7. Teile, un beherrsche en Rest 7.1. Division mit Rest Nicht alle natürlichen Zahlen sin urch 3 teilbar: Es lässt 17 en Rest 2 [17 = 5 3+2] 18 geht auf 1 lässt Rest 1 20 lässt Rest 2 21 geht auf 22 lässt Rest 1 23 lässt Rest 2 24 geht auf 25 lässt Rest 1 26 lässt Rest 2 27 geht auf 28 lässt Rest 1 Offenbar geht as perioisch weiter. Man kann as mit jeer natürlichen Zahl statt 3 machen. Wir haben as alle in er Grunschule als Teilen mit Rest gelernt (un meist anach wieer vergessen, weil wir glauben, mit Brüchen un Dezimal-Entwicklungen besser rechnen zu können): Zu natürlichen Zahlen a, gibt es stets eine natürliche Zahl q so, ass er Rest r = a q nicht negativ wir, aber kleiner als ausfällt. Formaler ausgerückt: Zu natürlichen Zahlen a, gibt es stets genau eine natürliche Zahl q un einen Rest r mit 0 r<so, ass a = q + r gilt. Statt m un n lassen en gleichen Rest bei Division urch sagtman un schreibt Es gibt ein nützliches Kriterium: m un n sin kongruent moulo m n (mo ). Zwei natürliche Zahlen a, b lassen genau ann en gleichen Rest bei Division urch, wenn ihre Differenz urch teilbar ist. 68 http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen
Begegnungen mit Mathematik 7.2. Ein wohl bekanntes Beispiel Wie spät ist es in 4 Stunen? Wie spät in 16 Stunen? 11 12 1 2 Uhrzeiten weren moulo 12 (oer moulo 24 ) angegeben. 3 Minuten-Angaben scheinen ann moulo 60 sein... zu 8 7 6 5 4 Wenn wir zu 6 Uhr 5 Stunen aieren, erhalten wir wenn wir 7 Stunen aieren, erhalten wir Was erhalten wir, wenn wir 136 Stunen aieren? 11 Uhr, 1 Uhr. Wir teilen mit Rest: 136 = 11 12 + 4. Da ie Vielfachen von 12 bei Uhrzeiten keine Rolle spielen, ergibt sich: Wenn wir zu 6 Uhr 136 Stunen aieren, erhalten wir Was erhalten wir, wenn wir 13 Stunen aieren? Uhr. Wir teilen wieer mit Rest: 13 = 11 12 + 7. Mit 6 + 13 6+7=13 1 (mo 12) ergibt sich: Wenn wir zu 6 Uhr 13 Stunen aieren, erhalten wir 1 Uhr. Die Rollen, ie hier (un auch in unserem Kalener, oer bei er Messung von Winkeln) ie Zahlen 12 un 60 spielen, scheinen nicht so recht zu unserer ansonsten vom Dezimalsystem geprägten Welt zu passen. In er Tat sin ies Spuren uralter Zahlsysteme, ie bei en Sumerern un Babyloniern im Gebrauch waren. Dass gerae solche Elemente er Kultur un nicht Schrift oer Musik über so lange Zeiten überauern, mag zu enken geben. Es bleibt auf jeen Fall faszinieren, ass sich hier über so große Zeiträume immerhin Kontinuität belegen lässt. http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen 6
7.3. Abstraktion: Aieren von Resten Es sei {0, 1, 2,..., 1} ie Menge er Reste bei Division urch. Wir setzen x + als en Rest von x + y bei Division urch. Es gilt also y fest x + y x + y (mo ) un 0 x + y<. Beispiele: Es ist 2 + 3 2=1, 4+ 8 7=3, 13+ 7=0. 