Umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechtecke Geometrieunterricht an Realschulen Allgemein: Durch den Geometrieunterricht sollen die Schüler dazu befähigt werden Lagebeziehungen, Größenverhältnisse und figürliche Anordnungen in der Ebene und im Raum zu begreifen, bestimmte Figuren in komplexen Zusammenhängen wieder zu erkennen und entsprechende Untersuchungen durchzuführen. Dabei soll auch das ästhetische Empfinden der Schüler weiterentwickelt werden. Aufbau und Betrachtungsweise der ebenen Geometrie orientieren sich vorwiegend an abbildungsgeometrischen Grundsätzen und Vorgehensweisen. Algebraische Probleme lassen sich häufig geometrisch veranschaulichen, interpretieren und damit leichter lösen. Umgekehrt können viele geometrische Zusammenhänge mit den aus der Algebra bekannten Methoden untersucht werden, was eine vielschichtige und vertiefende Betrachtung im Sinne eines vernetzten und kumulativen Lernens ermöglicht. Die für den Mathematikunterricht an der Realschule charakteristische Verflechtung von Algebra und Geometrie erfährt je nach Wahlpflichtfächergruppe in den verschiednen Themenbereichen ihre besondere Ausprägung. 5. Klasse: Geometrische Grundformen und geometrische Grundbegriffe Die Schüler wiederholen, erweitern und vertiefen die in der Grundschule erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten aus dem Bereich der ebenen und räumlichen Figuren. Bei der zeichnerischen Darstellung geometrischer Grundfiguren und beim Entwerfen von Mustern üben sie die Zeichengerät sicher und sorgfältig zu handhaben. Die Schüler bauen und zeichnen einfache räumliche Modelle und entwickeln dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen weiter. Hier bietet sich auch der Computereinsatz an. - Strecke, Halbgerade, Gerade, Kreislinie, Punkt - Quadrat, Rechteck, Dreieck, Vieleck, Kreisfläche - Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel - Netze von Würfeln und Quadern - Länge einer Strecke; Umfang von Rechteck und Quadrat - Symmetrische Figuren - Senkrechte und parallele Geraden - Figuren im Gitternetz zeichnen Flächenmessung: Die Schüler vergleichen, schätzen und messen Flächen mithilfe konkret-anschaulicher Verfahren. Die gewonnenen Erkenntnisse wenden sie bei der Lösung von Sachproblemen an. - Vergleich von Flächen mit ungenormten und genormten Einheiten - Messen von Flächen; Umrechnen von Flächeneinheiten - Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat - Oberfläche von Quader und Würfel - Sachaufgaben
Raummessung: Aufbauend auf den Überlegungen zur Flächenmessung befassen sich die Schüler mit Fragen der Raummessung und bestimmen die Rauminhalte einfacher geometrischer Körper. - Vergleich von Rauminhalten mit ungenormten und genormten Einheiten. - Messen von Rauminhalten; Umrechnung von Raumeinheiten (mm 3 bis m 3, ml, cl, l, hl) - Volumen von Würfel und Quader - Sachaufgaben 6. Klasse Grundbegriffe der ebenen Geometrie Durch die Bildung der Schnittmenge bzw. der Vereinigungsmenge von Ebenen, Halbebenen, Geraden und Kreisen erzeugen die Schüler neue geometrische Punktmengen. Die kreative Arbeit mit dem Computer bietet hier breite Variationsmöglichkeiten. - Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade, zwischen Geraden sowie zwischen Kreis und Geraden; Abstand - Halbebene; Schnittmengen und Vereinigungsmengen zweier Halbebenen - Winkel und Winkelmessung; Nebenwinkel und Scheitelwinkel - Punktmengen am Kreis; Sehne, Bogen, Sektor, Segment Achsenspiegelung: Die Schüler untersuchen die Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren aus de Umwelt und gelangen über eigene Übung zu grundlegenden Einsichten in die Gesetze der Achsenspiegelung. Sie erschließen die Abbildungsvorschrift, Eigenschaften und Anwendungsmöglichkeiten einer geometrischen Abbildung. - Fundamentalsätze (umkehrbar eindeutige Zuordnung, Geradentreue, Längentreue, Winkeltreue, Kreistreue). Abbildungsvorschrift - Eigenschaften von Ur- und Bildfigur (Kongruenz, Umlaufsinn, Lage von Ur- und Bildgeraden, Fixelemente, Entfernungsgleichheit jedes Achsenpunktes von einem Urpunkt und dessen Bildpunkt) - Fundamentalkonstruktionen (Halbieren einer Strecke, Mittelsenkrechte; Halbieren eines Winkels, Winkelhalbierende) - Achsensymmetrische Figuren; Eigenschaften von achsensymmetrischen Dreiecken und Vierecken - Einfache geometrische Figuren zeichnen 7.Klasse Parallelverschiebung Die Schüler entdecken die Parallelverschiebung als neue Kongruenzabbildung und ermitteln und begründen jeweils die Abbildungsvorschrift und die Eigenschaften mithilfe ihrer Kenntnisse über die Achsenspiegelung. Bei der rechnerischen Behandlung der
