Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003

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Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte 5 3.1 Stetige Funktionen.......................... 6 3.1.1 Definition (Stetigkeit)..................... 6 3.1.2 Beispiele (stetige Funktionen)................. 6 3.1.3 Satz (ε δ Kriterium)...................... 7 3.1.4 Erläuterung (ε δ Kriterium).................. 7 3.1.5 Beispiele (zum ε δ Kriterium).............. 8 3.1.6 Bemerkung (Stetigkeit als lokale Eigenschaft)......... 9 3.1.7 Beispiel (zur Stetigkeit als lokale Eigenschaft)......... 9 3.1.8 Satz (Rechenregeln für stetige Funktionen).......... 11 3.1.9 Satz (Kettenregel für stetige Funktionen)........... 11 3.1.10 Definition (stetige Funktion)................. 11 3.1.11 Folgerung (aus den Rechenregeln)............... 11 3.1.12 Satz (links- und rechtsseitige Stetigkeit)............ 12 3.1.13 Proposition (Nichtverschwinden stetiger Funktionen)........ 12 3.1.14 Satz (Nullstellensatz)..................... 12 3.1.15 Folgerung (Polynome ungeraden Grades haben reelle Nullstellen). 13 3.1.16 Satz (Zwischenwertsatz).................... 14 3.1.17 Definition (strenge Monotonie)................ 14 3.1.18 Satz (Umkehrfunktionen streng monotoner Funktionen).... 14 3.1.19 Folgerung 1 (Stetigkeit der Wurzelfunktion)......... 15 3.1.20 Folgerung 2 (Stetigkeit des Logarithmus)........... 16 3.1.21 Bemerkung (Allgemeine Potenz)............... 16 3.1.22 Satz (Stetigkeit von sin und cos)................ 17 3.1.23 Korollar/Definition ( π 2 ).................... 17 3.1.24 Satz (Periodizität von cos und sin).............. 17 3.1.25 Bemerkung (Nullstellen von cos und sin)........... 17 3.1.26 Definition (tan)........................ 18 3.1.27 Satz/Definition (arccos, arcsin, arctan)........... 18 3.2 Grenzwerte von Funktionen..................... 21 3.2.1 Definition (Häufungspunkt).................. 21 3.2.2 Beispiele (für Häufungspunkte)................ 21 3

4 INHALTSVERZEICHNIS 3.2.3 Definition (Grenzwerte von Funktionen)........... 22 3.2.4 Beispiele (zu Grenzwerten von Funktionen).......... 22 3.2.5 Definition (links- und rechtsseitige Grenzwerte)........ 24 3.2.6 Satz (links-/rechtsseitige Grenzwerte)............. 24 3.2.7 Bemerkung (links-/rechtsseitige Grenzwerte und Stetigkeit). 24 3.2.8 Definition (Grenzwerte für ± )............. 25 3.2.9 Satz (Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen)..... 26 3.2.10 Satz (Sandwich-Lemma für Grenzwerte)............ 26 3.2.11 Definition (bestimmte Divergenz)............... 26 3.2.12 Satz (Kriterium für bestimmte Divergenz für 0 )..... 27 3.2.13 Satz (Kriterium für bestimmte Divergenz für ± ).... 27

Kapitel 3 Stetigkeit und Grenzwerte Problem: Sei I ein Intervall, sei f : I R eine Funktion (z. B. I = R, f = ep oder f = sin). Diese Funktion f soll auf einem Rechner implementiert werden, so dass zu jedem I der Funktionswert f() berechnet werden kann. Da der Rechner keine irrationalen Zahlen, sondern nur rationale Zahlen (Dezimalbrüche) kennt, stellt sich die Frage, ob der Funktionswert f( 1 ) eines Näherungswertes 1 einer irrationalen Zahl 0 (z. B. 2) auch als Näherung von f( 0 ) betrachtet werden kann. Weiter stellt sich die Frage, ob mit einem besseren Näherungswert 2 von 0 auch der Funktionswert f( 2 ) näher an f( 0 ) liegt. Diese Problematik können wir in der Sprache der Folgen präziser wie folgt formulieren: Ist ( n ) n N eine Folge reeller Zahlen mit lim n n = 0, konvergiert dann auch die Folge (f( n )) n N der Funktionswerte gegen f( 0 ), d. h. gilt lim n f( n ) = f( 0 )? Nur wenn dies der Fall ist, ist es sinnvoll, die betrachtete Funktion zu implementieren (es sei denn, man kennt die Werte 0, in denen die betrachtete Funktion f nicht dieses gewünschte Verhalten hat, dann kann man sich eventuell noch anders behelfen), denn sonst hat das vom Rechner gelieferte Ergebnis lim n f( n ) einen anderen Wert als f( 0 ). Funktionen, die obige Eigenschaft besitzen, wollen wir stetige Funktionen nennen. 5

