Spezielle Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper Annalen der Physik (1905) Die Theorie wurde als Spezielle Relativitätstheorie bei M. Plank genannt (1906) vorher: Lorentz (Arbeiten 1892-1904) Poinaré ( 1895-1905) danah: H. Minkowski (1909) Galileitransformation vt x = x vt r = r Vt Weiter benutzen wir nur kartesishes Koordinatensystem und betrahten Bewegung nur längs x-ahse (das vereinfaht die Präsentation). K, K : Inertialkoordinatensysteme (IKS) Axiom : t = t Galileishes Relativitätsprinzip (1632) Moderne Formulierung: 1. Mehanishe Prozesse (Phänomene) werden bei geradlinig gleihförmiger Bewegung niht beeinflusst; 2. Äquivalente Experimente in zwei IKS liefern äquivalente Ergebnisse; Gesetze der Mehanik sollen gleihe Form haben (= kovariant sein) 1

Beispiel: Bewegung eines Teilhens r = r + Vt, r = r +V Kraft: F = F( r1 r 2, r 1 r 2,t) = F( r 12, r 12,t) F = F ( r 1 r 2, r 1 r 2,t) = F ( r 12, r 12,t) aber: r 1 r 2 = r 1 r 2 r 1 r 2 = r 1 r 2 F = F Masse ist invariant (Newtonshes Axiom) t = t : Axiom 2.Newtonshes Gesetz in K in K m r = F m r = F Die Trajektorien können untershiedlih aussehen weil die Anfangsbedingungen untershiedlih sind. Warum spriht Galileishes Relativitätsprinzip nur über mehanishe Prozesse? Weil es damals nihts anderes gab! Ende 19.Jahrhundert : Thermodynamik, Elektrodynamik Gilt Galileishes Relativitätsprinzip noh? Maxwellshe Gleihungen sind niht unter Galileitransformation kovariant! Unter anderen Transformationen? Experiment: Lihtgeshwindigkeit im Wasser (Fizeau, 1851) Ruhendes Wasser : v = n ( n: Brehzahl für Wasser) Sih bewegtendes Wasser : nah Galilei v b = n ±V Experimentell : v b = n ±V(1 1 n ) 2 2

Hier funktioniert Galileitransformation niht! Wir sehen später, dass sih die Widersprühe durh Benutzung der Lorentztransformation auflösen lassen. Interferenz: 3

Postulate der Speziellen Relativitätstheorie 1. Einsteins Relativitätsprinzip: Ergänzung des Galileishen Relativitätsprinzips für alle physikalishe Phänomene. Alle IKS sind äquivalent oder kein Experiment zeigt dass das System sih geradlinig gleihförmig bewegt ( es gibt kein priviligiertes System ) z.b. Maxwellgleihungen sollen kovariant sein Galileitransformation soll durh andere Transformation ersetzt werden 2. Lihtgeshwindigkeit im Vakuum: - ist gleih in allen IKS - hängt niht von der Rihtung und Ort ab Lihtgeshwindigkeit ist die maximale möglihe Geshwindigkeit der Informationsübertragung. Interaktion: Übergabe eines Signals. Klassishe Physik: momentane Übergabe. Zwei Körper: F 1 2 = F(r 12 ) = F( r 1 r 2 ) Wenn die Geshwindigkeit der Informationsübertragung begrenzt ist, dann sollen wir shreiben: F 1 2 = F( r 1 (t τ) r 2 ) ( vergleihe mit versp. Potentialen ) Retardierung Maxwellshe Elektrodynamik: Interaktion durh die Felder. Änderung wird mit der Wellengeshwindigkeit übertragen. Maximale Geshwindigkeit ist gleih in allen IKS. Wäre es anders, so könnte man dann die IKS untersheiden. Widerspruh zum Postulat 1! 4

Postulat 2 wird durh Experimente von Mihelson bestätigt (1881): ( Idee: bei Maxwell in 1878 vorgeshlagen ) Interferenz von Strahlen 1,2 in Rihtung 3. Zeit der Lihtausbreitung P S 2 und zurük: t 2 = L 2 V + L 2 +V V: Geshwindigkeit der Bewegung der Erde längs ihrer Trajektorie um die Sonne. Verständnis vom 19. Jh : - es existiert ein absolütes System (Äther) wo Zeit t 1 : P S 1 Lihtgeshwindigkeit ist. 5

