Quadratische Funktionen Beschreibe die Form des Bauwerks The Arch in St. Louis, Illinois, USA. Vereinfache die Darstellung des Bauwerks, indem die Form mithilfe einer Linie in einem Koordinatensstem dargestellt wird. Lege den höchsten Punkt des Bauwerks in den Koordinatenursprung. Kann es sich bei der vereinfachten Darstellung um den Graphen einer Funktion handeln? Begründe. Finde einen Term, dessen Graph eine ähnliche Form wie das Bauwerk beschreibt. Vergleiche den Term mit dem Term einer linearen Funktion. Was stellst du fest? Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, welche Eigenschaften quadratische Funktionen besitzen. wie man quadratische Funktionen darstellen kann. Problemstellungen aus dem Alltag mithilfe quadratischer Funktionen zu bearbeiten.
6. Die Normalparabel Vergleiche die beiden Funktionen f : = und f : = mit = miteinander. Erstelle zu den beiden Funktionen eine Wertetabelle für X [ ; ] mit Δ = und zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensstem. Ergänze die Tabelle. f : = f : = Art der Funktion Verlauf des Graphen Die Smmetrieachse wird auch Parabelachse genannt. Der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Smmetrieachse wird als Scheitel(punkt) bezeichnet. Die Gleichung = mit = beschreibt eine quadratische Funktion f mit folgenden Eigenschaften: f () 0 für alle X, somit ist = 0 f () = f ( ) für alle X f (0) = 0 (minimaler Funktionswert) Der Graph zur Funktion f: = ist eine Normalparabel. Sie hat folgende Eigenschaften: S (0 0) p: = Der Punkt S (0 0) heißt Scheitelpunkt. Der Graph ist smmetrisch zur -Achse Der Graph verläuft oberhalb der -Achse und ist nach oben geöffnet. 5 Zum Zeichnen der Normalparabel kann eine Parabelschablone verwendet werden. Wenn man eine Zahl in den Term bzw. einsetzt, ist das Setzen einer Klammer hilfreich obwohl es nicht immer notwendig wäre. I Spiegle den Graphen von f: = ( = ) am Graphen von =. Handelt es sich bei dem gespiegelten Graphen um den einer Funktion? Begründe. Der gespiegelte Graph ist kein Graph einer Funktion, da einem Element X zwei Elemente X zugeordnet sind bzw. da eine Parallele zur -Achse den Graphen in mehr als nur einem Punkt schneidet. II Gegeben ist die Zuordnung R: = ( = ). a) Erstelle für die Zuordnung eine Wertetabelle für X [ ; ] mit Δ = und zeichne den Graphen. b) Liegt eine Funktion vor? Begründe. c) Bestimme die Nullstelle, die Smmetrieachse und den Etremwert sowie dessen Art. Der Graph zu f: = ist eine an der -Achse gespiegelte Normalparabel. Sie ist nach unten geöffnet. a) 0 = 9 0 9 = S S (0 0) p: = b) Ja, da jedem Element X genau ein Element X zugeordnet ist bzw. eine Parallele zur -Achse den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. c) Nullstelle der Funktion: = 0 0 = = 0 f ( ) = f () für alle X -Achse ist Smmetrieachse. f (0) = 0 ist der Etremwert (maimaler Funktionswert). 5
7 Erkläre, welche Gemeinsamkeiten die Graphen der Funktionen f () = und f () = mit = haben. Zeichne eine Normalparabel. Lies Näherungswerte für ab, wenn X { 0,75;, ; ; 7 ;,5 } ist. Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte auf der Parabel p: = liegen. A ( 0, 0,09) Bei dem Graphen in der Randspalte handelt es sich um eine Parabel, also wird eine quadratische Funktion dargestellt. Was meinst du zu Danielas Behauptung? Begründe deine Antwort. B ( 0,5 ) C ( 0,5 ) D (0 00 ) Die Punkte P, P und P liegen auf einer an der -Achse gespiegelten Normalparabel mit der Gleichung =. Ergänze die fehlenden Koordinaten durch Ablesen aus einer Zeichnung und überprüfe diese rechnerisch. a) P ( ); P (,5 ); P (, ) b) P ( 0,); P ( 6); P ( 8,) 5 Die Eckpunkte eines Dreiecks A n BC mit A ( n n ), B ( ) und C ( ) liegen auf einer Normalparabel mit der Gleichung p: =. a) Zeichne für = und = die Dreiecke A BC und A BC. b) Berechne den Flächen inhalt der Dreiecke A n BC in Abhängigkeit von. c) Begründe, ob ein Dreieck A 0 BC mit Flächeninhalt FE eistiert und gib, falls möglich, die Koordinaten von A 0 an. Im Folgenden gilt: = 5 Beachte: Liegt ein Punkt P n auf dem Graphen einer Funktion f, so lauten seine Koordinaten: P n ( n f ( n ) ) Zeichnen einer Parabel Eine Parabel ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem Punkt F (Brennpunkt) und einer Gerade l (Leit gerade) den gleichen Abstand besitzen. Zeichne eine Gerade l und einen Punkt F im Abstand von cm. Trage ähnlich der Zeichnung Punkte A, B, C, auf l ein. Die Parabelpunkte entstehen als Schnittpunkte folgender Geraden (am Beispiel der Punkte B bzw. B ):. Senkrechte durch B zu l. Mittelsenkrechte von [BF] Führe die Konstruktion mit den Punkten A, B, C, durch. Verbinde die Punkte zur Parabel (die restlichen Punkte kannst du an einer Smmetrieachse spiegeln). Begründe, dass die Punkte A, B, C, die obige Bedingung erfüllen. Du kannst die Konstruktion auch mit einem dnamischen Geometrie programm durchführen. Beschreibe den Verlauf der Parabel bei Veränderung des Brennpunktes F. Übrigens kannst du mit dem Parabelwerkzeug des Programms prüfen, ob deine Konstruktion richtig ist.
