Aufgabe Die drei linear unabhängigen Vektoren a = OA, b = OB,c = OC spannen ein dreiseitiges Prisma auf. Dabei ist S der Schwerpunkt des Dreiecks OAB, M der Schnittpunkt der Diagonalen in der Seitenfläche ABED. a) Stelle die Vektoren EO,DB,OM, SM als Linearkombination der Vektoren a, b und c dar. b) Wo liegt der Punkt P, für den BP = b + a + c gilt? 2 2 c) Welche Bedingungen müssen die Parameter r, s und t in der Gleichung BQ = r a + s b + t c erfüllen, damit Q ein Punkt im Inneren der Strecke DE ist. d) Der Punkt R liegt im Inneren der Deckfläche CDE. Welche Bedingungen gelten dann für die Parameter r, s und t in der Gleichung BR = r a + s b + t c? Aufgabe 2 Eine schiefe Pyramide, deren Grundfläche ein Parallelogramm ist, wird von drei linear unabhängigen Vektoren a = OA, b = OB,c = OC aufgespannt. E ist der Mittelpunkt der Strecke OA, M der Mittelpunkt der Grundfläche, S der Schwerpunkt des Seitendreiecks BDC. a) Drücke die Vektoren AC,EC,ES, MS jeweils als Linearkombination der Vektoren a, b und c aus. b) Für einen Punkt P gilt: AP = a + b + c. Beschreibe die 2 2 Lage von P. c) Zeige, dass sich die Geraden ES und CM in einem Punkt Q schneiden. In welchem Verhältnis teilt Q die Strecke CM? Aufgabe 3 In einem kartesischen Koordinatensystem sind für jedes t > 0 einen Ebenenschar E t : tx - x 3 = 0 sowie die Punkte A(5/0/0) und B(0/5/0) gegeben. a) F t ist der Lotfußpunkt des vom Punkt A auf die Ebene E t gefällten Lotes. F t, der Koordinatenursprung O und die Punkte A und B bilden eine Pyramide mit der Spitze in B. Zeichne die Pyramide für t = in ein Schrägbild des Koordinatensystems. Welche besonderen Eigenschaften besitzen die Seitenflächen der Pyramide? b) Wie groß ist das Volumen V(t) der Pyramide F t AOB? Untersuche, ob es einen Wert für t gibt, für den das Volumen V(t) maximal ist. Aufgabe 4 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(/5/-2), B(/0/-2), C(5/8/-2) 3 4 und die Gerade g: x = 2 + t 3 gegeben. 3 0 a) Untersuche, für welche Werte von t es zwei Punkte D und E auf der Geraden gibt, so dass das Viereck ADEC ein Rechteck ist. Die Punkte A, D, E, C bilden zusammen mit der Spitze B eine Pyramide. Bestimme das Volumen dieser Pyramide.
2 b) Für a IR ist die Ebenenschar E a : 3x - 4x 2 + 5ax 3 = 5a - 7 gegeben. Welche Ebene dieser Schar schneidet die Seitenkante BC im Punkt P(8/4/-2)? Bestimme die Schnittpunkte dieser Ebene mit den anderen Seitenkanten der Pyramide. Welche besondere Figur bildet die Schnittfläche? Berechne ihren Flächeninhalt. Aufgabe 5 Für a IR ist eine Ebenenschar E a : (a - 4)x - 2x 2 + 6x 3-2a = 0 gegeben. 0 a) Welche Ebene der Schar ist parallel zur Geraden g: x = 3 + t? 6 b) Es gibt genau eine Ebene der Schar, die auf keiner anderen Ebene der Schar senkrecht steht. Welche Ebene ist dies? c) Die Ebene F ist parallel zur Ebene E 6 und geht durch den Punkt P(5/3/- ). Bestimme eine Koordinatengleichung von F und den Abstand der beiden Ebenen F und E 6. Aufgabe 6 3 2 Gegeben sind der Punkt M(2/4/2) und die Gerade g: x = 6 + k 2. 