Lineare Gleichungssysteme Basis Graphische Lösung von Gleichungen Regel Gegeben sind zwei Gleichungen von zwei Funktionen. Die Lösung dieses Systems ist gleich dem Schnittpunkt beider Graphen. Verlaufen die beiden Graphen parallel zueinander, hat das System keine Lösung. Liegen die beiden Graphen aufeinander, so hat das System unendlich viele Lösungen. m = f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 Beispiel Gegeben: y = x + 2 und y = -x +3 Da beide Funktionen nicht die gleiche Steigung (m) haben und nicht aufeinander liegen, gibt es einen Schnittpunkt. Übungen 1. Zeichne zwei Funktionen, die keinen Schnittpunkt haben. 2. Haben die Funktionen y=x+2 und 2y-2x=4 eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen? 3. Löse zeichnerisch: y=x+3 und y=-x+5 Aufgaben: 1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft! 2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und löst die Aufgaben.
Gleichsetzungssysteme Basis Graphische Lösung Lösungen 1. 2. Zuerst muss die zweite Gleichung umgeformt werden, damit sie gezeichnet werden kann: 2y 2x = 4 / +2x <=> 2y = 2x + 4 / :2 <=> y = x + 2 Diese Gleichung entspricht exakt der ersten Gleichung. Also gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Hausaufgabe: a) 4x + 6y = 18 und 0,5x 0,5y = 1 b) 2x + 2y = 2 und y x = 2 c) 8x + 6y = 2 und 2x + 1,5 y = 0,5
Gleichungssysteme Station 1 Das Gleichsetzungsverfahren Regel Beide Gleichungen werden so umgewandelt, dass sie entweder die Form x =... oder y =... haben. Nun können die Gleichungen gleichgesetzt und nach der übrig bleibenden Variablen ausgerechnet werden. Das Ergebnis wird dann in eine der Ursprungsgleichungen ein gesetzt. Schritte: Umformen, Gleichsetzen und Auflösen, Einsetzen. Beispiel Gegeben: y = 3x +1 und -2x +y = -3 1. Schritt: Umformen -2x + y = -3 / + 2x <=> y = 2x -3 Nun haben beide Gleichungen das gleiche Aussehen (y =...). 2. Schritt: Gleichsetzen und Auflösen 3x + 1 = 2x -3 /-2x <=> x + 1 = -3 / -1 <=> x = -4 3. Schritt: Einsetzen (Ermittlung von x oder y) x wird nun in die erste oder zweite Gleichung eingesetzt. Diese wird dann nach y aufgelöst. y = 3x + 1 => y = 3(-4) +1 <=> y = -11 Lösung L = {(-4/-11)} Übungen Löse: a) y=3x-6 und y=4x+7 b) 2/3x 3/2y = 1 und x + 3/2y = 6 Aufgaben: 1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft! 2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und löst die Aufgaben.
Gleichungssysteme Station 1 Das Gleichsetzungsverfahren Lösungen a) 1. Schritt: nicht nötig, da schon in der richtigen Form 2. Schritt: 3x 6 = 4x + 7 / -3x <=> - 6 = x + 7 / -7 <=> -13 = x 3. Schritt: y = 3x 6 => y = 3(-13) -6 <=> y = -45 L = {(-13 / -45)} b) 1. Schritt: Form x =... 1. Gleichung: 2/3x 3/2y = 1 / + 3/2y <=> 2/3 x = 1 + 3/2y / *(3/2) <=> x = 1(3/2) + 3/2(3/2)y <=> x = 3/2 + 9/4y 2. Gleichung: x + 3/2y = 6 / - 3/2y <=> x = 6 3/2y 2. Schritt: 3/2 + 9/4y = 6 3/2y / + 3/2y <=> 3/2 + 9/4y + 3/2y = 6 / - 3/2 <=> 9/4y + 3/2y = 9/2 / gleichnamig machen! <=> 9/4y + 6/4y = 9/2 <=> 15/4y = 9/2 / *(4/15) <=> y = 9/2 *(4/15) <=> y = 36/30 = 6/5 3. Schritt: x + 3/2y = 6 => x + 3/2(6/5) = 6 <=> x = 6 18/10 = 42/10 = 21/5 L = {(24/5 / 6/5)} Hausaufgabe: a) 4x 6y = 4 und 4x 3y = -4 b) 2/3x 3/2y = 1 und 2x + 3y = 12