6 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE 3.1 Stetige Funktionen 3.1.1 Definition (Stetigkeit) Sei f : D R eine Funktion auf einer Teilmenge D R, sei 0 D. Die Funktion f heißt stetig in 0 : Für jede Folge ( n ) n N D, d. h. n D n N, mit lim n n = 0 gilt lim f( n) = f( 0 ). n Soll also von einer Funktion f nachgewiesen werden, dass sie in einem Punkt 0 stetig ist, so muß man für jede Folge ( n ), die gegen 0 konvergiert, nachweisen, dass die Folge der Funktionswerte (f( n )) gegen f( 0 ) konvergiert. Will man andererseits nachweisen, dass eine Funktion f in 0 nicht stetig ist, so genügt es, eine Folge ( n ) mit lim n n = 0 und lim n f( n ) f( 0 ) zu finden. 3.1.2 Beispiele (stetige Funktionen) (1) Sei c R fest gewählt, sei f : R R definiert durch f() := c R (konstante Funktion), dann ist f stetig in jedem 0 R. Sei ( n ) R eine Folge mit lim n n = 0, dann ist (f( n )) eine konstante Folge; da f( n ) = c = f( 0 ) gilt, folgt sofort lim n f( n ) = f( 0 ). (2) Sei m N. f : R R mit f() = m ist stetig in jedem 0 R. Sei ( n ) R eine Folge mit lim n n = 0, dann gilt auf Grund der Rechenregeln für konvergente Folgen: ( ) m lim f( n) = lim m n = lim n = m 0. n n n (3) f : R R mit f() := I ist stetig in jedem 0 R. Sei ( n ) eine Folge mit lim n n = 0, dann gilt auf Grund der Rechenregeln für konvergente Folgen: lim f( n) = lim n = lim n = 0. n n n (4) Sei f : R R definiert durch f() = { 1 für 0 0 für < 0. Dies ist die so genannte Heavisidefunktion. Die Heavisidefunktion ist in 0 := 0 nicht stetig. Sei nämlich n := 1 n N, dann gilt lim n n n = 0 und f( n ) = 0, d. h. aber lim f( n) = 0 1 = f( 0 ). n

3.1. STETIGE FUNKTIONEN 7 1 f() 0 Abbildung 3.1: Heaviside-Funktion Damit kann f in 0 = 0 nicht stetig sein. Häufig findet man in der Literatur eine andere Definition des Begriffs Stetigkeit, das sogenannte ε δ Kriterium, was wir wie folgt als Satz formulieren wollen. 3.1.3 Satz (ε δ Kriterium) Sei f : D R eine Funktion, sei 0 D dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1) f ist stetig in 0. 2) ε > 0 δ > 0 D : 0 < δ = f() f( 0 ) < ε. Wir wollen diesen Satz nicht beweisen, sondern wir wollen uns mal anschauen, was Stetigkeit geometrisch-anschaulich bedeutet. 3.1.4 Erläuterung (ε δ Kriterium) Sei f : D R stetig in 0 D, dann besagt 3.1.3 2), dass f in 0 keinen Sprung hat. Oder anders formuliert: Wenn wir diese Variable in f() in der Nähe von 0 etwas variieren, d. h. f() für ( 0 δ, 0 + δ) wird betrachtet, dann liegt der Funktionswert f() in der Nähe von f( 0 ), d. h. f() (f( 0 ) ε, f( 0 ) + ε). Dabei hängt δ von ε ab, wir sollen ja zu ε ein δ mit der Eigenschaft 3.1.3 2) finden können. Wenn f in 0 stetig ist und wir zu ε > 0 ein δ > 0 mit D : 0 < δ = f() f( 0 ) < ε finden können, bedeutet dies: f bildet das (offene) Intervall ( 0 δ, 0 + δ) in das (offene) Intervall (f( 0 ) ε, f( 0 ) + ε) ab. Schauen wir uns mal folgende Skizze an: Unter f wird das Intervall ( 0 δ 0, 0 + δ 0 ) in das Intervall (f( 0 ) ε, f( 0 ) + ε) abgebildet, d. h. f(( 0 δ 0, 0 + δ 0 )) (f( 0 ) ε, f( 0 ) + ε). Zwar gilt auch f(( 0 δ 1, 0 + δ 0 )) (f( 0 ) ε, f( 0 ) + ε), aber es gilt nicht f(( 0 δ 1, 0 + δ 1 )) (f( 0 ) ε, f( 0 ) + ε). Damit kommt δ 1 nicht als geeignetes δ in Frage, wohl aber δ 0, dies ist sogar das größte δ, das überhaupt möglich ist. Jedes δ > 0, das kleiner als δ 0 ist, erfüllt D : 0 < δ = f() f( 0 ) < ε.

8 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE f() f( 0 ε)+ f( 0) f( 0 - ε) 0-δ1 δ 0 0 0+δ 0 0+δ 0-1 Abbildung 3.2: Geometrische Deutung der Stetigkeit Betrachten wir nochmal die Heavisidefunktion f, sei 0 = 0. Für ε > 1 finden wir ein δ > 0 mit 0 < δ = f() f( 0 ) < ε. Betrachte: { 0 für 0 f() f( 0 ) = f() 1 = 1 sonst damit gilt f() f( 0 ) 1 < ε. Das δ können wir sogar beliebig wählen. Für ε 1 geht alles schief, denn für δ > 0 gilt: (beispielsweise = δ 2 ), damit gilt Erreicht: R mit 0 < δ und f() = 0 f() f(0) = 0 1 = 1 ε. ε > 0 δ > 0 D : 0 < δ f() f( 0 ) < ε, dies ist das Negat der Bedingung 3.1.3 2). Wir haben etwas mehr erreicht: ε > 0 mit ε 1 δ > 0 D : 0 < δ f() f( 0 ) < ε. 3.1.5 Beispiele (zum ε δ Kriterium) (1) In 0 R mit 0 0 ist f : R R mit f() = stetig. Sei ε > 0. Wir müssen zeigen, dass es ein δ > 0 gibt mit R : 0 < δ = 0 < ε.