0 a) F ist der Fußpunkt des Lotes von M auf g. Bestimme diejenigen Punkte A und B auf g, deren Abstand von F genau so groß ist wie die Länge des Lotes von M auf g. b) Berechne die Koordinaten der Punkte C und D, die zusammen mit den Punkten A und B ein Quadrat bilden, dessen Mittelpunkt M ist. c) Über dem Quadrat ABCD wird eine senkrechte Pyramide errichtet, deren Volumen 72 (VE) beträgt. Bestimme die Koordinaten der möglichen Pyramidenspitzen. Aufgabe 7 Für t IR ist eine Ebenenschar E t : (t + )x + x 2 + (t - )x 3 +3 + t = 0 gegeben. a) Zeige, dass sich alle Ebenen der Schar in einer gemeinsamen Schnittgeraden s schneiden und gib eine Gleichung von s an. b) Welche Beziehung besteht zwischen t und t 2, wenn die beiden Ebenen E t 2 orthogonal zueinander sind. Untersuche, ob es eine Ebene der Schar gibt, die zu keiner anderen Ebene der Schar orthogonal ist. c) Welche Ebenen der Schar haben vom Koordinatenursprung den Abstand 3? Aufgabe 8 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0/0/0) und B(0/6/- 8) sowie die 0 5 Gerade g: x = 8 + t 3 gegeben. 6 4 a) Zeige, dass der Mittelpunkt M der Strecke AB nicht auf der Geraden g liegt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Punkt M und die Gerade g enthält. Weise nach, dass die Punkte A und B symmetrisch zu E liegen. E t und
3 Beschreibe ohne weitere Rechnung möglichst genau die gegenseitige Lage der Geraden AB und g. b) Bestimme die Koordinaten derjenigen Punkte C und D auf der Geraden g, die von A genau so weit entfernt sind wie der Punkt B vom Punkt A. Wie groß ist der spitze Winkel zwischen den Geraden AC und AD? c) A, B, C, D sind die Ecken einer dreiseitigen Pyramide. Zeichne die Pyramide in ein Schrägbild des Koordinatensystems. Begründe mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, dass alle Kanten des Körpers die gleiche Länge besitzen. Aufgabe 9 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade g: x = + k 0 sowie die Punkte A(6/3/- ), C(2/3/3) und D(0/-/3) gegeben. a) Zeige, dass der Punkt A auf der Geraden g, der Punkt C jedoch nicht auf g liegt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, welche die Gerade g und den Punkt C enthält. Ermittle die Koordinaten des Punktes B, der auf g liegt und gleich weit von A und C entfernt ist. Weise nach, dass die Punkte A, B und C ein gleichseitiges Dreieck bilden. b) Die vier Punkte A, B, C und D bilden eine Pyramide. Bestimme das Volumen dieser Pyramide. c) F ist eine Ebene, die parallel zur Ebene E verläuft und die Pyramide ABCD in zwei Teilkörper mit gleichem Volumen zerlegt. Gib eine Gleichung von F an. Aufgabe 0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2,5/3/4) und B(2,5/6/0) gegeben. a) Die Ebene E liegt parallel zur x -Achse und enthält die Punkte A und B. Ermittle eine Gleichung derjenigen Geraden g, die im Punkt B auf der Geraden AB senkrecht steht und in der Ebene E liegt. Das Rechteck ABCD liegt in der Ebene E, die Ecke C außerdem in der x 2 x 3 -Ebene. Berechne die Koordinaten von C und D. b) Die Punkte A 0, B 0, C 0, D 0 entstehen durch die senkrechte Projektion der Punkte A, B, C, D auf die x x 2 -Ebene. Welches besondere Viereck wird durch die Punkte A 0, B 0, C 0, D 0 bestimmt? c) A 0 B 0 C 0 D 0 ist die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze S im Inneren oder auf dem Rand des Dreiecks ACD liegt. Für welche Lagen von S nimmt das Pyramidenvolumen den kleinsten Wert an? Berechne diesen kleinsten Wert. Aufgabe In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine massive, senkrechte quadratische Pyramide gegeben durch die Ecken P(2/-2/0), Q, R, S und T(0/0/6) (Maße in Meter). Die Grundkanten der Pyramide verlaufen parallel zur x - bzw. x 2 -Achse. (siehe Skizze) a) Zur Befestigung einer Messingplatte an der Pyramide wird in einem Punkt D der Seitenfläche QRT ein Dübelloch senkrecht zu dieser Fläche so gebohrt, dass die geradlinige Verlängerung des