Parallelverschiebung finden die Schüler einen Zugang zu einer algebraischen Sichweise geometrischer Probleme und damit zu einer engen Verflechtung von Algebra und Geometrie. Die Schüler begründen die Innenwinkelsumme im Dreieck und darauf aufbauend die Winkelsumme in Vielecken. Bei allen Betrachtungen empfiehlt sich der Einsatz eines dynamischen Geometrieprogramms. - Parallelverschiebung als Doppelachsenspiegelung - Parallelverschiebung (Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften) und Vektor (Pfeil- und Koordinatendarstellung, Spaltenmatrix), Gegenvektor und Umkehrabbildung - Verknüpfen von Parallelverschiebungen; Vektoraddition - Zeichnerisches Durchführen von Parallelverschiebungen und Berechnen von Punktund Vektorkoordinaten (u.a. Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke) - Parallelaxiom und Eigenschaften paralleler Geraden; Beziehungen zwischen den Maßen von Stufen- und Wechselwinkeln - Summe der Innenwinkel im Dreieck, Viereck und Vieleck - Außenwinkelsatz beim Dreieck Drehung Die Schüler entdecken die Drehung als neu Kongruenzabbildung. Sie ermitteln und begründen die Abbildungsvorschrift und die Eigenschaften mithilfe ihrer Kentnisse über die Achsenspiegelung. Den Schülern wird bewusst, dass mit der Drehung geometrische Eigenschaften begründet und Figuren geordnet werden können. Der Einsatz eines geeigneten Geometrieprogramms ermöglicht ein tiefes Durchdringen von Zusammenhängen. - Drehung als Doppelachsenspiegelung - Drehung(Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften) - Sonderfälle der Drehung: γ = +/- 90 und γ = +/- 180 - Drehung von Vektoren um γ = +/- 90 und γ = +/- 180 ; Berechnen von Punktkoordinaten mithilfe von Vektoren - Dreh- und punktsymmetrische Figuren, insbesondere punktsymmetrische Vierecke Lösung geometrischer Probleme mithilfe von Abbildungen: Aufgaben mit speziellen geometrischen Problemen regen die Schüler in besonderem Maß zu kreativer Eigentätigkeit an. Über Probierkonstruktionen, auch unter Verwendung eines Geometrieprogramms, entwickeln sei eine Lösungsstrategie, die sie dann mit ihrem Wissen über Abbildungen begründen. Solche geometrischen Probleme werden in den folgenden Jahrgangsstufen wieder aufgegriffen und zunehmend auch algebraisch gelöst. - spezielle geometrische Probleme mithilfe von Abbildungen lösen (z.b. Einschreibungsaufgaben und Extremwertaufgaben) Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche: Ausgehend von den Kenntnissen über Kreis, Mittelsenkrechte und Wikelhalbierende entdecken die Schüler, auch mithilfe eines Geometrieprogramms, neue geometrische Ortslinien und Ortsbereiche. Dabei verbalisieren sie auch deren kennzeichnende geometrische Eigenschaften. Die Schüler erweitern ihr Wissen über die Beziehung zwischen Kreis und Gerade und finden die Zusammenhänge bei Winkeln am Kreis. Bei der Verknüpfung geometrischer Orstlinien
und Ortsbereiche vertiefen sie ihre Kenntnisse und wenden sie in praxisorientierten Aufgaben an. - Kreislinie; Kreisinneres, Kreisäußeres; Mengenschreibweise - Mittelsenkrechte, Halbebene; Mengenschreibweise - Winkelhalbierende, Mittelparallele - Parallelenpaar, zugehörige Ortsbereiche - Umkreis und Inkreis beim Dreieck - Winkel am Kreis: Rankwinkel, Mittelpunktswinkel, Zusammenhänge; Thaleskreis als Spezialfall - Lösung praxisorientierter Aufgaben - Kreis und Gerade: Orthogonalität von Tangente und Zentrale durch den Berührpunkt; Tangentenkonstruktion und Tangentenabschnitte - Berechnen von Punktkoordinaten mit Hilfe von Vektoren en geeigneten Beispielen 