BOS - MATHEMATIK Eine Zusammenfassung über die Grundlegenden Themen im Fach Mathematik für die Vorbereitung zur Berufsoberschule (Klasse 12). Hilfe vor den Eintritt und zur einfacheren Verständnis im Fach Mathematik der Berufsoberschule. www.ausbildung-elektrotechnik.de
Inhaltsverzeichnis Übungsaufgaben zur Mathematik... 3 Aufbau des Zahlensystems... 3 Übersicht der Zahlensysteme... 3 Menge der natürlichen Zahlen N = {1; 2; 3; }... 3 Menge der ganzen Zahlen Z = { ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; }... 3 Menge der rationalen Zahlen Q = { ; -1,5; -1; - ; 0; ; ;1; }... 3 Menge der reellen Zahlen R = { ;-3 ; ; - ; ; -1; ; ; }... 4 Die Grundrechenarten... 4 Addition... 4 Subtraktion... 4 Multiplikation... 5 Division... 5 Brüche und Dezimalzahlen... 5 Erweitern und Kürzen von Brüchen... 5 Rechnen mit Potenzen... 6 Bei Multiplikation... 6 Bei Division... 6 Die Potenzgesetze im Überblick... 6 Negative Potenzen... 6 Beispielrechnung... 6 Rechenbeispiel... 7 Übersicht aller Formeln... 8 Die binomischen Formeln... 8 Quadratische Gleichungen... 18 Allgemeine Lösungsformel... 18 Beispiel... 18 Sonderfall 1... 18 Sonderfall 2... 19 Die Polynomdivision... 19 Der Satz des Vieta... 20 Auflösen der Klammern... 20 Grundformel... 21 Beispiel... 21 Die quadratische Ergänzung... 21 1
Beispiel... 21 Reelle Funktionen... 8 Das Koordinatensystem... 8 Funktionen und Relationen... 9 Die Schreibweise... 9 Lineare Funktionen... 10 Die allgemeine Definition... 10 Allgemeine Funktionsgleichung... 10 Spezialfall... 10 Steigung der Gerade ermitteln... 11 Lineare Gleichungen... 13 2x2... 13 Das Einsetzverfahren... 14 Das Gleichsetzungsverfahren... 14 Das Additionsverfahren (auch Subtraktionsverfahren)... 15 Quadratische Funktionen... 16 Normal Parabel... 16 (a = 1, b = 0, c = 0)... 16 (a 0, b = 0, c = 0)... 16 Hinweis... 17 Es gilt... 17 (a = 1, b =, c = )... 22 Es gilt... 23 Nullstellen ermitteln... 23... 24 Scheitelpunkt ermitteln... 24 Nullstellen ermitteln... 24 Nullstellen berechnen (allgemein)... 24 Hyperbel... 26 Schnittpunkte von Geraden und Parabeln... 26 Die Sekante... 26 Schnittpunkte ermitteln... 27 Die Tangente... 27 Schnittpunkte ermitteln... 28 Die Passante... 28 2
Analyse... 28 Information... 28 Rechtlicher Hinweis:... 29 Kontakt:... 29 Versionsübersicht:... 29 Übungsaufgaben zur Mathematik Hier könnt Ihr zu sämtlichen Themen Übungsaufgaben im PDF-Format kostenlos herunterladen. Grundlagen Aufbau des Zahlensystems Das Zahlensystem gliedert sich im Aufbau von natürlichen bis zu den reellen Zahlen. Übersicht der Zahlensysteme Menge der natürlichen Zahlen N = {1; 2; 3; } In N kann addiert (+) und multipliziert ( ) werden, jedoch aber nicht uneingeschränkt subtrahiert (-) und dividiert ( ) werden. Bsp.: 1-2 = (-1) Das Ergebnis (-1) ist kein Element von N, da diese eine Negative Zahl ist. Menge der ganzen Zahlen Z = { ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; } In Z kann addiert, subtrahiert und multipliziert werden, aber nicht uneingeschränkt dividiert werden. Bsp.: 0,5 ist kein Element von Z, da diese eine Zahl mit einer Kommastelle ist. Menge der rationalen Zahlen Q = { ; -1,5; -1; - ; 0; ; ;1; } In Q kann addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden, jedoch nicht uneingeschränkt die Wurzel gezogen werden. Hinweis: In Q befinden sich alle endlichen und unendlichen periodischen Dezimalbrüche. 3