3.1. STETIGE FUNKTIONEN 9 Wegen 0 0 (eine der beiden Dreiecksungleichungen) können wir δ = ε setzen! Dann gilt nämlich das Gewünschte. (2) Sei f : R R definiert durch f() := +, dann ist f stetig in jedem 0 R. Wir müssen zeigen: Betrachte ε > 0 δ > 0 R : 0 < δ = f() f( 0 ) < ε. f() f( 0 ) = + 0 0 0 + 0 2 0 (Dreiecksungleichungen). Wenn 2 0 < ε gilt, dann haben wir sicher f() f( 0 ) < ε erreicht. Also setzen wir δ := ε 2 und es folgt R : 0 < δ = f() f( 0 ) < ε. Damit haben wir zu (jedem) ε > 0 ein δ > 0, nämlich δ = ε 2, mit der gewünschten Eigenschaft gefunden. 3.1.6 Bemerkung (Stetigkeit als lokale Eigenschaft) Sei f : D R eine Funktion, E D ein Intervall, sei 0 E. Schränken wir den Definitionsbereich von f auf E ein, d. h. wir bilden unter der Funktionsvorschrift f nur die Elemente E ab, so erhalten wir eine neue Funktion f E : E R mit f E () := f(). Bezüglich der Stetigkeit haben wir nun folgende unscheinbare, aber nützliche Aussage. Äquivalent sind: 1) f ist stetig in 0. 2) f E ist stetig in 0. Das folgende Beispiel soll die Nützlichkeit dieser Aussage aufzeigen. 3.1.7 Beispiel (zur Stetigkeit als lokale Eigenschaft) Für R sei [] := ma{z Z z }, wir nennen [] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich, die Funktion [ ] : R R mit [] nennen wir Größte-Ganze-Funktion oder auch Gaußklammer. Sie hat die Eigenschaft, dass eine positive reelle Zahl auf ihren Vorkommaanteil abgebildet wird; so gilt z. B. [ 1 2 ] = 0, [ 1 2 ] = 1, [ 2] = 1. In vielen Programmiersprachen ist die Gaußklammer als Funktion vorrätig; sie taucht immer dann auf, wenn eine Dezimalzahl in eine ganze Zahl gewandelt werden soll; dann wird bei positiven Dezimalzahlen einfach der Nachkommaanteil weggelassen.

10 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE Die folgende Skizze zeigt den Graphen dieser Funktion: 3 2-4 -3-2 -1 1-1 -2-3 1 2 3 4 Abbildung 3.3: Gaußklammer Schränken wir diese Funktion auf Intervalle I z := (z, z + 1) mit z Z ein, so erhalten wir eine konstante Funktion f z := [ ] Iz : I z R mit f z () = z, denn für I z gilt [] = z. Damit folgt vermöge 3.1.2 1) und 3.1.6, dass [ ] : R R in allen R \ Z, d. h. R und Z, stetig ist. In allen Z ist [ ] : R R nicht stetig. Sei nämlich Z, dann konvergiert zwar die Folge ( n ) mit n := 1 gegen, aber für n 1 gilt [ n n] = 1 = []. Gemäß 3.1.1 kann die Gaußklammer in Z nicht stetig sein. Der folgende Satz garantiert, dass Summen und Produkte stetiger Funktionen wiederum stetig sind.

3.1. STETIGE FUNKTIONEN 11 3.1.8 Satz (Rechenregeln für stetige Funktionen) Seien die Funktionen f, g : D R stetig in 0 D, sei λ R. Dann sind die Funktionen (1) f + g : D R mit (f + g)() := f() + g(); (2) λf : D R mit (λf)() := λf(); (3) fg : D R mit (fg)() := f()g() stetig in 0. Gilt weiter g() 0 D (4) f ( f ) g : D R mit () := f() g g() stetig in 0. Der Beweis dieses Satzes beruht auf den Rechenregeln für konvergente Folgen. Auch die Komposition stetiger Funktionen hat die angenehme Eigenschaft, wiederum stetig zu sein. 3.1.9 Satz (Kettenregel für stetige Funktionen) Seien f : D R, g : E R Funktionen mit f(d) E, sei f stetig in 0 D und sei g stetig in y 0 := f( 0 ), dann ist die Komposition g f : D R mit (g f)() := g(f()) stetig in 0. 3.1.10 Definition (stetige Funktion) Eine Funktion f : D R heißt stetig (auf D) : f ist stetig in allen 0 D. 3.1.11 Folgerung (aus den Rechenregeln) 1) Polynome p : R R sind stetige Funktionen; 2) Rationale Funktionen p : D := { R q() 0} R sind stetig. q

