2. Wellenausbreitung Die Wellengleihung beshreibt die Bewegung des Stabes: 2 u t 2 =2 2 u x 2 Für die eindeutige Festlegung der Lösung müssen zusätzlih Anfangsbedingungen und Randbedingungen angegeben werden. 2. Stabshwingungen 2.2-1
2. Wellenausbreitung Die Anfangsbedingungen geben Vershiebung und Geshwindigkeit des Stabes zu Beginn der Bewegung (t = 0) an: u x,0 =u 0 x, u x, 0 =v 0 x Die Randbedingungen definieren die Verhältnisse an den Rändern des Stabes. 2. Stabshwingungen 2.2-2
2. Wellenausbreitung 2.1 d'alembertshe Lösung 2.2 Anfangsbedingungen 2.3 Randbedingungen 2. Stabshwingungen 2.2-3
2.1 d'alembertshe Lösung Elementare Lösung: Für die Funktion gilt: 2 t 2 =0, 2 x 2 =0 x,t = x t Sie erfüllt daher die Wellengleihung für beliebige Werte von α und β. 2. Stabshwingungen 2.2-4
2.1 d'alembertshe Lösung Weitere Lösungen: Ansatz: u x,t = f x,t Ableitungen: u t = d f d u x =d f d t = d f d, 2 u t 2 = 2 d 2 f d 2 x = d f d, 2 u d f 2 x 2= 2 d 2 2. Stabshwingungen 2.2-5
2.1 d'alembertshe Lösung Einsetzen in die Wellengleihung: 2 d 2 f d 2= 2 2 d 2 f d 2 Die Wellengleihung ist für eine beliebige Funktion f erfüllt, wenn gilt: 2 = 2 2 =± 2. Stabshwingungen 2.2-6
2.1 d'alembertshe Lösung Ohne Beshränkung der Allgemeinheit kann gewählt werden. Dann lautet die Lösung: =1 u x,t = f 1 x t f 2 x t Dabei sind f 1 und f 2 beliebige Funktionen. Diese Lösung wird als d'alembertshe Lösung bezeihnet. 2. Stabshwingungen 2.2-7
2.1 d'alembertshe Lösung Untersuhung der d'alembertshen Lösung: Es gilt: f 1 x t = f 1 x t = f 1 x t Zum Zeitpunkt t+τ hat die Funktion f 1 am Ort x+τ den gleihen Wert wie zum Zeitpunkt t am Ort x. Sie beshreibt also eine Welle, die mit konstanter Geshwindigkeit ohne Änderung der Form in positive x-rihtung läuft. 2. Stabshwingungen 2.2-8
2.1 d'alembertshe Lösung Entsprehend beshreibt die Funktion f 2 eine Welle, die mit konstanter Geshwindigkeit in negative x- Rihtung läuft. Δt Δt f 1 f 2 x x 2. Stabshwingungen 2.2-9
2.2 Anfangsbedingungen Die Funktionen f 1 und f 2 werden durh die Anfangsbedingungen festgelegt: u x,0 = f 1 x f 2 x =u 0 x u x,0 = f 1 ' x f 2 ' x =v 0 x Integration der zweiten Gleihung führt auf f 1 x f 2 x = 1 x 0 x v 0 d C 2. Stabshwingungen 2.2-10
2.2 Anfangsbedingungen x 0 ist ein beliebiger Punkt und C ist eine Konstante. Addition der ersten Gleihung mit der integrierten zweiten Gleihung führt auf 2 f 2 x =u 0 x 1 x 0 x v 0 d C f 2 x = 1 2 [ u 0 x 1 x 0 x v 0 d C ] 2. Stabshwingungen 2.2-11
2.2 Anfangsbedingungen Aus der integrierten zweiten Gleihung folgt dann f 1 x = f 2 x 1 x 0 x v 0 d C = 1 2 [ u 0 x 1 x 0 x v 0 d C ] 2. Stabshwingungen 2.2-12
2.2 Anfangsbedingungen Damit lautet die Lösung u x,t = f 1 x t f 2 x t u x,t = 1 [ 2 u 0 x t u 0 x t 1 x t x t v 0 d ] Diese Lösung ist rihtig, solange die Wellen auf keine Ränder treffen. 2. Stabshwingungen 2.2-13
2.2 Anfangsbedingungen Beispiel: Betrahtet wird ein unendlih langer Stab mit den Anfangsbedingungen u 0 x ={1 os x L, L x L 0, x L v 0 x =0 2. Stabshwingungen 2.2-14
2.2 Anfangsbedingungen Die Lösung lautet: u x,t = 1 2 [ u 0 x t u 0 x t ] t = 0 t = t 2 t = t 1 x 2. Stabshwingungen 2.2-15
2.3 Randbedingungen Bei einem Stab endliher Länge müssen an den Rändern die Randbedingungen erfüllt sein: 2.3.1 Feste Einspannung 2.3.2 Freies Ende 2.3.3 Vorgegebene Kraft 2. Stabshwingungen 2.2-16
2.3.1 Feste Einspannung L x Linkes Ende: x=0 : u 0,t =0 2. Stabshwingungen 2.2-17