20 7.4. Mehr Rechnungen mit Resten Man kann Reste auch multiplizieren: Wie bei er Aition rechnen wir erst wie gewohnt un reuzieren anach. Für Reste x, y bei Division urch setzen wir also x fest als en Rest von x y moulo. y Es gilt amit x y x y (mo ) un 0 x y<. Beispiele: Es ist 2 3 2=1, 4 8 7=4, 13 20 7=11. Entsprechen können wir auch ohne Schwierigkeit Reste potenzieren: Weil uns ie vernünftig lesbaren Symbole langsam ausgehen, schreiben wir aber nur x y un merken uns im Stillen, ass wir nur en Rest moulo nehmen wollen... Wenn man sicher gehen will, benutzt man ie Schreibweise xy z (mo ). Beispiele: Es ist 2 2 1 (mo 3), 3 8 6 (mo 15), 4 8 1 (mo 15), 3 2 1 (mo 7), 4 2 0 (mo 8). 70 http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen
Begegnungen mit Mathematik Aners als bei en natürlichen Zahlen (ie man gerae zu iesem Zweck zum Bereich aller ganzen Zahlen erweitern muss) kann man Reste auch hemmungslos un uneingeschränkt subtrahieren: Es geht hier ja arum, zu gegebenen Resten x, y einen Rest z so zu finen, ass x+ z = y. Mit aneren Worten: Wir suchen z so, ass x + z y (mo ) un 0 z<. Um uns klar zu machen, ass es iesen Rest z gibt (un auch gleich, ass er eineutig bestimmt ist), betrachten wir ie Folge er Reste x + 0, x+ 1, x+ 2,... x+ ( 1). Diese sin paarweise verschieen (weil je zwei von ihnen kleineren Abstan als von einaner haben). Wir erhalten in ieser Folge also verschieene Elemente er Menge {0, 1, 2,..., 1} aller Reste moulo : Dasmüssen alle sein! Für en urch Subtraktion erhaltenen Rest weren wir x y schreiben. 7.5. Kompliziertere Rechnungen Wenn wir nacheinaner mehrere Rechenoperationen auf Reste anwenen sollen, ist es manchmal angenehmer, nicht jeesmal zwischenurch zu reuzieren. Allerings muss man sich klar machen, ass man ann auch am Ene asselbe Ergebnis erhält. Beispiel: Für 7 1 (mo 3) un 14 2(mo3): 7+14=21 0 1+2 (mo3) 7 14=8 2 1 2 (mo 3). Wir können für beliebig große Zahlen aussuchen, ob wir zuerst rechnen un ann moulo reuzieren, oer umgekehrt. In er Tat: Aus a b (mo ) un x y (mo ) folgt zuerst ie Existenz von ganzen (vielleicht negativen) Zahlen m, n mit b = a + m un y = x + n. Jetzt rechnet man b + y = (a + m )+(x + n ) =a + x +(m + n) a + x (mo ) b y = (a + m ) (x + n ) =a x +(a n + m n + m x) a x (mo ). http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen 71
Man kann iese Erkenntnis in expliziten Rechnungen nutzen, aber auch allgemeine Aussagen amit herleiten: Es gelten ie Assoziativ-Gesetze für Aition un Multiplikation von Resten moulo : Für alle natürlichen Zahlen x, y, z gilt ( ) ( ) ( ) ( ) x + y + z = x + y + z un x y z = x y z. Beispiel: Es gilt ( ) ( ) 3 2 4 4 2=3 4 2 2 0=0. 4 =3 4 Es gilt as Distributiv-Gesetz für Reste moulo : Für alle natürlichen Zahlen x, y, z gilt ( ) ( ) ( ) x + y z = x z + y z. Beispiele: 3 ( ) 3 2 ( 3+ 4 ( + 6 4 ) ) = = 3 ( ) 3 3 ( 2+ ( ) + 3 4 =0+ 3=3 ( 2 4) ) =3 =3 Beispiel: Aus em Distributiv-Gesetz folgt ie Neunerprobe : Eine Zahl ist genau ann urch teilbar, wenn ihre Quersumme (also ie Summe ihrer Ziffern) urch teilbar ist. Sin z n,z n 1,z n 2,...,z 2,z 1,z 0 ie Ziffern von z, so gilt ja z = z 0 + z 1 + z 2 2 + + z n 2 n 2 + z n 1 n 1 + z n n. Wegen 1 (mo ) gilt auch 2 = 1 = 1 (mo ), un man erhält weiter k 1(mo)für jeen Exponenten k. Aus em Distributiv-Gesetz ergibt sich z z 0 + z 1 1+z 2 1+ + z n 2 1+z n 1 1+z n 1 (mo ), also z z 0 + z 1 + z 2 + + z n 2 + z n 1 + z n (mo ). Es ist amit z genau ann urch teilbar (.h. z 0 (mo )), wenn ie Summe er Ziffern von z urch teilbar ist. 72 http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen
Begegnungen mit Mathematik 7.6. Gemeinsame Vielfache un gemeinsame Teiler Für zwei natürliche Zahlen a, b wir mit kgv(a, b) as kleinste gemeinsame Vielfache, mit ggt(a, b) er größte gemeinsame Teiler bezeichnet. Man sieht hier rei perioische Vorgänge auf parallelen Skalen eingezeichnet, ie Perioen sin 5, 4 bzw. 6 Zeiteinheiten. Die Perioen treffen immer bei gemeinsamen Vielfachen zusammen. Es gilt a b =kgv(a, b) ggt(a, b), wie man leicht urch Zerlegung in Primfaktoren sieht. Man nennt a, b teilerfrem, wennggt(a, b) = 1; ann gilt natürlich kgv(a, b) =a b. Beispiele: ggt(2, 3) = 1, ggt(2, 6) = 2, ggt(, 12) = 3, kgv(2, 3) = 6, kgv(2, 6) = 6, kgv(, 12) = 36. Wir betrachten zwei perioische Vorgänge, mit Perioen a bzw. b. Der Einfachheit bezeichnen wir ie perioisch urchlaufenen Zustäne mit Zahlen, also etwa 0, 1, 2,...,a 2,a 1, 0, 1, 2,... Mit aneren Worten: Nach er Zeit t ist er erste Vorgang in em Zustan, er sich als Rest von t moulo a ergibt, er zweite Vorgang ist ann in em Zustan, en man als Rest von t moulo b erhält. Die beien Vorgänge erreichen nach kgv(a, b) Zeiteinheiten wieer as gleichen Paar von Zustänen. 7.7. Der Chinesische Restsatz Wir wählen jetzt für beie Systeme je einen Zustan aus un fragen uns, ob jemals beie Zustäne simultan angenommen weren. http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen 73
Beispiel: Eine Mensa wechselt täglich einerseits zwischen 5 Fleischgerichten, anererseits zwischen 4 vegetarischen Gerichten. Der Stuent F.R. Wöhnt mag weer as Fleischgericht 2 noch as vegetarische Gericht 3. Kommt es vor, ass er auf en Schnell-Imbiss ausweichen muss? Offenbar kommt as immer wieer vor.? Was passiert agegen, wenn ie Mensa urch eine Reihe von 6 (statt 5) Fleischgerichten wechselt?? In er obigen Darstellung heißt as, ie grüne urch ie blaue Zeit-Leiste zu ersetzen. Es ist im argestellten Bereich noch nicht zu sehen, ob irgenwann einmal gleichzeitig as rote System im Zustan 3 un as blaue im Zustan 2 sein wir. Eine Betrachtung geeigneter Reste zeigt uns aber ie Wahrheit: Das rote System ist im Zustan 3 genau zu en Zeiten er Form 3 + n 4. Das sin auf jeen Fall ungerae Zeiten. Dagegen ist as blaue System im Zustan 2 zu en Zeiten er Form 2 + m 6 un ie sin alle gerae. Es kommt also nie vor, ass ie Systeme gleichzeitig in en fraglichen Zustänen sin! Analoge Fragestellungen ergeben sich, wenn man ie (näherungsweise perioischen) Umlaufbahnen von Planeten um ie Sonne (oer von Monen um Planeten) betrachtet un nach bestimmten, interssanten Konstellationen fragt besoners spektakulär sin hier Sonnen- oer Monfinsternisse, aber auch ie Tatsache, ass sich Mars un Ere im Jahr 2003 besoners nahe