8. Gestreckte und gestauchte Parabeln h s h s h Baumeister Bob zeigt seinem Lehrling, wie er die Tiefe des Aufzugschachts des im Rohbau befindlichen Bürogebäudes bestimmen kann. Dazu lässt er vom obersten Ende des Aufzugschachts eine Stahlkugel fallen und bestimmt deren Fallzeit in Sekunden. Die Funktion p: 5 ordnet der in Sekunden gemessenen Fallzeit ungefähr die Höhe in Meter zu. Erstelle für p eine Wertetabelle und zeichne den Graphen. Ermittle, aus welcher Höhe die Stahlkugel fallen gelassen wurde, wenn =,5 ( =,0) ist. Ergänze den Graphen von p durch Spiegelung an der -Achse und gib für den neuen Graphen die Definitions- und Wertemenge an. Zeichne in das Koordinatensstem die Graphen der Funktionen f : = und f : = 5 mit = ein und vergleiche den Verlauf der drei Graphen miteinander. Was stellst du fest? Berücksichtige bei deinen Überlegungen auch die Funktionsgleichungen. Ist a =, so liegt eine Normalparabel vor. Ist a =, so liegt eine gespiegelte Normalparabel vor. Eine gestreckte (gestauchte) Parabel ist enger/ schmäler ( weiter/breiter ) als die Normalparabel. Funktionen mit der Gleichung = a mit der Formvariablen a X \ {0} und = beschreiben Parabeln, deren Scheitel S im Ursprung liegt. Für die Form der Parabeln gilt: a 0 nach oben geöffnet. Die Parabel ist für a 0 nach unten geöffnet. a gestreckt. Die Parabel ist für a gestaucht. Normalparabel, oben offen a = oben offen, gestreckt, a = oben offen gestaucht, 0 a gespiegelte unten offen, Normalparabel, gestaucht, unten offen, a = a 0 gespiegelt, unten offen, gestreckt, a I Gegeben ist die quadratische Funktion p: = mit =. a) Beschreibe die Form der Parabel zunächst ohne Zeichnung. b) Fertige eine Wertetabelle für die Funktion p für X [ ; ] mit Δ = an und zeichne den zugehörigen Graphen. a) Da a 0 und a gestauchte Parabel, die nach unten geöffnet ist. b) 0 =,5 0,5 0 0,5,5 II Der Punkt P (,,6) liegt auf der Parabel p: = a. Bestimme die Gleichung der Parabel. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P (,,6) in = a liefert: 6=a,6, :, a= 5,5 p:= 5,5
9 Beschreibe den Verlauf des Graphen zu = a mit =, wenn die Formvariable a = 0 ist. Ändert sich die Funktionsgleichung p: = a mit a X \ {0} und =, wenn der zugehörige Graph an der -Achse gespiegelt wird? Begründe. Zeichne den Graphen der Funktion f im angegebenen Intervall. a) f: =, X [ ; ] Δ = b) f: = X [ ; ] Δ = 0,5 c) f: = 0,75 X [ ; ] Δ = d) f: = X [ ; ] Δ = 0,5 Im Folgenden gilt: = Ordne den Graphen in der Randspalte die entsprechende Funktionsgleichung zu. A = 0, B = 7 C = D =,5 E = Bestimme a so, dass P auf der Parabel p mit = a (a X \ {0}) liegt. a) P ( ) b) P ( ) c) P (,6 I 7,0) d) P ( 0, I 0,09) e) P ( 5 ) p p 5 Der Punkt P (,5,5) liegt oberhalb der Parabel mit der Gleichung =. a) Überlege, wie Eva zu dieser Feststellung kommen könnte, ohne dabei eine Zeichnung anzufertigen. b) Entscheide, ob der Punkt oberhalb, unterhalb oder auf dem Graphen liegt. P (, 7,6) p: = 8 P (,8 57,8) p: =,5 P (,5 0,5) p: = 0, P (0,5 0,8) p: =, p 0 p p 5 5 Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass gilt: A, B X p. a) A ( A ) B ( B ) p: = b) A ( A,9) B ( B ) p: = 0, Es soll gelten: A B. Bremsen Für die Berechnung der Strecke, die ein sich bewegendes Fahrzeug braucht, bis es vollständig zum Stehen gekommen ist, gilt folgende Formel: Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg Faustformel für den Reaktionsweg in m: ( Geschwindigkeit in km h 0 ) Faustformel für den Bremsweg in m: ( Geschwindigkeit in km h 0 ) Informiert euch, was genau mit Reaktionsweg und Bremsweg gemeint ist. Erstellt eine Tabelle für Reaktionsweg, Bremsweg und Anhalteweg für Geschwindigkeiten von 0 km h, 50 km h, 60 km h, 80 km und 00 km h h. Nehmt Plonen, Maßbänder (min. 50 m) und stellt für 0 km und 50 km alle drei Wege auf dem h h Pausenhof dar. Anhalteweg Reaktionsweg Sehen der Gefahr Bremsweg Bremsbeginn
0. Parallelverschiebung von Parabeln Verwende bei der Zeichnung verschiedene Farben. Verwende den GTR oder ein dnamisches Geo metrieprogramm. Überlege dir, wie viele Punkte höchstens parallel verschoben werden müssen, damit die neue Parabel gezeichnet werden kann. Zeichne die Graphen der Funktionen p : =, p : = + und p : = mit = für X [ ; ] in ein Koordinatensstem. Beschreibe die Lage des Graphen zu p (p ) in Relation zum Graphen zu p. Vergleiche die entsprechenden Koordinaten der Scheitelpunkte der Parabeln miteinander. Zeichne die Graphen der Funktionen p : = ( ) und p 5 : = ( + ) mit = für X [ ; ] in ein neues Koordinatensstem und verfahre ebenso wie mit den vorherigen Graphen. Zeichne den Graphen zu p auf ein kariertes Blatt und verschiebe die Parabel um Einheiten in die positive -Richtung. Bezeichne den neuen Graphen mit p. Verschiebe diesen um Einheiten in die positive -Richtung, bezeichne den neuen Graphen mit p. Gib die Funktionsgleichung von p sowie p an und vergleiche mit der von p. Was fällt auf? Ersetze bei den Funktionen p bis p 5 den Koeffizienten a = durch a = und führe alle Aufträge erneut aus. Was stellst du fest? Die Gleichung = a ( S ) + S mit a X \ {0}, S, S X wird als Scheitelpunktsform der allgemeinen Parabel bezeichnet. Funktionen mit der Gleichung = a + S mit a X \ {0}, S X und = beschreiben Parabeln, die entlang der -Achse verschoben sind und den Scheitel S (0 S ) besitzen. = a ( S ) mit a X \ {0}, S X und = beschreiben Parabeln, die entlang der -Achse verschoben sind und den Scheitel S ( S 0) besitzen. = a ( S ) + S mit a X \ {0}, S, S X und = beschreiben Parabeln, die entlang der - und -Achse verschoben sind und den Scheitel S ( S S ) besitzen. p P P v 8 7 6 5 v S S O p Bei der Parallelverschiebung handelt es sich um eine Kongruenzabbildung. Somit reicht es aus, nur einen Punkt der Parabel (sinnvollerweise den Scheitel) zu verschieben. I Der Scheitel einer verschobenen Normalparabel p ist S ( ). a) Gib die Wertemenge und die Gleichung der Smmetrieachse s von p an. b) Bestimme die Gleichung von p in der Scheitelpunktsform. c) Gib die -Koordinaten der Punkte Q X p und Q X p an, die beide die -Koordinate 5 haben. a) Da p ( ) = der minimale Funktionswert ist, gilt = { }. Die Smmetrieachse s verläuft durch den Scheitel S. Ihre Gleichung lautet somit: =. b) p: = ( ( ) ) + p: = ( + ) + c) Da p eine verschobene Normalparabel ist, ihr Scheitel die -Koordinate hat und = die Gleichung der Smmetrieachse ist, folgt: Q = ; Q = II Die Parabel p: = + ( = ) wird mit dem Vektor v = ( ) auf die Parabel p abgebildet. Bestimme die Gleichung von p in der Scheitelpunktsform. p 6 s 5 S =
