8.01.014 5. Dynamik: Käfte, Newtonsche Gesetze Die Usache de Bewegung ist eine Kaft Die Kaft ist ein Vekto F. Geifen mehee Käfte an einem System an, so können die Käfte zu eine Resultieenden zusammengefaßt weden: n F ges F i i1 Wikung de Kaft: Bescheibung duch die Newtonschen Axiome. Axiom: keine Heleitung möglich, nu empiische Beweise. 1. Tägheitspinzip. Aktionspinzip 3. Reaktionspinzip 5.1 Tägheitsgesetz (1. Newtonsche Gesetz) Tägheit: Ein Köpe bleibt in Ruhe ( v 0 ) ode bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit ( v const ), d.h. e veändet seinen Bewegungszustand nicht ( a 0 ), wenn keine extene Kaft auf ihn einwikt. De Köpe ist fei. Beeits 100 Jahe vo Newton von Galilei expeimentell nachgewiesen und ähnlich fomuliet. 5-1
8.01.014 Widespicht etwas de alltäglichen Efahung: Bewegtes Auto stoppt nach Abschalten des Motos (Kaft). Aistoteles: v = 0, wenn keine Kaft einwikt = bevozugte Ruhezustand = Ede. Unteschied zu Newton: auch v = const. wenn keine Kaft einwikt. Waum: Gegenkäfte F Bems : Gegenwind, Rollwidestand mit Moto: 0 v const. Motokaft = Widestandskäfte ohne Moto: F i F i 0 a Bems Beispiele: Welche Faden eißt? 3 Fälle sind möglich: keine: F zu klein, d.h. dünneen Faden nehmen langsame Steigeung de Kaft: oben: m g F F O F U F uckatig. Tägheit de Masse: unten: m g < F m a F O F U Tablecloth.mpg tpape.mpg 5. Aktionspinzip: Kaft und Masse (. Newtonsche Gesetz) Kaft ist die Göße, die einen Köpe dazu veanlaßt, seine Geschwindigkeit zu änden. Ändeung de Geschwindigkeit = Beschleunigung: Resultieende Kaft = Richtung de Beschleunigung F ges m a kgm s F N F = 1 Newton gilt nu fü m = const.! (siehe Kap. 7.1 allgem. Def.) 5-
8.01.014 Die Masse widesetzt sich de Beschleunigung: täge Masse. Je göße m umso kleine ist die esultieende Beschleunigung a. unabhängig von de At de Kaft: Elekton: elektisches Feld Ede: Gavitation Beispiel: 1. ohne Bewegung (stae Köpe): statisches Gleichgewicht v 0 F 0 v 0 F Maue F Zug 0 F Maue F Zug actio = eactio gleich goß abe entgegengesetzt Die Kaft F Maue muß vohanden sein fü v 0. mit Bewegung: Fage: Wie goß ist die Beschleunigung a des Autos? F 0 F Z F Z bewikt eine Beschleunigung a: F Z ma 5.3 Actio = Reactio (3. Newtonsche Gesetz) Actio = Reactio Die auf einen Köpe einwikende Kaft kann nicht aus diesem selbst stammen. Es muß mindestens noch ein zweite Köpe vohanden sein, von dem diese Kaftwikung ausgeht. Kaft und Gegenkaft müssen auf zwei veschiedene Köpe wiken. 5-3
8.01.014 Baon Münchhausen sah das etwas andes: Vesuch: Fedewaage (Video#5) Fage: Wie weit wid die Fede im echten Fall ausgelenkt? Die Auslenkung de Testfeden ist gleich goß! Gleichgültig we die Reaktion ezeugt. Die Käfte escheinen paaweise Wohe kommt m g? Mond Keisbahn F v 0 0 System Gezeiten 5-4
