Beuthan/Nordmeier Mathematik üben mit Erfolg 7. Schuljahr Gymnasium MANZ VERLAG
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Manz Verlag Klett Lernen und Wissen GmbH, Stuttgart 2007 Alle Rechte vorbehalten Lektorat: Jürgen Grimm, Braunschweig Herstellung: S.M.P Oehler, Remseck Umschlagkonzept: KünkelLopka, Heidelberg Umschlagfoto: Fotostudio Maurer, Bamberg Druck: Finidr s.r.o., Č eský T ě š ín ISBN: 978-3-7863-3055-4 www.manz-verlag.de
Tipps zum Training mit diesem Buch Dieses Buch enthält alle Inhalte, die üblicherweise im Mathematik-Unterricht der 7. Klasse behandelt werden. Damit du dich besser zurechtfindest, sind die Abschnitte einheitlich aufgebaut: Jedes Thema beginnt mit einem farbig unterlegten Kasten, der das für das jeweilige Kapitel benötigte Wissen kurz zusammenfasst. Daran schließt sich ein ausführlich vorgerechnetes Beispiel manchmal auch mehrere mit einer typischen Aufgabenstellung für dieses Thema an. Es folgen verschiedene Aufgaben, die in ihrem Schwierigkeitsgrad anwachsen. Aufgaben von höherem Schwierigkeitsgrad sind mit einem kleinen Dreieck gekennzeichnet. An vielen Stellen findest du Tipps mit Lösungs- und Merkhilfen. Im Kapitel Grundlagen sind die mathematischen Inhalte zusammengefasst, die du für die Arbeit in der 7. Klasse immer wieder benötigst. Zu den Themen Prozent- und Zinsrechnung, Terme, Gleichungen und Ungleichungen und Dreiecke und Vierecke findest du jeweils am Ende des Kapitels Tests. Mit ihrer Hilfe kannst du feststellen, ob du in diesen Themen schon fit bist oder dich auf Klassen- und Schularbeiten vorbereiten. Mithilfe der Lösungen ab Seite 88 kannst du überprüfen, ob du richtig gerechnet hast. Das ausführliche Stichwortverzeichnis auf den Seiten 132 bis 134 hilft dir neben dem Inhaltsverzeichnis, dich gut und schnell im Buch zurechtzufinden. Dazu findest du auf der Seite 131 auch noch eine Übersicht der verwendeten mathematischen Zeichen.
Inhalt A Grundlagen 1 Zuordnungen 6 2 Dreisatzrechnung 8 3 Achsen- und Punktsymmetrie 9 4 Flächen- und Rauminhalte 11 5 Natürliche, ganze und rationale Zahlen 12 6 Rechnen mit rationalen Zahlen 13 7 Rechenregeln und Rechenvorteile 14 8 Taschenrechner ein nützliches Hilfsmittel 15 B Geometrie 1 1 Grundkonstruktionen 16 2 Winkel an geschnittenen Geraden und Parallelen 20 3 Winkelsummen 22 C Prozent- und Zinsrechnung 1 Die Grundaufgaben der Prozentrechnung 24 2 Prozentuale Veränderungen 28 3 Anwendungen der Prozentrechnung 30 4 Einfache Zinsrechnung 31 5 Zinsen für längere Zinszeiten 33 6 Vermischte Aufgaben zur Zinsrechnung 34 7 Test: Prozent- und Zinsrechnung 35 D Terme und Termumformungen 1 Terme mit einer Variablen 36 2 Rechenregeln bei Termen 37 3 Terme aufstellen 38 4 Gleichwertige Terme 40 5 Terme umformen und vereinfachen 41 6 Kannst du mit Termen umgehen? 46 4