Es gilt: S (0 ) X p v = ( ) S ( ) X p Die Koordinaten des Scheitelpunkts S lauten: S ( ). Die Formvariable a der Parabel p bleibt bei der Parallelverschiebung erhalten. p : = ( ) + Die Parabel p: = 0,5 ( = ) wird in -Richtung verschoben. Erläutere, wie viele Nullstellen die verschobene Parabel besitzen kann. Eine verschobene Parabel kann die -Achse, ebenso wie eine Normalparabel p: = ( = ), nur in genau einem Punkt schneiden. Begründe. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes S an und zeichne den Graphen. a) p : = ( ) + b) p : = ( + ) c) p : = 0, ( +,5) + d) p : = e) p 5 : = ( ) f) p 6 : = ( 7) ( 7) + g) p 7 : = ( + 6) h) p 8 : = ( ) 8 i) p 9 : = 5 ( )( + ) Im Folgenden gilt: = Gib zu den Graphen der Funktionen p bis p 5 die Gleichung in Scheitelpunktsform, die Wertemenge sowie die Gleichung der zugehörigen Smmetrieachse an. Der Scheitelpunkt S und die Formvariable a einer quadratischen Funktion sind bekannt. Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform. a) S ( ); a = 0,5 b) S ( 7); a = c) S (0,5,5); a = d) S (0 ); a = e) S (,5 ); a = 7 f) S (8, 0); a = p 5 p p p p 5 Bestimme zeichnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen. a) = 0,75 + 0,75 b) = ( + ) c) = + 8,75 d) = 5 ( ) + e) = 8 f) =,5 + + 6 5 Der Punkt Q liegt auf dem Graphen der Funktion p: = 0,5 + S ( S X ). Gib den Scheitelpunkt des Graphen an. a) Q (0 ) b) Q ( ) c) Q ( 0) d) Q (0 0) e) Q (,5 ) Lösungen zu : (0 8); (0 0); (0 0,75); (0 6); (0 6); (0 8,75); ( 0); (,5 0); ( 0); ( 0); ( 0); (0 0); ( 0); ( 0); (,5 0); (, 0); keine Schnittpunkte 6 Der Scheitel einer an der -Achse gespiegelten und verschobenen Normalparabel p ist S (6 ). Die Punkte P und P liegen beide auf p und haben die -Koordinate 7. Wie lauten die zugehörigen -Koordinaten? Erläutere. 7 Bestimme den fehlenden Koeffizienten so, dass der Punkt auf p liegt (a, c X ). a) p: = a ( + ) + P ( 7) b) p: = ( ) c Q ( 0) c) p: = ( + 5) + c B (,5,75) d) p: = a,5 D (,5)
. Parallelverschiebung von Parabeln 8 Die Nullstellen des Graphen zu p: = ( )( + ) kann ich ohne weitere Berechnung angeben. a) Erläutere Valentins Aussage. b) Gib die Nullstellen der Funktion ohne Berechnung an. p : = p : = ( ) p : = ( + 5)( + 5) c) Gib die Gleichung einer Parabel p an, die keine Nullstelle besitzt. Es gibt mehrere Möglichkeiten. 9 Der Punkt B gehört zum Graphen der Funktion f: = ( + S ) mit S X. Gib die Funktionsgleichung an. a) B ( ) b) B (0 ) c) B ( 6) d) B ( 9) e) B ( ) 0 Die Parabel p wird mit dem Vektor v auf die Parabel p abgebildet. Führe die Abbildung in einem Koordinatensstem zeichnerisch durch und bestimme die Gleichung von p rechnerisch. a) p: = ; b) p: = ( ) ; c) p: = ; v = ( 7 ) v = ( 5 ) v = ( ) d) p: = 0,5 ( + ) ; v = ( 0,5 ) e) p: = 5 + 8; v = ( 6 ) f) p: = ( ) +,5; v = ( 7 ) Eine Funktion p mit = ( S ), S X besitzt für = und = 9 (für =,5 und =,5) den gleichen Funktionswert. Gib an, für welchen -Wert die Funktion ihren kleinsten -Wert hat. Wie groß ist dieser? Mehrfachzuordnungen sind möglich. Ordne die Punkte den Funktionsgleichungen zu, auf deren Graphen sie liegen. = ( ) + = + + = = ( ) + 5 = 0,5 ( + ) B ( ) C (,5,5) F (,5) A ( 6) E ( 0) D ( ) G ( 5 5) Zeichne den Graphen zur Funktion p: = in ein Koordinatensstem. Spiegle diesen sowohl an der - als auch an der -Achse und gib die Funktionsgleichungen zu den gespiegelten Parabeln an. Bekannt sind der Punkt P ( 0) und die Funktion p: = +. a) Erläutere, wie die Lage des Punktes P in Bezug zum Graphen von p festgestellt werden kann. b) Überprüfe rechnerisch die Lage des Punktes P in Bezug zum Graphen von p. 5 Leander hat sich den Graphen der Funktion f: = 0,00000 + (h: = 5555 ( ) 55) auf dem GTR anzeigen lassen. Er meint, dass der Graph eine Parallele zur -Achse (eine Parallele zur -Achse) ist. Was meinst du? Erläutere.
6 Überprüfe rechnerisch, ob die angegebenen Punkte auf der Parabel liegen. a) = ( ) + 5 P ( 5) Q ( ) b) = ( + 7) P ( 5) Q ( 8) c) = P ( 67) Q (6,5 7,) d) = 7 ( ) P ( ) Q ( 6,5) 7 Dargestellt sind die Graphen zu den Funk tionen f: = und p: = +,5. a) Bestimme die Koordinaten des Vektors, der den Graphen von f auf den von p abbildet. b) Der optische Eindruck bestätigt die Verschiebung nicht. Erkläre, woran dies liegt. 5 p Wie viele Punkte müssen abgebildet werden? 8 Die Parabel p wurde durch Parallelverschiebung mit dem Vektor v = (,5 8 ) auf die Parabel p mit =,5 ( + ),5 abgebildet. a) Gib den Vektor v an, der die Parabel p auf die Parabel p abbildet. b) Ermittle die Koordinaten des Scheitelpunkts S der Parabel p. c) Gib die Gleichung der Parabel p an. f 9 Silvio überlegt: a) Was meinst du dazu? Begründe. b) Gib alle möglichen Funktionsterme in Scheitelpunktsform an, wenn die Parabel die Nullstellen und 0 hat und weder gestaucht noch gestreckt ist. Wenn bekannt ist, dass eine Parabel weder gestaucht noch gestreckt ist, reichen dann beide Nullstellen aus, um den Funktionsterm anzugeben? 0 Gegeben ist der Punkt P auf der Parabel mit der angegebenen Funktionsgleichung. P ( 8); = a + 6 P ( 0); = + c P ( ); = a + a) Berechne a bzw. c. b) Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel an. Parabeln versenken Stelle zwischen dir und deiner Banknachbarin/deinem Banknachbarn eine Trennwand auf. Anschließend denkt sich jeder von euch den Funktions term einer Parabel aus und zeichnet diese in ein Koordinatensstem. Ihr nennt nun abwechselnd jeweils einen -Wert und der andere teilt dann den zugehörigen Funktionswert zu seiner Parabel mit. Ziel des Spiels ist es, mit möglichst wenigen Wertepaaren den Funktionsterm zu bestimmen.