Menge der reellen Zahlen R = { ;-3 ; ; - ; ; -1; ; ; } In R kann addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden, jedoch nicht uneingeschränkt die Wurzel von negativen Zahlen gezogen werden. Hinweis: in R befinden sich alle unendlichen und nicht periodischen Brüche. Dies sind jeweils nur wenige Beispiele. Tipp: Auflistung mit Strichpunkt (;) um Verwechslungen von Kommazahlen zu vermeiden. Die Menge der natürlichen Zahlen N wird um die Zahl 0 und die negativen ganzen Zahlen erweitert. Man erhält die Menge der ganzen Zahlen Z. Die Menge der ganzen Zahlen Z wird um die Bruchzahlen erweitert, so dass die Menge Q der rationalen Zahlen entsteht. Zu den rationalen Zahlen nimmt man die Menge der irrationalen Zahlen und erhält die Menge der reellen Zahlen R. Man sagt: Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahl. Schreibweise: N C Z (lies: N ist eine Teilmenge von Z) Jede Menge besteht aus sogenannten Elementen. Die einzelnen Zahlen sind die Elemente der Zahlenmenge. Zum Beispiel ist die Zahl -2 ein Element der ganzen Zahl Z, aber kein Element der natürlichen Zahlen N. Man schreibt: -2 Z (lies: -2 ist ein Element von Z) Die Zahlenmengen können auch erweitert bzw. eingeschränkt werden, wie z.b. N 0 = {0; 1; 2; } (Diese Schreibweise schließt die Zahl 0 mit ein) Die Grundrechenarten Addition 2 + 1 = 3 Die Addition setzt sich aus folgenden Elementen zusammen. 1. Summand + 2. Summand = Summ Subtraktion 2 3 = -1 Die Subtraktion setzt sich aus folgenden Elementen zusammen. Minuend Subtrahend = Differenz 4
Hinweis: Man kann auch statt 2 3 = -1, 2 + (-3) = (-1) schreiben. Anstatt also die 3 von der 2 zu subtrahieren kann man auch die (-3) (Gegenzahl zu 3) zur 2 addieren. Das Ergebnis bleibt gleich. Multiplikation 5 8 = 40 Die Multiplikation setzt sich aus folgenden Elementen zusammen. 1. Faktor 2. Faktor = Produkt Division 21 : 7 = 3 Die Division setzt sich aus folgenden Elementen zusammen. Dividend Divisor = Quotient Brüche und Dezimalzahlen Jede rationale Zahl kann durch einen Bruch bzw. eine Dezimalzahl dargestellt werden. = 0,25 = 0,66666 = 0,6 (lies: Null Komma Periode Sechs) Bezeichnung Erweitern und Kürzen von Brüchen Die Darstellung einer rationalen Zahl durch einen Bruch ist nicht eindeutig. Bsp.: = = = 0,04 (vier Hundertstel) Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl dividiert (ohne Rest). 5
Rechnen mit Potenzen Beim Rechnen mit Potenzen gibt es, je nach Rechenart, Regeln zu beachten. Bei Multiplikation Bei gleicher Basis (in diesen Fall x) können beide Exponenten addiert werden. Bei Division Bei gleicher Basis (in diesen Fall x) können beide Exponenten subtrahiert werden. Bleibt als Ergebnis eine Variabel mit einen negativen Exponenten stehen, muss dieser in den Nenner verschoben werden. Dadurch wird der Exponent positiv. Die Potenzgesetze im Überblick Die Voraussetzung dieser Rechengesetze ist immer eine gleiche Basis! Bei der Multiplikation der beiden Potenzen können beide Exponenten addiert werden. Bei dieser Aufstellung werden beide Exponenten mit einander multipliziert. Bei der Division werden die Exponenten voneinander abgezogen. Bei der einfachen Wurzel ( wird. So wird:. ) fällt die Wurzel weg, indem 1 durch den Exponent dividiert Bei allen anderen Wurzeln mit Exponent wandert dieser in den Nenner und der Exponent der Variabel (der Wert bei dem die Wurzel genommen wird) in den Zähler. Negative Potenzen Bei Negativen Exponenten muss folgende Regel beachtet werden. Beispielrechnung 6