1 Zuordnungen E Gleichungen und Ungleichungen 1 Grundlagen 48 2 Gleichungen rechnerisch lösen 51 3 Formeln und Größengleichungen 56 4 Proportionale Zuordnungen 57 5 Lineare Funktionen 58 6 Geradengleichungen 60 7 Gleichungen grafisch lösen 62 8 Ungleichungen lösen 63 9 Test: Gleichungen und Ungleichungen 65 F Geometrie 2 1 Kongruente Figuren 66 2 Kongruenzsätze Dreieckskonstruktionen 69 3 Besondere Dreiecke und Vierecke 72 4 Umkreise und der Satz des Thales 74 5 Kreistangenten 76 6 Besondere Linien im Dreieck 77 7 Anwendungen 79 8 Test: Dreiecke und Vierecke 80 G Daten und Zufall 1 Vom Umgang mit Daten 81 2 Zufallsexperimente 84 3 Mehrstufige Zufallsexperimente 86 Lösungen 88 Mathematische Zeichen 131 Stichwortverzeichnis 132 5
A Grundlagen 1 Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,... einer Ausgangsgröße auch das Doppelte, Dreifache, Vierfache der zugeordneten Größe, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor. Die Größenpaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich. Stellt man sie im Achsenkreuz dar, dann liegen die Bildpunkte auf einer Geraden, die durch den Ursprung verläuft. Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto mehr. Beispiel 1 Beispiel 2 Ein 720 m 2 großes Baugrundstück kostet 43 200 1. Wie teuer ist das Nachbargrundstück von 810 m 2 (gleicher Preis pro m 2 )? Vorüberlegung: Die Zuordnung Grundstücksgröße Grundstückspreis ist proportional, weil ein doppelt (dreimal,...) so großes Grundstück auch das Doppelte (Dreifache,...) kostet. Zuordnungstabelle : 720 810 Grundstücksgröße in m 2 Grundstückspreis in 1 720 43200 : 720 1 60 810 48600 810 Die Rechnungen folgen den Pfeilen: (1) 43 200 1 : 720 = 60 1 (2) 60 1 810 = 48 600 1 Antwort: Das Nachbargrundstück mit 810 m 2 kostet 48 600 Euro. Der Wagen von Herrn Wagner verbraucht 11,0 Liter Super auf 100 km. a) Wie weit kommt er mit 55,0 Litern Benzin? b) Er fährt 620 km. Wie viele Liter Benzin hat er verbraucht? Vorüberlegung: siehe Beispiel 1. Zuordnungstabelle 6,2 5 Fahrstrecke in km Benzinmenge in ø 100 11,0 500 55,0 620 68,2 5 6,2 Die Rechnungen folgen den Pfeilen: a) 100 km 5 = 500 km b) 11,0 6,2 = 68,2 Tipp: Wenn dir der direkte Schluss von 100 km auf 620 km nicht gelingt, dann kannst du auch über 1 km schließen und rechnen: (11,0 : 100) 620. Antworten: a) Er kommt 500 km weit, b) er verbraucht 68,2 Liter Benzin. 6
1 Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,... einer Ausgangsgröße die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel,... der zugeordneten Größe, dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. Die Größenpaare einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich. Stellt man sie im Achsenkreuz dar, dann liegen die Bildpunkte auf einer gekrümmten fallenden Kurve, auf einer Hyperbel. Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto weniger. Wird das Erdreich bei einer Baustelle mit einem Lkw abtransportiert, der 4 m 3 laden kann, dann sind 30 Fahrten notwendig. Wie viele Fahrten werden es, wenn ein Lkw mit einer Tragfähigkeit von 6 m 3 eingesetzt wird? Vorüberlegung: Die Zuordnung Ladevolumen Anzahl der Fahrten ist antiproportional, weil ein Lkw mit doppelter (halber) Tragfähigkeit halb so viele (doppelt so viele) Fahrten durchführen muss. Zuordnungstabelle : 4 6 Ladevolumen V in m 3 Anzahl der Fahrten 4 30 4 1 120 6 20 : 6 Die Rechnung folgt den Pfeilen: 1. Schritt: 30 Fahrten 4 = 120 Fahrten 2. Schritt: 120 Fahrten : 6 = 20 Fahrten Antwort: Ein Lkw mit einer Tragfähigkeit von 6 m 3 muss 20-mal fahren. Ein Baugebiet wird in 12 Bauplätze zu je 800 m 2 eingeteilt. Wie viele Bauplätze zu je 600 m 2 hätte man ausweisen können? Vorüberlegung: Die Zuordnung Grundstücksgröße Anzahl der Bauplätze ist antiproportional, weil bei doppelt (halb) so großen Grundstücken halb (doppelt) so viele Bauplätze entstünden. Zuordnungstabelle : 8 6 Grundstücksgröße in m 2 Anzahl der Bauplätze 800 12 8 100 96 600 16 : 6 Die Rechnung folgt den Pfeilen: 1. Schritt: 12 Plätze 8 = 96 Plätze 2. Schritt: 96 Plätze : 6 = 16 Plätze Antwort: Man könnte 16 Bauplätze zu je 600 m 2 ausweisen. Beispiel 1 Beispiel 2 7
A Grundlagen 2 Dreisatzrechnung Mithilfe eines Dreisatzes kannst du bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen fehlende Größen berechnen. Dazu müssen ein Größenpaar (Ausgangsgröße und zugeordnete Größe) und mindestens eine weitere Größe gegeben sein. Eine Dreisatzrechnung läuft so ab: Du prüfst, ob eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung vorliegt. Du schreibst die Lösung in drei Sätzen auf: 1. Schritt: Das bekannte Größenpaar 2. Schritt: Du schließt (in der Regel) auf die Einheit und rechnest. 3. Schritt: Du schließt auf das Vielfache, rechnest und antwortest. Lege zunächst eine Zuordnungstabelle an. Beispiel 1 Beispiel 2 Eine Strickmaschine stellt in 4 Stunden 15 Pullover her. Wie lange braucht die Maschine, um 50 Pullover zu stricken? Vorüberlegungen: (1) Die Zuordnung Strickzeit Anzahl fertiger Pullover ist proportional, weil bei doppelter (halber) Strickzeit doppelt (halb) so viele Pullover fertig werden. (2) Man sollte von vornherein in Minuten rechnen. : 15 50 : 5 3 Zuordnungstabelle Strickzeit in min Fertige Pullover 240 15 Anzahl der Bagger 1 : 15 50 50 Arbeitszeit in h 5 6 1 5 3 : 3 Dreisatzrechnung Du weißt: Für 15 Pullover braucht sie 240 min. Du rechnest: Für einen Pullover braucht sie 240 min : 15 = 16 min; für 50 Pullover braucht sie 16 min 50 = 800 min Antwort: Für 50 Pullover werden 13 Stunden 20 Minuten benötigt. 5 Bagger heben eine Grube in 6 Stunden aus. Wie lange brauchen 3 Bagger? Vorüberlegung: Die Zuordnung ist antiproportional, weil die doppelte Anzahl von Baggern die Grube in der halben Zeit ausheben würden. Zuordnungstabelle Dreisatzrechnung 5 Bagger brauchen 6 h. 1 Bagger braucht 6 h 5 = 30 h. 3 Bagger brauchen 30 h : 3 = 10 h. Antwort: Drei Bagger brauchen 10 Stunden. 8