S, (V t 1 ) 2 +L 2 1 = ( t 1 ) 2 = t 1 = vt L 1 2 V 2, t 1 = 2 t 1 Notation: β = V Dann: t 1 = 2L 1 1 1 β 2 Zeit t 2 : P S 2 t 2 = L 2 V + L 2 +V = 2L 2 t = t 2 t 1 1 1 V = 2L 2 2 2 Das Experimentalsystem wird nun um 90 o rotiert, dh : L 1 L 2 1 1 β 2 t 1 = 2L 1 t 2 = 2L 2 t t 1 1 β 2 1 1 β 2 t t L 1 +L 2 β 2 Wenn es so wäre, sollte man eine Vershiebung des Interferenzbildes beobahten, was niht der Fall ist. Spätere Experimente (Kennedy, Torndike, 1932): höhere Genauigkeit, monatelange Beobahtung ( untershiedlihe Inertialkoordinatensysteme) 6

Einsteinshe Postulate: Shlussfolgerungen 1. Relativität der Gleihzeitigkeit Gedankenexperiment: Beobahter 1 auf dem Zug, Beobahter 2 auf dem Bahnhof Relativistisher Zug Mittelpkt Lihtsignale Beobahter auf dem Bahnhof Lihtsignale werden so geshikt, dass sie Beobahter 1 genau dann erreihen, wenn er gegenüber Beobahter 2 ist. Shlussfolgerung Beobahter 1: Signale wurden gleihzeitig geshikt. Shlussfolgerung Beobahter 2: Signale waren eine gewisse Zeit unterwegs. Früher aber war die Lokomotive näher als der letzte Wagen Signal aus dem letzten Wagen wurde früher geshikt. 2. Koordinaten y,z ändern sih niht: y = y,z = z 3. Zeitdilatation z K v z x 0 Lihtquelle z K x 7

Im K : t = 2z 0 Sei K = K bei t = t = 0. Im K : z 2 0 +( V t 2 )2 = 2 ( t 2 )2 t = 2z 0 1 = 1 V 2 2 t = Γ t 1 V 2 2 β = V ; Γ = 1 1 β 2 t > t t = t 0 + t t 0 + t = t Im K : beide Ereignisse passieren in einem Punkt Zeitintervall t = τ heisst Eigenzeitintervall 4. Längenkontraktion y Spiegel z Wir shiken Liht und warten bis es zurükkommt l = t 2 = l 0 ( Eigenlänge ) Sei K = K bei t = t = 0. Messen wir die Länge im K : Spiegelposition bei Reflektion Spiegelposition bei t = 0 8

Änlih t (2) = l +V t (1) = l + δl = l + t(1) V = t (1) = l V t = t (1) + t (2) = l V + l +V = 2l 1 1 β 2 = 2l Γ2 (Das Liht holt den Spiegel mit V ein, dann breitet es sih entgegengesetzt mit +V) t = Γ t t = 2l Γ 2 t = lγ l 0 = lγ l = l 0 1 β 2 Lorentztransformation Sei K = K bei t = t = 0. aus K betrahtet : x = x 1 β 2 = x Γ zum Zeitpunkt t : x = x Γ +Vt x = Γ(x Vt) = x Vt 1 V 2 2 Das Ereignis in K hat die Koordinaten ( x, y, z, t). Finden wir die Zeitkoordinate im K : t = t (x,t) Rüktransformation (V V) : x = x +Vt = Γ(x +Vt ) 1 V 2 2 t = 1 V (x Γ x ) = 1 V (x Γ Γ(x Vt)) = x VΓ Γ V x+γt = Γ(t β x) 9

