Etwas Spezielles: Zielwertsuche und Solver Zielwertsuche EXCEL kann auch Beziehungen indirekt auflösen. Die einfache Variante ist die Zielwertsuche. Für eine bestimmte Zelle ("Zielzelle") wird ein anderer Wert ("Veränderbare Zelle") so verändert, bis in der Zielzelle ein gewünschter vorgegebener Wert erreicht ist. Wenn diese Suche wegen eines zu komplizierten Zusammenhang nicht erfolgreich ist, gibt dies EX- CEL durch eine Fehlermeldung an. 1. Beispiel (trivial): Auch ohne Computer lösen wir sofort die Aufgabe "Wie groß ist a, damit 4 Ä a = 20 gilt". Nun EXCEL: In Zelle A1 steht nichts oder ein erster Wert für a, in Zelle A2 steht die Formel " = 4 * A1". Es kann nun irgendeine Zelle markiert sein; wählen Sie die Menübefehle Extras / Zielwertsuche. Tragen Sie im Dialogfeld die Werte ein, Adressen können durch Mausklick auf die Zelle im Arbeitsblatt übertragen werden. ÄÅ ÄÇ ÄÉ Die Zielzelle A2 enthält eine Formel, die einen Zahlenwert liefert. (Die Zielwertsuche adressiert hier selbst absolut.) Der Zielwert ist 20; EXCEL soll suchen, ob es einen Wert in der veränderbaren Zelle gibt, damit die Zielzelle diesen Wert 20 erhält. Für die Suche darf der Wert in der Zelle A1 verändert werden. Wenn Sie die Suche starten und die Einfügemarke sich schon in der Zielzelle befindet, wird diese schon richtig (relativ adressiert) eingetragen. Sie können aber auch in einer anderen Zelle starten; dann müssen Sie selbst die Adresse eintragen (Mausklick auf die Zielzelle); dann wird absolut adressiert. OK startet die iterative Suche. Wie zu erwarten findet EXCEL eine Lösung und der gefundene Wert für die veränderbare Zelle A1 ist in dieser Zelle eingetragen. 2. Beispiel: Das Volumen einer Kugel ist 4 Ñ r 3 / 3. Wir suchen den Radius r zu einem vorgegebenen Volumen. In der Zelle B1 soll r stehen, in der Zelle B2 steht die Formel " = 4 * PI() * B1 * B1 * B1 / 3 ". Nun die Zielwertsuche mit der Zielzelle B2, Zielwert 10 und veränderbarer Zelle B1 liefert die Lösung für r, eingetragen in der Zelle B1. (Aufgrund der begrenzten Genauigkeit von Kommarechnungen im Computer wird ein nahe an 10 gelegener Wert für das Volumen gefunden.) Wir können mit dem Taschenrechner kontrollieren, dass für den Wert r = 1,3364926 das angegebene Volumen folgt. Zielwertsuche und Solver - Seite 1 (von 6)
3. Beispiel: ph-wert einer schwachen Säure. Wir verwenden die Formeln ph = - log c(h + ) und c(h + ) = KS Ö cs. EXCEL soll nun mit der Zielwertsuche bestimmen, für welche Konzentration c S der ph-wert 3,3 ist. (Natürlich wissen wir, dass man so etwas auch durch Umstellen der Formel lösen kann; c(h + ) = 10 -ph und c S = c 2 (H + ) / K S. Wir wollen aber überprüfen, ob die Zielwertsuche für diesen "umgekehrten Weg" über 2 Zellen hinweg möglich ist.) Legen Sie in einem Arbeitsblatt folgende Zellen an: Zelle C1: Zelle C2: enthält die Säurekonzentration c S als Wert 1 eingeben {falls c S = 0 führt die Formel für den ph-wert zu einem Fehler und die Zielwertsuche funktioniert nicht!} enthält die Säurekonstante K S als Wert 0,00001 oder 1,E- eingeben Zelle C3: enthält die Formel für c(h + ): = Wurzel ( C1 * C2 ) Zelle C4: enthält die Formel für den ph-wert: = - log (C3) {log tut dasselbe wie log10!