3 Achsen- und Punktsymmetrie 3 Achsen- und Punktsymmetrie Wichtige Eigenschaften der Achsenspiegelung (1) Ein Punkt P und sein Spiegelbild P liegen auf verschiedenen Seiten der Achse, sodass die Achse Mittelsenkrechte der Strecke }} PP ist. Sonderfall: Ein Punkt auf der Achse ist sein eigenes Spiegelbild. (2) Eine Gerade g, die schräg zur Achse s läuft, und ihr Spiegelbild g schneiden die Achse unter gleichem Winkel. Die Achse ist die Winkelhalbierende des Winkels zwischen g und g. Sonderfall: Eine Senkrechte zur Achse geht in sich selbst über. (3) Eine Gerade, die parallel zur Achse verläuft, geht in eine Parallele g auf der anderen Seite der Achse über. Die Achse ist die Mittelparallele von g und g. Sonderfall: Die Achse ist ihr eigenes Spiegelbild. (4) Spiegelt man ein Dreieck, Viereck,... ein n-eck, dann entsteht eine deckungsgleiche Figur allerdings mit geändertem Umlaufsinn. Gegeben sind ein Pfeildreieck ABC und eine Gerade s. Gesucht ist das Spiegelbild C C des Dreiecks, wenn s die Spiegelachse ist. Konstruktion: Zeichne der Reihe nach die Bildpunkte A, B und C und verbinde sie zu einer Pfeilfigur. Das Pfeildreieck A A A B C hat die gleiche Form und die gleiche Größe wie das Pfeildreieck ABC, aber s B B einen anderen Umlaufsinn. Folgt man den Pfeilen, dann geht es im Original linksherum, im Spiegelbild jedoch rechtsherum. Beispiel Geht eine Figur F bei der Spiegelung an der Geraden s in sich selbst über, dann heißt s Spiegelachse (Symmetrieachse) von F. Die Figur F ist achsensymmetrisch. In achsensymmetrischen Figuren sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß. s F 9
A Grundlagen Punktspiegelungen und punktsymmetrische Figuren Wichtige Eigenschaften der Punktspiegelung (1) Ein Punkt P und sein Bildpunkt P liegen auf einer Geraden durch das Zentrum M der Punktspiegelung. M ist der Mittelpunkt der Strecke }} PP. Sonderfall: M geht bei der Punktspiegelung in sich selbst über. (2) Eine Gerade g und ihr Bild g bilden einen Streifen. Seine Mittelparallele geht durch das Zentrum der Punktspiegelung. Sonderfall: Eine Gerade durch M geht in sich selbst über. (3) Führt man mit einem Dreieck, Viereck,..., n-eck eine Punktspiegelung durch, entsteht ein deckungsgleiches Dreieck, Viereck,..., n-eck. Beispiel Gegeben sind ein Pfeildreieck ABC und das Zentrum M einer Punktspiegelung. Gesucht ist das Abbild des Dreiecks. Konstruktion: Zeichne der Reihe nach die Bildpunkte A, B und C und verbinde sie zu einer Pfeilfigur. A C B M B C A Geht eine Figur F bei der Punktspiegelung mit M als Zentrum F in sich selbst über, dann heißt M das Symmetriezentrum von F. Die Figur F M ist dann punktsymmetrisch. In punktsymmetrischen Figuren sind entsprechende Strecken gleich lang, entsprechende Winkel und entsprechende Teilfiguren gleich groß. Geht eine Figur F bei der Drehung um einen Punkt M mit einen Winkel a in sich selbst über, so heißt sie drehsymmetrisch. Treten bei drehsymmetrischen Figuren Drehwinkel von 180 (Sonderfall!), 90, 60, 45, 30, 22,5, 20, 18, 15, 12, 10,... auf, dann sind die Figuren auch punktsymmetrisch. a M F 10
