Station Der Beweis, dass irrational ist ufgabe 1 Hört euch auf youtube von DorFuchs den Song Die Wurzel aus ist irrational an. Der Link dazu ist http://www.youtube.com/watch?v=tpfneby9r0. Notiert euch die Schritte des Beweises! Unter Umständen müsst ihr dazu das Lied öfter stoppen. Welche Schritte sind klar? Welche Schritte sind noch unverständlich? Diskutiert gemeinsam in der Gruppe! nnahme: ist rational, kann also als Bruch p/q geschrieben werden, wobei p und q teilerfremd sind. Das heißt, dass der Bruch p/q nicht mehr weiter gekürzt werden kann. ( )² = p q p p q = = = q ist Teiler von p² fl ist Teiler von p, p kann also geschrieben werden als p=a p = a (a) 4a a = q = q = q ist Teiler von q² fl ist Teiler von q BER: nnahme war, dass p und q keine gemeinsamen Teiler haben! Die nnahme, dass als nicht kürzbarer Bruch p/q dargestellt werden kann, führt zu einem Widerspruch. Daher ist irrational!
ufgabe Beweist nun auf analoge Weise, dass 3 irrational ist! nnahme: 3 ist rational, kann also als Bruch p/q geschrieben werden, wobei p und q teilerfremd sind ( 3)² = 3 p q p p q (3a) 9a 3a = 3 = 3 = 3q p = 3a = 3q = 3q = q 3 ist Teiler von p² fl 3 ist Teiler von p, p kann also geschrieben werden als p=3a 3 ist Teiler von q² fl 3 ist Teiler von q BER: nnahme war, dass p und q keine gemeinsamen Teiler haben! Die nnahme, dass 3 als nicht kürzbaren Bruch p/q dargestellt werden kann, führt zu einem Widerspruch. Daher ist 3 irrational! ufgabe 3 n welcher Stelle bricht die rgumentation zusammen, wenn man einen analogen Beweis für die Irrationalität von 4 führen wollte? us der ussage 4 ist Teiler von p² folgt NICHT 4 ist Teiler von p, weil 4 keine Primzahl ist z.b. 4 ist Teiler von 36, aber 4 ist NICHT Teiler von 6 genau an dieser Stelle bricht die rgumentation im Beweis zusammen
Station B Näherungsweise Berechnung von irrationalen Zahlen I) Das Verfahren der Intervallschachtelung 3 ist eine irrationale Zahl. Mit Hilfe der Intervallschachtelung kannst du erkennen, zwischen welchen rationalen Zahlen 3 liegt. 3 liegt zwischen 1 und weil 1² < 3 < ² (1 < 3 < 4) 1,7 und 1,8 weil 1,7² < 3 < 1,8² (,89 < 3 < 3,4) ufgabe 1 Führt das Verfahren der Intervallschachtelung fort und bestimmt somit die ersten 5 Nachkommastellen von 3! 3 liegt zwischen 1,73 und 1,74 weil (1,73)² < 3 < (1,74)² (,999 < 3 < 3,076) 1,73 und 1,733 weil (1,73)² < 3 < (1,733)² (,99984 < 3 < 3,00389) 1,730 und 1,731 weil (1,730)² < 3 < (1,731)² (,99984 < 3 < 3,0001704) 1,7305 und 1,7306 weil (1,7305)² < 3 < (1,7306)² (,99999703 < 3 < 3,0000318) fl 3=1,7305 II) Das Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln Heron von leandria (ca. 65 ca. 15 n. Chr.) schlug ein Verfahren zur Wurzelbildung vor. Dem Heron-Verfahren liegt die Idee zu Grunde, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt eine Seitenlänge von hat. Man startet mit einem Rechteck mit Flächeninhalt. Schritt für Schritt wird das Seitenverhältnis des Rechtecks so geändert, dass sich seine Form immer mehr der eines Quadrats annähert, während der Flächeninhalt gleich bleibt. Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann die Näherungswerte für. Im ersten Schritt wird eine beliebige Seitenlänge 0 für das Rechteck gewählt. Damit dieses den gewünschten Flächeninhalt hat, wird die zweite Seitenlänge mit der Formel y 0 = berechnet. y 0 0 0 Die Ähnlichkeit des Rechtecks mit einem Quadrat wird wahrscheinlich gering sein. Um eine bessere Näherung zu erhalten, muss die lange Seite gekürzt und die kurze Seite verlängert 0 + y0 werden. ls neue Länge der langen Seite wird der Mittelwert 1 = der beiden bisherigen Seitenlängen angenommen. Die Länge der anderen Seite berechnet sich wie oben zu y 1 =. y 1 1 1 Dieses Verfahren wird nun Schritt für Schritt wiederholt bis die Figur annähernd quadratisch ist. Die Seitenlänge ist dann eine Näherung für.
