2. Stichproben-Verfahren in der Annahmekontrolle Stichwörter: Einfacher Prüfplan, zweifacher Prüfplan, Ausschussanteil, Operations-Charakteristik, OC-Kurve, Annahmegrenze, AQL, Ablehngrenze, LTPD, LQ, Produzenten-Risiko, Konsumenten-Risiko, AOQ, AOQL, sequentielle Annahmekontrolle, Military Standard 105E, ISO 2859, break even Qualität. Literatur: Ledolter & Burrill, Statistical Quality Control: Kap.11: Acceptance Sampling Plans. Bergman & Klefsjö, em Quality: Kap.14: Quality in the Supply Process. Zur Kontrolle einer (bei einem Unternehmen eingehenden oder von ihm hinausgehenden) Lieferung werden seit Mitte des letzten Jahrhunderts die Verfahren der Annahmekontrolle angewendet. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Lieferung aus einer Menge von Produkteinheiten gleicher Art und gleichen Typs besteht, die unter möglichst einheitlichen Bedingungen hergestellt wurden. Die Idee des Verfahrens ist es, die Entscheidung über Annahme oder Ablehnung nicht nach Prüfung der ganzen Lieferung, sondern auf Basis einer Zufallsstichprobe vorzunehmen. Die hier behandelten Verfahren sind vor allem die Annahmekontrollen mit einfachem und mit zweifachem Prüfplan; neben der Vorgangsweise bei der Anwendung werden uns die Eigenschaften und die Möglichkeiten zur Beurteilung solcher Verfahren beschäftigen. Eine zentrale Rolle spielt dabei die Operations- Charakteristik, der Verlauf der Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung angenommen wird, in Abhängigkeit vom Ausschussanteil in der Lieferung. 1 Annahmekontrolle Unter Annahmekontrolle (acceptance sampling) verstehen wir Verfahren zur Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Lieferung eines bestimmten Umfangs (N Stück) von gleichartigen Produkteinheiten; jedes einzelne Stück kann in einer Gut/Schlecht-Prüfung (nicht-messende Prüfung) bewertet werden. Verfahren der Annahmekontrolle sind die Annahmekontrolle mit einfachem Prüf- oder Stichprobenplan, auch einfache Annahmekontrolle genannt (single sample inspection)
die Annahmekontrolle mit zweifachem Prüfplan, auch zweifache Annahmekontrolle genannt (double sample inspection) sequentielle Annahmekontrolle Die stichprobenweise Annahmekontrolle ist zwingend, wenn die Prüfung des Qualitätsmerkmals zerstörend ist; bei umfangreichen Lieferungen eines billigen Produktes; wenn die Prüfung ermüdend ist. 2 Annahmekontrolle mit einfachem Prüfplan Ablaufdiagramm der Annahmekontrolle Die einfache Annahmekontrolle erfolgt auf Basis eines Stichprobenplans, der durch ein Zahlenpaar (n, Ac) charakterisiert ist. Dabei ist n die Anzahl der zu prüfenden Stücke oder der Umfang der Zufallsstichprobe, die aus der Lieferung zu ziehen ist; Ac ist die maximal tolerierte Anzahl von defekten Stücken in der Stichprobe; wir nennen Ac die Annahmezahl. Operations-Charakteristik oder OC-Kurve OC(θ) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Lieferung angenommen wird, wenn der Anteil der defekten Stücke (Ausschussanteil) den Wert θ hat. Die OC-Kurve dient zur Beurteilung des Stichprobenplans. Die Berechnung der OC-Kurve kann mit Hilfe des Urnen-Modells erfolgen: Sei X die Anzahl der schlechten Stücke in der Stichprobe; X folgt der Binomialverteilung: X B(n, θ) oder näherungsweise der Poissonverteilung P (λ) mit λ = nθ. Damit können wir die OC-Kurve bestimmen aus OC(θ) = P {X Ac θ}
Charakteristika der OC-Kurve: OC-Kurve für den Prüfplan (100, 3) Annahmegrenze oder AQL (acceptable quality level) θ 1 : größter Anteil der schlechten Stücke, bei dem die Lieferung für den Belieferten noch akzeptabel ist; Ablengrenze oder LTPD (lot tolerance percent defective), auch LQ (limit quality) θ 2 : jener Anteil der schlechten Stücke, bei dem die Lieferung fast immer abgelehnt werden soll. Eine Lieferung mit einem Ausschussanteil θ < θ 1 sollte fast immer angenommen werden, mit θ > θ 2 fast nie. Wir definieren das α-risiko (Produzenten-Risiko) als die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung mit Ausschussanteil AQL nicht angenommen wird, also 1 OC( theta 1 ). Der AQL wird üblicherweise so festgelegt, dass das Produzenten- Risiko einen Wert von 10% oder 5% hat, bzw. OC( theta 1 ) eine Wert von 90% oder 95% hat. das β-risiko (Konsumenten-Risiko) als die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung mit Ausschussanteil LTPD angenommen wird, also OC( theta 2 ). Diese Wahrscheinlichkeit üblicherweise mit 10% festgelegt. Beispiel 1: Produzenten- und Konsumenten-Risiko. Für eine Annahmegrenze (AQL) θ 1 = 0.02 und eine Ablehngrenze (LTPD) θ 1 = 0.08 ergibt sich für den Stichprobenplan (100,3) OC(0.02) = P {X 3 0.02} = 0.859, OC(0.08) = P {X 3 0.08} = 0.037 ;