4 Flächen- und Rauminhalte 4 Flächen- und Rauminhalte Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist A Rechteck = a b. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist A Dreieck = }} g h 2. Umrechnung von Flächeneinheiten 100 100 100 100 100 100 km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 mm 2 a b h g : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 a) 1 km 2 = 1 m 2 100 100 100 = 1 000 000 m 2 b) 1 m 2 = 0,000001 km 2 Der Fußboden einer Küche wird mit quadratischen Fliesen (s = 20 cm) ausgelegt. Die Küche ist 4,20 m lang und 3,60 m breit. Wie viele Fliesen müssen mindestens bestellt werden? Gegenständliche Lösung: Man legt an die Längsseite der Küche eine Reihe Fliesen, es sind 21. Man braucht 18 Reihen, bis der Boden ganz bedeckt ist. Der Mindestbedarf beträgt also 21 18 Fliesen = 378 Fliesen. Rechnerische Lösung: Fußbodenfläche : Flächeninhalt einer Fliese = Anzahl der Fliesen Eingesetzt: (420 cm 360 cm) : 400 cm 2 = 378 Antwort: Es werden 400 Fliesen (mindestens jedoch 378) bestellt. Beispiel 1 Beispiel 2 Der Rauminhalt (das Volumen) eines Quaders beträgt V Quader = a b c, der eines Würfels V Würfel = a 3. Umrechnung von Volumeneinheiten a a a a b c 1000 1000 1000 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 : 1000 : 1000 : 1000 Weißt du noch? 1 Liter = 1 dm 3 = 1000 cm 3 1 m = 1 cm 3 11
A Grundlagen 5 Natürliche, ganze und rationale Zahlen 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Auf der Zahlengeraden liegen die negativen und die positiven Zahlen spiegelbildlich zur 0. So liegt -3 beispielsweise spiegelbildlich zur 3. Man sagt: 3 ist die Gegenzahl von 3 und 3 die Gegenzahl von 3. Die Zahlen 0; 1; 2; 3; bilden die Menge N der natürlichen Zahlen. N = {0; 1; 2; 3; } Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit ihren Gegenzahlen die Menge Z der ganzen.... Zahlen. Z = { ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; } Auch zu positiven Bruchzahlen wie } 1 2 ; 3 } 1 ; 1,3 oder 4,7 kann man an der 4 Zahlengeraden durch Spiegeln an der Null jeweils eine Gegenzahl finden. rationale Zahlen Alle positiven Bruchzahlen bilden zusammen ganze Zahlen mit ihren Gegenzahlen und mit der Zahl Null natürliche Zahlen die Menge Q der rationalen Zahlen. Beispiel 1 a) Ordnen der Zahlen 4; 5; 2; 7; 10 und 0: 10 < 5 < 2 < 0 < 4 < 7 b) Zahlen auf der Zahlengeraden eintragen: 10 5 2 0 4 7 Beispiel 2 a) Die Gegenzahlen von } 1 2 ; 3 } 1 4 ; 1,3 und 4,7 lauten } 1 2 ; 3 } 1 ; 1,3 und 4,7. 4 b) Zahlen ordnen: 4,7 < 3 } 1 4 < 1,3 < } 1 2 < } 1 2 < 1,3 < 3 } 1 4 < 4,7. c) Zahlen und ihre Gegenzahlen auf der Zahlengeraden eintragen: 4,7 3 1 } 4 1,3 1 } 2 1 } 2 1,3 3 1 } 4 4,7 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Beispiel 3 Zahl 7 3 1,5 2 } 3 gehört zu N gehört zu Z x x gehört zu Q + x x x 4, }} 56 gehört zu Q x x x 12