8.Klasse Dreiecke und Vierecke Durch di eingehende Beschäftigung mit Dreiecken und Vierecken, vor allem in Konstruktionsaufgaben, erwerben die Schüler grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten für den gesamten weiteren Unterricht. Sie lernen den Aufbau geometrischer Beweise kennen. Anhand exemplarischer, anschaulicher geometrischer Sachverhalte lernen sie kongruenz- und abbildungsgeometrisch folgerichtig zu begründen. Die Schüler spüren Figureneigenschaften auf und erarbeiten grundlegende geometrische Sätze. Mithilfe der Symmetrieeigenschaften nehmen die Schüler in einem gut überschaubaren Teilgebiet der Geometrie einen systematische Einteilung der Vierecke vor. - Beziehungen zwischen den Seitenlängen sowie zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen im Dreieck - Konstruierbarkeit von Dreiecken; Kongruenzsätze - Aufbau von kongruenz- und abbildungsgeometrischen Beweisen - Symmetrische und nicht symmetrische Vierecke; Eigenschaften achsensymmetrischer (diagonal- und lotsymmetrischer) und punktsymmetrischer Vierecke - Umkreis und Inkreis bei Vierecken - Begründung mithilfe von Kongruenzsätzen, Abbildungen und Vektoren Grundlagen der Raumgeometrie Mithilfe von Modellen und geeigneten Computerprogrammen erkennen die Schüler wesentliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen und besondere Winkel im Raum und schulen dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Sie begreifen, dass Schrägbilder ein erprobtes Mittel sind, um anschauliche Bilder von Körpern in der Zeichenebene zu erhalten und stellen dabei fest, dass die Maßtreue um Allgemeinen verloren geht. Sie lernen die wahre Größe von Strecken und Winkeln an Köropern zu bestimmen. - Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen im Raum; Winkel zwischen Ebene und Gerade; Winkel zwischen zwei Ebenen - Exemplarisches Darstellen von Körpern im Schrägbild (Verzerrungswinkel und Verzerrungsfaktor)
- Konstruktives Ermitteln von Strecken und Winkeln in wahrer Größe bei Prismen und Pyramiden; Netze 9.Klasse Flächeninhalt ebener Vielecke Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sin. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Prallelogrammen und Dreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen. - Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhe im Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez - Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Trapez, Dreieck und Drachenviereck - Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen unt Extremwerte berechnen Abbildung durch zentrische Streckung Die Schüler führen maßstäbliche Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen von Figuren durch und gelangen so zur Abbildung durch zentrische Streckung, die sie sowohl geometrischkonstruktiv wie auch algebraisch mithilfe von Vektoren erfassen und in vielfältigen Übungsaufgaben anwenden. - Abbildungen durch zentrische Streckung: Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften - Zeichnerische Ermittlung von Bildpunkten, Urpunkten und Streckungszentrum; Einschreibungsaufgaben - Vierstreckensatz; Ermitteln von Strecken bzw. Streckenlängen; Schwerpunkt des Dreiecks - Zentrische Streckung mithilfe von Vektoren; Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl; Darstellung der Abbildungsvorschrift mithilfe von Vektoren - Berechnungen: Koordinaten von Bildpunkten, Urpunkten und Zentrum; Streckungsfaktor; Gleichungen von Bildgeraden und Bildparabeln (Parameterverfahren); Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks - Ähnliche Figuren; Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (Herleitung eines Satzes); Nachweis der Ähnlichkeit von Dreiecken - Praxisorientierte Aufgaben Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Die Schüler finden und begründen Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck und erschließen damit die Möglichkeit, Streckenlängen in ebenen Figuren, in Körpern um im Koordinatensystem zu berechnen. Auch hier entwickeln die Schüler ihre Fertigkeit weiter, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.