8.01.014 Die Ede wid auch in Richtung Mond bewegt. Bewegung um den gemeinsamen Schwepunkt. Meist venachlässigba, da Masse de Ede seh goß im Vegleich zum Mond. G geift an Köpe an heben sich nicht auf, da Angiff auf unteschiedliche Köpe G geift an Ede an Köpe fällt De Massenschwepunkt bewegt sich abe nicht v System = 0 da F 1 = - F 5.4 Fundamentale Käfte Kein diekte Kontakt zwischen den Köpen. Totzdem besteht eine wechselseitige Wikung = Wechselwikung (WW). Schwe vostellba. 4 Gundlegende Aten: At de WW Uspung Stäke Reichweite Gavitation Masse 10-38 lang ( - ) Elektomagnetische WW elektische Ladungen 10 - lang ( - ) Schwache WW Elementateilchen 10-13 kuz (10-15 m) Stake WW Kenteilchen 1 kuz (10-15 m) Gavitation: Bestimmt u.a. Lauf de Planeten Elektomagnetische: Elektische u. magnetische Käfte. Wesentlich stäke als Gavitation. Beide haben eine goße Reichweite. Schwache WW: Zwischen Elementateilchen wie Elektonen, Potonen, Neutonen. Stake WW: Zwischen bestimmten Elementateilchen (Neutonen, Potonen) Reichweite nu auf atomae Ebene. Nichtsichtbae Käfte. Usache? Wie wiken sie? Auch im Vakuum, ohne Kontakt. Vesuch de Physike: Veeinheitlichung alle WW zu eine Kaft. 5-5
8.01.014 5.4.1 Newtonsche Gavitationsgesetz Annahme: Massepunkte F 1 Kaft von m 1 auf m m 1 Usache m Wikung auf F 1 F 1 actio = eactio 1 1 F 1 m m 1 1 1 1 1 11 Nm 1,0 6,67 10 1 kg entgegengesetzt zu 1 Einheitsvekto von m 1 nach m Gavitationskonstante empiisches Gesetz: Bestimmung von aus Expeimenten. Natukonstante ode Mogelgöße zu Anpassung de Beobachtung an die Theoie. Waum genau diese Zahl? F ist ein Kaftfeld (Vektofeld) da F f ( ) vom Ot abhängig ist. Zentalkaft: Kugel- ode adialsymmetische Kaft, ausgehend vom Zentum (Kugelmittelpunkt). Im Abstand vom Mittelpunkt ist die Kaft const. Beispiele: Schweefeld de Ede, Kaftfeld eine elektischen Ladung -Abhängigkeit (siehe auch Coulombsches Gesetz): im 3-dimensionalen Raum nimmt die Wikung eine Zentalkaft quadatisch ab. Veteilung de Wikung auf eine Kugelobefläche O. Fü hypothetischen -dimensionalen Raum: Veteilung auf einen Keisumfang 1 -Abhängigkeit, fü 4-dimensionalen Raum 3 - Abhängigkeit. U also 5-6
8.01.014 Beispiel: Massen mit je 1 kg und 10 cm Abstand 11 6,67 10 11 Nm kg kg 9 F 6,67 10 N (0,1) kg m fü Pesonen a 70 kg: F 6,67 10 9 4900 3,6 10-6 N vgl. Anziehung Ede auf 1 kg: F 1 9,81 9,81N (siehe 5.4.) d.h. meist venachlässigba. Nicht bei seh goßen Massen (Kosmologie), ode im atomaen Abstand (AFM)! 5.4. Edbeschleunigung g, Gewichtskaft G Annahme: (Beweis Kap. 10.7 Tiple) Ausgedehnte Kugelmasse: Masse veeint im Kugelmittelpunkt: homogene Massenveteilung Massepunkt me m F m g( ) g Edbeschleunigung me g( ) mit E h Edobefläche: 6370 km ; m 5,98 10 kg E ( de) E 4 m m g( h 0) 9,81 s E E allgemein: me g( h) h Höhe übe de Edobefläche h E 5-7