. Die allgemeine Form = a + b + c p Dargestellt ist eine verschobene Normalparabel p. Gib die Gleichung der Funktion p an. Welche der Gleichungen = 6 + 9 beschreibt ebenfalls die Funktion p? Begründe. Ermittle, welche Gleichungen jeweils dieselbe Funktion beschreiben. Erläutere dein Vorgehen. = ( + ) = ( ) + = + 7 = + = 6 + 0 = ( ) = + = + + 7 Ausquadrieren der Scheitelpunktsform: = a ( S ) + S = a ( S + S ) + S = a a S + a S + S Mit a S = b und a S + S = c folgt: = a + b + c Die Scheitelpunktsform kann in die allgemeine Form der Gleichung einer Parabel überführt werden und umgekehrt: ausquadrieren = a ( S ) + S = a + b + c Scheitelpunktsform allgemeine quadratisch ergänzen Form a X \ {0} und S, S X b, c X und = Beispiel: Ermittle eine allgemeine Formel für die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel p: = a + b + c mit a X \ {0} und b, c X sowie =. = a + b + c = a ( + b a ) + c = a ( + b a + ( b a ) ( b a ) ) + c quadratische Ergänzung von ( b = a [ ( + b = a ( + b a ) b a ] + c a ) + c b a b S ( a c b a ) a ) I Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Funktion p: = + an. Die Koordinaten des Scheitelpunktes S können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung ermittelt werden. Einsetzen in die Formel für den Scheitelpunkt S liefert (a = ; b = ; c = ): S ( ( ) ) S ( ) Leite ausgehend von der Form = + p + q mit p, q X und = eine allgemeine Formel für die Koordinaten des Scheitelpunktes S einer verschobenen Normalparabel her. Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes S einer Parabel p mit der Funktionsgleichung = ( m)( + m) mit m X und =?
5 Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes S, die Gleichung der Smmetrieachse s und die Wertemenge der zugehörigen Funktion. a) = + + b) = 0,5 + 8 + 8 c) = 6 + 9 d) = + e) = 0 + 70 f) = + 6 6 g) =,5 h) 5 = i) = + + 9 Im Folgenden gilt: = Ordne den Graphen die zugehörige Funktionsgleichung zu. Begründe deine Entscheidung. A = 0,5 ( + ) B = + C = + 5 D = ( + ) E =,5 Überprüfe rechnerisch, ob gilt: A X p. Kontrolliere mithilfe einer Zeichnung. a) p: = 8 + A (0 ) b) p: = + + 5 A ( ) c) p: = 0,5 A ( ) p 5 p p Der Punkt P ( 9 ) ist der Scheitelpunkt der Parabel p mit = 0,5 ( )( + ) +. p 5 5 p Hat Sid Recht? Begründe. 5 In der Randspalte dargestellt ist der Graph zur Funktion p mit = 0,5 ( ). Übertrage die Parabel in dein Heft und ergänze dann das Koordinatensstem passend. 6 Die Parabel p wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor v auf die Parabel p abgebildet. Ermittle durch Rechnung die Parabelgleichung von p. a) p: = + 0 0; b) p: = 0, ; v = ( 5 ) c) p: = ( + ) + 0; v = ( ) d) p: = + ; v = ( ) v = ( 0 ) Parabeln beschreiben Du und deine Banknachbarin/dein Banknachbar nehmen sich jeweils 6 Karteikärtchen. Anschließend =,5 schreibt jeder von euch auf jedes Kärtchen jeweils eine Gleichung, die eine quadratische Funktion beschreibt. = 7 ( + ) Breitet nun die beschrifteten Kärtchen auf eurer Bank aus. Wähle eine deiner Funktionsgleichungen aus, ohne preis zugeben welche, und beschreibe den Verlauf des zugehörigen Graphen mit Worten. Deine Banknachbarin/dein Banknachbar versucht daraufhin die ausgewählte Funktionsgleichung herauszufinden. Ist ihr/ihm dies gelungen, so wechselt ihr die Spielrollen. = 8 9 = 0 + 5 = ( + ) + = 0,0 9
6.5 Aufstellen von Parabelgleichungen Überlege dir, welche Angaben du benötigst für das Aufstellen einer Geradengleichung der Form = m + t mit m, t X und =. Parabelgleichung der Form = a ( S ) + S mit a X \ {0}, S, S X und =. Parabelgleichung der Form = a + b + c mit a X \ {0} und b, c X sowie =. Man nennt a, b und c in der Gleichung = a + b + c auch Formvariablen. Die Lösung erfolgt analog, wenn statt der Koeffizienten b und c die zwei Koeffizienten a und b oder a und c gesucht sind. Um Parabeln p zeichnen oder deren Funktionsgleichung aufstellen zu können, braucht man für die Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion = a ( S ) + S mit a X \ {0}, S, S X und = den Koeffizienten a sowie die Ko ordinaten S und S des Scheitelpunktes S. für die allgemeine Form der quadratischen Funktion = a + b + c mit a X \ {0} und b, c X sowie = die drei Koeffizienten a, b und c. Beispiel: Die Punkte P ( 6 ) und Q ( 5) liegen auf einer an der -Achse gespiegelten Normalparabel p ( = ). Gespiegelte Normalparabel a = P, Q X p liefert: I = ( 6) + b ( 6) + c I = 6 6b + c I = 6 6b + c II 5 = ( ) + b ( ) + c II 5 = b + c II c = + b (II) in (I) liefert: = 6 6b + b b = 0 (*) (*) in (II) liefert: c = + ( 0) c = Die Gleichung der Parabel p lautet: = 0. I Gib die Gleichung der Parabel p mit = + b + (b X und = ) an, wenn P ( 5) X p ist. Die Lösung erfolgt analog, wenn statt des Koeffizienten b der Koeffizient a oder c unbekannt ist. P X p liefert: 5 = ( ) + b ( ) + b = p: = + + II Stelle die Gleichung für eine an der -Achse gespiegelte und verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S ( 7) auf. Gespiegelte Normalparabel a = p: = ( ) 7 III Ermittle die Gleichung der Parabel p, wenn der Scheitelpunkt S ( ) und der Punkt P ( 5) X p bekannt sind. Einsetzen der Punktkoordinaten von S und P in die Scheitelpunktsform liefert: 5 = a ( ( ) ) + a = 7 p: = 7 6 6 ( + ) +
