. Die Eponentialfunktion.. Einführung Unser Leben ist geprägt von sich ständig ändernden (dynamischen) Vorgängen. Wir sind umgeben von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Um diese besser verstehen zu können, beschäftigen wir uns mit der Frage nach deren mathematischer Beschreibung. Einige Anwendungen aus verschiedenen Fachgebieten: Biologie/Chemie/Geographie: Bevölkerungsentwicklung. Berechnung des ph-wertes. Zur Zeit Christi lag die Lebenserwartung eines Menschen bei ca. Jahren. Vor allem in den zwei vergangenen Jahrhunderten wurde die Sterberate durch technische und medizinische Fortschritte stark gesenkt. Gegenwärtig verdoppelt sich die Erdbevölkerung ungefähr alle Jahre. Wirtschaft: Physik: Renten- und Zinsberechnungen. Radioaktivität. Abkühlungsformel. Absorption des Lichtes. Lutschen von Bonbons... Beispiele und Definition Beispiel Wir betrachten eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert:. Zu Beginn besteht die Kultur aus Bakterien.. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien.. In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor. Welche Größe hat die Kultur nach einer h, h, nach h min? Bemerkungen zu den Eigenschaften: - Die Eigenschaften und legen die Kennzahlen des Prozesses fest. Man nennt sie den und die. Wir benötigen sie, um konkrete Aussagen über den Prozess machen zu können. - Die Eigenschaft ist entscheidend, denn sie charakterisiert die Natur des Prozesses. Im vorliegenden Beispiel liegt ihr die Annahme zu Grunde, jedes Bakterium produziere mit gleich bleibender Rate Nachkommen, unabhängig von der Größe der Kultur und der seit Beginn verstrichenen Zeit. Wichtig in der obigen Formulierung ist das Wort! Es kommt nicht etwa eine fie Anzahl Bakterien pro Zeiteinheit dazu, sondern eine Zahl, die proportional zur bereits bestehenden Größe der Kultur ist. Je mehr Bakterien bereits vorhanden sind, umso mehr kommen dazu. Einen Prozess dieses Typs nennt man eponentielles Wachstum. Kennen Sie andere Wachstumstypen? Erläutern Sie diese anhand von Beispielen. Die Grenzen unseres Modells: - Bei den drei Annahmen handelt es sich nur um ein Modell: Die Zahl der Bakterien ist in Wahrheit diskret, d.h. sie wird sich nicht in kontinuierlicher Weise erhöhen, sondern sprunghaft, zu bestimmten Zeiten: So kann es geschehen, dass sich während eines Zeitraums von einer Sekunde gar nichts tut, in der darauf folgenden aber ein neues Bakterium hinzukommt. Bei großen Kulturen ist es aber legitim, sowohl die "Zahl der Bakterien" als auch die verstrichene Zeit als kontinuierliche Größen zu behandeln und durch reelle Zahlen zu beschreiben.
Zeit [h] Anzahl Bakt. Funktionsgleichung y(t) (Anzahl Bakterien in Abhängigkeit der Zeit t) : Der Anfangswert beträgt Anzahl Bakterien nach Stunde: nach Stunden : nach Stunden : nach h min : Nach t Stunden besteht die Kultur aus Bakterien. Beispiel Ein Guthaben von CHF '.- wird an % angelegt (Zinseszins ). (a) Auf welchen Betrag wächst dieses Guthaben in Jahren an? (b) Gibt es eine allgemeine Formel, mit der man das Kapital in n Jahren an p% berechnen kann? Lösungen: (a) Das Startkapital beträgt Nach einem Jahr beträgt das Guthaben: Nach zwei Jahren beträgt das Guthaben: Nach zehn Jahren beträgt das Guthaben : (b) Nach n Jahren beträgt das Guthaben : Zinseszinsformel: K n p n = K + K : Startkapital, n: Laufzeit (Jahre), p: Zinsfuss (siehe auch Fundamentum S.5)!"# $! % & & $ "