Beide Schreibweisen sind rein rechnerisch identisch. Bei diesem Beispiel sind alle Terme mit einem negativen Exponenten. Um diesen positiv zu machen, müssen Nenner und Zähler getauscht werden. [ ] Als ersten Schritt erkennen wir, dass (a² - b²) die dritte Binomische Formel ist und lösen dementsprechend auf. [ ] Nach diesem Tausch werden die Exponenten (Außerhalb der Klammer) positiv. Nun kann der Term nach den Potenzrechengesetzen gelöst werden. Rechenbeispiel Hier ein Beispiel, wie eine solche Gleichung nach den Potenzgesetzen aufgelöst wird. Mehre Möglichkeiten sind dazu möglich. Der erste Schritt ist es, die beiden negativen Exponenten positiv zu bekommen. Dazu tauschen wir denn Nenner mit dem Zähler aus (Vorzeichen oder Exponenten in der Klammer bleiben unberührt). Da nun alle Exponenten, außerhalb der Klammer, positiv sind, kann der Kehrwert angewendet werden. Bei diesem Schritt wird beim 2 Faktor der Nenner mit dem Zähler getauscht. Dabei wird die Rechnung von einer Division zu einer Multiplikation gewandelt. Nach diesem Schritt können die einzelnen Klammern aufgelöst werden, in dem mit dem Exponenten gerechnet wird. Jetzt können die Exponenten mit der gleichen Basis dividiert werden (Exponenten werden subtrahiert). Bei diesem Schritt können die ganzen Zahlen weggekürzt werden. Nun kann Schrittweise dividiert werden. Hinweis: Hier muss auf die grundlegenden Rechengesetze geachtet werden. 7
Beispiel: (-8) (-4) = (-8) + 4 = (-4) Nach diesem Schritt müssen alle Faktoren mit einem negativen Exponenten in den Nenner verschoben werden und nochmals dividiert werden. Dadurch werden diese wieder positiv. Diese Schritte solange wiederholen, bis ein weiteres vereinfachen nicht mehr möglich ist. Übersicht aller Formeln Eine Übersicht aller Notwendigen Formeln und deren Anwendung. Die binomischen Formeln 1. (a+b) (a+b) = a²+2ab+b² = (a+b)² 2. (a-b) (a-b) = a²-2ab+b² = (a-b)² 3. (a+b) (a-b) = a²-b² Reelle Funktionen Funktionen sind eindeutige Zuordnungen wo jedem Wert aus einer Menge ein genauer Wert aus einer anderen Menge zugeordnet wird. Zur Veranschaulichung werden solche Zuordnungen in Diagrammen, sprich graphisch dargestellt. Dazu wird ein einheitliches Koordinatensystem genutzt. Das Koordinatensystem 8
Abbildung 1: Koordinatensystem (Lizenzfreies Bild) Die X-Achse wird auch als Abszissenachse und die Y-Achse auch als Ordinatenachse bezeichnet. Der Punkt (0 0) ist der Koordinatenursprung. Die Skalierung erfolgt linear, was heißt, die Achseneinteilung erfolgt in gleichen Abständen. Funktionen und Relationen Bei einer Funktion wird jedem Wert von x genau ein Wert von y zugeordnet. Ansonsten spricht man von einer Relation. Nützlich ist bei Funktion das kostenlose Programm GeoGebra, welches hier heruntergeladen werden kann. Downloade GeoGebra (Alle Plattformen) Die Schreibweise Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Funktion wiederzugeben. Funktionswerte: y bzw. f(x) ; Funktion f Funktionsvorschrift (typische Schreibweise im Abi) Funktionsgleichung Funktionsterm 9