2.3.1 Feste Einspannung Die nah links laufende Welle trifft auf den linken Rand. Die Randbedingung u = 0 wird erfüllt, wenn der einlaufenden Welle eine nah rehts laufende reflektierte Welle gleiher Form aber mit umgekehrtem Vorzeihen überlagert wird. 2. Stabshwingungen 2.2-18
2.3.1 Feste Einspannung u u t 1 t 3 t 2 u t 4 u 2. Stabshwingungen 2.2-19
2.3.1 Feste Einspannung Analytish: u x,t = f x t g x t Randbedingung: Also: u 0,t = f t g t =0 g x = f x Ergebnis: u x,t = f x t f t x 2. Stabshwingungen 2.2-20
2.3.1 Feste Einspannung Entsprehend muss bei fester Einspannung am rehten Ende der nah rehts laufenden Welle eine nah links laufende reflektierte Welle gleiher Form aber mit umgekehrtem Vorzeihen überlagert werden: u x,t = f x t f 2 L x t 2. Stabshwingungen 2.2-21
2.3.2 Freies Ende L x Rehtes Ende: x=l : L,t =0 u x L,t =0 2. Stabshwingungen 2.2-22
2.3.2 Freies Ende Die nah rehts laufende Welle trifft auf den rehten Rand. Die Randbedingung u/ x = 0 wird erfüllt, wenn der einlaufenden Welle eine nah links laufende reflektierte Welle gleiher Form mit gleihem Vorzeihen überlagert wird. 2. Stabshwingungen 2.2-23
2.3.2 Freies Ende u u t 1 t 3 t 2 u t 4 u 2. Stabshwingungen 2.2-24
2.3.2 Freies Ende Analytish: Rehter Rand: u x,t = f x t f 2 L x t Linker Rand: u x,t = f x t f x t 2. Stabshwingungen 2.2-25
2.3.3 Vorgegebene Kraft L F(t) x F t Rehtes Ende: L,t =E L,t = u x A L,t = F t EA 2. Stabshwingungen 2.2-26
2.3.3 Vorgegebene Kraft Beispiel: Auf einen am linken Ende fest eingespannten Stab aus Aluminium trifft am rehten Ende ein Shlag. Daten: Länge L = 20m Quershnittsflähe A = 25 10-4 m 2 Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit = 5000m/s Elastizitätsmodul E = 70600 106 N/m 2 2. Stabshwingungen 2.2-27
2.3.3 Vorgegebene Kraft Anfangsbedingung: Der Stab ist am Anfang in Ruhe: u x,0 =0 Randbedingungen: Linkes Ende: Feste Einspannung: u 0,t =0 Rehtes Ende: vorgegebene Kraft t ={ 1 : 0 t T 0 : t T F t = F 0 t mit F 0 = 1000N, T = 0,001s 2. Stabshwingungen 2.2-28
2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 1: Es läuft eine Welle von rehts nah links. Zeit bis zum Eintreffen am linken Rand: t 1 = L = Wellenform: 20 m 5000 m/s =0,004 s u x,t = f x t u x x,t = f ' x t 2. Stabshwingungen 2.2-29
2.3.3 Vorgegebene Kraft u x L,t = f ' L t = F 0 EA t Substitution: y=l t, t= y L df dy = F 0 EA y L f y = F 0 [ EA y L C ] mit '= 2. Stabshwingungen 2.2-30
2.3.3 Vorgegebene Kraft Für t = 0: y=l u L,0 = f L =0 C= 0 Mit der gegebenen Funktion gilt: t ={ 0 : t 0 t : 0 t T T : t T 0 =0 C=0 Ergebnis: u x,t = F 0 EA x t L 2. Stabshwingungen 2.2-31
2.3.3 Vorgegebene Kraft 0s t 0,0040s 2. Stabshwingungen 2.2-32
2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 2: Die am fest eingespannten Ende reflektierte Welle kommt hinzu Zeit: 0,004s t 0,008s Funktion: u x,t = F 0 EA [ x t L x t L ] 2. Stabshwingungen 2.2-33
2.3.3 Vorgegebene Kraft 0,0044s t 0,0080s 2. Stabshwingungen 2.2-34
2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 3: Die am freien Ende reflektierte Welle kommt hinzu Zeit: 0,008s t 0,0012s Funktion: u x,t = F 0 [ EA x t L x t L x t 3 L ] 2. Stabshwingungen 2.2-35
2.3.3 Vorgegebene Kraft 0,0084s t 0,0120s 2. Stabshwingungen 2.2-36
2.3.3 Vorgegebene Kraft Die Lösung für den gesamten Zeitbereih lautet: [ u x,t = F 0 EA 1 x t 2 1 L =1 x t 2 1 L ] 2. Stabshwingungen 2.2-37
2.3.3 Vorgegebene Kraft 2. Stabshwingungen 2.2-38