somit sind α = 0.141 und β = 0.037. Die beiden Risiken für den Stichprobenplan (100,4) ergeben sich zu bzw. zu α = 0.053 und β = 0.090. OC(0.02) = P {X 4 0.02} = 0.947, OC(0.08) = P {X 4 0.08} = 0.090, Zur Konstruktion eines Stichprobenplans für die einfache AnnahmeKontrolle gibt es folgende Möglichkeiten: Nomogramm für Binomial-Verteilung: Bei Vorgabe von zwei Punkten der zu verwendenden OC-Kurve, (θ 1, 1 α) und (θ 2, β), kann ein passender Stichprobenplan abgelesen werden. Aus Tabellen; z.b. JIS-Tabellen für α = 0.05 und β = 0.10. Durch trial and error: Beginne mit (n 0, Ac 0 ); durch Erhöhen von n bei fixem Ac oder Verringern von Ac bei fixem n verschiebt sich die OC-Kurve nach links. Ein weiteres Charakteristikum des Stichprobenplans ist die Größe AOQ (average outgoing quality), d.i. der durchschnittliche Anteil der defekten Stücke in den Lieferungen, wenn eine abgelehnte Lieferung durch eine Lieferung mit θ = 0 (also eine fehlerfreie Lieferung) ersetzt wird; die Größe AOQ hängt von θ ab. Wir erhalten AOQ(θ) = θ OC(θ) + 0 [1 OC(θ)] = θ OC(θ). Unter der Größe AOQL (average outgoing quality limit) verstehen wir den maximalen Ausschussanteil AOQ. 3 Annahmekontrolle mit zweifachem Prüfplan Bei der zweifachen Annahmekontrolle wird zuerst eine kleinere Stichprobe gezogen. Findet man sehr wenige oder sehr viele defekte Stücke, so kann man die Entscheidung bereits mit der kleinen Stichprobe fällen; im nicht so eindeutigen Fall zieht man eine zweite Stichprobe, um zur Entscheidung zu kommen. Der Stichprobenplan besteht aus den Zahlen (n 1, Ac 1, R 1, n 2, Ac 2 ).
Die Operations-Charakteristik OC(θ) erhalten wir zu OC(θ) = P {X 1 Ac 1 θ} + P {Ac 1 < X 1 < R 1 θ} P {X 2 Ac 2 θ}, wobei X i (i = 1, 2) die Zahl der schlechten Stücke in der i-ten Stichprobe ist. Beispiel 2: Ein- und zweifache Annahmekontrolle. Für den Stichprobenplan (100,4) ergibt sich α = 0.053 (AQL = 0.02) und β = 0.090 (LPTD = 0.08). Die entsprechenden Werte für den Stichprobenplan (50, 1, 5, 50, 4) sind α = 0.044 und β = 0.135; er lässt öfters schlechte Lieferungen durch, kommt aber mit weniger Prüfaufwand aus. 4 Annahmekontrolle: Weitere Verfahren Bei der Sequentiellen Annahmekontrolle wird nach der Prüfung jedes einzelnen Stücks entschieden, ob die Lieferung angenommen werden kann, ob sie abgelehnt wird, oder ob die Prüfung fortgesetzt wird. Der Stichprobenplan besteht aus der Annahmelinie Ac(n) und der Rückweisungslinie R(n): Ac(n) = a 1 + bn, R(n) = a 2 + bn. Die Parameter a 1, a 2 und b werden so gewählt, dass OC(θ 1 ) = 1 α und OC(θ 2 ) = β. Damit ergeben sich a 1 = 1 [ ] 1 α K log, β a 2 = 1 [ ] 1 β K log, α b = 1 [ ] 1 K log θ1, 1 θ 2 wobei K = log [ ] θ2 (1 θ 1 ). θ 1 (1 θ 2 )
Beispiel 3: Sequentiellen Annahmekontrolle. Für θ 1 = 0.02, θ 2 = 0.08, α = 0.05 und β = 0.10 ergeben sich K = 0.629, a 1 = 1.553, a 2 = 1.994 und b = 0.0436. Die Annahme- und Rückweisungslinien sind Ac(n) = 1.553 + 0.0436 n, R(n) = 1.994 + 0.0436 n. Das Verfahren kann so modifiziert werden, dass für jede Prüfung kleine Stichproben anstelle eines einzelnen Stücks gezogen werden; wir sprechen dann von multipler Annahmekontrolle. Weitere Verfahren Verfahren, die auf einem quantitativen Qualitätsmerkmal basieren, Verfahren, welche die Kosten der Entscheidung berücksichtigen (kostenoptimale Prüfpläne). 5 Stichprobenplan-Systeme Im Lauf der Zeit wurden mehrere Stichprobenplan-Systeme entwickelt. Die bekanntesten Stichprobenplan-Systeme sind MIL-STD-105E oder Military Standard 105E (USA, 1989; seit 1950); die Stichprobenpläne werden auf der Basis des AQL (und des Lieferumfanges) gewählt; man spricht von einem AQL-System. ISO 2859 (seit 1974); dem Military Standard nachempfunden. Große Unternehmen, z.b. die Fa. Phillips, haben ihre eigenen Stichprobenplan- Systeme entwickelt, die bei Lieferverträgen mit ihren Lieferanten und Kunden zur Anwendung kommen. Military Standard 105E: Dieses Stichprobenplan-System umfasst drei allgemeine und vier spezielle Inspektionsniveaus. Die allgemeinen Inspektionsniveaus dienen der verschärften normalen reduzierten Kontrolle.