Beispiel Aufgrund kontinuierlicher Verschmutzung eines Sees nimmt der Fischbestand jährlich um 8% ab. Dereinst befanden sich im See 5' Fische. Angenommen, die zuständige Behörde greift nicht ein und das Fischsterben geht unvermindert so weiter. Nach wie vielen Jahren wird der Bestand nur noch halb so gross sein? Fischbestand vor Verschmutzung: Bestand nach Jahr: nach Jahren: nach Jahren: Definition:, bei der die Unbekannte im Eponent auftritt nennt man Eponenti- Eine Funktion der Gestalt alfunktion. y() = b Allgemeine Funktionsdefinition mit Anfangswert: Dabei müssen gelten: a > und b >. y() = a b wobei a = y() (siehe auch Fundamentum S.5) Übungsblatt Nr., 7,, 4, 5, 6, 8, 9... Eigenschaften und Graph der Eponentialfunktion Aufgabe: Erstellen Sie die Gleichungen und skizzieren sie die entsprechenden Graphen. - - - y() 4 - - - y().5.5 - - - y() - - - y() 8/9 6.75
8 7 6 5 4 - - - - - Eigenschaften:. Der Graph der Eponentialfunktion verläuft stets durch.. Falls < b <, so ist die Kurve. ( prozess). Falls b >, so ist die Kurve. ( prozess) 4. Der Graph der Eponentialkurve nähert sich der an, berührt diese jedoch nie. Eine Gerade, der sich die Kurve in dieser Form nähert, nennt man. Übungsblatt Nr., 7,, 4, 5, 6, 8, 9..4. Anwendungen der Eponentialfunktion.4.. Radioaktiver Zerfall (Teil ) (Teil siehe.6.) Die Halbwertszeit T ist jene Zeit, nach der z.b. eine Population auf die Hälfte ihres Anfangsbestandes gesunken ist. Sie hat für Biologen/Archäologen und Physiker eine enorme Bedeutung. Unter radioaktivem Zerfall versteht man die spontane Umwandlung instabiler Atomkerne unter Energieabgabe. Satz: Nach dem Zerfall einer Menge y() eines Stoffes mit der Halbwertszeit T in der Zeit t bleibt die t T Menge y(t) übrig: y(t) = y() 4
Herleitung: Ist y() die Anfangspopulation und y(t) die Population nach t Jahren so gilt: sowie Durch Gleichsetzen erhält man: Streicht man y() so resultiert : Durch Einsetzen von b in die Eponentialfunktion erhält man die allgemeine Gleichung: Geschichtliches Am 6. April 986 ereignete sich in Tschernobyl (Ukraine) eine der grössten Umweltkatastrophen. Durch einen Bedienungsfehler eplodierte im Atomkraftwerk einer der Blöcke, wobei eine grosse Menge an hochradioaktivem Cäsium-7 (T= Jahre) freigesetzt wurde. Die radioaktive Wolke zog zunächst in Richtung Nordwesten, wechselte jedoch auf der Ostsee ihre Richtung nach Südwesten und zog über Polen, Sachsen, Süddeutschland und die Niederlande. Vom Regen wurden die radioaktiven Substanzen aus der Luft gewaschen und in den Boden eingebracht. Dadurch wurden Lebensmittel direkt oder indirekt mit Radioaktivität belastet. Freiwachsende Pilze Gewisse Pflanzen sind in Bayern noch heute verstrahlt. Die Zahl der Todesopfer ist schwer abzuschätzen ca. ' bis Mio. Todesopfer (inkl. Nachfolgekrankheiten wie z.b. Leukämie ). Beispiel: Caesium-7 hat eine Halbwertszeit von Jahren. Zu Beginn sind in einer Probe g Cs vorhanden. Wie viel ist davon in Jahren, in 5 Jahren, in Jahren noch übrig?.4.. Die C 4 Methode (Radiocarbon-Methode) Jedes Lebewesen oder organische Material hat, neben nicht radioaktivem Kohlenstoff C einen ganz kleinen Anteil am radioaktiven Isotop C 4. Dieses wird durch das (CO )Kohlendioyd aus der Luft aufgenommen. Stirbt das organische Material, so findet kein Kohlenstoffaustausch mehr statt und der Anteil an C 4 beginnt sich zu reduzieren, (mit einer Halbwertszeit von 57 Jahren). Biologen, Archäologen, Geologen nutzen dies, um das Alter von Holz, Knochen, Mumien etc. zu bestimmen. Es lassen sich Aussagen über das Alter bis etwa 5' Jahre! vor unserer Zeit machen. Die Prognosen sind allerdings nicht immer sehr eakt, da sich der Gehalt an C 4 in der Atmosphäre gelegentlich ändert. Der Erfinder der C 4 Methode ist der Amerikaner Frank Libby, (7..98-8.9.98). Für die Erforschung der Radiocarbonmethode erhielt er 96 den Nobelpreis und wurde unter anderem 96 zum Direktor des Instituts für Geo- und Weltraumphysik gewählt. 5