7 IV Wie lautet die Gleichung der Parabel p, wenn bekannt ist: S ( ) und b =? Aus der allgemeinen Formel für die Koordinaten des Scheitelpunkts folgt: = ( ) a = a p: = 0,5 +,5 = c ( ) c =,5 In welchen Fällen reichen zwei Punkte, die auf der Parabel liegen, aus, um die Gleichung der Parabel angeben zu können? Erläutere. Lässt sich die Gleichung einer Parabel angeben, wenn nur die Gleichung der Smmetrieachse und die Wertemenge bekannt sind? Begründe. Ermittle die Gleichung der quadratischen Funktion p in der allgemeinen Form und zeichne den zugehörigen Graphen, wenn Folgendes bekannt ist: a) S ( 6), P ( ) X p b) S ( ), P ( ) X p c) S ( 6), P ( 6 ) X p d) S ( 8 7 8 ); b = e) S ( 0,5 7); c = 6 f) S (7 ); a = g) p: = a 6 + Q ( 5) X p; a X \ {0} h) p: = + c Q ( 6) X p; c X i) p: = + b + 6 Q ( 0) X p; b X j) p: = 0,5 + c Q (0 6) X p; c X k) P ( ), Q ( 5) X p; c = und a X \ {0}; b X l) P (,5,5), Q ( 0,5) X p; b = 0,5 und a X \ {0}; c X m) P ( 6 ), Q (7 5) X p; a = 0,5 und b, c X Bestimme den fehlenden Koeffizienten so, dass der angegebene Punkt auf p liegt. a) p: = a ( + ) + P ( 7) b) p: = ( ) c Q ( 0) Von einer Parabel p sind die Koordinaten eines Punktes P ( ) bekannt. a) Welche zusätzlichen Informationen müssen bekannt sein, damit man die Parabelgleichung angeben kann? Finde verschiedene Möglichkeiten. b) Gib dir für die Fälle aus a) konkrete Werte vor und berechne damit jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes S. Gegeben ist eine Funktion p: = a + + c mit a X \ {0} und c X. a) Bestimme die Koeffizienten a und c so, dass gilt: P (0 ), Q ( 8 ) X p. b) Ermittle, welchen Wert a = c besitzen muss, damit R (0 ) auf p liegt. 5 Überprüfe, ob es möglich ist, a = b so zu wählen, dass S ( 0,5 ) bzw. S (0,5 ) Scheitelpunkt der Parabel p mit = a + b + 5 wird. 6 Die Formvariablen a, b und c der Funktionsgleichung einer Parabel p haben alle denselben Wert. Ermittle die Funktionsgleichung, wenn p durch P verläuft. a) P ( 6) b) P (,5,5) c) P ( 7) Im Folgenden gilt: = 8 8 8 8
8.6 Funktionale Abhängigkeiten Man spricht von einer funktionalen Abhängigkeit, wenn zwischen zwei Größen ein funktionaler Zusammenhang besteht. Berücksichtige auch die Intervallgrenzen. Bei einem Rechteck mit den Seitenlängen 6 cm und cm 6 cm wird die längere Seite um cm verkürzt und gleichzeitig die 0 andere Seite um cm verlängert, wobei X [0,5; 5,5]. Gib einen Term an, der den Flächeninhalt A der entstehenden Rechtecke in Abhängigkeit von beschreibt. Zeichne den zu diesem Term gehörenden Graphen in ein Koordinatensstem und ermittle anhand der Zeichnung, für welche Belegungen von der Flächeninhalt cm jeweils einen Etremwert annimmt. Bestätige die betreffenden Belegungen von rechnerisch und gib den zugehörigen Flächeninhalt A min bzw. A ma an. cm cm Quadratische Terme der Form T () = a + b + c mit a X \ {0} und b, c X sowie X besitzen immer einen Etremwert. Für a 0 ist der zum Term gehörende Graph eine nach oben geöffnete Parabel. Sie besitzt ein Minimum. Für a 0 ist der zum Term gehörende Graph eine nach unten geöffnete Parabel. Sie besitzt ein Maimum. I Die Punkte Q n liegen auf der Parabel p: = 0, +,8 mit =. Ihre -Koordinaten sind größer als, aber kleiner als 8. Zusammen mit den Punkten O (0 0) und P (0 0) bilden sie Dreiecke OPQ n. Stelle den Flächeninhalt A der Dreiecke OPQ n in Abhängigkeit von dar und gib den Inhalt A 0 des flächengrößten Dreiecks an. Der Term A () stellt einen quadratischen Term dar. Er besitzt somit einen Etremwert. Q n X p Q n ( 0, +,8) OQ n = ( 0, +,8 ) ; OP = ( 0 0 ) A () = 0 0 0, +,8 FE A () = (,5 + 5 ) FE O Quadratische Ergänzung liefert: A () = [,5 ( 5) +,5 ] FE Der Inhalt A 0 des flächengrößten Dreiecks beträgt,5 FE. Q 5 6 7 8 9 P II Die Punkte C n und D n liegen auf der Parabel p mit = + ( = ). Sie legen zusammen mit den Punkten A n ( 0) und B n ( 0) Rechtecke A n B n C n D n fest. Ermittle die Koordinaten des Rechtecks A 0 B 0 C 0 D 0, welches unter den Rechtecken A n B n C n D n den größtmöglichen Umfang u ma besitzt. D C A B
9 u () = ( + ) LE = + u () = ( ( + ) + ) LE u () = ( + + 8) LE Quadratische Ergänzung liefert: u ()= [ ( ) + 0 ] LE Die Rechtecke A n B n C n D n besitzen die Breite LE und die Länge LE. Das Rechteck A 0 B 0 C 0 D 0 besitzt für = den maimalen Umfang u ma = 0 LE. A 0 ( 0); B 0 ( 0); C 0 ( ); D 0 ( ) Was lässt sich über die Etremwerte des Terms T () = a ( S ) + S mit a X und S, S X aussagen, wenn X [ S ; S + ]? Was lässt sich über die Etremwerte des Terms T () = ( ) aussagen, wenn X [; 5]? Die Punkte P n ( ) liegen auf der Parabel p: = 0,5 + + mit =. Zusammen mit den Punkten C (,5) und Q n bilden sie Dreiecke CP n Q n, wobei für die Punkte Q n gilt: P n Q n = ( ). a) Zeichne die Parabel p sowie das Dreieck CP Q für = in ein Koordinatensstem und berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks CP Q. b) Welche Werte für n sind zulässig? Nutze die Zeichnung. Begründe. c) Gib den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte P n an. d) Unter den Dreiecken CP n Q n hat das Dreieck CP 0 Q 0 den größten Flächeninhalt A 0. Berechne die Koordinaten der Punkte P 0 und Q 0. Carlo stellt eine Behauptung auf. Begründe, ob Carlo Recht hat. Der Produktwert aus Vorgänger und Nachfolger einer ganzen Zahl ist minimal, wenn es sich bei dieser ganzen Zahl um die Null handelt. Lösung zu : A () = ( + 6) FE 5 7 5 a) Ermittle, für welche zwei positiven rationalen Zahlen sich der größtmögliche Produktwert ergibt, wenn der Summenwert beider Zahlen ist. b) Ändere das Zahlenrätsel aus Teilaufgabe a) so ab, dass das Produkt der beiden positiven rationalen Zahlen den kleinstmöglichen Wert ergibt. Auf der Parabel p liegen Punkte C n ( + 5 +,75) und D n, wobei die Abszisse der Punkte D n jeweils um größer ist als die der Punkte C n. Die Punkte C n und D n sind zusammen mit dem Punkt A ( ) Eckpunkte von Parallelogrammen AB n C n D n. a) Zeichne die Parabel p sowie die Parallelogramme AB C D für =,5 und AB C D für =,5 in ein Koordinatensstem. b) Bestimme die Koordinaten von D n in Abhängigkeit von. c) Berechne den Flächeninhalt A () der Parallelogramme AB n C n D n. d) Unter den Parallelogrammen AB n C n D n hat das Parallelogramm AB 0 C 0 D 0 den kleinsten Flächeninhalt A. Ermittle den zugehörigen Wert von. 0 Setze für die gesuchte Zahl. = Lösung zu : D n ( + + 9 + 8,75) A () = ( + + 0,5) FE
