D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die Matrizen A =, B = 0, C =, D = 0 a) Berechnen Sie die Produkte AB und BA und vergleichen Sie diese b) Berechnen Sie die Produkte (AB)C und A(BC) und vergleichen Sie diese c) Berechnen Sie die Determinanten von A, C und AC und vergleichen Sie diese d) Welche der Produkte AD, AD T, DA, D T A sind definiert? Berechnen Sie diese Berechnen Sie die Determinanten der folgenden 4-reihigen Matrizen 0 4 0 5 A = 0 4 5 und B = 0 0 0 4 0 a) mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes und b) mit Hilfe des Gaussschen Verfahrens Eine reelle n n-matrix A, n N, heisst orthogonal, wenn die zu A inverse Matrix A gleich der Transponierten A T ist, dh wenn AA T = A T A = E n a) Welche der Matrizen cos π sin π A =, B = 6 6 sin π cos π, 6 6 0 0 C = 0 0, D = 0 0, sind orthogonal?
b) Zeigen Sie, dass eine quadratische reelle Matrix genau dann orthogonal ist, wenn ihre Spalten paarweise orthogonale Vektoren der Länge sind c) Zeigen Sie, dass für eine orthogonale Matrix A stets det A = ± gilt Hinweis: det(aa T ) = det(e n ) 4 a) Berechnen Sie die Inversen der Matrizen 4 5 B = und C = b) Berechnen Sie die Inverse A der Matrix A = 4 c) Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis, indem Sie A A und AA berechnen d) Bestimmen Sie die Lösung x des Systems A x = b mit b = ( 4 ) T 5 Die Inverse A der -Matrix A ist 0 A = 0 Bestimmen Sie a) die Lösung des Gleichungssystems A x = 0 4 0 0 0 b) die Determinante der Matrix A 0 0 0 a b 6 a) Finden Sie alle Matrizen mit ad bc = und A c d = A b) Für welche Werte der Konstanten a, b und c ist die folgende Matrix invertierbar? 0 a b a 0 c b c 0 c) Betrachten Sie die obere Dreiecksmatrix ( ) a b c A = 0 d e 0 0 f und beantworten Sie folgende Fragen
(i) Für welche Werte von a, b, c, d, e und f ist A invertierbar? (ii) Allgemeiner, wann ist eine obere Dreiecksmatrix von beliebiger Dimension invertierbar? (iii) Wenn eine obere Dreiecksmatrix invertierbar ist, ist dann ihr Inverses auch eine obere Dreiecksmatrix? Experimentieren Sie mit ( )- und ( )-Matrizen (iv) Wann ist eine untere Dreiecksmatrix invertierbar? 7 Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) zweier Vektoren im R, v w v = v und w = w v w ist der Vektor definiert durch v w v w v w = v w v w v w v w Die folgende Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt für drei Vektoren u, v, w in R heisst Spatprodukt (oder gemischtes Produkt): [ u, v, w] = u ( v w) a) Zeigen Sie, dass das Spatprodukt der Vektoren u, v, w gleich der Determinante der Matrix mit Zeilen u, v, w ist: u u u [ u, v, w] = det v v v w w w b) Das Spatprodukt ist nicht kommutativ (auch das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ) Was ist der Unterschied zwischen Hinweis: Aufgabe a) c) Seien Berechnen Sie [ u, v, w] und [ v, u, w]? 4 u =, v =, w = 5 6 u v, v w, [ u, v, w]