Gleichungssyteme Station 2 Das Einsetzungsverfahren Regel Bei diesem Verfahren löst man eine der beiden Gleichungen nach x oder y auf und setzt diesen Term dann in der anderen Gleichung ein. Die Schritte sind: Auswahl der Gleichung, Auflösen nach x/y und erstes und zweites Einsetzen. Beispiel Gegeben: 3x + y = 17 und -2x 3y = -16 1. Schritt: Auswahl Hier ist es gleichgültig, mit welcher Gleichung man beginnt, beide müssen umgeformt werden. Gleichung 1 bietet aber einen kleinen Vorteil, da in ihr schon ein positives y vorliegt. Also: 3x + y = 17 2. Schritt: Auflösen 3x + y = 17 / -3x <=> y = 17-3x 3. Schritt: Erstes Einsetzen Man nimmt: Gleichung 2: -2x 3y = -16 Für y setzt man 17 3x ein (s. 2.). -2x 3(17 3x) = -16 <=> -2x 51 + 9x = -16 <=> 7x 51 = -16 / + 51 <=> 7x = -16 + 51 <=> 7x = 35 / : 7 <=> x = 5 4. Schritt: Zweites Einsetzen Man nimmt: die nach y aufgelöste Gleichung 1: y = 17 3x. Für x setzt man 5 ein (s. 3.). y = 17 3 (5) <=> y = 17 15 = 2 L = {(5 / 2)} Übungen a) 2x 2y = 7 und 2y + 3x = -3 b) x + 3y = 9 und 4x 5y = 19 Aufgaben: 1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft! 2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und löst die Aufgaben.
Gleichungssysteme Station 2 Das Einsetzungsverfahren Lösungen a) 1. Schritt: Auswahl der Gleichung: Egal, z. B. Gleichung 1. 2. Schritt: Auflösen: 2x = 7 + 2y <=> x = 3,5 + y 3. Schritt: Erstes Einsetzen: 2y + 3 (3,5 + y) = -3 <=> 2y + 10,5 + 3y = -3 <=> 5 y = - 13,5 <=> y = -2,7 4. Schritt: Zweites Einsetzen in 2.: x = 3,5 + (-2,7) <=> x = 0,8 L = {(0,8 / -2,7)} b) 1. Schritt: Auswahl der Gleichung: -> Gleichung 1 2. Schritt: Auflösen: x = 9 3y 3. Schritt: Erstes Einsetzen: 4 (9 3y) 5y = 19 <=> -17y = -17 <=> y = 1 4. Schritt: Zweites Einsetzen: x = 9 3 (1) <=> x = 6 L = {(6 / 1)} Hausaufgabe: a) 2x 2y = 7 und 2y + 3x = -3 b) x + 3y = 9 und 4x 5y = 19
Gleichungssysteme Station 3 Das Additionsverfahren Regel Eine oder beide Gleichungen müssen so umgeformt werden, dass bei ihrer Addition eine Variable wegfällt. Dann wird die übrig bleibende Gleichung nach der Variablen aufgelöst. Das Ergebnis wird in die andere Gleichung eingesetzt. Schritte: Umformen (evtl.), Addieren, Auflösen, Einsetzen. Beispiel Gegeben: 2x + 3y = 13 und 3x + 4y = 18 1. Schritt: Umformen: Ziel: x beseitigen I 2x + 3y = 13 / * 3 II 3x + 4y = 18 / * (-2) ------- 2. und 3. Schritt: Addieren und Auflösen Ia 6x + 9y = 39 IIa -6x - 8y = -36 ------- I 2x + 3y = 13 I+II(a) y = 3 ------- I 2x + 3y = 13 I+II(a) y = 3 3. Schritt: Einsetzen I 2x + 3 (3) = 13 <=> 2x + 9 = 13 / -9 <=> 2x = 4 / : 2 <=> x = 2 L = {(2 / 3)} Übungen a) 9x 6y = 3 und -2x + 3y = -4 b) 7 4y = 2x und 1 5x = 4,5y Aufgaben: 1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft! 2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und löst die Aufgaben.