8.01.014 Beispiel: a) Fü welche Höhe ist g = 0? 1 b) Fü welche Höhe h ist g ( h) g( h 0) h = 0: Edobefläche m 1 m E E ( E h) E E E E h h h 640 km in 350 km Höhe (ISS): g350 0, 9 g0 Gewichtskaft G ode Edanziehung m G m g mit g 9,81 s g ist fü alle Köpe auf de Ede gleich, unabhängig von de Masse, d.h. unteschiedlich schwee Massen (Fede, Eisenkugel) fallen gleich schnell bei Venachlässigung des Luftwidestandes): Fallzeit: h t (siehe Kap. 4..3) g siehe auch Vesuch von Aistoteles (Vogelfede im Vegleich mit Eisenkugel) Vesuch: Vakuumoh Vegleich Fede - Eisenplatte (Video #7) Kaft G hängt von de Masse des Köpes ab, nicht abe die Beschleunigung me g( ). Damit gilt: v g t und y 0,5 g t, d.h. die Fallgeschwindigkeit und zeit sind unabhängig von de Masse des Köpes. Widespicht de täglichen Efahung. 5-8
8.01.014 Vesuch: Bestimmung von g (Video #6) Messen de Fallzeit de Eisenkugel mit 3 Zählen 1 s g t (siehe 4.1.3 fü a = const.) s g t s [m] t [s] g [m s - ] 0,1 0,14 10, 0,4 0,8 10, 0,9 0,4 10, g ist ötlich nicht konstant: (meist venachlässigba) 1. g hängt ab vom Ot: Ede nicht exakt und und inhomogene Dichteveteilung Fü seh goße m z. B. Mee meßba: Südl. Indien entspicht ca. 110m tiefe Delle, bei Neu-Guinea 80m hohe Beg g ( ) Gavitationsfeld = Vektofeld 5-9
8.01.014 Gewichtskaft G ist damit vom Ot abhängig. Die Masse m dagegen ist unabhängig vom Ot = chaakteistische Göße eines Köpes. Wie sie zustande kommt ist noch unbekannt: Gibt es eine unteilbae Elementamasse Beispiel: Waagechte Wuf auf dem Mond. Ede Mond Masse m 1 kg 1 kg schwee Masse mg m 9,81 m 1 kg 9,81 ~ 1 kg s 6 s täge Masse" Hoizontale Stoß a 1 kg a 1 kg a d.h. Gewichtheben ist leichte auf dem Mond, Billadspielen ist identisch. schwee Masse und täge Masse sind nicht meh vewendete Bezeichnungen, da die Massen gleich sind. Besse: Schwee und Tägheit sind Eigenschaften de Masse Einsteinsche Äquivalenzpinzip: Gleichheit de Gavitations- und Tägheitskaft. Ausgangspunkt de allgemeinen Relativitätstheoie (siehe Kap. 13.5). Umgangsspache: Ich wiege 90 kg ist falsch! Richtig: Meine Masse betägt 90 kg Mein Gewicht = Gewichtskaft G m g 90 N. g nimmt ab mit de Höhe ( Abstand ). Raumschiff auf eine Keisbahn um die Ede in goße Höhe. Heißt Schweelosigkeit: g 0? Nein: Zentipetalkaft wid benötigt sonst keine Keisbahn (Raumschiff hat kein Seitenude, also wohe kommt die Keisbahn?) Zentipetalbeschleunigung a R v wid benötigt fü Keisbahn (Kap. 4.3.4) v Zentipetalkaft F R m zu Ede hin geichtet gegeben ist die Edbeschleunigung g = f(): Wenn fü gegebene, g: g ar : feie Fall g a R : Schweelosigkeit g a R : Flucht (kein Keis) 5-10