Aufgabe: 99 wurde im Gletschereis der Ötztaler Alpen eine mumifizierte Leiche gefunden (unser altbekannter "Ötzi" eben) Zur Altersbestimmung wurden Gewebeproben nach der 4 C-Methode untersucht: Die Aktivität einer Probe des "Ötzi" beträgt 5% der Aktivität einer Probe, welche einem aktuellen Organismus entnommen werden kann. a) Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners das Alter des Ötzi. b) Zusätzliche wissenschaftliche Untersuchungen ergaben ein Alter von etwa 5 Jahren. Wie lässt sich erklären, dass die Berechnung a) ein geringeres Alter liefert?.4.. Die Eulersche Zahl e Die Eulersche Zahl e =.788 ist eine Konstante (wie π ) und wurde nach dem Schweizer Mathematiker L. Euler benannt. Leonhard Euler (Geb. 5.4.77 in Basel, Gest. 78 in St. Petersburg) Als einer der bedeutendsten Mathematiker der Geschichte befasste sich Euler mit Mechanik, mit unendlichen Reihen und der Berechnung von Planetenbahnen. Die nach ihm benannte Konstante e ist in den Naturwissenschaften und Mathematik allgegenwärtig. Sogar die totale Erblindung während der letzten 7 Lebensjahre waren für den bemerkenswerten Mann kein Hindernis, die schwierigsten mathematischen Beweise und Berechungen durchzuführen! Wir leiten an einem praktischen diese Konstante an einer Aufgabe her: Aufgabe: Für unser Guthaben erhalten wir im Jahresrhythmus Zinseszins. Was würde passieren, wenn wir diese Grenze (Jahr) gegen unten verschieben würden? Ein Anfangskapital von CHF.- würde bei einem Zinsfuss von % in einem Jahr auf CHF.- anwachsen und anschliessend mit Zinseszins berechnet werden (nach unseren bisherigen Berechnungsmethoden). (a) Jemand behauptet nun, dass dieses Kapital mit halbjährlicher Aufzinsung (also nach einem halben Jahr 5% Zins [Zinseszins]) sogar auf CHF 5.- und mit vierteljährlicher sogar auf CHF 44.5 anwachsen würde. Stimmt diese Behauptung? (b) Auf welchen Wert würde unser Kapital, bei einer Aufzinsung zu einer unendlichen kleinen Zeiteinheit (quasi in jedem Augenblick ), anwachsen? 6
. Der Logarithmus.. Einführung Beispiel Die Einwohnerzahl der Stadt A, welche jährlich um % anwächst, beträgt momentan '. Nach wie vielen Jahren wird die Stadt eine Einwohnerzahl von 5' aufweisen? Lösung: 5' = '. 5'. = =. 5 '. =. 5 Die Aufgabenstellung führt auf eine. Die Lösung nennt man. Wir haben bisher folgende Gleichungsarten kennen gelernt: Gleichung: Rechenoperation (zur Bestimmung von ): = = 7 6 6 64 = = 64 = = 7 = log 7 = Geschichtliches Das Wort Logarithmus wurde von John Neper(56-67) geprägt und setzt sich zusammen aus den griechischen logos (Sinn, Verhältnis) und arithmos (Zahl). Unabhängig davon entwickelte Jost Bürgi (55-6), ein Schweizer Uhrmacher, aus den Arbeiten zur Zinseszinsberechnung von Simon Stevin (548-6) natürliche Logarithmen, die als "Arithmeti sche und geometrische Prozesstabuln" 6 in Prag veröffentlicht wurden. Ein wichtiger Grund war die Vereinfachung von Berechnungen: Multiplikationen können als Additionen und Divsionen als Subtraktionen ausgeführt werden (siehe.). Johannes Kepler(57-6) untersuchte Planetenbahnen bereits mit Logarithmentafeln... Definition und Beispiele Definition: Die Lösung der Eponentialgleichung b = a heisst Logarithmus von a zur Basis b. Schreibweise: = logba ( a > und b >, b ) Die Gleichung lässt sich mit solve einfach auflösen. Für viele der späteren Themen und Aufgabengebiete ist es aber wichtig, den Logarithmus und seine Gesetze zu kennen und zu verstehen. 7
