Spannungszustand

1. Spannungszustand 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 1.2 Hauptspannungen 1.3 Mohrsche Spannungskreise 1.4 Fließbedingung 1.5 Gleichgewichtsbedingungen 1.1-1

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungsvektor: Wird ein belasteter Körper geschnitten, so tritt in der Schnittfläche eine Flächenkraft auf, die durch den Spannungsvektor t beschrieben wird. F 1 da P n t Für die Kraft df auf ein infinitesimales Flächenelement da im Punkt P gilt: d F=t da F 2 1.1-2

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Die Orientierung der Fläche da wird durch den Einheitsnormalenvektor n beschrieben, der aus dem geschnittenen Körper heraus zeigt. Der Spannungsvektor hängt außer vom Punkt P auch vom Einheitsnormalenvektor n ab: t=t P, n Die Gesamtheit aller Spannungsvektoren t(p, n) an einem Punkt P des Körpers heißt Spannungszustand im Punkt P. Die Gesamtheit der Spannungszustände an allen Punkten P des Körpers heißt Spannungsfeld im Körper. 1.1-3

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Achsenparallele Schnitte: z σ z e z τ yz τ xz τ zy e y τ zx e x y τ xy σ y x σ x τ yx 1.1-4

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Der Normalenvektor zeigt in Richtung einer Achse des Koordinatensystems. Am positiven Schnittufer zeigt der Normalenvektor in Richtung der Koordinatenachse und am negativen Schnittufer entgegen der Richtung der Koordinatenachse. Für die Spannungsvektoren gilt: ]=[ x [ t P, e x yx [ t P, e y ]=[ xy y zx], zy] ], [ t P, e z ]=[ xz yz z 1.1-5

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Die Komponente des Spannungsvektors in Richtung des Normalenvektors heißt Normalspannung. Die Komponenten des Spannungsvektors in der Schnittebene heißen Schubspannungen. Bei den Schubspannungen gibt der linke Index die Richtung der Schubspannung und der rechte Index die Richtung des Normalenvektors an. Am positiven Schnittufer zeigen positive Spannungskomponenten in Richtung der positiven Koordinatenrichtung. 1.1-6

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Allgemeine Lage der Schnittebene: z Für den Normalenvektor gilt: x x [ n ]=[n n y y n z]=[cos ] cos z α x α z n α y y Aus n =1 folgt: x 1=n x 2 n y 2 n z 2 =cos 2 x cos 2 y cos 2 z 1.1-7

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Tetraeder: t P, n da t P, e x da x t P, e y da y t P, e z da z =0 Volumenkräfte und sonstige Glieder höherer Ordnung sind hier bereits weggelassen. z t (P, -e x ) P t (P, -e y ) t (P, -e z ) da t (P, n ) y x 1.1-8

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Aus dem Wechselwirkungsgesetz folgt: Damit gilt: t P, n = t P, n t P, n da=t P, e x da x t P, e y da y t P, e z da z Mit da x =n x da, da y =n y da, da z =n z da (siehe nächste Seite) folgt: t P, n =t P, e x n x t P, e y n y t P, e z n z [t x t z]=[ =[ x x xy xz y yx x [ xy y y [ xz yz t zx]n zy]n ]n z yx y yz n z] y z n zx zy z ][nx 1.1-9

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Projizierte Flächen: 2 da=a h z 2 da z =a h z =a h cos z n da z =da cos z =n z da entsprechend: P α z α z h da y da x =n x da da y =n y da da z h z a x 1.1-10

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungstensor: Zwischen dem Normalenvektor und dem Spannungsvektor besteht ein linearer Zusammenhang. Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Vektoren wird in der Mathematik als Tensor bezeichnet. Der Spannungstensor σ beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor n und dem Spannungsvektor t: t= n In einem Koordinatensystem wird der Spannungstensor durch die Spannungsmatrix dargestellt: [ t ]=[ ] [ n ] 1.1-11