8.01.014 z.b.: Flugzeug in 10 km Höhe mit 10 6 m m v 1000 km/h v 78 3600 s s Zentipetalbeschleunigung: a R v 78 m m 0,01 g( h 10 km) (6400 10) 1000 s m s Edadius (km) 9,799 m s - in de Regel venachlässigba gegen 9,81 m s - das Flugzeug stüzt ab ohne zusätzliche Kaft = Auftiebskaft duch Flügel Offene Fagen nach Newton: 1. Wie schnell ändet sich die Kaftwikung, wenn eine Masse sich entfent ode ihe Masse ändet? Unendlich schnell? Lösung duch Einsteinsche Relativitätstheoie. Maximal mit c.. Wieso kollabiet ein statisches Univesum nicht auf Gund de Gavitation? Daß es expandiet, entdeckte Hubble est 199. Selbst Einstein glaubte noch an das statische. 5.5 Bezugssysteme und Scheinkäfte 5.5.1 Inetialsysteme Inetialsysteme sind unbeschleunigt Inetia = Tägheit Gedankenexpeiment: Unbeschleunigtes System v = const. (ohne Reibung) In beiden Systemen keine Kaft nach 1. Newtons Axiom (v = 0 ode v = const.) Wagen: v Wagen = 0 v Wagen 0 = const. 1. Wahl des Bezugsystems (entspicht Videokamea):. S : v 0 elativ zum Wagen v 0 elativ zum Wagen Buch S: v Buch 0 elativ zu Ede vbuch vwagen elativ zu Ede 5-11 Buch
8.01.014 3. Egebnis: a) Es gilt das 1. Newtonsche Gesetz (Tägheitsgesetz). Dahe de Name Inetialsystem. b) Die Geschwindigkeit ist abhängig vom Bezugssystem: Die Otsdiffeenz efodet einen Bezugspunkt. x x x t t 1 v Buch Auch das Auge ekennt Geschwindigkeiten nu elativ zu Umgebung. c) Es gibt keine Möglichkeit zu entscheiden, we sich bewegt: Ede ode Wagen, d.h. es gibt keinen ausgezeichneten Ruhepunkt. Beide haben dahe das Recht sich als uhend zu betachten und es gelten in beiden Systemen die Newtonschen Gesetze. d) Es gibt keine absolute Position ode Raum: Newtonsche Relativität e) Es gibt keine Möglichkeit zu entscheiden, ob aufeinande folgende Eeignisse am gleichen Ot stattfinden. z.b. Ball spingt im Wagen auf und ab. e) Newton: die Zeit ist absolut, d.h. unabhängig von de Geschwindigkeit. Eweiteung duch Einsteinsche allgemeine Relativitätstheoie (siehe Kap. 13) 5.5. Beschleunigtes System System (S): Ede: in Ruhe Buch bleibt in Ruhe v Buch = 0 (Inetialsystem), da keine Kaft auf das Buch wikt (eibungsfei) System 1 (S ): Wagen: beschleunigt Buch wid nach hinten beschleunigt, obwohl keine Kaft auf das Buch wikt. Widespuch zum 1. Newtonschen Axiom 5-1
8.01.014 Auflösung: Einfühung eine Scheinkaft ma = - ma da System 1 kein Inetialsystem ist. Ein Beobachte auf de Ede sieht das Buch in Ruhe. Eine Kamea im Zug (kein Inetialsystem) sieht das Buch nach hinten fliegen ohne Gund. Scheinkaft: Es gibt keinen Köpe, de diese Kaft ezeugt. Die Wikung abe ist eal. Entsteht nu in beschleunigten Bezugssystemen, deshalb auch Tägheitskaft genannt. Fü Keisbewegungen gilt: Beschleunigtes System 5.5.3 Zentifugalkaft Beispiel: otieende Scheibe Inetialsystem beschleunigtes System (Keisbewegung) im System a (Inetialsystem): Beobachte exten (od. Kamea übe dem Tisch fest auf dem Boden montiet: Dehbewegung de Masse m: Zentipetalkaft F R m wid benötigt um das Teil auf de Keisbahn zu halten; wid von Seil eledigt. Tennen des Seil: Masse fliegt weg. System b (kein Inetialsystem): Beobachte auf de otieenden Scheibe (od. Kamea auf dem Tisch fest montiet). Rotation heißt beschleunigte Bewegung: Beobachtung: Scheibe otiet nicht und wenn Seil getennt wid fliegt Masse nach außen: m liegt in Ruhe auf de Scheibe: v = 0. Beim Tennen des Seils fliegt sie weg, d.h. wid beschleunigt ohne sichtbae Kaft Widespuch zum 1. Newtonsche Axiom! 5-13