12 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE Übungsaufgaben 1) Seien f, g : D R Funktionen. Sind die folgenden Aussagen richtig? a) f + g stetig = f und g stetig; b) fg stetig = f und g stetig. 2) Seien f : D R, g : E R Funktionen mit f(d) E. Gilt dann g f stetig = f und g stetig? Manchmal ist es nützlich, zum Nachweis der Stetigkeit einer Funktion sich nur auf Folgen beschränken zu können, die sich ausschließlich rechts bzw. links vom betrachteten Punkt 0 befinden. 3.1.12 Satz (links- und rechtsseitige Stetigkeit) Sei f : D R eine Funktion, sei 0 D, dann sind äquivalent: (1) f ist stetig in 0 ; (2) Für alle Folgen ( n ), (y n ) D mit n 0 y n n N gilt lim f( n) = f( 0 ) = lim f(y n ). n n Auf den Beweis wollen wir verzichten. 3.1.13 Proposition (Nichtverschwinden stetiger Funktionen) Sei f : [a, b] R stetig in 0 [a, b]. Gilt f( 0 ) > 0, dann eistiert ein δ > 0, so dass V δ := { [a, b] 0 < δ} = gilt: f() > 0. 3.1.14 Satz (Nullstellensatz) Sei f : [a, b] R stetig mit f(a) < 0 < f(b), dann gilt: 0 ]a, b[ mit f( 0 ) = 0. Entsprechendes gilt für f(a) > 0 > f(b).

3.1. STETIGE FUNKTIONEN 13 Dieser Satz hat eine wichtige Konsequenz. 3.1.15 Folgerung (Polynome ungeraden Grades haben reelle Nullstellen) Sei p : R R ein Polynom vom Grad grad(p) = 2m + 1 mit m N 0, dann eistiert ein 0 R mit p( 0 ) = 0. Beweis: Sei p() = 2m+1 k=0 a k k mit a 2m+1 > 0 (der Fall a 2m+1 < 0 wird analog behandelt), dann gilt lim p(n) = + und lim p( n) =. n n Betrachte nämlich Wegen 2m+1 k=0 p(n) = n 2m+1( 2m+1 finden wir zu ε = 1 2 a 2m+1 > 0 ein n ε N mit Es folgt ε = a 2m+1 2 k=0 k=0 a k n k 2m 1). a k n k 2m 1 a 2m+1 für n 2m+1 a k n k 2m 1 a 2m+1 < ε n nε < 2m+1 k=0 a k n k 2m 1 < 3a 2m+1 2 = 3ε n n ε. p(n) > n 2m+1 ε > 0 n n ε, d.h. lim p(n) = +. n Insbesondere eistiert ein R mit p() > 0. Wegen 2m+1 k=0 finden wir zu ε := 1 2 a 2m+1 ein n ε N mit d. h. a k ( 1) k 2m 1 n k 2m 1 a 2m+1 für n, ε < 2m+1 k=0 2m+1 p( n) = n 2m+1 k=0 a k ( 1) k 2m 1 n k 2m 1 < 3ε, a k ( 1) k 2m 1 n k 2m 1 < 3εn 2m+1. Also eistiert ein y R mit p(y) < 0, auch gilt lim n p( n) =. Wegen p() > 0 > p(y) eistiert vermöge 3.1.14 ein 0 R mit p( 0 ) = 0.

14 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE Der Nullstellensatz garantiert uns also die Eistenz reeller Nullstellen von Polynomen ungeraden Grades. Für Polynome geraden Grades kann eine solche Aussage in dieser Allgemeinheit nicht gemacht werden, betrachte z. B. p() := 2 +1, wegen 2 0 gilt p() > 0 R. Eine weitere sehr wichtige Folgerung aus dem Nullstellensatz ist der so genannte Zwischenwertsatz. 3.1.16 Satz (Zwischenwertsatz) Sei f : [a, b] R eine stetige Funktion, es gelte f(a) < f(b). Dann folgt: y [f(a), f(b)] [a, b] mit f() = y. Beweis: Für y = f(a) oder y = f(b) ist nichts zu zeigen. Sei also y (f(a), f(b)), betrachte g y : [a, b] R mit g y () := f() y, dann ist g y stetig mit g y (a) < 0 < g y () = 0, d. h. f() = y für ein (a, b) (wegen 3.1.14). Der Zwischenwertsatz garantiert nun, dass eine stetige streng monoton wachsende (oder fallende) Funktion eine stetige streng monoton wachsende (oder fallende) Umkehrfunktion besitzt, wenn der Definitionsbereich der Funktion ein Intervall ist. 3.1.17 Definition (strenge Monotonie) Eine Funktion f : D R heißt streng monoton wachsend (bzw. fallend) : 1, 2 D : 1 < 2 = f( 1 ) < f( 2 ) (bzw. f( 1 ) > f(f( 2 ))). 3.1.18 Satz (Umkehrfunktionen streng monotoner Funktionen) Sei D R ein (nicht leeres) Intervall, sei f : D R eine stetige und streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion, dann gilt: 1) E := f(d) R ist ein Intervall; 2) f : D E ist bijektiv; 3) f 1 : E D ist stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend). Beweis: Wir betrachten nun die Situation, dass f streng monoton wächst (die fallende Situation wird analog behandelt). Da f streng monoton wächst, ist f injektiv, d. h. 1 2 = f( 1 )