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Der lineare Zusammenhang zwischen Spannungsvektor und Normalenvektor wird als Cauchysche Formel bezeichnet. Gesetz der zugeordneten Schubspannungen: Aus dem Momentengleichgewicht folgt (s. Kap. 1.5): xy = yx, xz = zx, yz = zy Der Spannungstensor ist symmetrisch. Das bedeutet, dass die Spannungsmatrix in jedem Koordinatensystem symmetrisch ist: [ ] T =[ ] 1.1-12

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Normalspannung und Schubspannung: Für eine beliebige Schnittfläche berechnet sich die Normalspannung durch Projektion des Spannungsvektors auf den Einheitsnormalenvektor: n =n t=n n : n =[ n ] T [ ] [ n ] t 2 = n 2 tn 2 Aus folgt für den Betrag der Schubspannung: t σ n tn = t 2 n 2 n τ tn 1.1-13

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Beispiel: Gegeben ist der Spannungstensor σ im Punkt P sowie der Normalenvektor n einer Schnittebene: 60 0 [ ]=[150 ] 1 60 20 70 MPa, [ n ]= 3 0 70 100 Zu berechnen sind: der Spannungsvektor t und sein Betrag [ 2 1 2] die Beträge von Normalspannung und Schubspannung der Winkel zwischen Spannungsvektor und Normalenvektor 1.1-14

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungsvektor: 60 0 [ t ]=[150 ] [ 2 1 1 60 20 70 MPa 1 3 3 0 70 100 2]= Normalspannung und Schubspannung: [ 360 120 240 80 MPa 270] MPa=[ 90] n = 1 3 [ 2 1 2 ][ 120 500 80 MPa= 3 90] MPa=166,7 MPa t = 120 2 80 2 90 2 MPa= 28900 MPa=170 MPa 1.1-15

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Winkel: tn = 28900 166,7 2 MPa= 1122 MPa=33,50 MPa cos = [ n ] T [ t ] t =11,36 = n t = 500 3 170 =0,9804 1.1-16

1.2 Hauptspannungen Motivation: Der Spannungszustand in einem Punkt wird durch drei Normalspannungen und drei Schubspannungen beschrieben, die vom Koordinatensystem abhängen. Zur Bewertung der Beanspruchung werden Größen benötigt, die nicht vom Koordinatensystem abhängen. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche Schnittebenen Normalspannung bzw. Schubspannung ihren größten Wert annehmen. 1.1-17

1.2 Hauptspannungen Definitionen: Eine Schnittebene, auf der der Spannungsvektor senkrecht steht, heißt Hauptebene. Die Schubspannung in einer Hauptebene ist null. Der Spannungsvektor ist parallel zum Normalenvektor. Die durch den Normalenvektor der Hauptebene definierte Richtung heißt Hauptrichtung. Die zugehörige Normalspannung heißt Hauptspannung. 1.1-18

1.2 Hauptspannungen Hauptspannung: Hauptebene σ n = t P t [ t =[ σ n 0 0 ] Hauptrichtung 1.1-19

1.2 Hauptspannungen Eigenwertproblem: Für eine Hauptebene muss gelten: In dieser Gleichung ist der Normalenvektor n und die Normalspannung σ unbekannt. Aufgabenstellungen dieser Art werden in der Mathematik als Eigenwertprobleme bezeichnet. Für symmetrische Matrizen gilt: [ ] [ n ]= [ n ] Es gibt drei reelle Zahlen σ, für die das Eigenwertproblem erfüllt ist. Sie heißen Eigenwerte. Die zu den Eigenwerten gehörenden Vektoren n sind ebenfalls reell. Sie heißen Eigenvektoren. 1.1-20