4 Bohrlochs durch den Mittelpunkt der Pyramidengrundfläche geht. Berechne die Koordinaten von D. Welchen Abstand hat der Punkt D von der Pyramidenkante QT? b) Auf der Pyramidenfläche QRT wird nun die Messingplatte aus Teilaufgabe a) angebracht. Diese hat die Form eines Quaders, mit quadratischer Grundfläche der Kantenlänge a und der Höhe h = cm. Die Platte liegt mit ihrer Grundfläche auf der Seitenfläche QRT der Pyramide. Der Mittelpunkt M dieser Grundfläche liegt dabei auf dem Punkt D aus Teilaufgabe a). Die Unterkante der Plattengrundfläche ist parallel zur Grundkante QR der Pyramide. Sie halbiert die Lotstrecke von D auf QR. Berechne die Grundkantenlänge a der Messingplatte. Welche Masse hat die Platte? ( cm 3 Messing hat die Masse 8,5 g) c) Da die Messingplatte zu tief angebracht wurde, soll sie abgenommen und weiter oben montiert werden. Der Mittelpunkt M der Grundfläche der Platte soll auf der Geraden DT bleiben, aber den doppelten Abstand zur x x 2 -Ebene wie zuvor haben. Berechne die Koordinaten des Pyramidenpunktes N, auf dem nun M liegen soll. Verdeckt in diesem Fall die Platte das alte Bohrloch im Punkt D? Aufgabe 2 Die Positionen von Flugzeugen im Luftraum können durch Punkte in einem räumlichen Koordinatensystem beschrieben werden, bei dem die als Ebene betrachtete Erdoberfläche in der x x 2 -Ebene liegt. a) Ein Flugzeug A bewegt sich auf einem als geradlinig angenommenen Kurs von P (- 5/20/0) nach P 2 (4//0). Ein zweites Flugzeug B fliegt vom Punkt Q (5/-5/8) geradlinig in Richtung des Vektors 2 u =. Untersuche, ob es auf den beiden Flugbahnen zur Kollision kommen kann. k 2 b) Das Flugzeug B fliegt im Punkt Q auf dem Kurs weiter. Wie groß ist der minimale 2 Abstand der beiden Flugbahnen? c) Die beiden Flugbahnen müssen einen Mindestabstand von LE halten, damit es nicht zu einem "Fastzusammenstoß" kommt. Welche Werte von k im Richtungsvektor u von Flugzeug B kommen dazu in Frage? Aufgabe 3 Ein Flugzeug A bewegt sich vom Punkt P (//) je Sekunde um u =. Zur gleichen Zeit 4 befindet sich ein zweites Flugzeug B im Punkt Q (- 3/37/25). Dieses Flugzeug wird so gesteuert, dass er sich pro Sekunde um v =,5 bewegt. 6
5 a) Berechne den minimalen Abstand der beiden Flugbahnen. Gib die Koordinaten der Bahnpunkte bei diesem geringsten Abstand an. Begründe, dass sich die beiden Flugzeuge in Wirklichkeit nicht so nahe kommen. b) Nach welcher Zeit kommen sich die beiden Flugzeuge tatsächlich am nächsten? Wo befinden sich die beiden Flugzeuge zu dieser Zeit und welchen Abstand haben sie? Aufgabe 4 Das Viereck AB t C t D mit A(6/0/0), B t (8/t 2 /0), C t (4/3t/0) und D(2/2/0) ist für t > 0 die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(5/3/6). a) Für welche Werte von t hat die Pyramide eine quadratische Grundfläche? Handelt es sich in diesem Fall um eine senkrechte Pyramide? Bestimme das Volumen der quadratischen Pyramide. b) Welche zur Grundfläche parallele Ebene halbiert das Volumen der quadratischen Pyramide? c) Untersuche, ob es Pyramiden AB t C t DS gibt, bei denen eine Seitenfläche orthogonal zur Grundfläche ist. Aufgabe 5 a) Untersuche, ob das Dreieck ABC mit A(2//0), B(0/- /0), C(/3/0) ein besonderes Dreieck ist. Wie groß sind seine Innenwinkel? b) Gesucht ist ein Punkt P der x x 2 -Ebene so, dass das Dreieck APC ein gleichschenkligrechtwinkliges Dreieck ist. Wie viele solcher Punkte P gibt es, beschreibe ihre Lage. Gib die Koordinaten eines möglichen Punktes P an. c) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(/3/8). Die Ebene E ist parallel zur Grundfläche und geht durch den Mittelpunkt der Seitenkante AS. In welchem Verhältnis teilt E das Volumen der Pyramide ABCS? d) Eine zur Grundfläche parallele