} Die Zielzelle ist C4, der Zielwert ist 3,3, die veränderbare Zelle ist C1. EXCEL findet eine Lösung, und dafür den Wert der veränderbaren Zelle c S = 0,0167. Eine Zielwertsuche über 2 Formeln hinweg war möglich! Aufgabe 1: Lösen Sie die quadratische Gleichung "x 2 - x - 6 = 0" mit der Zielwertsuche! Wählen Sie verschiedene Anfangswerte im Bereich - bis + in der veränderbaren Zelle! Sie erhalten dann zwei verschiedene Werte der veränderbaren Größe. Bei Schwierigkeiten: ÄÜ Welche Formel muss in der Zielzelle stehen? á Die Funktion x 2 - x - 6 Äà Welchen Zielwert haben wir? á Der Zielwert ist 0. (Wir suchen, für welchen Wert x die Funktion x 2 - x - 6 den Wert 0 hat.) Äâ Was ist die veränderbare Zelle? á Dafür legen wir eine Zelle fest, die den Wert x aufnimmt. Auf diese Zelle greifen wir in der Formel in der Zielzelle zu. Lehrreich ist die Frage, wie die gefundenen Lösung erklärbar sind! (Warum erhalten wir für verschiedene Anfangswerte verschiedene Lösungen?) Lösung und Antwort auf die Frage: Lösung 1 Aufgabe 2: Gegeben ist eine bestimmte Anfangszahl x. Daraus werden Folgezahlen gebildet, jede davon ist jeweils 1/2 des Vorgängers. (z.b. 4; 2; 1; 0,;...) Für welchen Wert x ist die Summe der ersten 20 so gebildeten Zahlen 24690? Geben Sie als Lösung die nächstliegende Ganzzahl zum von der Zielwertsuche gefundenen Wert an! Hilfe: Die Anfangszahl x steht in der veränderbaren Zelle (möglicher Anfangswert 1). Danach müssen wir Folgezahlen mit einer Formel erzeugen, bei denen jede die Hälfte des Vorgängers ist. Schließlich schreiben wird in die Zielzelle die Formel über die 20 so erzeugten Zahlen. Für die Zielwertsuche soll der Zielwert dann 24690 sein. Hinweis: Sie erhalten für x keine Ganzzahl; runden Sie auf eine Ganzzahl und sie erhalten ein "schönes" Ergebnis! (Lösung 2) Aufgabe 3: Gegeben ist der Ausdruck "x 2 + 9x + 30". Versuchen Sie mit einer Zielwertsuche herauszufinden, für welches x der Ausdruck wird. Können Sie das gefundene Verhalten erklären, vor allem, wenn Sie ganz und gar nicht zu einem Wert für x kommen? Hinweis: Sie müssen Ähnliches wie bei der Aufgabe 1 überlegen! (Lösung 3) Zielwertsuche und Solver - Seite 2 (von 6)
1 2 3 4 6 7 8 9 A B C D E a = 1 b = -1 x 2 4 6 8 y 2,9 11,1 18,9 27,1 y' 1 3 7 ( y - y' ) 2 3,61 6,61 193,21 404,01 Å 666,44 Solver Wesentlich mehr Möglichkeiten als die Zielwertsuche bietet ein Zusatzprogramm "Solver". Wenn dieses Programm unter "Extras" nicht gefunden wird, müsste es über den "Add-Ins-Manager" nachinstalliert werden. 1. Beispiel: Schreiben Sie folgende Tabelle: Die Texte und Zahlen in den "weißen" Feldern sind zu schreiben. In den "grauen" Feldern stehen Formeln, die dann die angegebenen Zahlen liefern sollten! In B6: Die Geradengleichung y = a Ö x + b die Konstanten A und B stehen in den Zellen B1 und E1 die Variable x steht jeweils oberhalb; für B6 in B3 =$B$1 * B3 + $E$1 (Formel dann bis E6 ziehen) In B7: Die Abweichungsquadrate zwischen y und y' y sind die bekannten Werte der Punktewolke y' sind die mit den aktuellen Werten für a und b berecheten y-werte =(B4-B6)*(B4-B6) (Formel dann bis E7 ziehen) In B9: Die Summe der Abweichungsquadrate Als Bedingung fordert man, dass diese Summe möglichst klein sein soll =SUMME(B7:E7) Mathematisch lösen wir damit das Problem der "Trendlinie" bzw. "Regressionsgeraden", y = a Ö x + b. Die Werte x und y sind vorgegebene Datenwerte; die Werte y' werden als Gerade unter Verwendung der Konstanten a und b berechnet. Die Bestwerte von a und b liefern eine kleinste Summe der Quadrate der Abweichungen ( y - y' ). {Im Unterricht "Statistik" haben Sie sicher fertige Endformeln kennen gelernt, mit denen dieses Problem auch lösbar ist!