Lineare Funktionen Eine lineare Funktion, wo im Funktionsterm die Variable x höchstens mit dem Exponenten 1 auftritt, bezeichnet. Tritt kein x auf, sprich der Exponent ist gleich 0, so wird von einer konstanten Funktion gesprochen. Der Graph jeder linearen Funktion ist eine Gerade. Die allgemeine Definition Eine Zuordnung, die jedes Element x aus der Definitionsmenge D(f) genau ein Element y aus der Wertemenge W(f) zuordnet, heißt Funktion (f). Die Definitionsmenge ergibt sich aus der Menge derjenigen x-werte, die in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen. Die Wertemenge ergibt sich aus der Menge der y-werte, die die Funktion (f) annehmen kann. Der Graph einer Funktion (f) wird mit G(f) bezeichnet. Die Graphen können mit Hilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden. Hinweis: Neue Taschenrechner bieten diese Funktion bereits. Ist jedoch eine Tabelle verlangt, muss diese aus dem Taschenrechner übernommen werden. Einen zugelassenen Taschenrechner mit Tabellenfunktion findet Ihr hier auf Amazon.de. Beispiele Der Exponent 1 wird nicht notiert, da gilt. Dies ist eine konstante Funktion., sprich Allgemeine Funktionsgleichung Die Funktionsgleichung setzt sich wie folgt zusammen. m = Die Steigung t = y-achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der Y-Achse) Sonderfall Wenn ist, so ist der Graph der Funktion eine Ursprungsgerade, sprich der Graph entspringt aus den Koordinatenursprung (0 0). Die Funktionsgleichung sieht dann wie folgt aus. Rechenbeispiel Wertetabelle zur vereinfachten Darstellung X -2-1 0 1 2 10
Y -6-3 0 3 6 Setzt man nun den Wert aus der Wertetabelle von x für das x in der Funktionsgleichung ein, so erhält man den gesuchten y Wert. Mit diesen ermittelten Koordinaten kann nun der Graph gezeichnet werden. Es gilt: Verdoppelt man den Wert von x, verdoppelt sich auch der Wert von y. Ist der Quotient von konstant, so spricht man von der Quotientengleichheit. Nimmt man nun die Werte der obigen Tabelle ist das Ergebnis immer 3. Aus diesen Grund liegt hier eine direkte Proportionalität von, was heißt x ist direkt proportional zu y (kurz: x ~ y) heißt im Allgemeinen Proportionsfaktor (m ist die Steigung der Geraden). Steigung der Gerade ermitteln Um die Steigung einer Geraden zu ermitteln muss folgende Gleichung angewandt werden. Anhand dieses einfachen Beispiels setzt man nun die folgenden Werte in die oben aufgeführte Formel ein. Somit ist die Geradengleichung Es gilt Ist m > 0 Steigt die Gerade. G(f) ist strengmonoton steigend (SMS) Links unten beginnend bis rechts oben (siehe Bild oben) Ist m = 0 Verläuft die Gerade parallel der X-Achse. G(f) verläuft parallel zur x-achse 11
Ist m <0 Fällt die Gerade. G(f) ist strengmonoton fallend (SMF) Ist m = 0 und t = 0 Dann entspricht G(f) der Gleichung der x-achse Ist t = 0 Alle Geraden verlaufen durch den Ursprung (siehe Bild unten) Gerade durch zwei Punkte Um eine Gerade (Lineare Funktion) zu ermitteln, welche durch die zwei gegeben Punkte verläuft, geht man wie folgt vor. Gegeben: A(x 1 y 1 ) B(x 2 y 2 ) Nun muss der Differenzquotient errechnet werden. Stufenwinkel berechnen 12