1.2 Hauptspannungen Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander. Haben zwei Eigenwerte den gleichen Wert, so ist jeder Vektor, der senkrecht auf dem Eigenvektor zum dritten Eigenwert steht, ein Eigenvektor. Es können also immer drei senkrecht aufeinander stehende Eigenvektoren gefunden werden. Die Länge der Eigenvektoren ist frei wählbar. Werden die Eigenvektoren so gewählt, dass sie die Länge eins haben, dann definieren sie ein kartesisches Koordinatensystem, das sogenannte Hauptachsensystem. Die Einheitsvektoren des Hauptachsensystems werden im Folgenden mit e 1, e 2 und e 3 bezeichnet. 1.1-21

1.2 Hauptspannungen Berechnung der Hauptspannungen: Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte des Spannungstensors. [ ] [e k ]= k [e k ] Aus der Bedingung folgt das homogene lineare Gleichungssystem: [ x k xy xz xy y k yz e ky xz yz z k][ekx 0 e kz]=[0 0] Das Gleichungssystem hat nur dann eine nicht-triviale Lösung, wenn die Determinante null ist. 1.1-22

1.2 Hauptspannungen Charakteristische Gleichung: x k xy xz xy y k yz xz yz z k =0 Ausrechnen führt auf eine kubische Gleichung für σ k : k 3 I 1 k 2 I 2 k I 3 =0 Die Koeffizienten I 1, I 2 und I 3 werden als Invarianten des Spannungstensors bezeichnet. Sie hängen nicht vom Koordinatensystem ab. 1.1-23

1.2 Hauptspannungen Die Invarianten berechnen sich zu I 1 = x y z =sp I 2 = x y y z x z 2 xy 2 2 yz xz = x xy xy y y yz z yz x xz z xz I 3 = x y z 2 xy yz xz x 2 yz 2 xy z 2 xz y =det Die kubische Gleichung lässt sich leicht mit dem Taschenrechner oder aufwändig von Hand mit den Formeln von Cardano lösen. 1.1-24

1.2 Hauptspannungen Die Hauptspannungen werden mit σ 1, σ 2 und σ 3 bezeichnet und so sortiert, dass gilt: σ 1 σ 2 σ 3 Berechnung der Hauptachsen: Die Hauptachsen werden durch die Eigenvektoren definiert, die sich durch Einsetzen der Hauptspannungen in das Gleichungssystem [ x k xy xz xy y k yz e ky 0 xz yz z k][ekx e kz]=[0 0], k=1,, 3 berechnen lassen. 1.1-25

1.2 Hauptspannungen Da die Determinante des Gleichungssystems null ist, müssen nur zwei der drei Gleichungen betrachtet werden. Die dritte Gleichung ist dann automatisch erfüllt. Die Lösung wird bis auf das Vorzeichen eindeutig durch die zusätzliche Forderung e 2 kx e 2 ky e 2 kz =1 Wenn die ersten beiden Eigenvektoren auf diese Weise berechnet wurden, gilt für den dritten: [ e 3 ]=[ e 1 ] [ e 2 ] 1.1-26

1.2 Hauptspannungen Spannungstensor im Hauptachsensystem: Im Hauptachsensystem wird der Spannungstensor durch eine Diagonalmatrix dargestellt: [ ] H =[ 1 0 0 0 2 0 0 0 3] Für die Invarianten gilt: I 1 = 1 2 3 I 2 = 1 2 2 3 1 3 I 3 = 1 2 3 1.1-27

1.2 Hauptspannungen Beispiel: Für den Spannungstensor sollen die Hauptspannungen und die Hauptachsen berechnet werden. Invarianten: [ ]=[50 20 80 20 110 20 80 20 50] MPa I 1 = 50 110 50 MPa=210 MPa I 2 = 50 110 110 50 50 50 20 2 80 2 20 2 MPa 2 =6300 MPa 2 1.1-28