3.1. STETIGE FUNKTIONEN 15 f( 2 ). Aufgrund der Stetigkeit von f garantiert der Zwischenwertsatz für y (f( 1 ), f( 2 )) die Eistenz eines ( 1, 2 ) mit f() = y. Es folgt, dass E := f(d) ein Intervall ist, denn wenn E kein Intervall wäre, dann gäbe es Punkte y 1, y 2 E mit [y 1, y 2 ] E, d. h. es gibt ein y (y 1, y 2 ) mit y E. Nun sagt der Zwischenwertsatz, dass es zu y ein [ 1, 2 ] (f( i ) = y; i = 1, 2) mit f() = y gibt, d. h. also y E (Widerspruch!) Damit ist 1) gezeigt. Die Stetigkeit und die strenge Monotonie garantieren also, dass E ein Intervall ist. Als injektive und surjektive Funktion f : D E ist f bijektiv, und besitzt also eine Umkehrabbildung f 1 : E D. Klar ist, dass f 1 in y 0 = f( 0 ) stetig ist. Fall 1: ε > 0 mit [ 0 ε, 0 + ε] D, d. h. 0 ist ein sogenannter innerer Punkt von D, was beispielsweise dann der Fall ist, wenn D ein offenes Intervall ist. Da f streng monoton wächst, folgt für alle 0 < ε < ε : f( 0 ε) < f( 0 ) < f( 0 + ε). Es eistiert nun ein δ > 0 mit Für y ]y 0 δ, y 0 + δ[ E gilt somit d. h. f( 0 ε) < y 0 δ < y 0 + δ < f( 0 + ε). f( 0 ε) < y < f( 0 + ε), f 1 (y 0 ) ε = 0 ε < f 1 (y) < 0 + ε = f 1 (y 0 ) + ε (da f 1 streng monoton wächst). Also gilt ε < f 1 (y) f 1 (y 0 ) < ε y E mit y y 0 < δ, d. h. f 1 ist stetig in y 0. Fall 2: ε > 0 gilt [ 0 ε, 0 +ε] D, damit folgt, da D ein Intervall ist, [ 0, 0 +ε ] D oder [ 0 ε, 0 ] D für ein ε > 0, d. h. 0 ist ein sogenannter Randpunkt von D. Wir betrachten den Unterfall [ 0, 0 + ε ] D, (d. h. D gilt 0 ), dann gilt für 0 < ε ε : es eistiert ein δ > 0 mit Für y ]y 0, y 0 + δ[ E gilt somit d. h. Also gilt f( 0 ) < f( 0 + ε), f( 0 ) < y 0 + δ < f( 0 + ε). f( 0 ) < y < f( 0 + ε), f 1 (y 0 ) < f 1 (y) < f 1 (y 0 ) + ε. 0 < f 1 (y) f 1 (y 0 ) < ε y E mit y y 0 < δ, d. h. f 1 ist stetig in y 0. Analog verfährt man für [ 0 ε, 0 ] D. 3.1.19 Folgerung 1 (Stetigkeit der Wurzelfunktion) Sei k N. Die Wurzelfunktion k : R + 0 := [ 0, [ R+ 0 ist stetig.

16 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE 3.1.20 Folgerung 2 (Stetigkeit des Logarithmus) ep : R R + ist stetig, streng monoton wachsend und besitzt eine stetige streng monoton wachsende Umkehrfunktion ln : R + R (natürlicher Logarithmus) Es gilt: ln(y) = ln() + ln(y), y R +. Die folgenden Skizzen sollen den Verlauf von ep bzw. ln verdeutlichen. 4 50 3 40 2 30 1 20 0 10 20 30 40 50 60 10-1 0-4 -2 2 4-2 Abbildung 3.4: Graphen von ep(), ln() 3.1.21 Bemerkung (Allgemeine Potenz) Sei 1 a R +. Wir definieren eine Funktion ep a : R R + durch ep a () := a := ep( ln(a)), dann besitzt ep a eine Umkehrfunktion ln a : R + R mit ln a (y) = ln(y) ln(a). Für a > 1 sind ep a und ln a streng monoton wachsend, während für a < 1 ep a und ln a streng monoton fallend sind. ep a und ln a sind stetig.

3.1. STETIGE FUNKTIONEN 17 Übungsaufgaben 1) Zeigen Sie, dass ep a und ln a Umkehrfunktionen von einander sind. 2) Zeigen Sie: a, b R + und, y R gilt (i) (a ) y = a y ; (ii) a b = (ab) ; (iii) ( 1 a ) = a. 3.1.22 Satz (Stetigkeit von sin und cos) Die trigonometrischen Funktionen sin, cos : R R sind stetig. 3.1.23 Korollar/Definition ( π 2 ) cos besitzt in [0, 2] eine eindeutig bestimmte Nullstelle, diese nennen wir π 2. 3.1.24 Satz (Periodizität von cos und sin) Es gilt (i) cos( + 2π) = cos(), sin( + 2π) = sin(); (ii) cos( + π) = cos(), sin( + π) = sin(); (iii) cos() = sin( + π 2 ), sin() = cos( π 2 ) Der Nachweis kann bequem mit den Additionstheoremen geführt werden. 3.1.25 Bemerkung (Nullstellen von cos und sin) i) N(sin) := { R sin() = 0} = {kπ k Z}; ii) N(cos) := { R cos() = 0} = { π + kπ k Z}. 2 Die folgende kleine Tabelle gibt einige wichtige Werte von cos und sin an. 0 π 2 π 3 2 π 2π sin() 0 1 0-1 0 cos() 1 0-1 0 1