Nullstellen Die gemeinsamen Punkte eines Graphen mit der x-achse nennt man Nullstellen von f. Das heißt G(f) schneidet oder berührt die x-achse. Ansatz f(x) = 0 Wir wissen, dass bei einem Schnittpunkt mit der x-achse die y-koordinate null sein muss. Deswegen kann die Funktion null gesetzt werden. N(0,5 0) Schnittpunkte Um Schnittpunkte von Graphen zu ermitteln müssen diese gleichgesetzt werden. Ansatz und Gleichsetzen Nach x auflösen X in eine Gleichung (Wahl egal) einsetzen S(-1-1,5) Lineare Gleichungen 2x2 Bei den 2x2 Gleichungen handelt es sich um 2 Variablen und 2 Gleichungen. Es gibt drei Verfahren um lineare Gleichungen aufzulösen. Es sind immer alle drei Verfahren möglich. Je nach Gegebenheit kann zwischen den drei Möglichkeiten gewählt werden. 13
Das Einsetzverfahren Bei dem Einsetzverfahren wird eine der zwei Gleichungen nach einer Variabel aufgelöst und in die 2 Gleichung eingesetzt. Danach wird die zweite Variabel durch einsetzen den eben errechneten Wert ermittelt. 1. 2. Tipp: Gleiche Variablen untereinander Schreiben, das erleichtert das lösen und verhindert Fehler. Schritt 1 Nach einer Variabel auflösen Man wählt dazu eine der 2 Gleichungen und löst nach einer Variabel auf. Welche ist einem selbst überlassen. 1. Wurde die Gleichung nach einer Variabel aufgelöst, in diesem Fall nach y, kann dieser Wert für y nun in die zweite Gleichung eingesetzt werden. Schritt 2 Wert für Variabel einsetzen 2. (Bei einer Addition und Subtraktion sind keine Klammern nötig, bei einer Multiplikation und Division jedoch schon!) Nun kann der Wert für die Variable x ermittelt werden, indem die Gleichung nach x aufgelöst wird. 3. Nun da auch der Wert für x bekannt ist, kann dieser bei der ersten Gleichung ( ) eingesetzt und errechnet werden. 4. Nun wurden beide Variablen ermittelt und können als Lösungsmenge angegeben werden. L = {(-1);(-1)} Das Gleichsetzungsverfahren Bei diesen Verfahren werden beide Gleichungen nach einer Variable aufgelöst, je nach Wahl und Gegebenheit. Danach werden diese beiden Gleichungen gleichgesetzt. 1. 2. Schritt 1 Nach einer Variabel auflösen Beide Gleichungen werden nach y aufgelöst. 14
1. 2. Sind beide Gleichungen nach derselben Variabel aufgelöst, können diese gleichgesetzt werden. 1. Wurde die Variabel x ermittelt, kann dieser Wert wieder in eine der Gleichungen eingesetzt werden. 1. 2. L = {(-1);(-1)} Das Additionsverfahren (auch Subtraktionsverfahren) Hier wird, durch Addition oder Subtraktion, eine Variabel aufgelöst. 1. 2. Wenn die Gleichen nach 0 aufgelöst sind, können erst die Variablen isoliert werden. 1. 2. Je nach Gegebenheit kann addiert oder subtrahiert werden, um die Gewünschte Variabel aufzulösen. Sollte es mit der Ausgangsgleichung nicht möglich sein, eine Variabel aufzulösen, können beide Terme mit einer Zahl multipliziert oder dividiert werden (immer die Gesamte Gleichung!) und dann aufgelöst werden. Beispiel 1. 2. Hier passen keine der 2 Variablen, um diese durch subtrahieren oder addieren aufzulösen. In diesen Fall wird die obere Gleichung (1) mit 5 und die untere (2) mit 2 multipliziert. 15
1. 2. Damit sind die 2 Variablen y wieder gleich und können subtrahiert werden. Wichtig ist, immer die ganze Gleichung zu multiplizieren oder zu dividieren. Quadratische Funktionen Allgemeine Gleichung der quadratischen Funktion. Normal Parabel Hinweis: Der Exponent, in diesen Fall x² gibt die maximalen Nullstellen (2) an! (a = 1, b = 0, c = 0) Der Graph sieht wie auf dem linken Bild aus. Der Graph der Funktion wird auch Normalparabel genannt. Den tiefst gelegenen Punkt der Normalparabel nennt man den Scheitel. Diese Parabel ist achsensymmetrisch zur Y-Achse und berührt die X-Achse mit dem Scheitel im Ursprung. Es liegt mit dem Punkt (0 0) eine doppelte Nullstelle vor. Eine einfache Nullstelle erhält man, indem die Parabel die X- Achse schneidet. Je nachdem, wie der Wert für a gegeben ist, kann man erkennen, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Dabei darf a nicht gleich 0 sein! (a 0, b = 0, c = 0) Wir haben folgende Graphen mit diesen Funktionen gebildet. 16
