrische Stichproben T-Test für zwei unabhänie Stichproben/ 2SP-T-Test 1 ( epoolte SD pool = (n1 1)SD 2 n Standardabweichun 1 +n 2 2 1 +(n 2 1)SD2) 2 Teströße t = MW 1 MW 2 SD pool 1/n1 +1/n 2, df = n 1 +n 2 2 Effektstärken d = MW 1 MW 2 SD pool, ω 2 = t 2 1 t 2 +n 1 +n 2 1 T-Test für zwei abhänie Stichproben Teströße t = MW diff SD diff /, df = n 1 n Effektstärken d = MW 1 MW 2 SD diff, ω 2 = t2 1 t 2 +2n 1 3
1 Formelsammlun Mann-Whitney-U-Test Teströße U 1 = n 1 n 2 + n 1(n 1 +1) 2 R 2 U = min(u 1,U 2 ) R 1, U 2 = n 1 n 2 + n 2(n 2 +1) 2 normalverteilte Teströße Effektstärken z = U n 1 n 2 /2 n1 n 2 (n 1 +n 2 +1)/12 PS = U n 1 n 2 Wilcoxon-Vorzeichenrantest Teströße T = min( R +, R ) normalverteilte Teströße z = T n(n+1)/4 n(n+1)(2n+1)/24 Effektstärken PS = #(positive Differenzen) n #(Nulldifferenzen) 1.3 Testverfahren für mehr als zwei metrische Stichproben Varianzanalyse Effektstärken η 2 = SS between SS total, ω 2 = (k 1)(F 1) (k 1)(F 1)+nk 4
1 Formelsammlun Varianzanalyse mit Messwiederholun Effektstärken η 2 p = SS between SS between +SS residual, ω 2 = (k 1)(F 1) (k 1)(F 1)+nk Einfache ANOVA mittels Ränen nach Kruskal-Wallis Teströße H =...+n k 12 N(N +1) k [ ] ( Rj ) 2 3(N +1) mit N = n 1 +n 2 + j=1 n j Effektstärken η 2 = H k +1 N k Einfache ANOVA mittels Ränen nach Friedman Teströße χ 2 r = 12 nk(k +1) Effektstärken W = χ 2 r n(k 1) k j=1 [ ] ( R j ) 2 3n(k +1) 5
1 Formelsammlun 1.4 Testverfahren für ordinale und nominale Stichproben Chi 2 -Test (Chi 2 -Homoenitätstest) Teströße χ 2 = Effektstärken C = (k+r) χ 2 (B i E i ) 2 E i, df = (r 1)(k 1) χ 2 +n, C korr = min(k,r) χ 2 min(k,r) 1 χ 2 +n V = χ 2 n(min(k,r) 1) Chi 2 -Anpassunstest Teströße χ 2 = Vorzeichentest (k+r) (B i E i ) 2 E i, df = (r 1)(k 1) normalverteilte Teströße z = x + n P(+) 0.5, df = n 1 n P(+) P( ) 6
1 Formelsammlun 1.5 Reliabilität und Zusammenhan Korrelation Korrelationskoeffizient nach Pearson Lineare Reression r xy = n (x i MW x )(y i MW y ) n (x i MW x ) 2 n (y i MW y ) 2 Funktionsleichun des linearen Modells y = SD y SD x r xy (x MW x )+MW y Reliabilität Limits of Areement LoA = MW diff ±1.96 SD diff RMSE RMSE 1 = 1 n n (VAR i ) RMSE 2 = MS residual mit MS residual - mittlere Fehlerschwankun einer ANOVA mit Messwiederholun 7
2 Entscheidunsbaum Art der Fraestellun Unterschiedshypothese / Veränderunshypothese (2.1) S. 8 Zusammenhanshypothese (2.2) S. 14 Äquivalenzhypothese (2.3) S. 15 Mittelwert / zentrale Tendenz (2.1.1) S. 8 Varianz / Dispersion (2.1.2) S. 11 Verteilunsform (2.1.3) S. 12 2.1 Unterschiedshypothese / Veränderunshypothese 2.1.1 Unterschiede bezülich des Mittelwertes und der zentralen Tendenz eine Stichprobe (2.1.1) S. 9 Anzahl der Stichproben zwei Stichproben/ Bedinunen (2.1.1) S. 9 mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen (2.1.1) S. 10 8
2 Entscheidunsbaum Eine Stichprobe Ein-Stichproben z-test normal Populationsvarianz Verteilun? (metrische Ein-Stichproben t-test Variable) unbekannt beliebi bekannt Vorzeichentest, Wilcoxon Vorzeichen-Ran Test Zwei Stichproben/ Bedinunen unabhänie Stichproben (2.1.1) S. 9 Abhänikeit? abhänie Stichproben (2.1.1) S. 10 Unabhänie Stichproben normal unbekannt Varianzen? bekannt Zwei-Stichproben z-test Zwei-Stichproben t-test für homoene Varianzen homoen Populationsvarianz heteroen Zwei-Stichproben t-test für heteroene Varianzen metrisch (steti) Verteilun? leich Mann-Whitney-U-Test Verteilunsform beliebi Messniveau? ordinal verschieden Mediantest 9