6 Rechnen mit rationalen Zahlen 6 Rechnen mit rationalen Zahlen Unter dem Betrag (Absolutbetrag) einer Zahl a versteht man die Zahl a selbst, falls a positiv oder 0 ist, bzw. die Gegenzahl von a, falls a negativ ist. Zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen werden addiert, indem man ihre Beträge addiert und dem Ergebnis das gemeinsame Vorzeichen gibt. Zwei rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man den kleineren vom größeren Betrag subtrahiert und dem Ergebnis das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag gibt. Man subtrahiert eine rationale Zahl, indem man ihre Gegenzahl addiert. Man multipliziert (dividiert) zwei rationale Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert (dividiert) und im Ergebnis das richtige Vorzeichen setzt. Haben die beiden Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv, ansonsten ist es negativ. Durch 0 darf man nicht dividieren. Betrag einer rationalen Zahl a)! 2! = 2;! } 1 4! = } 1 ;! 0! = 0;! 1,5! = 1,5 b)! 0,4!! 4! = 0,4 4 = 3,6 4 Addieren rationaler Zahlen a) ( 15) + ( 8) = (15 + 8) = 23 b) (+23) + ( 17) = +(23 17) = +6 c) ( 3,3) + (+5) = +(5 3,3) = +1,7 d) 0 + ( 12,5) = (12,5 0) = 12,5 e) 1 + 2 } 3 2 + 1 5 } 6 2 = 1 + 4 } 6 2 + 1 5 } 6 2 = 1 5 } 6 4 } 6 2 = }} 5 4 6 = 1 } 6 Subtrahieren rationaler Zahlen a) ( 7) (+5) = ( 7) + ( 5) = 12 b) ( 3,4) ( 5) = ( 3,4) + (+5) = +1,6 Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 c) 1 + } 1 5 2 1 + } 1 3 2 = 1 + } 3 15 2 1 + } 5 15 2 = 1 + } 3 15 2 + 1 } 5 15 2 = } 2 15 Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen a) (+5) ( 6) = (5 6) = 30 b) ( 1,5) (+3) = (1,5 3) = 4,5 Beispiel 4 c) ( 8) ( 0,2) = +(8 0,2) = 1,6 d) 1 } 2 3 2 1 + } 6 7 2 = 1 } 2 3 } 6 7 2 = } 4 7 e) (+3,5) : (+7) = +(3,5 : 7) = 0,5 f) ( 8) : (+0,2) = (8 : 0,2) = 40 g) 1 } 2 7 2 : 1 } 3 4 2 = + 1 } 2 7 } 4 3 2 = } 8 21 h) 0 : ( 3,25) = 0 13
A Grundlagen 7 Rechenregeln und Rechenvorteile Beim Addieren bzw. Multiplizieren rationaler Zahlen darf man die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren beliebig verändern (Kommutativgesetz) und man darf die Abfolge der Rechenschritte selbst durch Klammern festlegen (Assoziativgesetz). Ausmultiplizieren: Statt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, kann man auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die entstehenden Produkte addieren (Distributivgesetz). Plusklammer-Regel: Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, so darf man das Pluszeichen zusammen mit der Klammer einfach weglassen. Minusklammer-Regel: Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so darf man das Minuszeichen zusammen mit der Klammer weglassen, wenn man dafür alle Vorzeichen in der Klammer ändert. Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Beispiel 4 a) 2,4 + 3 + 1,6 = 2,4 + 1,6 + 3 = 4 + 3 = 7 Summanden vertauscht b) 1,2 0,4 5 = 1,2 5 0,4 = 6 0,4 = 2,4 Faktoren vertauscht c) 1,2 0,4 5 = 1,2 (0,4 5) = 1,2 2 = 2,4 Reihenfolge festgelegt a) 1 } 1 4 + } 1 5 2 40 = } 1 4 40 + } 1 40 = 10 + 8 = 18 Ausmultiplizieren 5 b) 1,3 7 + 4,7 7 = (1,3 + 4,7) 7 = 6 7 = 42 Ausklammern 1,1 + (+4,6) ( 4,9) (+3,6) Klammern einsparen, = 1,1 + 4,6 + 4,9 3,6 Summanden geeignet tauschen, = 4,6 3,6 + 4,9 + 1,1 Reihenfolge durch Klammern festlegen, = (4,6 3,6) + (4,9 + 1,1) Klammern zuerst ausrechnen, = 1 + 6 = 7 dann von links nach rechts rechnen. a) 6,5 + (2,5 1,3) = 6,5 + 2,5 1,3 = 9 1,3 = 7,7 Plusklammerregel b) 4,9 (2,4 1,5) = 4,9 2,4 + 1,5 = 2,5 + 1,5 = 4 Minusklammerregel c) 31 + ( 46 88) ( 66 208) = 31 46 88 + 66 + 208 = 31 + 66 46 + 208 88 = 31 + (66 46) + (208 88) = 31 + 20 + 120 = 171 14
8 Taschenrechner ein nützliches Hilfsmittel 8 Taschenrechner ein nützliches Hilfsmittel Umfangreiche Rechnungen lassen sich oftmals nur mit viel Mühe im Kopf oder schriftlich erledigen. In solchen Fällen kann ein Taschenrechner weiterhelfen. Wichtig ist jedoch, dass man den Taschenrechner richtig bedienen kann. Aufgabe Eingabe am Taschenrechner Ergebnis a) 14,9 + 23 18 ybo«ªp ná 428,9 Moderne Taschenrechner beachten die Punkt-vor-Strich-Regel selbstständig. Beispiel 1 b) 13 17 19 }}}}} c ªp m odeczª ndá 8,08 53 28 Der Bruchstrich steht für eine Geteilt-Rechnung. Die Rechenausdrücke in Zähler und Nenner werden jeweils in Klammern zusammengefasst. c) 1,6 2 + 2,4 3 b{0«byzªá 16,384 d) TIPP: Statt Z haben manche Taschenrechner die Taste,. 2 } 15 + 2 5 } 12 HFGBDHFBFGHJ 2 11 } 20 Viele Taschenrechner haben eine Taste für die Eingabe von Brüchen. Ist das Ergebnis der Rechnung wieder ein Bruch, so zeigt der Taschenrechner es z. B. so an: 2 11 20. Man kann es auch in eine Dezimalzahl umwandeln lassen und erhält 2,55. Ein Kreis mit dem Radius 4 cm (Durchmesser 8 cm) hat einen Flächeninhalt A < 3,14 (4 cm) 2 < 50 cm 2 und einen Umfang U < 3,14 8 cm < 25 cm. Hat dein Taschenrechner eine.-taste, so kannst du A bzw. U durch die Eingaben.8A0J bzw..8<j noch einfacher berechnen. Beispiel 2 Manchmal gibt man beim Rechnen mit dem Taschenrechner aus Versehen eine falsche Zahl oder ein falsches Rechenzeichen ein. In solch einem Fall musst du nicht immer die ganze Rechnung von vorne beginnen. Viele Taschenrechner besitzen eine Taste, mit der man die das zuletzt eingetippte Zeichen löschen bzw. überschreiben kann. Probiere dies an deinem Taschenrechner einmal aus. Tipp 15
Stichwortverzeichnis Achsenspiegelung 9 achsensymmetrisch 9, 73 achsensymmetrisches Dreieck 72 allgemein gültig 55 Anfangswert 28 antiproportionale Zuordnung 7 äquivalent 40 Äquivalenzumformungen 51 Assoziativgesetz 14, 42 Ausklammern eines gemeinsamen Faktors 45 Ausmultiplizieren 14 Baumdiagramm 86 Berechnung des Grundwerts 26 der Jahreszinsen 31 des Prozentsatzes 25 des Prozentwerts 24 von Tageszinsen 32 des Zinssatzes 31 Betrag (Absolutbetrag) einer Zahl 13 Daten 81 deckungsgleich 66 Diagramm Baumdiagramm 86 Säulendiagramm 81 Stabdiagramm 81 Distributivgesetz 14, 42 drehsymmetrisch 10 drehsymmetrische Figuren 10 Dreieck achsensymmetrisches 72 gleichschenkliges 23, 