Die Parabeln, welche aus den Funktionen mit dem negativen Wert von a entstanden sind, sind nach unten geöffnet. Hinweis Parabel ist nach oben geöffnet. Parabel ist nach unten geöffnet. Im Vergleich zur Normalparabel weiter geöffnete Parabel. Im Vergleich zur Normalparabel enger geöffnet Parabel. Geg. (a = 0, b = 0, c 0) Der Wert c gibt die Position auf der Y-Achse an. Es gilt Graph wird entlang der Y-Achse um den Wert von c nach oben verschoben. S(0 c). Graph wird entlang der Y-Achse um den Wert von c nach unten verschoben. S(0 c). 17
Quadratische Gleichungen Diese Formel muss bei allgemeinen quadratischen Gleichungen angewendet werden. Allgemeine Lösungsformel x ½ = b² - 4ac = D (heißt die Diskriminante D.) Es gilt D > 0 zwei Lösungen x 1 und x 2 D = 0 genau eine Lösung x = D < 0 Keine Lösung möglich! Um diese Formel anwenden zu können muss folgende Aufstellung beachtet werden. ax² + bx + c = 0 Beispiel x² - 3x + 2 = 0 Bei dieser Formel wären dann a = 1 (x = 1), b = -3 und c = 2 Nun ermitteln wir den Wert der Diskriminante D. D = (-3)² - 4 1 2 D = 9 8 D = 1 Die Diskriminante D ist somit größer als Null und somit gilt zwei Lösungen x 1 und x 2. Nun können die Werte in die allgemeine Lösungsformel eingesetzt werden. x ½ = Nun einfach diese Formel mit einmal + und einmal lösen und beide Ergebnisse als Lösungsmenge angeben. x 1 = 1; x 2 = 2 L = {1;2} Die Lösung muss so wie oben angegeben werden! Es kann sein, das sich manche Gleichungen nicht lösen lassen! Hier soweit wie möglich vereinfachen und keine Lösung möglich notieren. Sonderfall 1 Dieser Sonderfall gilt, wenn b = 0. So erhält man eine Reinquadratische Gleichung. 18
Bei dieser Gleichung fehlt b. So kann diese Gleichung durch das rüberbringen von c aufgelöst werden. Löst man nun die Wurzel auf, so erhält man 2 Werte für x, einen positiven und einen negativen. Sonderfall 2 Dieser Fall gilt, wenn c = 0. Hier kann x ausgeklammert werden. Wenn x ausgeklammert wurde, können die jeweiligen Werte für die beiden x ermittelt werden, damit die Bedingung (= 0) aufgeht. Das ist der Fall, wenn einer der zwei Faktoren (Faktor 1 & Faktor 2), Null ist. Damit sind beide Bedingungen erfüllt. Liegt keine der beiden Sonderfälle vor, so muss mit der Allgemeinen Lösungsformel gerechnet werden. Die Polynomdivision Dieses Verfahren muss bei einer Division von quadratischen Gleichungen angewandt werden. Beispiel (2x³ - 5x² - 20x -25) (x 5) = Um diese Rechnung zu lösen geht man wie folgt vor. Es muss der Multiplikator gefunden werden, mit welchen man den ersten Wert im Dividend mit dem ersten Wert vom Divisor erreicht. = (2x³ - 5x² - 20x -25) (x 5) = 2x² = -(2x³ - 10x²) = + 5x² Rechnung: Um auf 2x³ zu kommen muss man x mit 2x² multiplizieren. Dieses muss dann auch mit dem 2. Wert im Divisor geschehen (-5) 2x². Dieses Ergebnis wird dann von der oberen Gleichung abgezogen. Es muss das (-) vor der Klammer beachtet werden! = (2x³ - 5x² - 20x -25) (x 5) = 2x² = -(2x³ - 10x²) 19