1.2 Hauptspannungen I 3 =[50 110 50 20 2 20 20 50 80 20 80 20 2 80 110 ] MPa 3 = 405000 MPa 3 Charakteristische Gleichung: 3 k 210 MPa 2 k 6300 MPa 2 k 405000 MPa 3 =0 Hauptspannungen: 1 =150 MPa, 2 =90 MPa, 3 = 30 MPa Kontrolle: I 1 = 150 90 30 MPa=210 MPa I 2 = 150 90 90 30 150 30 MPa 2 =6300 MPa 2 I 3 = 150 90 30 MPa 3 = 405000 MPa 3 1.1-29

1.2 Hauptspannungen 1. Hauptachse: 1 =150 MPa [ 50 150 20 20 110 150][ e 1 x e 1y] = [ 80 20] e 1 z [ 100 20 20 40][ e 1 x y] e = [ 80 1 20] e 1 z [ e 1 x e 1 y] = 1 [ 40 20 3600 20 100][ 80 20] e 1 z = [ 1 1] e 1z e 2 1 x e 2 1 y e 2 1 z =3e 2 1 z =1 e 1 z = 1 3 [e 1 ]= 1 3 1] [1 1 1.1-30

1.2 Hauptspannungen 2. Hauptachse: [ 50 90 20 20 110 90][ e 2 x [ 40 20 20][ e 2 x [ e 2 x e 2 y] e 2 y] 2 =90 MPa e 2 y] = [ 80 20] e 2 z = 1 [ 20 1200 20 = [ 20] 80 e 2 z 20 40][ 80 20] e = [ 1 2 z 2] e 2 z e 2 2 x e 2 2 y e 2 2 z =6e 2 2 z =1 e 2 z = 1 6 [ e 2 ]= 1 6 [ 1 ] 2 1 1.1-31

[ 1.2 Hauptspannungen 3. Hauptachse: [ e 3 ]= 1 18 = 1 3 2 1] [ 1 2 [ [1 1 1 ] 3 1 0 3]= 2 1 0 1] 1.1-32

1.3 Mohrsche Spannungskreise Der Spannungszustand in einem Punkt wird vollständig durch die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen beschrieben. Welche Spannungen in beliebigen Schnittflächen auftreten können, lässt sich anschaulich an den Mohrschen Spannungskreisen ablesen. Im Gegensatz zum ebenen Spannungszustand gehören zum räumlichen Spannungszustand drei Mohrsche Kreise. 1.1-33

1.3 Mohrsche Spannungskreise τ τ max C A 2α 3 B 2α 1 σ σ 3 σ 2 σ 1 M 23 M 13 M 12 1.1-34

1.3 Mohrsche Spannungskreise Konstruktion: Jeder der drei Mohrschen Kreise schneidet die σ-achse in jeweils zwei Hauptspannungen. Die Mittelpunkte der Mohrschen Kreise liegen auf der σ- Achse. Mögliche Kombinationen von Normalspannung und Schubspannung in einer Schnittebene liegen in dem grünen Gebiet, das sich ergibt, wenn vom Gebiet des größten Kreises die Gebiete der beiden kleineren Kreise abgezogen werden. 1.1-35

1.3 Mohrsche Spannungskreise Spannungen in einer Schnittebene: Für eine Schnittebene mit dem Normalenvektor [ n ] H T =[ n 1 n 2 n 3 ]=[cos 1 cos 2 cos 3 ] lassen sich die Normalspannung und die Schubspannung wie folgt ermitteln: Die Punkte A und B liegen auf den Kreisen mit den Mittelpunkten M 12 bzw. M 23. Der Winkel 2α 1 wird positiv im Gegenuhrzeigersinn und der Winkel 2α 3 positiv im Uhrzeigersinn aufgetragen. Der Punkt C liegt im Schnittpunkt des Kreises um M 23 durch den Punkt A mit dem Kreis um M 12 durch den Punkt B. 1.1-36