72 gleichseitiges 72 rechtwinkliges 74 spitzwinkliges 74 stumpfwinkliges 74 Dreieckskonstruktion 69 Dreisatz 8 Endwert 28 Ereignis 85 Ergebnisse 84 Experiment 84 Faktorisieren 45 Flächeninhalt eines Dreiecks 11 eines Rechtecks 11 Formeln 56 Funktion lineare 58 proportionale 57 ganze Zahlen 12 Gegenereignis 85 Gegenzahl 12 Geradengleichung 60 gleichschenkliges Dreieck 23, 72 gleichseitiges Dreieck 72 Gleichungen 48 grafisch lösen 62 lösen 48 sortieren 54 vereinfachen 54 gleichwertig 40 gleichwertige Terme 40 Graphen 60 Größengleichungen 56 132
Stichwortverzeichnis Grundkonstruktionen 16 Grundwert 24 Häufigkeit 81 Höhe 77 Inkreis 77 Innenwinkel 22 Kapital 31 Kehrsatz 75 Klasseneinteilung 82 Kommutativgesetz 14, 42 kongruent 66 Kongruenzabbildungen 66 Kongruenzsätze 69 Laplace-Experiment 85 lineare Funktion 58 lineare Zuordnung 58 Lösung 48 Lösungen einer Gleichung 48 Lösungsmenge 48 Median 81 mehrstufig 86 Minusklammer-Regel 14, 42 Mittelparallele 9 Mittelsenkrechte 9, 74 konstruieren 17 natürliche Zahlen 12 Nebenwinkel 20 Netto 30 Ortsliniensatz 74, 77 Parallele zeichnen 18 Pfadregel 86 Plusklammer-Regel 14, 42 Potenzschreibweise 43 Probe 49 Probefigur 23 Produkte von Variablen 43 produktgleich 7 Promille 30 proportionale Funktion 57 proportionale Zuordnung 6 Proportionalitätsfaktor 57 Prozentfaktor 28 Prozentsatz 24 prozentuale Veränderung 28 Prozentwert 24 Punktspiegelung 10 punktsymmetrisch 10, 72, 73 punktsymmetrische Figuren 10 quotientengleich 6 Rabatt 30 rationale Zahlen 12 Rauminhalt eines Quaders 11 Rechengesetze 42 Rechenregeln bei Termen 37 rechtwinkliges Dreieck 74 Regeln Minusklammer 14, 42 Pfad 86 Plusklammer 14, 42 Summen 85 Relationszeichen 63 Rückwärtsrechnen 48 Satz des Thales 75 Säulendiagramm 81 Scheitelwinkel 20 Schwerelinien 78 Schwerpunkt 78 Seitenhalbierende 78 Senkrechte zeichnen 17 133
Stichwortverzeichnis Skonto 30 Sortieren einer Gleichung 54 Spiegelachse 9, 73 Spiegelbild 9 spitzer Winkel 22 spitzwinkliges Dreieck 74 Stabdiagramm 81 Steigung 60 Steigungsdreieck 60 Strecke halbieren 17 Streifen 10 Stufenwinkel 20 stumpfer Winkel 22 stumpfwinkliges Dreieck 74 Summenregel 85 Symmetrieachse 16 Symmetriezentrum 10 Tangente 76 Tangentenabschnitte 76 Tara 30 Taschenrechner 15 Terme 36 umformen 41 Termumformung 51 Thaleskreis 75 Umkreis 74 Umlaufsinn 9, 68 Umrechnung von Flächeneinheiten 11 Volumeneinheiten 11 ungleichsinnig kongruent 68 Ungleichung 63 Ungleichungen lösen 63 unlösbar 55 Variablen 36 Vereinfachen einer Gleichung 54 Wahrscheinlichkeit 84 Wechselwinkel 20 Winkel Innenwinkel 22 Nebenwinkel 20 Scheitelwinkel 20 spitzer 22 Stufenwinkel 20 stumpfer 22 Wechselwinkel 20 Winkelhalbierende 9, 77 zeichnen 18 Winkelsummen 22 y-achsenabschnitt 60 Zahlen ganze 12 natürliche 12 rationale 12 Zahlengeraden 12 Zinsen 31 Zinseszinsen 33 Zinsfaktoren 33 Zinsformel 32 Zinssatz 31 Zufall 84 Zuordnung antiproportionale 7 lineare 58 proportionale 6 Zuordnungstabelle 6 134