= (+ 5x² - 20x) Nun wird der Nächste Wert vom Dividend heruntergezogen und das gleiche Schema angewandt. = (2x³ - 5x² - 20x -25) (x 5) = 2x² + 5x +5 = -(2x³ - 10x²) = (+ 5x² - 20x) = - (+5x² - 25x) = (5x - 25) = -(5x 25) = 0 L = 2x² + 5x +5 Es kann sein, das manche Gleichungen nicht gelöst werden können. Der Satz des Vieta Für das Lösen von speziellen quadratischen Gleichungen wird dieses Verfahren verwendet. Es soll die Normalform einer quadratischen Gleichung gegeben sein. x² + px + q = 0 Wir überlegen uns zuerst an einem Beispiel wie die beiden Koeffizienten p und q zustande kommen. Nehmen wir an, die Gleichung soll die beiden Lösungen x 1 = 2 und x 2 = 3 haben. Die zugehörigen Linearfaktoren lauten dann: (x 2) und (x 3) So ergibt sich die quadratische Gleichung aus dem Produkt der beiden Linearfaktoren. (x 2) (x 3) = 0 Warum ist das so? Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Setzen wir beispielweise x = 2 ein, so wird die erste Klammer Null (der erste Faktor) und die zweite Klammer (zweiter Faktor) wird -1. 0 (-1) = 0 Somit ist die 2 die erste Lösung für diese Gleichung. Setzt man nun x = 3 ein, so wird die zweite Klammer null und die Gleichung ebenfalls. Auflösen der Klammern (x 2) (x 3) = x² - 3x -2x + 6 = x² - (2 + 3)x + 2 3 = 0 Das Resultat ist mit Absicht ein wenig merkwürdig notiert. Vergleichen wir diese Gleichung mit der 20
Grundformel x² px + q = 0 x² - (2 + 3)x + 2 3 = 0 So ergibt sich p = - (2 + 3) q = 2 3 Beispiel x² - 5x + 6 = 0 q = 6 (6 setzt sich aus (x 1 x 2 ), also (2 3) o. (-2-3) o. (1 6) o.( -1-6) zusammen) Hier wählen wir (2 + 3). p = (-5) (q setzt sich aus (x 1 + x 2 ), also - (2 + 3) zusammen Nun sieht man, das x1 und x2 von q und p gleich sind und somit ist die Gleichung gelöst. L = {2 + 3} Die quadratische Ergänzung Liegt eine Gleichung vor, welche nicht faktorisiert werden kann, hilft die quadratische Ergänzung zum Lösen der Gleichung. x² + 2x + 1 = 0 = (x + 1)² = 0 Wenn man nun hier die (-1) einsetzt löst sich die Gleichung auf und wurde korrekt gelöst. Jedoch stehen die Gleichungen meist nicht in dieser Form zur Verfügung und müssen erst Ergänzt werden. Beispiel x² + 2x 3 = 0 = (x² +2x 1 + 1²) 1² - 3 = 0 Hier wurde die Gleichung so ergänzt (orange), dass in der Klammer eine Binomische Formel angewandt werden kann. Diese Erweiterung muss außerhalb der Gleichung wieder abgezogen werden (rot, nur die Teil mit x²). Tipp: So kann der Wert für die quadratische Ergänzung ermittelt werden. Dabei steht a für 2xy in der Binomischen Gleichung. 21
= (x + 1)² - 4 = 0 Nun fassen wir die Klammer (grün, 1. Binomische Formel) zusammen und die Gleichung kann wie folgt gelöst werden. = (x + 1)² - 4 = 0 / + 4 Als erster Schritt wird die Klammer allein gestellt, dieses erreichen wir, wenn wir die Gleichung mit 4 addieren. = (x + 1)² = 4 / Nun können wir die Wurzel ziehen und das ² weg zu bekommen. Achtung hier entstehen 2 Werte! Einmal ein Positiver und ein Negativer. = x + 1 = ± 2 / -1 Jetzt noch x isolieren und die Gleichung ist gelöst. = x 1 = 1 = x 2 = -3 Scheitelpunkt berechnen Wir setzen für (a = 1, b =, c = ) den Wert (-2) und 3 ein. So erhalten wir folgende 2 Parabeln. 22