1.3 Mohrsche Spannungskreise Folgerungen: Die größte Hauptspannung σ 1 ist die größtmögliche Normalspannung und die kleinste Hauptspannung σ 3 kleinstmögliche Normalspannung. Die größtmögliche Schubspannung ist max = 1 3 2 ist die Wenn sich die drei Hauptspannungen nur wenig unterscheiden, ist die größtmögliche Schubspannung klein. 1.1-37

1.3 Mohrsche Spannungskreise Hintergrund: Ausgangspunkt für die Theorie der Mohrschen Spannungskreise ist das Gleichungssystem n 1 2 n 2 2 n 3 2 = 1 1 n 1 2 2 n 2 2 3 n 3 2 = n 1 2 n 1 2 2 2 n 2 2 3 2 n 3 2 = 2 2 n tn Dieses lineare Gleichungssystem wird nach den Komponenten n 1, n 2 und n 3 des Normalenvektors aufgelöst. 1.1-38

1.3 Mohrsche Spannungskreise Mit σ = σ n und τ = τ tn folgt nach einiger Rechnung: 2 2 3 = 2 2 1 2 2 3 n 2 2 2 3 2 2 1 1 n 2 1 3 2 1 = 2 2 2 3 2 1 n 3 2 2 1 2 2 2 1 n 2 2 1 2 2 = 2 2 3 1 2 2 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 2 3 1.1-39

1.3 Mohrsche Spannungskreise Diese Gleichungen beschreiben Kreisscharen in der σ-τ- Ebene mit den Mittelpunkten M 23 = 2 3 2, 0, M 13 = 3 1 2, 0 und M 12 = 1 2 2, 0. Die rechten Seiten der Gleichungen definieren die Radien der Kreise in Abhängigkeit von n 1, n 2 bzw. n 3. Wegen 0 n 2 1 liegt jede der Kreisscharen innerhalb eines Rings. Ein Spannungspunkt (σ, τ) muss in der Schnitt- k menge der drei Kreisscharen liegen. 1.1-40

1.3 Mohrsche Spannungskreise Ebener Spannungszustand: Beim ebenen Spannungszustand ist eine der drei Hauptspannungen null. Spannungspunkte in einer Schnittebene senkrecht zu der Ebene, die von den Hauptachsen aufgespannt wird, deren Hauptspannungen nicht null sind, liegen auf dem Mohrschen Spannungskreis durch die beiden von null verschiedenen Hauptspannungen. In den folgenden Abbildungen ist jeweils eine solche Schnittebene rot eingezeichnet. 1.1-41

1.3 Mohrsche Spannungskreise σ 1 = 0: τ τ max 3 2 σ σ 3 σ 2 3 σ 1 2 1 1.1-42

1.3 Mohrsche Spannungskreise σ 2 = 0: τ max τ 3 2 σ σ 3 σ 2 3 σ 1 1 1 1.1-43

1.3 Mohrsche Spannungskreise τ max τ σ 3 = 0: 3 2 σ σ 3 σ 2 2 σ 1 1 1 1.1-44

1.4 Fließbedingung Hydrostatischer Spannungszustand: Ein Spannungszustand, bei dem alle drei Hauptspannungen den gleichen Wert haben, heißt hydrostatischer Spannungszustand: 1 = 2 = 3 = 0 Bei einem hydrostatischen Spannungszustand ist jede Richtung eine Hauptrichtung. Der Spannungstensor wird in jedem Koordinatensystem durch eine Diagonalmatrix dargestellt: 0 0 0 0 0 [ ]=[ 0 0 0 0[1 0 1 0 0 0 0]= 0 0 1]= 0 [ I ] 1.1-45

1.4 Fließbedingung Die Mohrschen Kreise sind Punkte. Die Schubspannung ist in jeder Schnittebene null. Da Fließen durch die Schubspannung verursacht wird, kann bei einem hydrostatischen Spannungszustand kein Fließen auftreten. Ein hydrostatischer Spannungszustand kann auch bei einem duktilen Werkstoff einen Trennbruch verursachen. Spannungsdeviator: Jeder Spannungstensor σ lässt sich in einen hydrostatischen Anteil σ h und einen deviatorischen Anteil σ d aufspalten: = h d 1.1-46