1 VΓ Γ V = 1 Γ2 VΓ = 1 1 1 β 2 β Γ = 1 ; β = V 1 β 2 1 β 2 = β Γ x = Γ(x Vt) x = Γ(x +Vt ) y = y y = y z = z z = z t = Γ(t V x) 2 t = Γ(t + V x ) 2 Komplexe Form 4 Koordinaten: x 1 = x,x 2 = y,x 3 = z,x 4 = it x 1 = Γ(x V i it) = Γ(x 1 +iβx 4 ) x 4 = Γ(x 4 iβx 1 ) und x 1 = Γ(x 1 iβx 4) x 4 = Γ(x 4 +iβx 1) Nihtrelativistishe Geshwindigkeiten a.) β = V << 1 Γ = (1 β2 ) 1/2 1 x = x Vt b.) Vx 2 << t t = t (d.h. x niht sehr gross) a.) + b.) Klassishes Gesetz: Galileishe Transformation Relativistishe Geshwindigkeitstransformation im K: υ x = dx dt im K : υ x = dx dt Zwei Ereignisse bei t und t + dt: 10

dx = Γ(dx Vdt) dt = Γ(dt V 2dx) dx dt = dx Vdt dx dt V dx = 2 dt V 1 V dx 2 dt Bemerkungen: v x = v x V 1 Vυ x 2 dy = dy, dz = dz υ y = υ y 1 β 2 1 Vυ, υ x z = υ z 1 β 2 1 Vυ 2 x 2 1. die Formeln (bzw. υ x,υ y,υ z ) sind niht symmetrish, weil relative Geshwindigkeit V x-ahse 2. v x << 1, β = V Rüktransformation << 1 klassishes Gesetz (Galileitransformation) υ x = υ x +V 1+ Vυ x 2 ; υ y = υ y 1 β ;υ z = z υ 1 β ; 1+ Vυ x 1+ Vυ 2 x 2 Sei υ x = υ x = +V = 1+ V ( Maximale Geshwindigkeit ist unabhängig von der Geshwindigkeit der Quelle ) Beispiel: Fizeau - Versuh, v = /n υ = υ +V 1+ V 2 υ = n +V 1+ V n = ( n +V)(1 V n ) 1 ( V n )2 klein υ = n +V(1 1 n 2) V 2 n 11

= n [ 1+ V n(1 1 n 2) V 2 2 ] n [ 1+ V n(1 1 n2) ] Fizeauformel Geshwindigkeit > : Wiederspruh? K K υ < Distanz ändert sih mit Geshwindigkeit 2υ. Wenn υ > 2, dann ist die relative Geshwindigkeit >. Es wird aber keine Information übertragen! Geshwindigkeit der Übertragung: Nehmen wir an, es gibt da zwei Postboten. Wenn sie am gleihen Ort sind, wird ein Paket übergeben. K : mitbewegtes System für Teilhen 1. Berehnen wir die Geshwindigkeit von Teilhen 2 im K : V = υ υ 2 = υ V 1 ( υ)v 2 = 2υ = 2υ 1+ υ2 2 1+ υ2 2 }{{} <1 Beispiel: rotierende Lihtquelle Strahlengeshwindigkeit auf der Kugeloberflähe: υ = ΩR ( kann > sein ) 12

Rotierender Pulsar : Liht auf die Erde Geshwindigkeit 10 22 m/s Das Intervall 2 IKS: K, K Bei t = t = 0 senden wir eine Lihtwelle. Gleihung für die Wellenausbreitung: im K im K x 2 +y 2 +z 2 = 2 t 2 x 2 +y 2 +z 2 = 2 t 2 Oder: 2 t 2 +(x 2 +y 2 +z 2 ) = 0 = 2 t 2 +l 2 = 0 2 t 2 +(x 2 +y 2 +z 2 ) = 0 Zwei Ereignisse: 1. Liht wird gesendet 2. Liht kommt auf der Kugeloberflähe an Intervall: s 2 = (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 (z z 0 ) 2 2 (t t 0 ) 2 Für unseren Gedankenexperiment s 2 = s 2 = 0 Für andere Ereignisse s 0,s 0, aber invariant: s = s (Beweis später) 1. Es seien in K zwei Ereignisse mit t und l. Kann man K so wählen, dass die Ereignisse am gleihen Ort stattfinden? d.h. l = 0 ( l) 2 2 ( t ) 2 = 2 ( t) 2 < 0 Also ist das möglih wenn s 2 < 0, = l t < Beispiel : Ein Teilhen bewegt sih im K längs x mit υ. Finden wir ein K, wo x = 0. x = Γ( x V t) = Γ(υ V) t V = υ, K ist mitbewegtes System 13