0.7 Quadratische Funktionen im Alltag In der Eifel gibt es in den Kratern erloschener Vulkane annähernd kreisförmige Seen, die man Maare nennt. DronkeTurm 56 m Mäuseberg Weinfelder Maar Schalkenmehrener Maar Gemündener Maar a) Die Querschnitte der Maare können mit Funktionsgleichungen der Form = a beschrieben werden. Für welches Maar ist der Faktor a am kleinsten? Entscheide anhand der Skizze. b) Der Querschnitt des Gemündener Maars wird annähernd durch die Funktionsgleichung = 0,006 beschrieben. Die maimale Tiefe dieses Sees beträgt 8 m. Ermittle den Durchmesser der Wasserfläche. c) Berechne die Wasserfläche des annähernd kreisförmigen Sees in Hektar. Unabhängig von der Form und Bewegung des Körpers betrachtet man bei Flugbahnen nur den Schwerpunkt des Körpers (hier z. B. die Badehose). Lege das Koordinatensstem geschickt fest. Die Klippenspringer von Acapulco sind weltberühmt. Sie springen von einem 5 m hohen Felsen in den Pazifik. Durch Überdecken mit einem Koordinatensstem kann die Flugbahn dieser Springer als Parabel modelliert werden. a) Der Funktionswert des Scheitelpunkts entspricht der maimalen Höhe von 5,5 m, obwohl der Fels nur 5 m hoch ist. Begründe. b) Ermittle die Funktionsgleichung dieser Flugparabel. c) Ein anderer Springer springt von einem 0 m hohen Sprungturm. Gehe von einer identischen Flugkurve aus und bestimme so erneut die Funktionsgleichung der Flugparabel. In welcher horizontalen Entfernung vom Absprungpunkt taucht der Springer ins Wasser ein? Bei der TischtennisWeltmeisterschaft 0 in Dortmund verteidigte der Chinese Ma Long mit einer sogenannten Ballonabwehr. Der Tischtennisball wird dabei in einem,8 m hohen Bogen 0,6 m weit zurück auf die Platte gespielt. Wie lautet eine Funktionsgle c u gd ese Flugparabel? lugpa abel? gleichung dieser S 5,5 m 5 m m
In jedem Freizeitpark ist die Fütterung der Delphine eine Attraktion. Die Delphine schwimmen in Richtung Pfleger, springen dann m hoch und 8 m weit aus dem Wasser heraus und schnappen sich den Fisch. a) Skizziere diese Parabel ( cm entspricht m). b) Bestimme eine Funktionsgleichung der parabelförmigen Flugbahn. 5 Das Logo der Firma Willi Würstchen ist ein graues W. 6 Die Abbildung zeigt das Logo, das mit einem Koordinatensstem hinterlegt wurde. 5 Näherungsweise kann man die Ränder des Buchstabens mit vier Parabeln beschreiben (Scheitelpunkte S bis S ). a) Gib die Koordinaten der Scheitelpunkte S bis S 5 6 7 8 und die Nullstellen der S Funktionen möglichst S genau an. b) Ermittle die Funktionsgleichungen S S der Parabeln mit den Scheiteln S und S. c) Zeichne alle Parabeln in dein Heft. Nutze Smmetrien und färbe das Logo. Beschreibe die Unterschiede zwischen deiner Kopie und dem Original. 6 In der Abbildung siehst du eine Traube aus insgesamt 0 verschobenen bzw. gespiegelten und verschobenen Normalparabeln. Die Parabeln sind durch Buchstaben gekennzeichnet. a) Bestimme für alle Parabelbögen k bis t die Scheitelpunkte und Funktionsgleichungen der Form = + p + q. b) Worin unterscheiden sich z. B. die Parabeln a und t, b und r, usw.? c) Ermittle die Funktionsgleichungen für die Parabelbögen a bis j. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Die Buchstaben a bis j stehen unter, die Buchstaben k bis t über dem entsprechenden Bogen. 7 In einem Dachstudio soll an der m breiten Giebelwand ein bodentiefes, rechteckiges Kunstwerk so installiert werden, dass zwei Ecken mit der Bodenkante zusammenfallen und die beiden anderen Ecken mit den Dachschrägen. Um möglichst große Gestaltungsfreiheit zu haben, möchte der Künstler für sein Kunstwerk den größtmöglichen Flächeninhalt haben. a) Bestimme den Flächeninhalt des Kunstwerks in Abhängigkeit von. b) Begründe, dass für = 0 und = 6 der Termwert für den Flächeninhalt null ist. c) Berechne für den größten Flächeninhalt und gib diesen an. d) Finde mit einer Wertetabelle den -Wert, für den das Kunstwerk quadratisch ist. e) Berechne, um wie viel Prozent die quadratische Fläche kleiner ist als die größte rechteckige Fläche. 5 m m 5
.8 Vermischte Aufgaben Im Folgenden gilt: = Dargestellt sind der Graph zur Funktion p: = + mit = sowie das Viereck AB CD mit A (0 ), B ( ), C (0 5) und D ( ). Die Punkte B n ( + ) und D n ( + ) liegen auf der Parabel p. a) Begründe, dass die Punkte B n durch Spiegelung an der -Achse auf die Punkte D n abgebildet werden können. b) Handelt es sich bei den Vierecken AB n CD n um Drachenvierecke? Begründe. D 5 C A B = = + = = + = 0,5 + = Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörigen Eigenschaften und Graphen zu. Es können auch mehrere Eigenschaften zutreffend sein. Die Parabel ist gestaucht (gestreckt). schneidet die -Achse im Punkt P (0 I 0,5). schneidet die -Achse in P (0 I ). ist nach oben geöffnet. 5 hat zwei Nullstellen. 6 verläuft durch den Punkt P ( I ). Der Graph zur Funktion f mit = + wird an der -Achse gespiegelt. a) Vervollständige Jacobs Aussage. Bei der Spiegelung des Graphen an der -Achse bleiben die Smmetrieeigenschaften erhalten, weil b) Wie lautet die Funktionsgleichung des gespiegelten Graphen? c) Gib an, durch welche Achsenspiegelung der Graph zur Funktion f mit = ( + ) + auf sich selbst abgebildet werden kann. Gegeben ist die Funktion f: = 0,5 ( ) ( + ). a) Begründe, welche Art von Funktion vorliegt. b) Gib die Nullstellen der Funktion f ohne weitere Berechnung an. 5 Bestimme mit der nebenstehenden Zeichnung den Vektor v = ( v v ) mit v, v X, der den Graphen von f: = durch Parallelverschiebung auf den von p: = + abbildet und bestätige seine Koordinaten rechnerisch. 6 Ermittle, welche Gleichungen jeweils dieselbe Funktion beschreiben. 5 = +,5 = ( ) = + 6 7 = ( ) 5 = 8 + 5 6 = ( + ) 5 6 7 = + 6 8 = ( ) + 5 7 Ermittle die Gleichung der quadratischen Funktion f in der allgemeinen Form. a) A (5 ), B (0 ) X f: = 0, b + c mit b, c X b) Der Graph der Funktion f stellt eine an der -Achse gespiegelte und verschobene Normalparabel mit dem Scheitel S ( ) dar. c) A ( ), B ( 7) X f: = a + b + c mit a X \ {0} und b, c X. Die Gleichung der Smmetrieachse des Graphen zu f lautet: =.