1.4 Fließbedingung Der hydrostatische Anteil ist definiert durch m 0 0 [ h ]=[ 0 m 0 m] 0 0 mit der mittleren Normalspannung m = 1 3 x y z = 1 3 1 2 3 = 1 3 sp 1.1-47

1.4 Fließbedingung Für den deviatorischen Anteil folgt: [ d ]=[ ] [ h ]=[ x m xy xz xy y m yz xz yz z m] Im Hauptachsensystem gilt: [ d ] H =[ 1 m 0 0 0 2 m 0 0 0 3 m] 1.1-48

1.4 Fließbedingung Der deviatorische Anteil des Spannungstensors ist ebenfalls ein symmetrischer Tensor. Er wird als Spannungsdeviator bezeichnet. Für die Invarianten des Spannungsdeviators gilt: I d 1 =sp d =0 I d 2 = 1 m 2 m 2 m 3 m 3 m 1 m = 1 6 [ 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ] = 1 6 [ x y 2 y z 2 z x 2 ] 2 xy 2 2 yz xz I d 3 =det d 1.1-49

1.4 Fließbedingung Fließbedingung: Die Fließbedingung ist ein Kriterium dafür, ob bei einem gegebenen Spannungszustand Fließen auftritt. Für einen einachsigen Spannungszustand gilt: Elastischer Zustand (kein Fließen): Plastischer Zustand (Fließen): Die Verallgemeinerung auf einen räumlichen Spannungszustand ist: Elastischer Zustand (kein Fließen): 2 R e 2 2 =R e 2 f k Plastischer Zustand (Fließen): f =k 1.1-50

1.4 Fließbedingung Dabei ist f = f x, y, z, xy, yz, xz eine skalarwertige positive Funktion des Spannungstensors und k eine Konstante, die vom Material abhängt. Da der hydrostatische Anteil keinen Einfluss auf das Fließen hat, muss gelten: f = f d Bei einem isotropen Material muss die Fließbedingung unabhängig vom Koordinatensystem sein. Sie hängt daher nur von den Invarianten des Spannungsdeviators ab: f d = f I d 2, I d 3 1.1-51

1.4 Fließbedingung Die einfachste Fließbedingung lautet (von Mises, 1913): I d 2 =k Einsetzen der Formel für die zweite Invariante des Spannungsdeviators ergibt 1 2 2 2 3 2 3 1 2 =6 k Für den einachsigen Spannungszustand mit σ 2 = σ 3 = 0 folgt: 2 2 1 =6 k Der Vergleich mit 2 2 1 =R e zeigt: Daraus folgt für die Fließbedingung: k= 1 3 R 2 e 1 2 [ 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ]=R e 2 1.1-52

1.4 Fließbedingung Mit der Vergleichsspannung V, M= 1 2 [ 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ]= 3 I d 2 = 1 2 [ x y 2 y z 2 z x 2 6 2 xy yz 2 2 xz ] lautet die Fließbedingung: V, M =R e 1.1-53

1.4 Fließbedingung Die Vergleichsspannung σ V, M nach von Mises stimmt mit der Vergleichsspannung σ V, GH nach der Gestaltänderungshypothese (Maxwell 1856, Huber 1904, Hencky 1924) überein: V, M = V,GH Die Vergleichsspannung nach von Mises ergibt bei duktilen Werkstoffen eine gute Übereinstimmung mit der Beobachtung. 1.1-54

1.4 Fließbedingung Fließbehinderung: Verantwortlich für das Fließen bei duktilen Werkstoffen ist die Schubspannung. Bei einem räumlichen Spannungszustand kann trotz großer Normalspannungen die größtmögliche Schubspannung klein sein, so dass kein Fließen auftreten kann. Dieser Fall wird als Fließbehinderung bezeichnet. Bei Fließbehinderung kann auch bei einem duktilen Werkstoff ein Trennbruch auftreten. 1.1-55