t = Γ( t V 2 x) = Γ(1 V t und t haben gleihe Vorzeihen: II ist immer später als I υ ) t Physikalishe Bedeutung: s 2 < 0 t > l > v = l/ t Information kann übertragen werden. Ereignis II kann die Folge von Ereignis I sein. 2. Es seien in K zwei Erignisse mit t 0 und x 0. Wir suhen K, wo die Ereignisse gleihzeitig stattfinden, t = 0. t = Γ( t V 2 x) t = 0 t = V 2 x V soll < sein. V = t x Nehmen wir an, alles passiert auf x. s 2 = ( l) 2 2 ( t) 2 = ( l ) 2 0 s 2 = ( x) 2 2 ( t) 2 > 0 t x < 1 t = Γ( t V 2 x) Es gibt V < so dass t = 0. V < V < t < 0 Reihenfolge von Ereignis I und II kann geändert werden können niht Ursahe - Wirkung sein 14

Vierer-Kinematik Ereignis : x 1,x 2,x 3,x 4 = it ( gleihe Einheiten ) Minkowski-Raum: dx 2 1 +dx2 2 +dx2 3 +dx2 4 = dl2 Distanz im Minkowski-Raum Transformation: Lorentz R (4) = {x,y,z,it} = { r,it} im Euklidishem Raum dl 2 = ds 2 = dx 2 +dy 2 +dz 2 2 dt 2 ( soll invariant sein! ) Ein Teilhen ist im Ruhezustand im K. dx = 0, dy = 0, dz = 0. dτ = dt = dτ ( Eigenzeit ) 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = 2 dτ 2 Pseudoeukl. Raum 2 dt 2 (1 dx2 +dy 2 +dz 2 2 dt 2 ) = 2 dt 2 (1 v2 2) 1 v2 dt 2dt = γ = ds dτ: Invariant, τ = 1 v2 2dt Vierer-Geshwindigkeit γ = 1 1 v2 2 v = d r dt V (4) = d R (4) dτ = (u 1,u 2,u 3,u 4 ) α = 1,2,3 u α = dx α dτ = dx α dt dt dτ = γdx α dt u 4 = dx 4 dτ = γd(it) dt = iγ = γυ α 15

V (4) = {γ v,iγ} Wenn υ << γ 1,u α = υ x,y,z u 4 ist immer 0 ( υ = 0 γ = 1,u 4 = i ), weil die Zeit immer weitergeht Es kann nie V (4) = 0 sein dt niht invariant Nohmal: Warum dividieren wir bei der Konstruktion der Vierergeshwindigkeit durh dτ und niht durh dt? dτ invariant (in allen Systemen gleihes Ergebnis) ( V (4) ) 2 = γ 2 αυ 2 α 2 γ 2 = γ 2 (υ 2 2 ) = 2 ( invariant ) Beispiel Geshwindigkeittransformation aus Vierer-Notation Komplexe Notation: u 1 = Γ(u 1 +iβu 4 ) u 1 = Γ(u 1 iβu 4 ) u 2 = u 2 u 3 = u 3 u 2 = u 2 u 3 = u 3 u 4 = Γ(u 4 iβu 1 ) u 4 = Γ(u 4 +iβu 1 ) Nohmal: alle 4-Vektoren werden nah Lorentz transformiert V (4) = {γ v,iγ} V (4) = {γ v,iγ } Setzen wir die Komponenten in die Transformationsformel ein: γ υ x = Γ(γυ x +iβ iγ) = Γ(γυ x γv) γ υ y = γυ y γ υ z = γυ z iγ = Γ(iγ iβγυ x ) Letzte Gleihung iγ = iγγ(1 β υ x) γ = γγ(1 Vυ x 2 ) γ γ = 1 Γ(1 V υ x 2 ) Setzen wir das in die ersten 3 Gleihungen ein: υ x = γ γ Γ(υ x V) = υ x V 1 V υ x 2 υ y = γ γ υ y = υ y 1 β 2 1 V υ x 2 16