Es gilt Graph wird entlang der X-Achse um den Wert von nach rechts verschoben. S( 0). Graph wird entlang der X-Achse um den Wert von nach links verschoben. S( 0). Verschiebung um 1 nach links! Verschiebung um 1 nach rechts! Nullstellen ermitteln Beispiel 1: Beispiel 2: Achtung! Das + ergibt sich aus - & - (zwei Minus) Doppelte Nullstelle N(-2 0) Achtung! Das - ergibt sich aus - & + (ein Minus und ein Plus) Doppelte Nullstelle N(3 0) 23
Scheitelpunkt ermitteln Beispiel 1: Achtung! Das + ergibt sich aus - & - (zwei Minus) Scheitelpunkt S(-1 2) Hinweis: Die X-Koordinate kann auch direkt aus der allgemeinen Form heraus berechnet werden. Die allgemeine Form Nullstellen ermitteln Beispiel 1: Achtung! Das + ergibt sich aus - & - (zwei Minus) Keine Lösung! Beispiel 2: Achtung! Das + ergibt sich aus - & - (zwei Minus) N1(1 0) & N2(3 0) Nullstellen berechnen (allgemein) Bei der Berechnung von Nullstellen muss die gegebene Funktion mit Null gleichgesetzt werden. Wird diese nun mit Null gleichgesetzt, sieht das wie folgt aus. Nun kann die Gleichung nach x aufgelöst werden, und man erhält die Nullstelle 24
Beispiel mit x³. Auch hier muss die Gleichung nach x aufgelöst werden. Dazu wird (-27) auf die andere Seite gebracht. Nun muss die Gleichung mit der (Dritten Wurzel) aufgelöst werden. Hinweis: Bei Wurzel mit geraden Exponenten (4, 6, 8, usw.) erhalten Sie 2 Lösungen! Einmal den positiven und den negativen Wert. 25
Hyperbel Eine Hyperbel entsteht bei folgender Funktion. Für steht x R \{0} Das heißt, ich darf für x alle Reellen Zahlen einsetzen, ausgenommen von Null, da durch Null nicht geteilt werden darf. Aus diesen Grund wird die Hyperbel nie die y-achse schneiden oder berühren. W(f) = R \{0} Schnittpunkte von Geraden und Parabeln Zur Erklärung und für die Rechenbeispiele werden diese 2 Funktionen (Parabel und Gerade) verwendet. Geg. Die Sekante Die Tangente besitzt 2 Schnittpunkte mit der Parabel, diese wie folgt berechnet werden können. wir setzen für m den Wert 4 ein. 26
Nun wird die Funktion des Graphen ( ) mit der Funktion der Parabel ( )gleichgesetzt. Nun muss die entstandene Gleichung in die Grundform gebracht werden, dass diese mit der Lösungsformel gelöst werden kann. x ½ = x 1 = 1 x 2 = (-3) Schnittpunkte ermitteln Da nun die beiden x Werte bekannt sind, können diese in die Funktion des Graphen ( ) eingesetzt werden. = 6 Das gleiche mit dem 2. x Wert. = (-2) Die Tangente Die Tangente berührt die Parabel. Nun wird die Funktion des Graphen ( ) mit der Funktion der Parabel ( )gleichgesetzt. Nun muss die entstandene Gleichung in die Grundform gebracht werden. Hinweis: Aus dieser Formel kann eine Binomische Formel gebildet werden. Eine Lösung mit der allgemeinen Lösungsformel wäre auch möglich, jedoch wäre das hier zu umständlich. Jetzt den Wert für x ermitteln, dass die Gleichung auf null ausgeht. 27
Hinweis: Hier ist nur eine Lösung möglich! Schnittpunkte ermitteln Da nun die beiden x Werte bekannt sind, können diese in die Funktion des Graphen ( ) eingesetzt werden. = (-2) Die Passante Die Passante hat weder einen Schnittpunkt, noch streift diese die Parabel. wir setzen für m den Wert (-2) ein. Nun wird die Funktion des Graphen ( ) mit der Funktion der Parabel ( )gleichgesetzt. Nun muss die entstandene Gleichung in die Grundform gebracht werden, dass diese mit der Lösungsformel gelöst werden kann. x ½ = x ½ = x 1 = Kein Schnittpunkt!! Die Wurzel eines negativen Werts ist in R nicht definiert! Somit ist keine Lösung möglich. Analyse Information 28
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