Gleichsetzungssysteme Station 3 Das Additionsverfahren Lösungen: a) 1. Schritt: Umformen: Ziel: y beseitigen I 9x 6y = 3 II -2x + 3y = -4 / * (2) 2. Schritt: Addieren und Auflösen I 9x 6y = 3 IIa -4x + 6y = -8 I 9x 6y = 3 I+II(a) 5x = -5 / : 5 I 9x 6y = 3 I+II(b) x = -1 3. Schritt: Einsetzen I 9 (-1) 6y = 3 / + 6y <=> -9 = 3 + 6y / -3 <=> -12 = 6y / : 6 <=> -2 = y L = {(-1 / -2)} b) 1. Schritt: Umformen: Ziel: x beseitigen I 7 4y = 2x II 1 5x = 4,5y Ia -2x 4y = -7 / * (-5) IIa -5x 4,5y = -1 / * 2 2. Schritt: Addieren und Auflösen Ib 10x + 20y = 35 IIb -10x 9 y = -2 I 7 4y = 2x I+II(a) 11y = 33 / : 11 I 7 4y = 2x I+II(b) y = 3 3. Schritt: Einsetzen I 7 4(3) = 2x <=> -5 = 2x / :2 <=> -2,5 = x L = {(-2,5 / 3)} Hausaufgabe: a) 5x + 2y = 6 und 3y = 9-2x b) 5x =-2y - 6 und 2x + 3y = 9
Gleichsetzungssysteme Station 4 Mache die Probe Regel Setze die Werte für x und y in eine der beiden Gleichungen ein. Erhältst du als Ergebnis eine wahre Aussage (z. B. 5=5), dann stellen x- und y-wert die richtige Lösung des Gleichungssystems dar. Schritte: Auswahl der Gleichung, Einsetzen, Ergebnis bewerten Beispiel a) b) Gegeben: L = {(2/3)} Gegeben: L = {(1 / 2)} I 3x + 5y = 21 II -2x + 4y = 8 1. Schritt: Auswahl der Gleichung I 3x + 5y = 21 2. Schritt: Einsetzen 3(2) + 5(3) = 21 3(1) + 5(2) =21 <=> 6 + 15 = 21 <=> 3 + 10 = 21 <=> 21 = 21 <=> 13 = 21 3. Schritt: Bewertung 21=21 ist eine wahre Aussage 13=21 ist eine falsche Aussage Lösungsmenge ist richtig! Lösungsmenge ist falsch! Übungen a) 2,5x 3 = 2y und 0,5x + 18y = 19 L = {(2/1)} b) 8x + 6y = 5 und 12x 8 = -10y Welche Lösungsmenge ist richtig: L = {(0,25 / 0,25)} oder L = {(0,25 / 0,5)}? Falls die Lösungsmenge falsch ist, ermittle die korrekte Lösung! Aufgaben: 1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft! 2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und löst die Aufgaben.