Relativistishe Dynamik Impuls P (4) = m V (4) Ruhemasse (invariant) dp α dτ = γdp α dt d P (4) dτ = F (4) = γ d dt (mu α) = γ d dt (mγυ α) Annahme F α = γf α d Dann dt (mγυ α) = F α Zweites Newtonshes Gesetz in relativistisher Form: Vierte Gleihung: Berehnung von F 4 : Leiten wir nah dτ ab: dτ dt γ d dt (mγ υ) = F d dτ (mu 4) = F 4 d dτ (miγ) = F 4 ( V (4) ) 2 = γ 2 υ 2 γ 2 2 = 2 α = 1,2,3 γ υ dτ d (γ υ) γ dτ d (γ) = 0 im ersten Glied, multiplizieren beider Seiten mit m γ 2 υ d dt (mγ υ) }{{} F γ 2 υ F γ i γ d dτ (mγ) = 0 d dτ (imγ) = 0 }{{} F 4 γ 2 υ F +iγf 4 = 0 17

Vierte Komponente der Kraft F 4 = i γ ( F υ) d oder dτ (imγ) = iγ ( F υ) Ersetzen: dτ dt/γ γ d dt (imγ) = iγ ( F υ) d dt (m2 γ) = F υ Energie Leistung E = m 2 γ Konservative Kraft F = U: d(m 2 γ) = F υdt = Fd r = Ud r = du d(m 2 γ +U) = 0 = m 2 γ +U = onst = E Energie Einsteinshe (innere) Energie: U = 0 (freies Teilhen), v = 0, = γ = 1 E 0 = m 2, E = E 0 +T. Kehren wir zum Vierer-Impuls zurük: P (4) = m V (4) = {mγ v,imγ} Erste drei Komponenten: p = mγ v relativistisher Impuls Vierte Komponente: imγ = i (E U) P (4) = { p,i E U) } Energie-Impuls-Vektor F (4) = {γf,i γ ( F υ)} Minkowski-Kraft Hamilton-Funktion ( V (4) ) 2 = γ 2 α υ2 α 2 γ 2 = γ 2 (υ 2 2 ) = 2 ( P (4) ) 2 = (m V (4) ) 2 = m 2 2 18

p 2 (E U)2 2 = m 2 2 2 (p 2 +m 2 2 ) = (E U) 2 E = p 2 +m 2 2 +U(x,y,z) = H(q,p) Mit dieser Notation shreiben wir ( P (4) ) 2 um: p 2 (H U)2 2 = m 2 2 und berehnen Differential: p x dp x +p y dp y +p z dp z = (H U) 2 d(h U) 2 H U (p xdp x +p y dp y +p z dp z ) = d(h U) Vergleih von Koeffiienten liefert: H p x = 2 H U p x = (H U) p x p x = mγv x, H U = E U = m 2 γ dp x + (H U) p y = H p x dp x + H p y dp y + H p z dp z dp y + (H U) p z dp z H p x = 2 m 2 γ mγv x = v x Kanonishe Gl. Kinetishe Energie T = E U E 0 = m 2 γ m 2 = m 2 (γ 1) γ = (1 υ2 2) 1/2 1+ 1 υ 2 2 T = m 2 (γ 1) m 2 1 2 2 + 3 8 υ 2 2 = mυ2 2 υ 4 4 +... 19

Abhängigkeit zwishen v und F Nebenrehnung d dt (m2 γ) = F υ Rel. Newtonshes Gesetz: γ = 1 m 2( F υ) d dt (mγυ) = F mγ υ +m γ υ = υ 2( F υ)+mγ υ = F In klassisher Mehanik υ F Hier niht unbedingt! m υ = 1 γ [ F υ 2( F υ)] - wenn F υ γ = konst. ( folgt aus ** ) m υ = F γ wie Newtonshe Gleihung, nur m mγ - wenn F υ mγ 3 : zeitabhängig m υ = 1 υ2 γ (1 ) F = 1 F 2 γ 3 Generell: Abhängigkeit zwishen υ und F wird durh einen Tensor beshrieben. Eindimensionale Bewegung, Konstante Kraft Klassishe Mehanik d dt (mv) = F Anfangsbedingung: v = 0, t = 0 mv = Ft v kl = Ft m Rel. Mehanik d dt (mγv) = F mγv = Ft γv rel = Ft m 20