d) Seien r cos θ v = 0, w = r sin θ 0 0 Berechnen Sie v w und bestätigen Sie, dass v w = v w sin θ Die obige Formel gilt auch für beliebige Vektoren v und w in R, wobei θ der Winkel zwischen v und w ist Fazit: Man kann aus d) und der Definition des Spatproduktes folgern, dass [ u, v, w] genau dem Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds enspricht Dieses berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe, wobei v w die Grundfläche ist Aus der bekannten Gleichung u z = u z cos ϑ, wobei ϑ den Winkel zwischen u und z bezeichnet, folgt u ( v w) = u v w cos ϑ wobei u cos ϑ genau der Höhe des Parallelepipeds enspricht Die Gleichung aus a) liefert ausserdem: u u u Der Betrag der Determinante det v v v entspricht dem Volumen w w w des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds 4
Die Lösungen sind: a) AB = BA = 0 7 b) (AB)C = = A(BC) c) det A =, det C = 4, det(ac) = 4 = det A det C 0 0 4 d) Definiert sind nur AD T = und DA = 4 0 det A = 7 und det B = 6 a) Berechnung liefert, dass B T B, C T C, D T D orthogonale Matrizen sind b) Man überprüft, dass eine Matrix A = { s s n mit Spaltenvektoren falls i = j, s,, s n orthogonal ist, wenn s i s j = 0 falls i j c) Aus = det E n = det A T A = det A T det A = (det A) folgt det A = ± ( ) 4 a) B = 0 5, ( 0 5 ) 5 C = 0 b) A = 0 c) direkte Rechnung d) x = 0 5 5 a) x = (, 4, 6) b) det = 54 6 a) A = ±E b) Diese Matrix ist nie invertierbar c) (i) Falls a, d, f 0 (ii) Wie in (i) falls alle Diagonaleinträge 0 5
(iii) Ja, das folgt aus der Betrachtung des Algorithmus zur Ermittlung der Inversen (iv) Wie in (ii) falls alle Diagonaleinträge 0 7 a) dies folgt aus direkter Berechnung b) [ u, v, w] = [ v, u, w] c) u v = 0, v w = (, 5, 7), [ u, v, w] = 0 d) dies folgt aus direkter Berechnung 6
MC-Serie 0 0 Die Determinante der Matrix ist 0 (a) (b) (c) 4 (d) 6 Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen für reelle n n -Matrizen A und B sowie alle Zahlen λ R falsch? (a) det(λa) = λ n det A (b) det(a + B) = det A + det B (c) det(a T ) = det A (d) det(ab) = det B det A 7
Es seien 0 5 A = 0 0 4 und B = A 0 0 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) det A = 4 (b) det B = 4 (c) det(ab) = 4 (d) det(ba) = 4 4 Sei A eine quadratische Matrix mit det A = 0 Dann ist A x = b (a) stets unlösbar (b) nur lösbar für b = 0 (c) lösbar für alle b, aber nicht unbedingt eindeutig lösbar (d) lösbar nur für manche b, aber für kein b eindeutig lösbar 8
5 Welche ist die Inverse der Matrix cos θ sin θ A =? sin θ cos θ (a) A = cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ sin θ (b) A = sin θ cos θ (c) A = sin θ cos θ ( sin θ cos θ cos θ sin θ ) sin θ cos θ (d) A = cos θ sin θ 9
6 Sei A die zu A = inverse Matrix Die Summe der Spalten von A 5 7 ist (a) 7 (b) 7 (c) 4 0 (d) 0 4 0
7 Welche Menge ist ein Unterraum von R? (a) {(x, y, z) x + y + z = } (b) { (x, y, z) x = y } (c) {(x, y, z) x = y = z} (d) {(x, y, z) x = y oder x = z}
8 Welcher Vektor ist eine Linearkombination von und 4 5? 6 (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d)
9 Welche der folgenden Aussagen bedeutet die lineare Unabhängigkeit der Vektoren v, v,, v n eines Unterraumes V? (a) Wenn c = c = = c n = 0, dann c v + c v + + c n v n = 0 (b) Es gibt c, c,, c n nicht alle Null mit c v + c v + + c n v n = 0 (c) c v + c v + + c n v n = 0 für alle c, c,, c n R (d) c v + c v + + c n v n = 0, nur wenn c = c = = c n = 0 0 Welche ist eine Liste von linear unabhängigen Vektoren? (a), (b) 4, 5 6 (c) 4 0, 5, 0 6 0 (d) 4, 5, 6