Beispiele a) log 9 =, denn = 9 f) log.5 64 =, denn b) log 4 64 =, denn 4 = 64 g) log b b =, denn c) log 5 65 =, denn h) log b =, denn d) log. 5 =, denn i) log b (b) =, denn e) log 8 =, denn k) log b =, denn.. Die Logarithmensätze Analog zu den Potenzgesetzen gibt es auch für das Rechnen mit Logarithmen bestimmte Regeln, welche sie selber herausfinden können. Versuchen sie anhand einiger Zahlenbeispiele log u v mit Hilfe von log u und log v auszudrücken: u.5.5 4 8 6 u log Die vermutete Regel lautet: Gilt ihre Regel auch bei der Basis (anstelle von )? Überprüfen sie: a.5.5 4 8 6 log a Finden sie weitere Regeln für u v log, log n ( ) ( ), n log u u Logarithmensätze: (I) (II) (III) (IV) Beweise: Für die Beweise setzen wir: (I) log b (u v) = log (b b ) = b y u = b, y v = b. Daraus folgt: log b u = und v y log b =. 8
u (II) log b = v n (III) logb (u ) = (IV) log b (u v) =.4. Spezielle Logarithmen und deren Berechnung.4.. Spezielle Bezeichnungen Für bestimmte, häufig auftretende Logarithmen hat man früher eigene Bezeichnungen eingeführt: a) log e (Basis e) wird natürlicher Logarithmus genannt und abgekürzt mit: ln b) log (Basis ) wird Zehnerlogarithmus genannt und abgekürzt mit: lg.4.. Berechnung von Logarithmen zu beliebigen Basen Die Frage ist nun, wie man mit dem Rechner z.b. log berechnet? Jeder Logarithmus lässt sich so darstellen, dass man ihn mit dem natürlichen berechnen kann: Beispiele: = log = Beide Seiten mit ln logarithmieren Resultat: Satz: Allgemein lässt sich jeder Logarithmus ln ( ) = ln Logarithmussatz (III) ln = ln nach auflösen. = ln ln a) log =, Kontrolle : b) log 5 =, Kontrolle : log b a zu beliebiger Basis b mit ln berechnen: = log a b = ln a ln b.5. Eigenschaften und Graph des Logarithmus Definition: Eine Funktion der Gestalt y() = log heisst Logarithmusfunktion. ( b > und > ) b 9
Eigenschaften:. Der Graph der Logarithmusfunktion y() = logb verläuft stets durch.. Falls < b <, so ist die Kurve.. Falls b >, so ist die Kurve. 4. Die Logarithmuskurve nähert sich der asymptotisch an. Aufgabe: Skizzieren sie die entsprechenden Graphen. a) y()= log b) y()= log c) y()= log.5 4-4 5 - - - -4-5 -6.6. Anwendungen der Logarithmen.6.. Radioaktiver Zerfall (Teil ) Es gibt eine weitere Beschreibung des radioaktiven Zerfalls (vgl. auch.4. Teil). Diese finden sie auch im Fundamentum (S. ) Zerfallsgesetz: N(t) N t e λ = N(t) : Anzahl Atome, welche nach Laufzeit t noch vorhanden sind. e : Eulersche Zahl. N : Anzahl Ausgangsatome. λ : Zerfallskonstante (charakteristisch)
Aufgaben: a) Der radioaktive Stoff Radium hat eine Halbwertszeit von T=6 Jahren. Berechnen sie die Zerfallskonstante λ. (ohne solve Funktion des Rechners). b) Bestimmen sie den allgemeinen Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Zerfallkonstante..6.. Lautstärke Die durch den menschlichen Gehörsinn empfundene Lautstärke L (Schalldruck gemessen in Dezibel 4 db) ist durch die folgende Formel definiert 5 : J L = lg J Dabei ist J die Intensität des Geräusches und J die Intensität des Geräusches, welches vom gesunden menschlichen Ohr gerade noch wahrgenommen werden kann. Augabe : Eine Verdoppelung der Schallintensität J führt zu einer Erhöhung Lautstärke L um db. Wenn beispielsweise der Lautstärkepegel eines Autos 6 db ist, so ist er für zwei unter denselben Bedingungen gemessenen Autos nicht 6 = db, sondern nur 6 db. a) Zeigen sie mit dem Zahlen aus dem Autobeispiel (6 db 6dB), dass diese Behauptung richtig ist. b) Beweisen sie die Behauptung allgemein. J L + = lg zu zeigen ist : =db J J = lg L J J J = lg lg J J = [lg J lgj ] [lg J = [lg = lg() = ( ) ( ) ( J) + lg( ) lgj ] [lg( J) ln ln =. lg(j )] lg(j )] Aufgabe : Eine Erhöhung um db wird vom Menschen als Verdoppelung der Lautstärke empfunden. Welche Zunahme der Intensität J bedeutet dies? Wurde früher auch für leuchtende Uhrenzifferblätter oder Schaltknöpfe verwendet. 4 Lautstärke wird in Phon gemessen und Schalldruck in Dezibel db (nach Graham Bell). Die Lautstärke eines Geräuschs in Phon entspricht dem Zahlenwert des physik. gemessenen Schallpegels eines gleich lauten Tones von Hz in db. 5 Auch bekannt unter dem Weber-Fechner-Gesetz.