v kl = γv rel = = v 2 rel ( 1 v 2 kl v rel 1 v 2 rel /2 = v2 rel v 2 kl + 1 2 ) = 1 = v2 rel v 2 kl v rel = v kl 1+v 2 kl /2 < ( = 1 v2 rel 2 1+ v2 kl 2 ) = 1 Photonen als relativistishe Teilhen Bis jetzt haben wir vermutet, dass alle Teilhen m 0 haben, sonst hat P (4) = m V (4) keinen Sinn. Weiter: E = m 2 γ; p = mγ υ υ γ um ein Teilhen auf zu beshleunigen, brauht man unendlihe Energie. Einstein (1905): Wehselwirkung des elektromagnetishen Feldes und Elektronen kann man als Wehselwirkung von Lihtteilhen und Elektronen darstellen. Welhe Eigenshaften haben die Photonen? Lihtdruk ohne Reflektion (die Welle wird absorbiert): P d = W [W]: Energie pro Zeit pro Flähe Es sei eine ebene Welle, alle Photonen laufen in eine Rihtung mit E und p. Es sei, dass N Photonen auf die Einheitsflhe pro Zeitintervall fallen: W = NE Impuls Np (pro Zeit pro Flähe): F = d p dt, P d = W F ds = P d = d p dsdt = Np = Np = NE = p = E 21

Das folgt auh diret aus: Vierer Impuls (U = 0) p = mγ v = mγ2 2 v = E 2 v für v = P (4) = { p,i E } = ( P (4) ) 2 = 0 Für normale Teilhen: ( P (4) ) 2 = (m v (4) ) 2 = m 2 2 m = 0 für Photonen Energie eines Photons: E = hω, Impuls eines Photons: p = hω e = E e, wobei e ist Einheitsvektor ω = 2π λ = k k = k e P (4) = { h k,i ω h} = { h k,i hk} k (4) = { k,ik} p (4) = h k (4) Dopplereffekt aus der Vierer-Formulierung y Im K : Ebene Welle, Wellenvektor k (4) x k 1 = k osθ = ω osθ k 2 = k sinθ = ω sinθ k 3 = 0 k 4 = iω = ik Im K: k 1 = Γ(k 1 iβk 4) k 2 = k 2, k 3 = k 3 = 0 k 4 = Γ(k 4 +iβk 1 ) 22

Der Strahl bleibt in xy-ebene Letzte Gleihung: Erste Gleihung: i ω = Γ(iω +iβω osθ ) ω = ω Γ(1+βosθ ) Frequenz wird geändert ω osθ = Γ(ω osθ iβi ω ) osθ = ω ω Γ(osθ +β) = osθ +β 1+βosθ Rihtung wird geändert Lassen wir die Quelle im K ruhen, dann Messungen im K geben ω 0 = ω Im K: finden wir ω(θ) osθ = osθ β 1 βosθ β,+1 1+βosθ = βosθ β2 1 βosθ + 1 βosθ 1 βosθ = 1 β2 1 βosθ ω = ω Γ(1+βosθ ) = ω 0 1 β 2 1 βosθ K K Liht θ = +π, osθ = 1 1 β 2 1 β ω = ω 0 1+β = ω 0 1+β < ω 0 = ω 0 (1 β) 2 1 β 2 ω 0 (1 β) K K Liht θ = 0, osθ = 1 23

1 β 2 1+β ω = ω 0 1 β = ω 0 1 β > ω 0 K = ω 0 (1+β) 2 1 β 2 ω 0 (1+β) K θ = π/2, osθ = 0 ω = ω 0 1 β 2 ω 0 (1 β2 2 ) Effekt zweiter Ordnung ( gibt es niht in der klassishen Theorie ). Abberation (Abweihung) Shon gehabt: 1ste Gl d. Lorentz-Transformation liefert Zweite Gl liefert: Dann osθ = ω ω Γ(osθ +β) = osθ +β 1+βosθ k 2 = k 2 ksinθ = k sinθ ω sinθ = ω sinθ sinθ = ω ω sinθ = 1 1 Γ1+βosθ sinθ = tanθ = 1 β 2 β +osθ sinθ 1 β 2 1+βosθ sinθ 24