Ebene F teilt die Pyramide ABCS in einen Pyramidenstumpf und eine kleine Pyramide. Durch welchen Punkt der Seitenkante AS geht F, wenn die Volumina von Pyramidenstumpf und kleiner Pyramide sich wie 3: verhalten? Begründe dein Ergebnis. Aufgabe 6 Die Ebene E: 2x + 2x 2 + x 3-4 = 0 und die Koordinatenebenen begrenzen eine Ebene. a) Zeichne die Pyramide in ein Schrägbild des Koordinatensystems. Wie groß ist ihr Volumen? b) Die Geraden einer Geradenschar g t ( t IR )verlaufen durch den Koordinatenursprung und den Punkt A t (- /- /t). Zeige, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene F liegen, die auch die x 3 -Achse enthält. Begründe, dass diese Ebene F Symmetrieebene der Pyramide ist. c) Erläutere ein Verfahren, mit dem man feststellen kann, ob ein Punkt P(x /x 2 /x 3 ) innerhalb der Pyramide liegt. Aufgabe 7 Von einem Prisma ABCDEFGH sind die Punkte A(2//- ), B(6/4/- 2), C(5/6/0), D(/3/) und F(4/6/4) gegeben. a) Untersuche, ob die Grundfläche ABCD ein besonderes Viereck ist. Welche Seitenflächen des Prismas haben den größten Flächeninhalt?
6 b) Welche zur Grundfläche parallelen Ebenen zerlegen das Prisma in zwei Teilkörper, deren Volumina im Verhältnis :3 stehen? c) Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3/4/) im Inneren des Prismas liegen. Aufgabe 8 Die Punkte A(- 4/4/2), B(/- /0), C(5//2) und D(3/5/4) bilden die Grundfläche eines schiefen Prismas ABCDEFGH, bei dem die Strecke CG mit G(/7/4) eine Seitenkante ist. a) Gib eine Koordinatengleichung der Ebene an, in der die Deckfläche EFGH des Prismas liegt. Welches Volumen hat das Prisma? 23 b) Welcher Punkt der Seitenkante CG hat von der Grundfläche den Abstand? 35 c) Durch den Diagonalenschnittpunkt S der Grundfläche ABCD verlaufen Geraden. Bestimme eine Gleichung derjenigen Geraden, bei der der Abschnitt, der im Inneren des Prismas liegt, am längsten ist. Aufgabe 9 Das Dach eines Turmes hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Dabei betragen sowohl die Seitenlänge des Quadrats ABCD als auch die Höhe der Pyramide jeweils 6 m. a) Wie groß sind die Innenwinkel zwischen einer Seitenfläche und der Dachgrundfläche bzw. zwischen zwei Seitenflächen? b) Das Dach des Turmes muss neu gedeckt werden. Die beauftragte Firma berechnet 5 pro m 2 (incl. aller anfallenden Zusatzarbeiten, ohne Mehrwertsteuer). Wie teuer wird das Decken des Daches? c) Vor dem Neudecken des Daches werden zur Verstärkung des Dachstuhls zwei Stützbalken eingezogen. (Von ihrer Dicke ist in der Rechnung abzusehen.) Ein Balken b geht von der Mitte der Dachkante AD aus und stützt die Dachfläche BCS senkrecht ab. Ein zweiter Balken b 2 geht von C aus und stützt die Kante AS senkrecht ab. Berechne die Länge der beiden Balken b und b 2. d) Untersuche, ob es beim Einbau der beiden Balken zu Problemen kommt, wenn beide Balken eine quadratische Querschnittsfläche von 5 cm Seitenlänge besitzen. Aufgabe 20 In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Ebene E : x + x 2 + x3 8 = 0 sowie 2 t 3t r für t IR die Schar von Geraden g t : x = 0 + k 3t gegeben. 2 t 8 a) Untersuche, ob es Geraden der Schar gibt, die parallel oder senkrecht zur Ebene E verlaufen. Welche Gerade der Schar schneidet E unter dem größten Winkel? Gib diesen maximalen Winkel an. b) Berechne den Schnittpunkt S t einer Geraden g t mit der Ebene E. Welcher der möglichen Schnittpunkte S t hat vom Ursprung die geringste Entfernung? c) Die Schnittpunkte St werden orthogonal in die x x 2 -Ebene projiziert. Auf welcher Kurve in der x x 2 -Ebene liegen die Bildpunkte?