1.4 Fließbedingung Oktaederspannungen: Die Vergleichsspannung nach von Mises ist eine fiktive Spannung, d.h. es gibt keine Schnittebene, in der diese Spannung als Spannungskomponente auftritt. Zur Ermittlung einer Spannungskomponente, an der abgelesen werden kann, ob Fließen auftritt, werden zunächst Schnittebenen gesucht, deren Normalspannung σ n mit der mittleren Normalspannung σ m übereinstimmt. Im Hauptachsensystem gilt: m = 1 3 1 2 3 1.1-56

1.4 Fließbedingung Aus m = n = 1 n 1 2 2 n 2 2 3 n 3 2 folgt: Die mittlere Normalspannung σ m tritt als Normalspannung in Ebenen mit dem Normalenvektor auf. [ n ] H = 1 3 [ ±1 ±1 ±1] T Das sind insgesamt acht Ebenen, die den Flächen eines Oktaeders entsprechen. Die mittlere Normalspannung wird daher auch als Oktaedernormalspannung σ okt bezeichnet. 1.1-57

1.4 Fließbedingung 3 σ okt τ okt 2 1 1.1-58

1.4 Fließbedingung Die Schubspannung in einer Oktaederfläche berechnet sich zu okt = 1 3 1 2 2 2 3 2 3 1 2 = 2 3 I d 2 = 1 3 x y 2 y z 2 z x 2 6 2 xy 2 2 yz xz = 2 9 3 I d 2 = 2 3 V, M Sie wird als Oktaederschubspannung bezeichnet. Fließen tritt ein für okt = 2 (Nádai, 1933). 3 R e 1.1-59

1.5 Gleichgewichtsbedingungen In diesem Kapitel wird der Nachweis der Symmetrie des Spannungstensors nachgeholt. Es wird gezeigt, dass die Symmetrie aus dem Momentengleichgewicht für einen aus dem Körper herausgeschnittenen Quader folgt. Das Kräftegleichgewicht für den Quader führt auf ein System von partiellen Differenzialgleichungen für die Spannungskomponenten. Da die Symmetrie des Spannungstensors nachgewiesen werden soll, müssen die Gleichungen zunächst ohne Verwendung der Symmetrie formuliert werden. 1.1-60

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Betrachtetes Element: Aus dem Körper wird ein beliebiger Quader mit achsenparallelen Kanten herausgeschnitten. Die Flächen werden mit A, B, C, D, E und F bezeichnet. Auf den Flächen greifen die Spannungsvektoren t an. Am Volumen greift eine Volumenkraft f an. y z x 1.1-61

1.5 Gleichgewichtsbedingungen (x A, y D, z F ) t(f) (x B, y D, z F ) (x A, y C, z F ) F t(d) z t(a) y t(c) f D t(b) (x B, y D, z E ) x A E C B (x A, y C, z E ) t(e) (x B, y C, z E ) 1.1-62

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Kräftegleichgewicht : y D F=0 : y C z F z E Mit t= n folgt: y D y C z F z E x B x A x B x A x B t B t A dz dy x A y D x B t F t E dy dx y C x B B A e x dz dy x A y D y C z F z E x B F E e z dy dx x A z F z E x A t D t C dz dx y D y C z F z E f dz dy dx=0 D C e y dz dx y D y C z F z E f dz dy dx=0 1.1-63

1.5 Gleichgewichtsbedingungen In Komponenten lautet diese Gleichung: y D y C z F z E [ x B x A x B yx B yx dy x zx B zx A ]dz A z F z E [ xy D xy C y D y C dx zy D zy C ]dz x B x A y D y C [ xz F xz E yz F yz E z F z E x B ]dy dx x A y D y C z F z E [ f x f y f z 0] ]dz dy dx=[0 0 1.1-64