- Flächensätze am rechwinkligen Dreieck - Berechnen von Streckenlängen (auch im Koordinatensystem und in Körpern): u.a. Länge der Diagonalen des Rechtecks und des Quadrats, Höhe des gleichseitigen Dreiecks, Betrag des Vektors Berechnungen am Kreis Die Schüler begründen den bereits bekannten proportionalen Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser bzw. zwischen dem Inhalt der Kreisfläche und dem Quadrat des Kreisradius, und zwar mithilfe anschaulichdurchgeführter Grenzwertüberlegungen. Eine näherungsweise Bestimmung der Kreiszahl führen die Schüler mithilfe des Taschenrechners oder der Computers durch. - Kreiszahl π und ihre näherungsweise Bestimmung; Umfang und Flächeninhalt des Kreises - Kreisbogen und Kreissektor - Berechnungen am Kreis und bei Kreisteilen Raumgeometrie Die Schüler verwenden den Satz über die Zerlegungsgleichheit von Körpern, um aus dem bereits bekannten Volumen des Quaders das Volumen eines geraden Prismas herzuleiten. Sie lernen das Prinzip des Cavalieri kennen und erfahren, wie man mit ihm das Volumen weiterer Körper ermitteln kann. Sie erarbeiten Volumenformeln mithilfe von Grenzwertüberlegungen und setzen dabei den Computer ein. Mithilfe geeigneter Modelle erzeugen die Schüler Rotationskörper und gewinnen Formeln zur Berechnung des Volumens bzw. der Oberfläche dieser Körper. - Prisma und Pyramide: Netz, Mantel- und Oberfläche; Prinzip des Cavalieri; Volumen von Prisma und Pyramide - Gerader Kreiszylinder und gerader Kreiskegel als Rotationskörper: Axialschnitt, Mantellinie; Abwicklung, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen - Kugel: Oberfläche und Volumen - Anwendungsaufgaben unter besonderer Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten und auch unter Einbeziehung zusammengesetzter Körper
Einführung des Themas von umfangs- und inhaltsgleichen Rechtecken Im Allgemeinen wird das Thema umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechecke, laut Lehrplan, in den einzelnen Klassenstufen nicht explizit behandelt. Es ist aber generell möglich den Stoff so aufzubereiten, dass er in jeder Stufe unterrichtet werden kann, nachdem man den Inhalt des Gebietes auf das entsprechende Niveau angepasst hat. Klassenstufe 5 Durch den Einsatz eines Geometrieprogramms, also durch interaktive Arbeitsblätter, versucht man neben der Unterrichtung der Geometrie außerdem den Umgang mit dem Computer zu schulen. Die Schüler der 5. Jahrgangsstufe versucht man anfangs spielerisch