8 Bei vielen Brücken überspannt ein Parabelbogen ein Tal. Die Fahrbahn wird dabei von Haltepfeilern getragen, die in regelmäßigen Abständen angeordnet sind. Die Grafik stellt eine vereinfachte Vorderansicht des Parabelbogens der Grümpentalbrücke bei Schalkau in Thüringen dar. 75 m 70 m a) Skizziere die Brückenansicht in ein Koordinatensstem in dein Heft. Wähle geschickt die Lage des Koordinatenursprungs. b) Ermittle eine Funktionsgleichung für die Parabel. Beschreibe dein Vorgehen. c) Bestimme die Länge aller Pfeiler. 9 Die Funktion p: = 0,5 + 0,5 wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor v = ( ) auf p abgebildet. a) Tabellarisiere die Funktion p für X [ 5; ] und Δ =. Zeichne die Graphen von p und p in ein Koordinatensstem. b) Ermittle durch Rechnung die Gleichung von p in der allgemeinen Form. c) Gib die Gleichung der Smmetrieachse s von p sowie p und p an. d) Für die Abszisse der Punkte B n X p gilt: 7. Gemeinsam mit den Punkten A ( ) und C ( 7 ) sind die Punkte B n die Eckpunkte von Dreiecken AB n C. Zeichne die Dreiecke AB C für = 6 und AB C für =. e) Stelle den Flächeninhalt A der Dreiecke AB n C in Abhängigkeit von dar. f) Unter den Dreiecken AB n C besitzt das Dreieck AB 0 C den größten Flächeninhalt A ma. Ermittle den zugehörigen Wert von und gib A ma an. 8 5 Lösungen zu 9: p : = 0,5,5 + 0,5 A () = ( 0,75 5,5) FE 0 Bei der Weltmeisterschaft 99 in Tokio übertraf Mike Powell (USA) im Weitsprung den bis dato aktuellen Weltrekord von 8,90 m um 5 cm. Analsen ergaben, dass sich die Flugbahn seines Körperschwerpunkts bei diesem Sprung näherungsweise durch die Funktion f: = 0,05 + 0, +,5 mit = 0 0 beschreiben lässt, wobei die horizontale Entfernung vom Absprungpunkt und die Höhe des Körper schwerpunkts über dem Boden darstellt (beides in m gemessen). a) Beim Absprung war der Körperschwerpunkt in einer Höhe von,5 m über dem Boden und bei der Landung nur wenige Zentimeter über dem Boden. Wie könnte Carl zu seiner Aussage kommen? Erläutere. b) Ermittle mithilfe des Graphen, bei welcher horizontalen Entfernung vom Absprungpunkt sich der Körper schwerpunkt in einer Höhe von,00 m über dem Boden befand. c) Wäre beim Weltrekordsprung ein Smart Fortwo (Länge,50 m; Breite,5 m; Höhe,5 m) übersprungen worden? Erläutere deine Überlegungen. Es gibt mehrere M öglichkeiten.
.9 Das kann ich! Überprüfe deine Fähigkeiten und Kenntnisse. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smile. J K L Das kann ich! Hinweise zum Nacharbeiten findest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen findest du unter www.ccbuchner.de/medien (Eingabe 870-0). Aufgaben zur Einzelarbeit Das kann ich fast! Tabellarisiere die Funktion f für X [ 5; 5], Δ = und =. Zeichne den Graphen von f in ein Koordinatensstem ein und gib f sowie f an. a) f: =,5 b) f: = 0,5 ( + ) + c) f: = + d) f: = e) f: = ( ) f) f: = ( +,6)(,6) Finde anhand einer Zeichnung heraus, für welche Werte von gilt: a) b) c) Überprüfe die Ergebnisse mit einem geeigneten Computerprogramm. Von einer quadratischen Funktion p ist bekannt: Eine der Nullstellen ist =,5. Der Graph von p schneidet die -Achse bei =. Die Smmetrieachse von p ist s: =. a) Ermittle die Gleichung der Funktion p. b) Leticia fragt sich: Kann die Gleichung einer quadratischen Funktion auch dann ermittelt werden, wenn man nur die Smmetrieachse s und die beiden Nullstellen kennt? Was meinst du? Begründe. Das kann ich noch nicht! 5 Stelle die Gleichung der quadratischen Funktion f in der allgemeinen Form auf ( = ). a) Der Graph von f ist eine an der -Achse gespiegelte und verschobene Normalparabel mit der Smmetrieachse s: = und P ( ) X f. b) Die Gleichung von f beschreibt eine verschobene Normalparabel, die durch die Punkte A ( 5 ) und B ( 0) verläuft. c) P (,5 ), Q (8,5 0) X f: = a + b,5 mit a X \ {0} und b X d) Der Graph von f: =,5 ( S ) + S mit S, S X schneidet die - und die -Achse jeweils im Wert 5. 6 Gib die Funktions gleichungen der abgebildeten Parabeln an. a) b) 6 5 5 7 Die Abbildung zeigt eine Skateboardrampe. Die befahrbare Fläche nennt man Skatingboden, sie hat etwa die Form einer Parabel (Maße in cm). d) c) 00 Das ich! Gib die Smmetrieachse der Funktion f sowie die Koordinaten des Scheitels S an ( = ). a) f: = 5 5 8 b) f: = c) f: = ( + )( ) + d) f: = 6 + 0,5 00 00 00 00 00 a) Gib eine Funktionsgleichung für den Verlauf des Skatingbodens an. b) Berechne die Höhen der Träger. k
5 8 Die Parabel p: = ( + ) mit = wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor v = ( ) auf p abgebildet. a) Bestimme p, p, p und p. b) Gib die Smmetrieachsen von p und p an. 9 Der Scheitel einer verschobenen Normalparabel p mit = ist S (5 ). Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (7 6) und Q (7 6) zur Parabel p gehören. 0 Die Seitenlänge eines 6 cm Quadrats beträgt 6 cm. Es werden nun zwei parallele Seiten des Quadrats um je cm ( X 0 ) verkürzt und die anderen beiden parallelen Seiten um je cm verlängert. cm a) Zeichne das Quadrat und die entstehenden Rechtecke für = und =. b) Bestimme, welche Werte annehmen kann. c) Ermittle den Flächeninhalt A der Rechtecke in Abhängigkeit von. d) Stelle A () grafisch dar und gib die zugehörige Definitions- sowie Wertemenge an. e) Berechne, für welchen Wert von der Flächeninhalt maimal ist. Überprüfe am Graphen. cm 6 cm Wird eine beliebige quadratische Funktion an der -Achse gespiegelt, so wird sie auf sich selbst abgebildet. Sind die beiden Nullstellen einer Parabel bekannt, so lässt sich die Abszisse ihres Scheitels angeben. 5 Wenn in der Gleichung = a + c ( = ) und a X \ {0}) der Summand c = 5 ist, schneidet die Parabel der Funktion die -Achse im Punkt P (0 5). 6 Kennt man die Koordinaten des Scheitels einer Parabel, so kann man die Gleichung der Parabel rechnerisch ermitteln. 7 Eine um LE nach rechts und LE nach oben verschobene Normalparabel hat den Scheitelpunkt S ( ). 8 Der Scheitelpunkt der Funktion = mit = ist identisch mit der Nullstelle dieser Funktion. 9 Die Definitionsmenge einer quadratischen Funktion ist immer eine Teilmenge der Wertemenge. 0 Wenn in der Gleichung = a + b + c ( = und b, c X ) der Faktor a = 5 ist, ist der Graph eine gestreckte Parabel. Aufgaben für Lernpartner Arbeitsschritte Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. Die Gleichung = + beschreibt eine quadratische nn Funktion. Eine Parabel hat stets eine Smmetrieachse. Aufgabe Ich kann Hilfe, 8, 0, 9 Definitions- und Wertemengen angeben. S. 6, 5, 6, 7,, 6,, 6, 0, 5, 7, 8, 0, 7, 9, 0,,,, Gleichungen quadratischer Funktionen aufstellen. Funktionen darstellen. S. 8, 0, 6 S. 8, 0, mit quadratischen Funktionen umgehen. S., 6 0 mit funktionalen Abhängigkeiten umgehen. S. 8