} Hier können wir die Zielwertsuche nicht mehr verwenden: 1. Wir suchen nicht nach einem festen Wert, sondern nach einer Bedingung "Minimum". 2. Es soll nicht nur 1 Wert verändert werden, sondern 2 (a und b). Rufen Sie mit Extras / Solver das Programm auf und geben Sie die Parameter Zielzelle, Zielwert und Veränderbare Zellen ein. Mehrere veränderbare Zellen werden durch Strichpunkt getrennt angegeben. Am besten starten Sie schon mit der Einfügemarke in der Zielzelle! Druck auf die Schaltfläche "Lösen" liefert über eine (komplizierte) iterative Suche Lösung. (Zusätzlich können "Berichte" erzeugt werden, die weitere Informationen liefern. Interessant ist eventuell nur der "Antwortbericht" - sie sehen die Ausgangs- und die Lösungswerte.) Zielwertsuche und Solver - Seite 3 (von 6)
Im Blatt sind für die veränderbaren B1 und E1 sind die dazugehörenden Werte der Veränderbaren Zellen eingetragen: a = 4,01999846 b = -,10000024 Die Regressionsgerade hat also (gerundet) die Formel: y = 4,02 x -,1. Wir können die Lösung auch kontrollieren: Aus x und y erzeugen wir eine Punktgrafik und darin die Trendlinie. (Dies ist genau das gleiche Problem wie die eben durchgeführte Rechnung). Das Ergebnis zeigt, dass (gerundet) dieselbe Gleichung gefunden wird. Aufgabe 4: Tippen Sie die Punktewolke (x,y) ein. Diese Punkte passen genau zu einer Parabel y = a Ö x 2 + b Ö x + c. x -3-2 -1 0 1 2 3 4 y 31 18 9 4 3 6 13 24 Bestimmen Sie mit dem Solver eine Lösung: Gesucht ist das Minimum der Summe der Quadrate der Abweichungen, ä ( y - y' ) 2. y sind die vorhandenen Datenwerte y, y' sind die mit der Funktionsgleichung zum jeweiligen x-wert berechneten y-werte. In dieser Formel kommen die Konstanten a, b, c vor; achten Sie dafür auf die richtige Adressierung! Legen Sie 3 Zellen für die 3 Konstanten an. Zielzelle ist die Summe der Abweichungsquadrate, veränderbare Zellen sind die Zellen für die 3 Konstanten. Vergleichen Sie die gefundene Lösung mit einer geeigneten Trendlinie eines Punktdiagramms. (Keine Lineare Trendlinie!) (Lösung 4) Aufgabe : Gegeben ist ein 7 x 7 - Feld, in dem einige Zellen besetzt sind. Gesucht ist eine Zelle in diesem Feld, die zu allen anderen Zellen die kleinste Summe der Entfernungen hat; Entfernung = Betrag der Differenz der Koordinaten. Hilfe: 1. Geben Sie für alle besetzten (grauen) Felder die Koordinaten x und y an. { ( 1 7 ) ; ( 7 7 ) ; ( 4 6 ) ; usw. } 2. Legen Sie 2 Zellen an für die Koordinaten der gesuchten Zelle; ich nenne diese hier ( x Z y Z ). 3. Berechnen Sie für alle Felder den Betrag des Abstands mit der Formel x - x Z + y - y Z. 4. Bilden Sie in einer Zelle die Summe der Abstandsbeträge.. Lösen Sie mit dem Solver auf das Minimum dieser Summe. (Lösung ) 7 y 6 4 3 2 1 1 2 3 4 6 7 x Zielwertsuche und Solver - Seite 4 (von 6)