2 Entscheidunsbaum Abhänie Stichproben homoen t-test für abhänie Messunen normal Varianz metrisch (steti) Verteilun? heteroen leich Wilcoxon- Vorzeichenrantest beliebi Verteilunsform Messniveau? verschieden Vorzeichentest ordinal Mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen unabhänie Stichproben (2.1.1) S. 10 Abhänikeit? abhänie Stichproben (2.1.1) S. 11 Unabhänie Stichproben homoen Varianzanalyse normal Varianz? heteroen Varianzanalyse nach Brown-Forsythe/Welch metrisch (steti) Verteilun? beliebi Verteilunsform leich Kruskal-Wallis Varianzanalyse mit Ränen Messniveau? verschieden Mediantest ordinal 10
2 Entscheidunsbaum Abhänie Stichproben ja Varianzanalyse für abhänie Messunen normal Sphärizität metrisch (steti) Verteilun? nein Varianzanalyse mit Korrektur nach Greenhouse-Geiser, Huynh-Feldt Messniveau? beliebi Friedman-Test ordinal Unterschied bezülich der Verteilunsform (2.1.3) S. 12 2.1.2 Unterschiede bezülich Varianz / Dispersion eine Stichprobe (2.1.2) S. 11 Anzahl der Stichproben zwei Stichproben/ Bedinunen (2.1.2) S. 12 mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen (2.1.2) S. 12 Eine Stichprobe χ 2 -Test 11
2 Entscheidunsbaum Zwei Stichproben/ Bedinunen normal F-Test, Levene-Test, Brown-Forsythe unabhäni Verteilun? ja Sieel-Tuckey-Test Abhänikeit? beliebi abhäni (normalverteilt) Mediane leich? nein Adjustierter Sieel-Tuckey-Test t-test für Varianzleichheit Mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen unabhäni (normalverteilt) Cochrans C, Box-Scheffé, Brown-Forsythe-Test, Levene-Test Abhänikeit? abhäni Sphärizitätsannahme bei der Varianzanalyse mit Messwiederholun 2.1.3 Unterschiede bezülich der Verteilunsform eine Stichprobe (2.1.3) S. 13 Anzahl der Stichproben zwei Stichproben/ Bedinunen (2.1.3) S. 13 mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen (2.1.3) S. 13 12
2 Entscheidunsbaum Eine Stichprobe steti Kolmoorov-Smirnov- Anpassunstest, Shapiro-Wilk-Test Art der Daten? diskret Anzahl der Kateorien dichotom polychotom Binomialtest Pearsons χ 2 -Anpassunstest Zwei Stichproben/ Bedinunen steti Kolmoorov-Smirnov- Zwei-Stichproben-Test unabhäni Art der Daten? dichotom Vierfelder-χ 2 -Test, Fishers exakter Test diskret Anzahl der Kateorien? Abhänikeit? polychotom Pearsons χ 2 -Test dichotom McNemar-Test abhäni, diskret Anzahl der Kateorien? polychotom Bowkers-Test Mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen Abhänikeit? unabhäni, diskret abhäni, diskret Pearsons χ 2 -Test Cochrans Q 13
2 Entscheidunsbaum 2.2 Zusammenhanshypothese linear (2.2.1) S. 14 Form des Zusammenhans? monoton (2.2.2) S. 15 kurvilinear (2.2.3) S. 15 2.2.1 Linearer Zusammenhan beide steti Pearson Produkt-Moment-Korrelation Variablen kateorial? eine künstlich dichotomisiert, Population normalverteilt biserale Korrelation beide künstlich dichotomisiert, Population bivariat normalverteilt tetrachorische Korrelation 14
2 Entscheidunsbaum 2.2.2 Monotoner Zusammenhan Ene des Zusammenhans Spearmans Rankorrelation beide steti Interpretation hinsichtlich Vorhersaefehler Kendalls τ Variablen kateorial? beide kateorial Fraestellun symmetrisch ja nein Kendalls τ, Goodman-Kruskals γ Somers d 2.2.3 kurvilinearer Zusammenhan Korrelationsverhältnis η 2 2.3 Äquivalenzhypothese 2.3.1 Reliabilität, Objektivität, Messsystemverleich Anzahl der Stichproben zwei Stichproben/ Bedinunen/ Beobachter (2.3.1) S. 16 mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen/ Beobachter (2.3.1) S. 16 15
2 Entscheidunsbaum Zwei Stichproben/ Bedinunen/ Beobachter (metrisches Messniveau) relative Maße (Konsistenz) Test-Retest-Korrelation nach Pearson Konzepte? absolute Maße (Übereinstimmun) Limits of Areement (LoA) Mehr als zwei Stichproben/ Bedinunen/ Beobachter (metrisches Messniveau) relative Maße (Konsistenz) Intraclass- Korrelationskoeffizienten (ICC) Konzepte? absolute Maße (Übereinstimmun) Root Mean Square Error (RMSE) 16