6.0 Auf einen Blick S. 6 Eigenschaften: f () 0 f () = f ( ) für alle X f (0) = 0 (minimaler Funktionswert) p: = S (0 0) Die Gleichung = mit = beschreibt eine quadratische Funktion f. Ihr Graph ist eine Normalparabel. Der Punkt S (0 0) heißt Scheitelpunkt. S. 8 Funktionen mit der Gleichung = a mit der = Formvariablen a X \ {0} und = beschreiben Parabeln, deren Scheitel S im Ursprung liegt. a 0: nach oben geöffnete Parabel a 0: nach unten geöffnete Parabel a : gestreckte Parabel a : gestauchte Parabel S. 0 f: = a ( S ) + S mit a X \ {0}, S, S X und = Parabeln mit der Gleichung = a können entlang der - und -Achse verschoben sein mit S ( S S ). S. = a ( S ) + S Scheitelpunktsform a 0: Minimum ausquadrieren quadratisch ergänzen = a + b + c allgemeine Form a 0: Maimum a X \ {0} und S, S X b, c X und = Die Scheitelpunktsform der Gleichung einer Parabel kann in die allgemeine Form überführt werden und umgekehrt. Terme der Form a + b + c mit a X \ {0} und b, c X sowie X besitzen immer einen Etremwert. S. 6 Eine an der -Achse gespiegelte und verschobene Normalparabel p ist smmetrisch zu = und verläuft durch den Punkt P ( ). a = p: = ( + ) + s P X p: = ( + ) + s = + s S ( ) p: = ( + ) + Um Parabeln p zeichnen oder deren Funktionsgleichung aufstellen zu können, braucht man für die Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion = a ( S ) + S mit a X \ {0}, S, S X und = den Koeffizienten a sowie die Koordinaten S und S des Scheitelpunktes S. allgemeine Form der quadratischen Funktion = a + b + c mit a X \ {0} und b,c X sowie = die drei Koeffizienten a, b und c. S. 8 D 0 C 0 A 0 B 0 Das Rechteck A 0 B 0 C 0 D 0 besitzt für = den maimalen Umfang u ma = 0 LE. Quadratische Terme der Form T () = a + b + c mit a X \ {0} und b, c X sowie X besitzen immer einen Etremwert. Für a 0 ist die zugehörige Parabel nach oben geöffnet. Sie besitzt ein Minimum. Für a 0 ist die zugehörige Parabel nach unten geöffnet. Sie besitzt ein Maimum.
Kreuz und quer 7 Lineare Gleichungen und Ungleichungen Löse folgende (Un-)Gleichungen ( = ). a) g 7 = g + (g + ) b) + ( + 9) = ( + ) c) ( 7) ( + 7) = + 5 d) ( ) ( ) 7 5 + 5,5 + 07,75 e) ( + ) ( ) 8 ( ) 6 Ergänze im Heft die fehlenden Terme ( = ). ( + )² ² = ( )² ( + ) + 6 + ² = ² + 6 ² 7 6 + = 8 + 7 6 + = + 6 = = = Schrägbilder 6 Konstruiere das Schrägbild eines 7 cm hohen Quaders ABCDEFGH (q = 0,5; ω = 60 ). Für die Seiten der Grundfläche ABCD gilt: AB = 5 cm und BC = cm. Die Punkte A und C liegen auf der Schrägbildachse. 7 Zeichne die Grundfläche ABCD des Schrägbilds in wahrer Größe in dein Heft und bestimme anschließend deren Flächeninhalt. Im Schrägbild gilt: q = 0,5; ω = 5. S D Löse mithilfe einer passenden Gleichung ( = ). a) Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl das Zweifache der um verminderten Zahl, so erhält man das Achtfache der um 0 verminderten Zahl. b) Verkürzt man die eine Seite eines Quadrates um cm und verlängert gleichzeitig die andere Seite um 5 cm, so wird der Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks um 0 cm größer als der des ursprünglichen Quadrates. Ein Vertreter fährt an drei Tagen insgesamt km. Am. Tag fährt er doppelt so weit wie am. Tag und am. Tag 6 km weiter als am. Tag. Berechne mithilfe einer passenden Gleichung, wie viele km er an den einzelnen Tagen fährt ( = ). 5 Bestimme für = die Lösungsmenge. + a) 5 = b) = 6 c) 6 = + 5 d) ( ) ( + 7) = 8 + 6 7 A B M 8 Das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer Pramide ABCS. Die Strecke [CS] steht senkrecht auf ABC mit CS = 8 cm. Zeichne das Schrägbild der Pramide mit q = 0,5; ω = 5 und der Schrägbildachse AC. 9 Tim hat ein Schrägbild des Buchstabens C erstellt. Erkläre, welcher Fehler Tim unterlaufen ist, und zeichne das Schrägbild richtig in dein Heft. C
8 Kreuz und quer Kreuz und quer 8 Berechnungen im Koordinatensstem Ssteme linearer Gleichungen 0 Der Punkt A ( ) ist vom Punkt B (8 7) genau 5 LE entfernt 5 Finde ein passendes lineares Gleichungssstem ( = ) und gib seine Lösungsmenge an. a) Hat Evi Recht? Begründe. Bestimme denjenigen der drei Punkte, der vom Ursprung die Entfernung LE hat. A B C b) Überprüfe rechnerisch, ob das Dreieck ABC mit A (0 ), B ( ) und C (7 0) rechtwinklig ist. Gib gegebenenfalls an, wo der rechte Winkel liegt. Das Dreieck ABC wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z ( Z ) und dem Streckungsfaktor k auf das Dreieck A B C abgebildet. Die Punkte C und Z liegen auf g: = ( = ). Es gilt: A ( ); B ( ); C ( C ); A ( 6) a) Zeichne die Dreiecke ABC und A B C und bestimme die fehlenden Bildpunkte B und C. b) Berechne den Streckungsfaktor k. c) Berechne die Flächeninhalte von Urdreieck und Bilddreieck. Von einem Dreieck ABC n kennt man die Eckpunkte A ( ) und B ( 0,5). Die Punkte C n ( ) liegen auf g: = 0,5 + ( = ). a) Zeichne g und das Dreieck ABC für = in ein Koordinatensstem. b) Welche Werte von sind zulässig? c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. d) Bestimme den Flächeninhalt A der Dreiecke ABC n in Abhängigkeit von. Bestätige hiermit auch den Wert aus Teilauf gabe c). e) Für welchen Wert von erhält man einen Flächeninhalt von A = 9 FE (A = 5,75 FE)? 6 Stimmt die folgende Behauptung? Begründe. Das lineare Gleichungssstem ( = ) I = + II 6 + + 6 = 0 hat unendlich viele Lösungen. 7 Das lineare Gleichungssstem hat für = die Lösungsmenge = {( )}. Bestimme. I + 8 = 0 II ( + ) = 8 8 Auf einer Familienfeier stellen Mutter und Tochter ein Rätsel: Wie alt sind wir beide im Moment, wenn ich gerade siebenmal so alt bin wie du...... und du in acht Jahren nur noch dreimal so alt bist wie ich.