18 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE 3.1.26 Definition (tan) Wir definieren tan : R \ N(cos) R durch tan() := sin() cos(). Geometrisch läßt sich tan() am Einheitskreis wie folgt darstellen: cos() tan() sin() Abbildung 3.5: Darstellung von tan() 3.1.27 Satz/Definition (arccos, arcsin, arctan) i) cos : [0, π] [ 1, 1] ist stetig, streng monoton fallend und bijektiv. Die Umkehrfunktion, die wir arccos : [ 1, 1] [0, π] nennen wollen, ist stetig und streng monoton fallend. ii) sin : [ π, π ] [ 1, 1] ist stetig, streng monoton wachsend und bijektiv. 2 2 Die Umkehrfunktion, die wir arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] nennen wollen, ist stetig 2 2 und streng monoton wachsend. iii) tan : ( π, π ) R ist stetig, streng monoton wachsend und bijektiv. Die 2 2 Umkehrfunktion, die wir arctan : R ( π, π ) nennen wollen, ist stetig und 2 2 streng monoton wachsend. Die folgenden Skizzen zeigen die Verläufe von sin, cos, tan, arcsin, arccos und arctan.

3.1. STETIGE FUNKTIONEN 19 1 1.5 1 0.5 0.5-6 -4-2 0 2 4 6 0-1 -0.5 0.5 1-0.5-0.5-1 -1-1.5 Abbildung 3.6: Graphen von sin(), arcsin() 1 3 0.5 2.5 2-6 -4-2 0 2 4 6 1.5 1-0.5 0.5-1 0-1 -0.5 0.5 1 Abbildung 3.7: Graphen von cos(), arccos() Bemerkung Die soeben definierten Funktionen nennt man die Hauptzweige von arcsin, arccos, arctan. Für k Z gilt i) cos : [kπ, (k + 1)π] [ 1, 1] ist bijektiv; ii) iii) sin : [ π + kπ, π + kπ] [ 1, 1] ist bijektiv; 2 2 tan : ( π + kπ, π + kπ) R ist bijektiv. 2 2 Die dazugehörigen Umkehrfunktionen i) arccos k : [ 1, 1] [kπ, (k + 1)π], ii) arcsin k : [ 1, 1] [ π + kπ, π + kπ], 2 2 iii) arctan k : R ( π + kπ, π + kπ) 2 2 nennen wir für k 0 die Nebenzweige von arccos, arcsin bzw. arctan.

20 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE 30 1.5 20 1 10 0.5-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-30 -20-10 0 10 20 30-10 -0.5-20 -1-30 -1.5 Abbildung 3.8: Graphen von tan(), arctan() Übungsaufgabe Zeigen Sie:, y R mit der Eigenschaft, dass tan(), tan(y) und tan( + y) definiert sind, gilt tan() + tan(y) tan( + y) = 1 tan() tan(y).

3.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 21 3.2 Grenzwerte von Funktionen Im Rahmen der Stetigkeit von Funktionen haben wir folgende Situation betrachtet: Seien f : D R eine Funktion, 0 D, ( n ) D eine Folge mit n 0 (n ); und uns gefragt, ob auch (f( n )) konvergiert, wenn ja, ob der Grenzwert gerade f( 0 ) ist. Im letzteren Falle haben wir die Funktion f stetig in 0 genannt. Nun ist man häufig in einer Situation, wo man ganz gerne eine gegebene Funktion über ihren Definitionsbereich hinaus erklären (definieren) möchte, nur sollte dies so geschehen, dass die neue Funktion in den zum Definitionsbereich hinzugekommenen Punkten stetig ist. Betrachten wir beispielsweise f : R \ {1} R mit f() = 2 3+2, dann ist diese stetig auf ihrem Definitionsbereich, was ist 1 aber im Punkte 0 = 1 los? Klarerweise wird der Nenner Null, der Zähler aber auch. Was geschieht, wenn ( n ) R \ {1} eine Folge ist mit n 1 (n ) mit der Folge der Funktionswerte (f( n )) mit n? Na ja, schauen wir uns f( n ) doch mal an: f( n ) = 2 n 3 n + 2 n 1 = ( n 1)( n 2) n 1 = n 2 n 1. Definieren wir nun F : R R durch { f() für 1 F () = 1 für = 1, dann erhalten wir offensichtlich eine auf ganz R stetige Funktion, die die Funktion f : R \ {1} R stetig fortsetzt. 3.2.1 Definition (Häufungspunkt) Sei D R. 0 R heißt Häufungspunkt von D : Folge ( n ) D mit n 0 n N und lim n n = 0. 3.2.2 Beispiele (für Häufungspunkte) i) Sei D = R, dann ist jedes 0 R Häufungspunkt von D, denn n := 0 + 1, n y n := 0 1 konvergieren gegen n 0, die Folgenglieder sind aber von 0 verschieden. ii) Sei D ein Intervall, dann ist jedes 0 D ein Häufungspunkt von D. iii) Sei D =]a, b[ (a, b R), dann ist jedes 0 [a, b] ein Häufungspunkt von D. iv) Sei D = { 0 }, dann ist 0 kein Häufungspunkt von D, denn ist ( n ) D eine Folge, dann gilt n = 0.