ufgabe Führt das Heron-Verfahren für 3 durch! Startet mit einem Rechteck mit den Seitenlängen 0 =3, y 0 =1. Führt insgesamt 4 Schritte des Heron-Verfahrens aus und vervollständigt die Tabelle! Benutzt den Speicher des Taschenrechners um mit den eakten Werten weiterzurechnen. Start 1. Schritt. Schritt 3. Schritt 4. Schritt =3 =3 =3 =3 =3 0 =3 1 = =1,75 3 =1,7314 4 =1,730508 y 0 =1 y1=1,5 y =1,714 y 3 =1,7319 y 4 =1,730508 fl 3 º 1,730508 ufgabe 3 Führt das Heron-Verfahren für 70 durch, um eine Näherung auf 3 Nachkommastellen zu erreichen. Wie soll hier der Startwert (also die Seitenlänge 0 des ersten Rechtecks) gewählt werden? Wir wählen den Startwert 0 = 5, weil 5²=65, das liegt schon etwa in der Nähe von 70. Start 1. Schritt. Schritt =70 =70 =70 0 =5 1 =6,9 =6,838 y 0 =8,5 y1=6,7657 y =6,837 fl 70 º 6,837. ufgabe 4 Diskutiert, welche Vor- und Nachteile das Verfahren der Intervallschachtelung und das Heron-Verfahren haben! Intervallschachtelung: Vorteil: sehr einfacher lgorithmus Nachteil: man muss sehr viele Zahlen ausprobieren Heron-Verfahren: Vorteil: sehr einfacher lgorithmus, sehr schnell wenn man den Startwert gut wählt Nachteil: es ist wichtig, die genauen Werte im Taschenrechner zu speichern; wenn man den Startwert sehr weit entfernt von der Lösung wählt, dauert es sehr lange, um eine gute Näherung zu erreichen
Station C Eine besondere irrationale Zahl: p Kaum eine andere Zahl hat die Menschen so beschäftigt und fasziniert wie die Kreiszahl p. Schon von den Griechen wurde nach dieser geheimnisvollen Zahl gesucht, und auch wenn immer genauer geschätzt wurde, gelang es erst dem griechischen Mathematiker rchimedes um 50 v. Chr., diese Zahl mathematisch einzugrenzen. Bis heute werden immer wieder Rekordjagden veranstaltet, um p weiter anzunähern. Derzeit wurde p auf 10 Billionen Nachkommastellen berechnet. p ist die Kreiszahl im doppelten Sinn: p ist die Größe der Fläche des Einheitskreises. p ist der halbe Umfang des Einheitskreises. = p U = p Kurioses zur Kreiszahl p Die ufnahmeprüfung zum Verein Freunde von p (www.pi314.at) besteht darin, 100 Nachkommastellen von p auswendig aufzusagen. Den Weltrekord hält der Chinese Chao Lu, der 67890 Nachkommastellen von p aufsagen konnte. Der Wert von p ist ungefähr 3,14, daher wird am 14.3. (wegen der amerikanischen Datumsdarstellung 3/14) zu Ehren der Kreiszahl p der p-tag gefeiert. Dazu isst man runde Kuchen (Pie s) und trinkt Pineapple juice oder Pina Colada ;-) ufgabe 1 a) Überlegt euch Wege, wie die Zahl p näherungsweise bestimmt werden kann. 1. Möglichkeit: Man nimmt einen Zylinder und misst den Durchmesser der Bodenfläche mit einem Lineal/Maßband. Dann legt man eine Schnur um den Zylinder, um den Umfang der Bodenfläche zu messen, und misst die Länge der Schnur. Es gilt U=p. d, daher kann p berechnet werden durch p=u/d-. Möglichkeit: Man nähert den Kreis durch regelmäßige Polygone an, die man einschreibt und umschreibt (siehe Bild). Von den Polygonen kann leicht der Umfang gemessen werden, somit kann der Umfang des Kreises (und somit der Wert von p) von oben und unten angenähert werden. Bild aus http://de.m.wikipedia.org/wiki/kreiszahl
b) Wie könnte man vorgehen, um die Genauigkeit zu erhöhen? (Wenn euch selbst keine Wege einfallen, informiert euch im Internet.) für die 1. Möglichkeit (bmessen von Umfang und Durchmesser): man kann die Genauigkeit erhöhen, indem man einen Zylinder mit größerer Bodenfläche verwendet. Dadurch fallen die Messungenauigkeiten nicht so stark ins Gewicht. für die. Möglichkeit: nnäherung durch regelmäßige Polygone mit mehr Ecken ufgabe Die Nachkommastellen von p genügen keinerlei Regelmäßigkeit. uf der Internetseite www.angio.net/pi/bigpi.cgi könnt ihr nachsehen, an welcher Nachkommastelle von p euer Geburtsdatum steht!