Gleichsetzungssysteme Station 4 Mache die Probe Lösungen a) 2,5x 3 = 2y und 0,5x + 18y = 19 L = {(2/1)} 1. Schritt: Auswahl der Gleichung I 2,5x - 3 = 2y 2. Schritt: Einsetzen 2,5(2) - 3 = 2(1) <=> 5-3 = 2 <=> 2 = 2 3. Schritt: Bewertung 2=2 ist eine wahre Aussage Lösungsmenge ist richtig! b) 8x + 6y = 5 und 12x 8 = -10y Welche Lösungsmenge ist richtig: L = {(0,25 / 0,25)} oder L = {(0,25 / 0,5)}? Falls die Lösungsmenge falsch ist, ermittle die korrekte Lösung! 1. Schritt: Auswahl der Gleichung I 8x + 6y = 5 2. Schritt: Einsetzen 8(0,25) + 6(0,25) = 5 8(0,25) + 6(0,5) = 5 <=> 2 + 1,5 = 5 <=> 2 + 3 = 5 <=> 3,5 = 5 <=> 5 = 5 3. Schritt: Bewertung 3,5 = 5 ist eine falsche Aussage 5 = 5 ist eine wahre Aussage Lösungsmenge ist falsch! Lösungsmenge ist richtig! Hausaufgabe: Mache die Probe! a) 2x + 3y = 10,25 und 10x 4y = 8,5; L = {(1,75 / 2,25)} b) x 7y + 7x -43 = 6 x + 2y; L = {(-4 1/7 / -3 1/7)}
Gleichsetzungssysteme Station 5 Sonderfälle Zu den Sonderfällen zählen alle Gleichungssysteme, die entweder keine oder unendlich viele Lösungen haben (s. Basis). Regel Bei der Lösung kann es zwei Varianten geben: Es gibt einmal eine falsche Aussage wie z. B. 3x = 3x+1 oder es gibt Aussagen, die für alle x- und y-werte gelten wie z. B. 3x = 3x (egal, was man für x einsetzt, es entsteht immer eine wahre Aussage!). Beispiel a) Es gibt keine Lösung! Gegeben: I 2x + 5y = 8 II -2x 5y = -5 Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Ia 2x = 8 5y Ia 2x = 8 5y I 2x + 5y = 8 IIa 5 5y = 2x <=> x = 4 5/2y II -2x 5y = -5 8 5y = 5 5y /+5y II 5 5y = 2(4 5/2 y) I 2x + 5y = 8 <=> 8 = 5 <=> 5 5y = 8 5y /+5y I+II 0 = 3 <=> 5 = 8 falsche Aussage falsche Aussage falsche Aussage L = { } b) Es gibt unendlich viele Lösungen! Gegeben: I 2x 5y = 8 II -4x + 10y = -16 Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Ia 2x = 8 + 5y Ia 2x = 8 + 5y I 2x - 5y = 8 IIa 10y + 16 = 4x <=> x = 4 + 5/2y II -4x + 10y = -16 <=> 5y + 8 = 2x 8 + 5y = 5y + 8 /-5y II -4(4+5/2y)+10y = -16 Ia 4x - 10y = 16 <=> 8 = 8 <=> -16-10y+10y = -16 II -4x + 10y = -16 <=> -16 = -16 I 2x 5y = 8 I+II(a) 0 = 0 allgemeingültig allgemeingültig allgemeingültig L = {(x/y)/y=2/5x 8/5}
Gleichsetzungssysteme Station 5 Sonderfälle Übungen Prüfe, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Wende nur eines der drei Verfahren an (Nimm das, welches du schon kennst -> Stationen 1-3!. a) I 2x 354 = 2y II 2y + 64 = 2x b) I 4x 3y = 12 II 8x 6y = 24 c) I (x+y)(x-y) = 24 II x 2 y 2 = 0 Aufgaben: 1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft! 2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und löst die Aufgaben.
Gleichsetzungssysteme Station 5 Sonderfälle Lösungen a) I 2x 354 = 2y II 2y + 64 = 2x / -2x 2y I 2x 354 = 2y IIa -2x + 64 = -2y I 2x 354 = 2y I + II(a) - 290 = 0 (Additionsverfahren) => keine Lösung: L = { } b) I 4x 3y = 12 II 8x 6y = 24 / + 3y I 4x = 12 + 3y / :4 <=> x = 3 + ¾ y (Einsetzungsverfahren) II 8 (3 + ¾ y) 6y = 24 <=> 24 + 6y 6y = 24 <=> 0 = 0 unendlich viele Lösungen: L = {(x/y)/y = 4/3 x -4} c) I (x+y)(x-y) = 24 II x 2 y 2 = 0 (Gleichsetzungsverfahren) Ia x 2 y 2 = 24 II x 2 y 2 = 0 24 = 0 keine Lösung: L = { } Hausaufgabe: Suche das am besten geeignete Lösungsverfahren! a) 4x 256 = 4y und 4x = 4y + 123 b) 2x 3y = 14 und 4x 6y = 28 c) 5x 6y = 8 und -5x = - 6y + 10