22 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE 3.2.3 Definition (Grenzwerte von Funktionen) Seien f : D R eine Funktion und 0 R ein Häufungspunkt von D, dann sagen wir f besitzt in 0 einen Grenzwert : b R Folge ( n ) D mit n 0 und lim n n = 0 gilt: lim n f( n ) = b. Wir schreiben dann lim 0 f() = b und nennen b den Grenzwert von f in 0. 3.2.4 Beispiele (zu Grenzwerten von Funktionen) 1) Sei f : R \ {0} R definiert durch f() := + 2 R \ {0}. Behauptung: f besitzt in 0 = 0 keinen Grenzwert. Wir setzen n := 1 n, dann gilt n 0 (n ), aber auch ( 1 f( n ) = f = n) 1 n + 2 1 n ( 1 ) = n n + 2 = 1 + 2n +. n 2) Sei f : R \ {0} R definiert durch f() := sin() R \ {0}. Behauptung: f besitzt in 0 = 0 einen Grenzwert. Sei ( n ) R \ {0} eine Folge mit n 0 (n ), dann eistiert ein n 0 N mit n < 1 n n 0. Es folgt sin( n ) = n + r 3 ( n ) mit r 3 ( n ) n 2 für n 4, 3! d. h. f( n ) = sin( n) = 1 + r 3( n ) mit r 3( n ) n 2 n n n 6. Wegen n 0 für n folgt lim n f( n ) = 1. Damit besitzt sin() 0 = 0 den Grenzwert 1. 3) Sei f : R \ {0} R definiert durch f() := cos() 1 R \ {0}. Behauptung: f besitzt in 0 = 0 einen Grenzwert. Sei ( n ) R \ {0} eine Folge mit n 0 (n ), dann eistiert ein n 0 N mit n < 1 n n 0. Es folgt d. h. cos( n ) = 1 r 2 ( n ) mit r 2 ( n ) n 2 für n 3, 2 cos( n ) 1 n = r 2( n ) n mit r 2( n ) n n 2. in

3.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 23 Wegen n 0 für n folgt lim n f( n ) = 0. Übungsaufgaben 1) Zeigen Sie: Für alle 0 R, n N gilt lim 0 n n 0 0 2) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: 3 + 2 1 3 + 2 1 (i) lim, (ii) lim, 1 + 1 1 1 = n n 1 0. (iii) (v) 3 + 2 1 1 1 2 lim, (iv) lim, 1 2 1 0 2 2 lim, (vi) lim 0 0 1 + 1. 3) Berechnen Sie folgende Grenzwerte: (i) lim h 0 sin(+h) sin(), (ii) lim h 0 cos(+h) cos(). (Tipp: Additionstheoreme) 4) Bestimmen Sie alle a R, so dass f a : R \ {a} R mit f a () := a a in 0 = a einen Grenzwert besitzt. 5) Sei y [ 1, 1], sei f : R \ {0} R definiert durch f() := sin( 1 ). Zeigen Sie: Es gibt eine Folge ( n ) R \ {0} mit lim n = 0 und lim f( n ) = y n n 1 0.5 0-0.2-0.1 0.1 0.2-0.5-1 Abbildung 3.9: Graph von sin( 1 )

24 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE Wie bei der Stetigkeit ist es zweckmäßig, wenn wir uns bei der Untersuchung, ob eine Funktion einen Grenzwert besitzt, auf links- und rechtsseitige Betrachtungen beschränken könnten. 3.2.5 Definition (links- und rechtsseitige Grenzwerte) Sei f : D R eine Funktion, 0 R ein Häufungspunkt von D. (i) Wir sagen: f besitzt in 0 einen linksseitigen Grenzwert : b R Folgen ( n ) D mit n < 0 und n 0 (n ) gilt lim n f( n ) = b. Wir schreiben dann: f( 0 ) := lim 0 f() := b. (ii) Wir sagen: f besitzt in 0 einen rechtsseitigen Grenzwert : b R Folgen ( n ) D mit 0 < n und n 0 (n ) gilt lim n f( n ) = b. Wir schreiben dann: f( + 0 ) := lim f() := b. + 0 Häufig ist der folgende Satz recht nützlich. 3.2.6 Satz (links-/rechtsseitige Grenzwerte) Sei f : D R eine Funktion, 0 R ein Häufungspunkt von D. Äquivalent sind folgende Aussagen: (i) f besitzt in 0 einen Grenzwert; (ii) f besitzt linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte f( 0 ) und f( + 0 ), und für diese gilt: f( 0 ) = f( + 0 ). Auf den Nachweis wollen wir verzichten. 3.2.7 Bemerkung (links-/rechtsseitige Grenzwerte und Stetigkeit) Sei f : D R eine Funktion, sei 0 D (!) ein Häufungspunkt. Äquivalent sind: (i) ist stetig in 0 ; (ii) besitzt links- und rechtsseitige Grenzwerte mit f( 0 ) = f( 0 ) = f( + 0 ).

