3.2.4. Analyse von Funktionen Die Funktion f sei (zumindest) in einem Intervall I = [a, b] definiert und dort hinreichend oft differenzierbar. Begriffe: Die Funktion f hat in x 0 I eine stationäre Stelle, wenn f (x 0 ) = 0. ein lokales Minimum, wenn für eine hinreichend kleine Umgebung U von x 0 für alle x aus U I gilt. f(x 0 ) f(x) x 0 heißt dann lokaler Minimierer, (x 0, f(x 0 )) lokaler Minimalpunkt und f(x 0 ) lokales Minimum. ein lokales Maximum, wenn für eine hinreichend kleine Umgebung U von x 0 für alle x aus U I gilt. f(x 0 ) f(x) x 0 heißt dann lokaler Maximierer, (x 0, f(x 0 )) lokaler Maximalpunkt und f(x 0 ) lokales Maximum. ein lokales Extremum, wenn f in x 0 ein lokales Minimum oder Maximum hat. (x 0, f(x 0 )) heißt dann lokaler Extremalpunkt und f(x 0 ) lokales Extremum. 1
Das globale Minimum von f in I = [a, b] ist das kleinste Element der Menge {f(a), f(b)} {f(x min ) x min ist lokaler Minimierer in I}. globales Maximum entsprechend Hinreichende Bedingung für lokale Extrema bei x 0 (a, b) : f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0. Ist f (x 0 ) = 0 = weitere Ableitungen an dieser Stelle berechnen, bis erstmals eine einen Wert 0 hat. Ist das eine Ableitung gerader Ordnung (2n), so ist f(x 0 ) lokales { Minimum Maximum Sonst: Wendepunkt in (x 0, f(x 0 )). }, wenn { f (2n) (x 0 ) > 0 f (2n) (x 0 ) < 0 }. 2
Monotonieverhalten Notwendige und hinreichende differentielle Kriterien: f(x) monoton wachsend auf (a, b) f (x) 0 für alle x (a, b) f(x) streng monoton wachsend auf (a, b) = f (x) > 0 für alle x (a, b) f(x) monoton fallend auf (a, b) f (x) 0 für alle x (a, b) f(x) streng monoton fallend auf (a, b) = f (x) < 0 für alle x (a, b) Krümmungsverhalten Notwendige und hinreichende differentielle Kriterien: f(x) konvex in (a, b) f (x) 0 für alle x (a, b) f(x) konkav in (a, b) f (x) 0 für alle x (a, b) Weitere Bezeichnungen: Ein Funktionsverlauf über einem Intervall (a, b) heißt: progressiv wachsend, falls f (x) > 0, f (x) > 0 für alle x (a, b) (Grenzfunktion wächst) degressiv wachsend, falls f (x) > 0, f (x) < 0 für alle x (a, b) (Grenzfunktion fällt) fallend mit zunehmender Steigungsrate oder degressiv fallend falls f (x) < 0, f (x) > 0 für alle x (a, b) fallend mit abnehmender Steigungsrate oder progressiv fallend falls f (x) < 0, f (x) < 0 für alle x (a, b) 3
3.2.5. Anwendung auf ausgewählte ökonomische Probleme Grenzfunktion Die Ableitungen ökonomischer Funktionen werden als entsprechende Grenzfunktionen oder marginale Funktionen bezeichnet (s.o.). Kosten K Grenzkosten, marginale Kosten Interpretation (vgl. Fehlerrechnung): f f (x 0 ) x bzw. df = f (x 0 ) dx speziell für x = 1 (bzw. dx = 1): f (x 0 ) gibt näherungsweise an, um wieviele Einheiten sich f(x 0 ) (absolut) verändert, wenn sich das Argument x 0 um eine Einheit verändert. [! Maßeinheit von f : Maßeinheit von f Maßeinheit von x ] 4
Betrachtung relativer (prozentualer) Veränderungen: Für eine differenzierbare Funktion f : x f(x) heißt die Größe ε f, x : ε f, x (x) = f x (x) = = df(x) f(x) dx x f(x) Elastizität von f bezüglich x. = Verhältnis der relativen Änderungen von Argument und Funktionswert df(x) f(x) dx x Sie gibt (näherungsweise) an, um wieviel Prozent sich f ändert, wenn x sich um 1% ändert. Klassifizierung der Elastizität ökonomischer Kenngrößen: (mit typischen Beispielen für die Elastizität ε x,p der Preis- Absatzfunktion x : p x) ε f,x = 0 f heißt starr oder vollkommen unelastisch bzgl. x ε f,x < 1 f heißt unelastisch bzgl. x Beispiel: Produkte des Grundbedarfs bei monopolistischen Anbietern ε f,x = 1 f heißt proportional elastisch (linear elastisch) bzgl. x ε f,x > 1 f heißt elastisch bzgl. x Beispiel: Luxusgüter ε f,x f heißt vollkommen elastisch, überempfindlich (oder chaotisch) bzgl. x Beispiel: gesättigter Markt mit kaum erkennbaren Qualitätsunterschieden polypol. Anbieter 5
Weitere ökonomische Zusammenhänge Es seien K Kostenfunktion, k = K x die zugehörigen Stückkosten, und k besitze bei x 0 ein lokales Stückkostenminimum, also k (x 0 ) = 0 und k(x 0 ) Betriebsoptimum. Es gilt dann: und somit K (x 0 ) = K(x 0) x 0 = k(x 0 ) Im (lokalen) Stückkostenminimum ( = Betriebsoptimum ) sind Grenzkosten und Stückkosten gleich. Weiter gilt: ε K,x (x 0 ) = K (x 0 )x 0 K(x 0 ) = K (x 0 ) K(x 0 )/x 0 = 1 Im Betriebsoptimum sind die Gesamtkosten linear elastisch. Entsprechende Aussagen existieren auch für andere ökonomische Funktionen. 6