an das Thema heranzuführen. Ein, vom Lehrer vorbereitetes, interaktives Arbeitsblatt dient der ersten Berührung mit dem Thema. Die Schüler sollen durch einfache Aufgaben, wie hier das Verschieben der Punkte A und B, zuallererst die Distanz zum Medium Computer verlieren. Man kann durch weitere leichte Aufgaben das Interesse des Schülers wecken und den Schülern durch diese spielerische Art nebenbei die wichtigsten Hauptaspekte des Themas umfangs- und inhaltsgleiche Rechtecke lehren. Mögliche Arbeitsaufträge: Stelle durch verschieben der Punkte A und B zwei Rechtecke her, mit: a) verschiednem Umfang und verschiedenem Inhalt, b) gleichem Umfang und verschiedenem Inhalt, c) verschiedenem Umfang und gleichem Inhalt. d) Kannst du auch zwei verschiednen Rechecke gleichen Umfangs und gleichen Inhalts herstellen? Zeichne deine Rechtecke auch auf kariertes Papier! In einem zweiten interaktiven Arbeitsblatt stellt der Lehrer den Schülern ein präpariertes Rechteck vor. Bei diesem Arbeitsblatt kann, wie beim vorhergehenden auch, eine Seite des Rechtecks bewegt werden, mit der Ausnahme, dass das Rechteck hier keinen variablen Umfang besitzt. Mögliche Arbeitsaufträge (umfangsgleiche Rechecke): Verändere die Form des Rechtecks durch Verziehen von Z. Beobachte dabei den Umfang und seinen Inhalt! Was fällt auf? Zeichne die Rechtecke auch in dein Heft! Dieses interaktive Arbeitsblatt dient dazu die Erkenntnis zu erlangen, dass das quadratische Recheck größten Flächeninhalt besitzt, im Vergleich zu umfangsgleichen nicht quadratischen Rechtecken. Mögliche Arbeitsaufträge(flächengleiche Rechecke): Setze aus den 16 Zentimeterquadraten Rechecke zusammen, die jeweils den Inhalt 16cm 2 besitzen. Wie groß ist der Umfang solcher Rechecke. Zeichen deine Rechecke in dein Heft!
Diese Aufgabe dient der Erkenntnisfindung, dass sich die Einheitsquadrate zu flächengleichen Rechecken verschiedener Form zusammensetzen lassen, die verschieden großen Umfang besitzen. Klassenstufe 6 In der sechsten Klasse kann prinzipiell der gleiche Stoff behandelt werden. Zusätzlich können hier einfache Dezimalzahlen als Maßzahlen verwendet werden. Außerdem ist es möglich auch etwas abstraktere Arbeitsaufträge zu verteilen. Mögliche Arbeitsaufträge: Gegeben ist eine Strecke mit der Länge 16,00 cm. Falte diese Strecke (Umfang) zu einem Recheck auf (Verziehe dazu A,B, C). Verändere die Form des Rechtecks ABCD durch Verziehen von D und beobachte dabei den Flächeninhalt des Rechecks.