3.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 25 Eine Folge von Funktionswerten (f( n )) kann sich im allgemeinen recht wild verhalten. Wir interessieren uns aber i. a. für zahme Funktionen, die mit n + (n ) auch für (f( n )) noch etwas Sinnvolles liefern, die mit Grenzübergang ± einen Grenzwert besitzen. 3.2.8 Definition (Grenzwerte für ± ) Sei f : D R eine Funktion. (i) Sei D R nicht nach oben beschränkt, d. h. K > 0 D mit > K. Wir sagen: f besitzt einen Grenzwert für + : b R Folge ( n ) D mit n n + gilt lim n f( n ) = b. Wir schreiben dann: b = für + gegen b. lim f(), und sagen auch f strebt (konvergiert) + (ii) Sei D R nicht nach unten beschränkt, d. h. K > 0 D mit < K. Wir sagen: f besitzt einen Grenzwert für : b R Folge ( n ) D mit n n gilt lim n f( n ) = b. Wir schreiben dann: b = für gegen b. lim f(), und sagen auch f strebt (konvergiert) Übungsaufgabe Berechnen Sie folgende Grenzwerte: (i) lim + 42 + 2 1 2; (ii) lim 8 3 + 2 2 + 1 ; 2 3 + 7 (iii) lim ( + 1 ); (iv) lim + + ( 1) [], Die Grenzwertbeziehung f() b haben wir für die folgenden Variationen von vermöge Folgen von Funktionswerten (f( n )) definiert: 0, 0, + 0, +,. Die Rechenregeln für konvergente Folgen liefern uns nun folgende Sätze.

26 KAPITEL 3. STETIGKEIT UND GRENZWERTE 3.2.9 Satz (Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen) Aus f() b, g() c folgt immer (i) λf() λb λ R; (ii) f() + g() b + c; (iii) (iv) f()g() bc; f() g() b c (wobei c 0 und g() 0 ); (v) f() b. Auf den Beweis verzichten wir. 3.2.10 Satz (Sandwich-Lemma für Grenzwerte) Seien f, g, h Funktionen mit f() g() h(), f() b, h() b. Dann gilt: g() b. Falls f bei den Variationen 0, 0, + 0, + bzw. nicht konvergiert, so sagen wir, dass diese Funktion (bzgl. der betrachteten Variation) divergiert. Nun kann es sei, dass die betrachtete Funktion aber noch eine gewissen Trend besitzt. 3.2.11 Definition (bestimmte Divergenz) Sei f : D R eine Funktion, 0 R ein Häufungspunkt von D. Wir sagen: f divergiert bestimmt gegen + für 0 : Folge ( n ) D mit n 0, n 0 gilt lim n f( n ) = +. Wir schreiben dann: lim 0 f() = +, oder f() + für 0. Analog definiert mensch:

3.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 27 f divergiert bestimmt gegen für 0 ; f divergiert bestimmt gegen ± für ± 0 ; f divergiert bestimmt gegen ± für ±. 3.2.12 Satz (Kriterium für bestimmte Divergenz für 0 ) Sei f : D R eine Funktion, 0 R ein Häufungspunkt von D. Äquivalent sind folgende Aussagen: (i) (ii) lim 0 f() = + (bzw. = ); K > 0 δ > 0 D : 0 < 0 < δ = f() > K(bzw. f() < K). Analoges gilt für die Situation ± 0. 3.2.13 Satz (Kriterium für bestimmte Divergenz für ± ) Sei f : D R eine Funktion, D nicht nach oben beschränkt. Äquivalent sind folgende Aussagen: (i) lim f() = + (bzw. = ); + (ii) K > 0 K > 0 D : > K = f() > K (bzw. f() < K). Analoges gilt für die Situation. Übungsaufgabe Berechnen Sie: (i) (iv) 1 lim, (ii) lim 0 + 0 1, (iii) lim, + sin() lim + a (a > 1), (v) lim ln(), (vi) lim + + ep().

Inde π, 17 ε-δ-kriterium, 7 Allgemeine Potenz, 16 arccos, 18, 19 arcsin, 18, 19 arctan, 18, 19 bestimmte Divergenz, 26 cos, 17 ep, 16 Gaußklammer, 9 Geometrische Deutung der Stetigkeit, 7 Grenzwerte von Funktionen, 22 Grenzwerte für ±, 25 Häufungspunkt, 21 Hauptzweige, 19 Heaviside-Funktion, 7 Kettenregel für stetige Funktionen, 11 Kriterium für bestimmte Divergenz, 27 Rechenregeln für Grenzwerte, 26 Rechenregeln für stetige Funktionen, 11 rechtsseitige Stetigkeit, 12 rechtsseitiger Grenzwert, 24 Sandwich-Lemma für Grenzwerte, 26 sin, 17 stetig in 0, 6 stetige Funktion, 11 Stetigkeit, 6 Stetigkeit des Logarithmus, 16 Stetigkeit als lokale Eigenschaft, 9 Stetigkeit der Wurzelfunktion, 15 Stetigkeit von sin und cos, 17 streng monoton fallend, 14 streng monoton wachsend, 14 strenge Monotonie, 14 tan, 18 Umkehrfunktionen streng monotoner Funktionen, 14 Zwischenwertsatz, 14 linksseitige Stetigkeit, 12 linksseitiger Grenzwert, 24 ln, 16 Nebenzweige, 19 Nullstellensatz, 12 Periotizität von cos und sin, 17 Polynome, 11 Rationale Funktionen, 11 28