8.01.014 Einfühen eine Scheinkaft: F Z m a F Zentifugalkaft Z R v a Zentifugalbeschleunigung: Z R a keine echte physikalische Kaft. Wenn es eine echte physikalische Kaft wäe, müsste die Masse nach dem Duchtennen des Seils auch mit eine adialen Komponente wegfliegen. Fliegt abe ein tangential! Beispiele: Diskuswefe, Schleifscheibe und Funken nu tangentiale Bewegung Aufgabe: Beechnen Sie die Zentifugalbeschleunigung de Edotation a Z in München ( = 48 Beite). Radius de Ede: R E = 6,38 10 6 m FZ R m d dt v m a Z 0,05 s E cos 7,7 10 T 4 3600 5 Senkechte Anteil a S : Wikung auf g: a a S g S a Z 1 s cos 0,0151 0,154% Tangentiale Anteil a t : Zusätzlich eine geingfügige Ablenkung g 5-14 1 s v m s a Z m s Edotation Äquato 6,38 10 6 m 5 7,7 10 464 0,0337 Sonnenumlauf 1,5 10 11 m 7 1,99 10 3 10 5 0,00594 Rotation Galaxie,5 10 0 m 5000 Lj 15 0,8 10 10 5 1,6 10-10
8.01.014 5.5.4 Coioliskaft bewegte Masse im otieenden System (kein Inetialsystem) System a: Beobachte außen: Inetialsystem geade Flug: keine Kaft System b Beobachte auf dehende Scheibe: kein Inetialsystem Kuvenflug: Ablenkung duch eine zusätzliche Scheinkaft: Coioliskaft fü v = const: Wufgeschwindigkeit nicht Rotationsgeschw. Ball eeicht nach t / v den Rand In diese Zeit hat sich de Rand um s t v t unte dem Ball weite bewegt. mit v t Beobachte auf Scheibe sieht die Ablenkung de Kugel nach hinten und schließt auf eine Beschleunigung s t 1 vgl. konstante Beschleunigung: s at (siehe 4.1.3) 1 s ac t v t a C v F C m v vektoiell: F C m v tangential gilt auch fü v const. 5-15
8.01.014 Aufgabe: Sie lassen am Äquato in einem Zug, de sich mit mit v Z = 100 km/h nach Osten bewegt einen Ball nach unten fallen (Fallhöhe h = 1m). Wo kommt de Ball im Zug an: Vo, hinte ode genau senkecht unte dem Statpunkt? a) In einem Inetialsystem (Zug) besteht nach Newton kein Unteschied ob v Z = 0 od. v Z = const. De Zug wid dahe im folgenden als uhend betachtet: v Z = 0 b) Steht de uhende Zug in einem Inetialsystem? Nein, e bewegt sich mit de otieenden Ede. Edansicht von oben auf den Nodpol Rotiationsgeschwindigkeit de Ede: v a a v b v b a Abwufgeschw. v a in 1 m Höhe ist göße als die Geschwindigkeit v b am Boden. Vegleichba einem Wagen mit lineae Bewegung, de wähend des Fluges des Balls nach unten auf v b abgebemst wid. De Ball landet in Eddehichtung vo dem Statpunkt. Wie goß ist die Veschiebung? Coiolisbeschleunigung: a v C F c) Fallhöhe 1 h gt F Fallzeit h t F und Fallgeschwindigkeit: v F g t g keine Vektoen, da am Äquato a C v F v g t vc ac dt g t vc 0 mit v C0 0 ; F 7,7 10 5 1 s t F 3 1 3 1 h 1 8h s g t dt g tf g μm meist venachläßigba 3 3 g 3 g 0 3 Fü h = 100 m: s = mm Weitee Anwendung: Hoch- und Tiefduckgebiete, Foucaultsches Pendel 5-16