Klassenstufe 7/8 Während in den Klassen 5 und 6 im wesentlichen nur die experimentelle Erkenntnisfindung im Vordergrund steht, könnte man in den Klassenstufen 7 und 8 mit den zur Verfügung stehenden schulalgebraischen Werkzeugen arbeiten. Dabei geht man von konkreten Größen zu Variablen für Größen über. Außerdem treten Methoden für die systematische Konstruktion umfangs- bzw. flächengleicher Rechtecke hinzu. Im Allgemeinen werden nun in dieser Klassenstufe folgende Fragen behandelt: 1. Wie gewinnt man aus einem gegebenen Rechteck ein umfangsgleiches, das einen größeren bzw. kleineren Inhalt hat, und wie lässt sich diese Verwandlung mit einer geometrischen Konstruktion bewerkstelligen? 2. Wie gewinnt man aus einem Recheck ein flächengleiches Recheck mit unterschiedlichem Umfang? Zu 1. In der 7. bzw. 8. Klasse bietet es sich an von der bildhaften Darstellung zur formalsprachlichen Beschreibung überzugehen. Als Aufgabe würde sich nun anbieten, die neu erlangte Fläche, den maximalen Flächengewinn, und die neu erlangte Fläche in Abhängigkeit der bereits bekannten Größen a (Rechtecklänge) und b (Rechteckbreite) berechnen zu lassen. Aufgabe: Seien a, die Rechtecklänge, und b, die Rechteckbreit, eines Rechtecks gegeben. Zusätzlich ist vorgegeben, dass der Umfang des Rechtecks konstant ist. Nun wird die Rechtecklänge a um die Länge c verkürzt. Berechne allgemein, um wie viel die Rechteckbreite b zunehmen muss, damit der Umfang konstant bleibt! Berechne allgemein die Fläche F`, die sich aus den neuen Größen a` und b` ergibt! Sei nun a = 10cm, b = 3 cm und c = 2cm. Berechne nun mit den angegebenen Größen die reellen Werte für den Umfang, die ursprüngliche Fläche F und die neue Fläche F`! Vergleiche F und F`! Was fällt dir auf? Berechen den Flächengewinn zuerst allgemein und dann für die angegebenen Werte! Wie muss c gewählt werden, dass der Flächengewinn maximal wird? Berechnung von b`: U = 2 (a + b) U = 2 (a c + b`) Somit gilt: b`= b + c Berechnung von F`: a`= a-c F = ab F`= a`b` F`= (a - c) * (b + c) F`= ab + ac bc c 2 F = ab
Berechnung des Flächengewinns: F = F`- F = ab + ac bc c 2 ab = ac bc c 2 = (a b) c c 2 (Berechnung für welches c der Flächengewinn maximal wird: Quadratische Ergänzung : F = (a b) c c 2 = - [c 2 2c (a b)/2 + ((a b)/2) 2 ] + ((a b)/2) 2 = - (c ((a b)/2)) 2 + ((a b)/2) 2 c = (a b) / 2 ) Zusammenfassung: Bei der umfangsgleichen und flächenvergrößernden Rechtecksverwandlung muss ein Ausgleich der Seitenlängen stattfinden, damit der Umfang konstant bleibt. Das variierbare, umfangsgleiche Rechteck hat maximalen Flächeninhalt, wenn es zu einem Quadrat wird! Zu 2. Ein Rechteck, in flächengleiches Rechteck mit unterschiedlichen Umfang umzuwandeln stellt im Großen und Ganzen keine Schwierigkeit dar. Die Umwandlung erfolgt mittels ergänzungsgleicher Rechtecke und ist mit einer Lineal Zirkel Konstruktion leicht zu bewerkstelligen. Das variierbare, inhaltsgleiche Rechteck hat minimalen Umfang, wenn es zu einem Quadrat wird! Aufgabe: Seien a, die Rechtecklänge, und b, die Rechteckbreite, eines Rechtecks gegeben. Zusätzlich ist vorgegeben, dass der Flächeninhalt des Rechtecks konstant ist. Außerdem sei bekannt, dass a > b ist, und dass das neue Rechteck durch a`= a c 1 und b`= b + c 2 aufgespannt wird. Berechne, unter der Voraussetzung, dass c 1 bekannt