Lösung 1: Lösungen Äã Zelle A1 für x Äå Zelle A2 für die Formel der Funktion = A1*A1 - A1-6 " Äç Zielwertsuche für A2 mit Zielwert 0 á Für Startwerte x > 0, wird x Ç 3, für kleinere Startwerte x Ç -2 gefunden. Von einem Startwert ausgehend wird die Lösung durch Wiederholung (Iteration) gesucht; die beiden exakten Nullstellen sind -2 und +3, weil x 2 - x - 6 é (x+2) Ö (x-3). Die Suche führt zu dem Endwert, der dem Startwert am nächsten liegt. Nullstelle 1 1 10 f(x) = x 2 - x - 6 Nullstelle 2 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 - -10 Minimum Beim Start links vom Ort des Minimums bei x = 0, wird bei schrittweiser Annäherung die Nullstelle bei x = -2 gefunden, rechts davon die Nullstelle bei x = 3. Lösung 2: Zelle A1 Startwert (z.b. 1); Zelle A2 die Formel: = A1 / 2 ; diese Formel bis zur Zelle A20 herunterziehen (in dieser müsste dann also = A19 / 2 stehen). In Zelle B20 " = Summe ( A1 : A20 ) ". Zielwertsuche mit Zielzelle B20, Zielwert 24690 und Veränderbarer Zelle A1 liefert gerundet den Wert x = 1234. Lösung 3: Eine Zielwertsuche, bei der auch EXCEL überfordert ist! á Der Ausdruck ist minimal 9,7 bei x = -4,; kann also nie erreicht werden! f(x) = x 2 + 9x + 30 40 30 20 10 0-10 -8-6 -4-2 0 2 Gefunden wird bei günstigen ca. 9, bei ca. -4,; EXCEL findet wenigstens das Minimum, weist aber auf den Fehler hin ("u.u. nicht zulässige Lösung"). Bei ungünstigen Anfangswerten wird totaler Unsinn gefunden (z.b. è - 10 11 mit einem Startwert 100). Zielwertsuche und Solver - Seite (von 6)
Lösung 4: Im verwendeten Layout (siehe unten!) stehen die Konstanten a, b und c in den Zellen A2, B2 und C2. Die x- und y-werte sehen in B4 : I. Die y'-werte sind berechnet mit einer Formel berechnet: In B6 =$A$2*B4*B4+$B$2*B4+$C$2; die Formel ist dann bis I6 nach rechts gezogen. Formel für die Abweichungsquadrate, in B7 geschrieben und dann nach rechts gezogen: =(B-B6)*(B-B6) Formel für die Summe der Abweichungsquadrate in B8: =SUMME(B7:I7) Sie sollten bei "Lösen" ähnliche Werte erhalten. Geringe Abweichungen sind möglich, weil unter "Optionen" Details zur Berechnungsmethode einstellbar - und diese an anderen Rechnern auch anders eingestellt sein können. 1 2 3 4 6 7 8 A B C D E F G H I a b c y = ax 2 + bx + c 2-3,000000079 3,999999964 x -3-2 -1 0 1 2 3 4 y 31 18 9 4 3 6 13 24 y' 30,9999967 17,9999989 8,99999966 3,999999964 2,99999902,999998273 12,99999628 23,9999931 ( y - y' ) 2 1,0643E-11 1,9937E-12 1,1921E-13 1,28744E-1 2,48169E-13 2,9836E-12 1,38634E-11 4,20717E-11 Å 7,1842E-11 Gerundet sollten Sie als Lösung erhalten: a = 2,0; b = -3,0; c = 4,0 Ein Punktdiagramm und darin eine quadratische Trendlinie ("Polynomisch, Reihenfolge 2") liefert zum Vergleich auch diese Lösung: Weil die Bestimmung der Trendlinie ein häufig benutzter Teil ist, haben die Programmierer von EXCEL offenkundig dafür einen direkten, schnelleren Weg eingebaut, und der Umweg über den Solver ist nicht nötig. Eine Suche im Internet würde Ihnen zusätzlich zeigen, dass der Solver eher für teilweise recht umfangreiche Aufgaben, z.b. im Finanzwesen, vorgesehen ist! Lösung : In den Zellen A1:B8 liegt die Tabelle der Koordinaten, mit den Überschriften x und y. Die Koordinaten der gesuchten Zelle sind in den Zellen A11 und B11. Neben den Koordinaten der bekannten Zellen wird in C2:C8 jeweils der Entfernungsbetrag berechnet: =ABS(A2-$A$11)+ABS(B2-$B$11) In der Zelle C11 die Summe davon: =SUMME(C2:C8) x y 1 7 7 7 4 6 2 4 3 7 2 6 1 Für den Solver ist C11 die Zielzelle, der Zielwert ist "Minimum", veränderbare Zellen sind A11 und B11. á Der Solver findet eine Lösung, die je nach den Anfangswerten in den veränderbaren Zellen etwas verschieden ist. Gerundet ist aber stets die Lösung x Z = und y Z = 4. (Die Summe der Entfernungen ist dann 27; für die vielleicht als Lösung vermutete mittlere Zelle ( 4 4 ) ist die Entfernung 28.) Zielwertsuche und Solver - Seite 6 (von 6)