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Für die Differenzen gilt: [ x B x A x B yx B yx x zx B zx A ]= A x [ x yx, zx]dx [ xy D xy C y D y D y C y zy D zy C ]= C y [ xy y zy]dy [ xz F xz E yz F yz E z F z E z ]= F z E z [ xz yz z ]dz 1.1-65

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Einsetzen ergibt: x B y D z F [ x x A y C z E x yx zx] y [ xy y zy] z ] [ [ xz yz z f dy dx=[0 0 f z] dz 0] x f y Das Integral ist nur dann für beliebige Integrationsintervalle null, wenn der Integrand null ist: [ x x yx zx] [ xy y y zy] [ xz f x z yz f y 0 z f z]=[0 0] ] [ 1.1-66

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Momentengleichgewicht: Das Momentengleichgewicht um den Ursprung des Koordinatensystems lautet: y D y C z F z E x B x A [ x y D y C B y z ] [ [ x y z F x B x A yx B y zx B ] [ z ] [ xz F yz F z F ] [ ] [ x A yx A x B dz dy x zx A ] A z F z E x xz E x B y yz E dy z E] [ z E ] dx x A [ x z y D y C y D z F z E ] [ xy D x y D zy D ] [ z [ ] [ x f x y dz z f y f z] y C ] [ xy C y C zy C ] dz dx 0] dy dx=[ 0 0 1.1-67

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Für die x-komponente der Gleichung folgt: y D y C z F z E x B x A x B x A x B x A [ y zx B zx A z yx B yx A dz dy z F z E y D y C y D y C [ y D zy D y C zy C z y D y C ] dz dx [ y z F z E z F yz F z E yz E ] dx dy z F z E y f z z f y dz dy dx=0 1.1-68

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Ersetzen der Differenzen durch Integrale ergibt: x z yx x z y y y z dz dy dx z x B y D z F zx y x A y C z E x B y D x A y C Ausdifferenzieren führt auf: x B y D x A y C z F z E z F z E y y zy z z yz y f z z f y dz dy dx=0 [ y zx x zy y z z z f zy yz] dz dy dx x B y D z F z yx x A y C z E x y y yz y z f dz dy dx=0 1.1-69

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Unter Berücksichtigung der aus dem Kräftegleichgewicht gewonnenen Beziehungen folgt: x B y D z F zy yz dz dy dx=0 x A y C z E Diese Gleichung ist nur dann für beliebige Integrationsgrenzen erfüllt, wenn gilt: zy = yz Entsprechend folgt aus den beiden übrigen Komponenten des Momentengleichgewichts: zx = xz, yx = xy 1.1-70

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungstensors lauten die aus dem Kräftegleichgewicht gewonnenen partiellen Differenzialgleichungen für die Komponenten des Spannungstensors: x x xy y xz z f x = 0 xy x y y yz z f y = 0 xz x yz y z z f z = 0 1.1-71

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Randbedingungen: t 0 Auf dem Rand S t des freigeschnittenen Körpers muss der Spannungsvektor mit der aufgebrachten Flächenlast t 0 übereinstimmen: S S E S t n Für freie Oberflächen gilt: t= n=t 0 auf S t t= n=0 auf S t Am eingespannten Rand S E ist der Spannungsvektor unbekannt. 1.1-72

1.5 Gleichgewichtsbedingungen Zusammenfassung: Aus dem Momentengleichgewicht folgt die Symmetrie des Spannungstensors. Aus dem Kräftegleichgewicht folgen drei partielle Differenzialgleichungen für die sechs Komponenten des Spannungstensors. Sie allein reichen nicht aus, um das Spannungsfeld in einem Körper zu berechnen. Weitere Gleichungen folgen aus der Kinematik und dem Materialgesetz. Damit können auch Verschiebungsrandbedingungen berücksichtigt werden. 1.1-73