Station D Der goldene Schnitt Der goldene Schnitt ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen, meist Längen von Strecken, das in der Kunst und rchitektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen wird. Darüber hinaus tritt dieses Teilungsverhältnis auch in der Natur auf, zum Beispiel am menschlichen Körper. Daneben gibt es noch viele Längenverhältnisse am menschlichen Körper, die dem goldenen Schnitt entsprechen. Der goldene Schnitt wird mathematisch beschrieben durch die Gleichung: b a + b = a b a b ufgabe 1 Drückt diese Gleichung in euren Worten aus. Was besagt sie? Verhältnis längere Strecke zu kürzere Strecke = Verhältnis Summe der Strecken zu längere Strecke ufgabe Bestimmt die Zahl a möglichst genau, wenn a+b=1 ist. a+b=1 fl b=1-a 1 a 1 Es muss also gelten =. a 1 a Man probiert verschiedene Werte von a aus: a 1 a a 1 1 a 0,5 1 0,4 1,5 1,66666 0,3,333333 1,48 0,35 1,857 1,538 0,38 1,631 1,61 0,38 1,6178 1,6181 ufgabe 3 Im folgenden Bild werden verschiedene Verhältnisse am menschlichen Körper betrachtet, die näherungsweise dem goldenen Schnitt genügen. Wählt drei Verhältnisse aus und messt mit dem Maßband nach, ob auch an euren Gruppenmitgliedern die Verhältnisse dieser Längen dem goldenen Schnitt entsprechen! Beispiel: a = Länge von Kopf bis Bauchnabel = cm b = Länge von Bauchnabel bis Fußsohle =.. cm Lösung (Beispiel): a = Scheitel Hals 9 cm b = Hals Nabel 48 cm b:a = 1,65 (a+b)/b = 1,60
Station E Zuordnung von Zahlen zu Zahlenmengen ufgabe 1 Kreuzt alle wahren ussagen an! Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede reelle Zahl ist auch eine natürliche Zahl. Eine ganze Zahl kann auch eine irrationale Zahl sein. Eine ganze Zahl muss keine rationale Zahl sein. Eine reelle Zahl kann auch irrational sein. Eine reelle Zahl muss rational sein. lle ganzen Zahlen sind reelle Zahlen. Es gibt irrationale Zahlen, die keine reellen Zahlen sind. Es gibt irrationale Zahlen, deren 10-Faches eine rationale Zahl ergibt. ufgabe Gebt drei rationale Zahlen an, die zwischen 1,3 und 1,9 liegen! z.b. 1,4; 1,5; 1,6 Gebt drei natürliche Zahlen an, deren Wurzel wieder eine natürliche Zahl ist! z.b. 4; 9; 16 Gebt drei natürliche Zahlen an, deren Wurzel eine irrationale Zahl ist! z.b. ; 3; 5 16 5 144 Gebt drei Zahlen an, deren Wurzel rational und größer als 1 ist! z.b.,, 9 16 100 ufgabe 3 Diskutiert in der Gruppe, ob die folgenden ussagen wahr oder falsch sind. Ist die Frage immer eindeutig zu beantworten? Begründet eure ntwort: Gebt wenn möglich Beispiele bzw. Gegenbeispiele an! a) Wird mit einer irrationalen Zahl gerechnet, ist das Ergebnis immer irrational. Nein, z.b. ( 3)²=3 ist rational b) Zieht man die Wurzel aus einer Zahl, ist das Ergebnis immer irrational. Nein, z.b. 4= ist rational c) Dividiert man zwei ganze Zahlen, ist das Ergebnis immer eine ganze Zahl. Nein, z.b. 9/4 ist keine ganze Zahl d) Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl. Nein, z.b. 3. 3 =3 ist rational. ufgabe 4 Kreuzt in jeder Zeile alle zutreffenden ussagen an! 0,03 œ -6 œ π œ 56790 œ 3. 10 - œ 5. 10 1 œ - 7 3 œ. 3 œ
ufgabe 5 Gegeben ist die Zahl - 5. Kreuzt die beiden wahren ussagen an! Die Zahl - 5 liegt nicht in. Die Zahl - 5 liegt in, aber nicht in. Die Zahl - 5 ist irrational. Die Zahl - 5 liegt in und in. Die Zahl - 5 kann nicht als periodische Dezimalzahl geschrieben werden. Zusatzaufgabe Erfindet selber ähnliche ufgaben, die besonders knifflig sind und gebt eure ufgaben der Lehrperson!