kamen (un ass ies so schnell nicht wieer geschieht, weil ie Bahn-Perioen ein großes kleinstes gemeinsames Vielfaches haben). Wir können iese Betrachtungen abstrahieren:? Gegebenseiennatürliche Zahlen a, b, r, s. Gibt es ann eine natürliche Zahl t erart, ass sowohl t r (mo a) als auch t s (mo b) gilt?? Eine positive Antwort gibt as folgene Ergebnis: Chinesischer Restsatz: Wenn a un b teilerfrem sin, gibt es zu jeem beliebigen Paar (r, s) natürlicher Zahlen auch (wenigstens) eine natürliche Zahl t erart, ass sowohl t r (mo a) als auch t s (mo b) gilt. 74 http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen
Begegnungen mit Mathematik Zum Beweis macht man sich zuerst klar, ass es genügt, unter en Zahlen zwischen 0 un kgv(a, b) zu suchen: Danach wieerholt sich ohnehin alles immer wieer. Jetzt wollen wir begrünen, ass in iesem Bereich (also für 0 t<kgv(a, b)) immer wieer verschieene Konstellationen eintreten: Wenn für t un s sowohl s t (mo a) als auch s t (mo b) gilt, gibt es ganze Zahlen m, n mit t = s+m a un t = s+n b. Das beeutet, ass er Abstan t s = m a = n b ein gemeinsames Vielfaches von a un b un amit ein Vielfaches von kgv(a, b) ist. Wenn er Abstan kleiner als kgv(a, b) sein soll, geht as nur mit t s = 0 un amit s = t. Diese Argumentation zeigt, ass sich kgv(a, b) viele verschieene Paare von Resten moulo a bzw. moulo b ergeben. Unsere Annahme, ass a un b teilerfrem seien, impliziert aber kgv(a, b) =a b, un wir erhalten alle Paare von Resten. Man macht sich leicht urch eine Teilbarkeits-Überlegung klar, ass es für nicht teilerfreme a, b auch stets wenigstens ein Paar von Zustänen (r, s) gibt, as nicht gleichzeitig angenommen wir. 7.8. Diviieren? Für Reste gehen Divisionen öfter auf als für natürliche Zahlen. Beispiel: Gesucht ist ein Rest x moulo so, ass 7 x =3. Lösung: x = [wegen 7 =63 3 (mo )]. Wenn a un n teilerfrem sin, kann man moulo n urch a iviieren. In er Tat entnimmt man em Chinesischen Restsatz, ass es ein e mit a e = 1 gibt: n Man suche t so, ass t 1 (mo n) un t 0 (mo a). Jetzt setzt man e := t/a. Vorsicht: manche Divisions-Aufgaben für Reste haben mehrere Lösungen! Beispiel: Gesucht ist ein Rest x moulo so, ass 6 x =2. 1. Lösung: x = 2 [wegen 6 2=12 2 (mo )]. 2. Lösung: x = 7 [wegen 6 7=42 2 (mo )]. Genauso schlimm: Aus x y = 0 folgt nicht unbeingt, ass einer er Faktoren x, y gleich 0 sein muss: Beispiele: 2 5=0, 4 5=0, 3 6 4=0. http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen 75
Zu einem Rest a moulo gibt es genau ann einen von 0 verschieenen Rest b mit a b = 0, wenn a un nicht teilerfrem sin. In er Tat: Wenn es so einen Rest gibt, muss a b urch teilbar sein. Dann ist kgv(a, ) ein Teiler von a b, un amit sicher kleiner als a. Dies liefert ggt(a, ) = a > 1, kgv(a,) womit a un als nicht teilerfrem erkannt sin. Umgekehrt: Sin a un nicht teilerfrem, so wählen wir einen gemeinsamen Teiler t mit 1 <t<a, setzen b := un erhalten a b 0 (mo ). t 76 http://servix.mathematik.uni-stuttgart.e/ stroppel/begegnungen