ist, die Länge c 2 allgemein, um die man b vergrößern muss, um wieder ein flächengleiches Rechteck zu erhalten! Berechne den Umfang U` allgemein, der sich für das neue Rechteck ergibt! Berechne nun allgemein, um wie viel der Umfang kleiner wird! Sei nun a = 10cm, b = 3 cm und c 1 = 2cm. Berechne nun alle Werte genau, die du zuvor allgemein bestimmt hast. Berechnung von c 2 : Es gilt: ab = a`b` ab = (a c 1 ) (b + c 2 ) c 2 = c 1 b / (a c 1 ) Berechnung von U`: U`= 2 (a`+ b`) = 2 [(a c 1 ) + (b + c 2 )] = 2 (a c 1 + b + c 1 b / (a c 1 )) = 2a 2c 1 + 2ab/ (a - c 1 )
Berechnung des Umfangsverlustes: U = U`- U = 2a 2c 1 + 2ab/(a c 1 ) 2a 2b = = c 1 2 c 1 (a b) / (a c 1 ) Zusammenfassung: Bei der flächengleichen inhaltsverkleinernden Rechteckverwandlung muss ein Ausgleich der Flächegröße stattfinden, damit der Inhalt invariant bleibt. Man kann außerdem in der Klassenstufe 7/8, da die benötigte Algebra bereits bekannt ist, dass Thema auch funktional betrachten. Man untersucht die funktionale Abhängigkeit der Seitenlängen voneinander bei umfangsgleichen bzw. inhaltsgleichen Rechtecken. Umfangsgleiche Rechtecke: Der Lehrer gibt den Schülern ein interaktives Arbeitsblatt vor, indem ein umfangsgleiches Rechteck abgebildet ist. Die freie Ecke des Rechtecks erzeugt eine Spur mit der Funktionsgleichung b = (U/2)- a (Gerade). Inhaltsgleiche Rechtecke: In einem interaktiven Arbeitsblatt ist ein inhaltsgleiches Rechteck abgebildet. Durch Verschieben des Gleiters erzeugt die freie Ecke eine Spur. Diese Spur zeichnet den Ast einer rechtwinkligen Hyperbel im ersten Quadranten mit der Funktionsgleichung b = F/a.
Klassenstufe 9/10 In der 9. Klasse wird die, bereits in der 8. Klasse begonnene funktionale Betrachtungsweise, fortgesetzt. Auch in diesen Klassenstufen wird wieder die funktionale Abhängigkeit des Inhalts bzw. des Umfangs von den Seitenlängen umfangsgleicher bzw. inhaltsgleicher Rechtecke untersucht. Umfangsgleiche Rechtecke: Wir betrachten den Flächeninhalt umfangsgleicher Rechtecke in Abhängigkeit von ihrer Rechtecklänge. Wie lautet der Funktionsterm? U = 2 (a + b) Somit: F = a [(U/2)-a] Für welche Seitenlänge des umfangsgleichen Rechtecks erhält man den größt möglichen Flächeninhalt? Extremwertbestimmung mittels quadratischer Ergänzung: F = a [(U/2)-a] = - (a 2 2 a U/4 + (U/4) 2 ) + (U/4) 2 = = - (a U/4) 2 + (U/4) 2 Maximaler Flächeninhalt für : a = U/4 Somit ergibt sich für b = U/4. Welche Figur ergibt sich? Quadrat Inhaltsgleiche Rechtecke: Entsprechend ergibt sich bei flächengleichen Rechtecken für den Umfang eine Funktionsgleichung in Abhängigkeit von der Seitenlänge. Wie lautet die Funktionsgleichung? F = ab Somit: U = 2 (a + F/a) Für welche Seitenlänge ergibt sich der minimale Umfang bei einem inhaltsgleichen Rechteck? Extremwertbestimmung mittels quadratischer Ergänzung: U/2 = a + 2 (F) 1/2 +1 F/a - 2 (F) 1/2 = [(a) 1/2 + (F/a) 1/2 ] 2-2 (F) 1/2 U wird minimal für (a) 1/2 + (F/a) 1/2 = 0. Es ergibt sich a = (F) 1/2, für a > 0, und für den minimalen Umfang U min = a (F) 1/2. Somit ergibt sich für eine Seitenlänge des umfangsgleichen Rechtecks a = (F) 1/2. Welche Figur ergibt sich? Quadrat Specials: - Konstruktion eines flächengleichen Rechteckes mit Hilfe des 2. Strahlensatzes! - Konstruktion eines flächengleichen Rechteckes mit Hilfe des Höhensatzes!