8.01.014 5.6 Kontaktkäfte (Fede, Reibung) 5.6.1 Fedekaft F R im statischen Gleichgewicht: v = 0 F F R 0 K F R F K( x x0 ) K x Hooke sche Gesetz Fedekonstante N m x 0 meist = 0 Ruhelage (feie Wahl de Koodinaten) Ziehen: x 0 neg. Kaft = Rückstellkaft (F R entgegen x) Hooke sche Gesetzt gilt nu im elastischen Beeich, kleine Auslenkung, keine plastischen Vefomungen. Beispiel: masselose Fede Im statischen Gleichgewicht: keine Bewegung v 0 F 0 G F 0 ; mg K x 0 R ges x in g Richtung K x m Fedewaage, Messen von x g 5-17
8.01.014 5.6. Reibung Beobachtung: Schieben eine Kiste: Zuest goße Widestand bis Kiste in Bewegung Hafteibung. Dann etwas kleinee Widestand Gleiteibung Vesuch: Födeband: Übegang von Haft- auf Gleiteibung (Video #8) Hafteibung: Gedankenexpeiment: von was hängt die Reibung ab? F N = Nomalkaft zu eibenden Fläche Gößee Fläche = gößee Reibung doppelte Masse doppelte Reibungskaft abe kleinee Auflageduck F f ( A) F f ( m g) Reibung Reibung Hafteibung (keine Bewegung): fü v = 0: F F H F H F H N F H FN Näheung! Betag wg. unteschiedlichen Richtungen von F H und F N µ H Hafteibungszahl H = f (Obeflächenbeschaffenheit, Mateial) fü F > F H Bewegung Gleiteibung F G F G N G H Näheung! Betag wg. unteschiedlichen Richtungen von F G und F N µ G Gleiteibungszahl G = f (Geschwindigkeit) fü goße v 5-18
8.01.014 Usache de Reibung: - mikoskopische Rauhigkeit - Wechselwikung de Moleküle - noch nicht vollständig vestanden (Tibologie) Tabelle 5.1: Näheungswete einige Reibungszahlen Mateialien H G Stahl auf Stahl 0,7 0,6 Blech auf Stahl 0,5 0,4 Kupfe auf Gußeisen 1,1 0,3 Glas auf Glas 0,9 0,4 Teflon auf Teflon 0,04 0,04 Teflon auf Stahl 0,04 0,04 Gummi auf Beton (tocken) 1,0 0,8 Gummi auf Beton (naß) 0,3 0,5 Gewachste Ski auf Schnee (0 C) 0,1 0,05 Gummi auf Asphalt 0,8...1,1 0,7...0,9 Eis-Eis (0 C) 0,05...0,19 0,0 Beispiel: Schiefe Ebene Fage: max. Steigungswinkel kuz vo dem Gleiten Käfte am Köpe: in y-richtung: F F F 0 wg. a y = 0 y N Gy F Gy m g cos F N m g cos 5-19
8.01.014 in x-richtung: F F F 0 geade noch keine Bewegung: a x = 0 x Gx R F Gx m g sin F Hafteibung R F N H Mit F F Gx R mg sin H m g cos Egebnis: H tg fü gößee Winkel: Gleiten d.h. a 0 x Fx FGx FR m ax a x entgegen x-richtung m g sin m g cos m G a x Egebnis: a g(sin cos) beschleunigtes Gleiten x G Antieb Bemsen Sondefall: a x = 0 fü G sin tg cos v x = const (Gleiten mit konstante Geschw.) Beispiel Reifen: ABS-System. Rollen ˆ Hafteibung. Duchdehen ode Blockieen ˆ Gleiteibung Beiteifen: Einfluß de Fläche übe Vefomung (nicht bei steifen Reifen). Meh Kleben als Reibung. 5-0