Es gibt genaue Regeln für Übergang zwischen den Inspektionsniveaus, z.b. von normaler Prüfung ist auf die verschärfte überzugehen, wenn zwei von fünf aufeinanderfolgende Losen gesperrt wurden; von verschärfter Prüfung geht man auf die normale über, wenn fünf aufeinanderfolgende Lose akzeptiert wurden. Achtung: Das α- und β-risiko hängt beim Military Standard 105E vom Stichprobenplan ab; z.b. ergibt sich für θ 1 = 0.01 (a) bei normaler Prüfung (50, 3): α = 0.037, (b) bei verschärfter Prüfung (125, 2): α = 0.131, (c) bei reduzierter Prüfung (50, 4): α = 0.001. 6 Kritik am Konzept der Annahmekontrolle Die am häufigsten vorgebrachten Argumente sind: Sie widerspricht der Idee des continuous improvement. Sie ist nicht praktikabel bei sehr kleinen Werten von θ; der Trend geht aber zu immer geringeren Ausschussanteilen ( Six Sigma ). Sie berücksichtigt meist nicht die Kosten. Deming: Prüfe alles oder nichts (all or none rule); wenn der Ausschussanteil θ geringer als die break-even Qualität ist, sollte man aus ökonomischen Überlegungen auf die Annahmekontrolle verzichten, andernfalls eine Vollprüfung vornehmen. Die Begründung ist wie folgt: Es sei k 1 : Kosten für Prüfung eines Stücks, k 2 : Folgekosten eines schlechten Stücks. Im Fall, dass der Ausschussanteil den Wert θ 0 hat, sodass k 1 = θ 0 k 2, kosten Prüfen und Nichtprüfen dasselbe! Wir nennen θ 0 = k 1 k 2 die break-even Qualität. Prüfe 100%, wenn θ > k 1 /k 2 ; ansonsten prüfe nicht!
Aufgaben 1. Eine Annahmekontrolle verwendet den Stichprobenplan (15, 1). Berechnen Sie (i) die OC-Kurve für θ = 0.00(0.01)0.20, (ii) das α- und β-risiko für AQL = 0.03 und LPTD = 0.10; (iii) die AOQ-Kurve und den AOQL-Wert; zeichnen Sie die Graphen zu (i) und (iii). 2. Suchen Sie einen Stichprobenplan für α = 0.044 und β = 0.135 bei AQL = 0.03 und LPTD = 0.10. 3. Der Stichprobenplan einer doppelten Annahmekontrolle mit zerstörender Prüfung lautet: Ziehe eine Stichprobe (n 1 = 4); sind alle Exemplare gut, so akzeptiere die Lieferung; sind zwei oder mehr schlecht, lehne die Lieferung ab. Ist ein Exemplar schlecht, so ziehe eine weitere Stichprobe (n 2 = 2); sind alle Exemplare gut, so akzeptiere die Lieferung; andernfalls lehne die Lieferung ab. Berechnen und zeichnen Sie die OC-Kurve. 4. Welchen Stichprobenplan würden Sie verwenden, wenn die Fehlerquote in der Größenordnung von 1 pro 100.000 liegt? (i) Wählen Sie einen Stichprobenplan. Beginnen Sie mit Ac = 0, und wählen Sie den Plan so, dass α = 0.05 bei AQL = 0.00001. (ii) Wie groß müssen Sie n wählen, damit das β-risiko den Wert 0.08 für LPTD = 0.0010 hat.