nach U.Wagner, OHG Tuttlingen
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- Stanislaus Schmidt
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1 M T E E T M Wurzeln und Irrationalität nach U.Wagner, O Tuttlingen 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 1
2 Rückblick: Standards 6 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität M T E E T M Inhaltsbezogene Kompetenzen: Standards 6 (3) Primfaktoren bestimmen (9) erläutern, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen ahlen stets beliebig viele weitere rationale ahlen liegen (10) Brüche in Dezimalzahlen (abbrechend oder periodisch) und abbrechende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 2
3 Rückblick: Standards 6 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität M T E E T M Irrationalität spiralcurricular vorbereiten Rationale ahlen liegen dicht, es drängen sich also sehr viele Brüche auf dem ahlenstrahl: Nichts an reellen ahlen ist beeindruckend, wenn nicht vorher die große ahl der Brüche beeindruckt hat! Brüche lassen sich in genau zwei rten von Dezimalzahlen umwandeln: abbrechend oder periodisch Dies ist der ufhänger für die Notwendigkeit der ahlbereichserweiterung! 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 3
4 Rückblick: Standards 6 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität M T E E T M Inhaltsbezogene Kompetenzen: Standards 8 u den Wurzeln: (11) den usammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren erklären (12) den Wert der Quadratwurzel einer ahl in einfachen Fällen mithilfe benachbarter Quadratzahlen abschätzen (13) ahlterme mit Quadratwurzeln vereinfachen, auch durch teilweises Wurzelziehen (14) anhand eines Beispiels erklären, dass im llgemeinen a + b a + b ist, aber ab = a b ist 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 4
5 Rückblick: Standards 6 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität M T E E T M nmerkungen zum Rechnen mit Wurzeln bschätzen mit Quadratzahlen nur bei Kenntnis dieser (aus Klasse 5/6) möglich (Spiralcurriculum!) Inwieweit thematisiert man a 2 = a? Differenzierung? Vereinfachung von ahltermen und v.a. teilweises Wurzelziehen nicht als Selbstzweck, z.b.: Schätze 1000 ab Begründe mit Wurzeldefinition, dass 16 = /2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 5
6 Rückblick: Standards 6 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität M T E E T M nmerkungen zum Rechnen mit Wurzeln Nenner rational machen in Fällen wie 2 2 = 2? Oder sogar 6 2 = 3 2? Binnendifferenziert? ar nicht? Beispielerklärungen zu Rechenregeln nicht nur mit Quadratzahlen oder pythagoräischen ahlentripeln durchführen? = = 7 aber = 25 = = = 8 aber = 34 < > = 7 aber = 35 < 6 Mögliche Methodik: Sternchenaufgaben 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 6
7 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren M T E E T M Inhaltsbezogene Kompetenzen: Standards 8 ur Irrationalität: (16) anhand geeigneter Beispiele die Unvollständigkeit der rationalen ahlen beschreiben und die Notwendigkeit der ahlbereichserweiterung auf reelle ahlen begründen (17) Beispiele für irrationale ahlen angeben (18) ein iteratives Verfahren zur Bestimmung einer Wurzel durchführen 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 7
8 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren M T E E T M nmerkungen zur Irrationalität Inhalte gelten nur für das E-Niveau, sind also gymnasial, wenn nicht sogar identitätsstiftend! Irrationale ahlen sollten nicht nur auf Wurzeln beschränkt werden, andere Beispiele helfen bei der Begründung der Notwenigkeit einer ahlbereichserweiterung: 0, , Jede weitere Nachkommastelle wird gewürfelt 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 8
9 Standards 8: Wurzeln Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren M T E E T M Einführung der Wurzel: Quadratverdoppelung 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 9
10 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M Intervallhalbierungsverfahren Möglicher Einstieg: Ich denke mir eine zweistellige ahl, die Du mit möglichst wenigen Versuchen erraten sollst. Ich sage Dir jeweils, ob Du zu hoch oder zu tief liegst. Vorgehen: Wähle durch bschätzung benachbarte ganze ahlen als Intervallgrenzen, halbiere das Intervall und entscheide durch Quadrieren der Mitte, ob die obere oder untere älfte des Intervalls als neues Intervall dient. 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 10
11 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M Intervallhalbierungsverfahren Vor- und Nachteile: Leicht durchschaubar und am ahlenstrahl darstellbar uf andere Probleme (Logarithmus) übertragbar, aber schwerfällig Liefert durch fortgesetztes Quadrieren die Einsicht, dass Wurzeln von Nicht-Quadratzahlen nicht abbrechen können (Periodizität ist aber noch nicht auszuschließen!) 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 11
12 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M Intervall- oder Tabellenverfeinerung Intervall wird in ehntelschritten quadriert, mit dem ersten Wert über dem Radikanten erhält man ein neues Intervall Neues Intervall wird in undertstelschritten quadriert 1 < 2 < 2 denn 1 2 < 2 < 2 2 1,4 < 2 < 1,5 denn 1,4 2 < 2 < 1,5 2 1,41 < 2 < 1,42 denn 1,41 2 < 2 < 1,42 2 Vor- und Nachteile: weniger schwerfällig, weniger anschaulich usätzlich: Vorgriff auf das Tabellen-Vorgehen bei Tests 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 12
13 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M eronverfahren Man nähert ein Rechteck durch fortgesetzte Mittelwertbildung schrittweise an ein flächengleiches Quadrat an. 7cm² 1,75cm 7cm² 2,43cm 4cm 2,88cm Eine Seite ist Mittelwert der anfänglichen: = 4 Die andere Seite stellt die richtige Fläche her: 7 4 = 1,75 Insgesamt ergibt sich die Formel: x n+1 = 1 2 x n + a x n 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 13
14 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M eronverfahren Nachteile: Einsichten am ahlenstrahl und durch Quadrieren bleiben verborgen Vorteile: eometrisch darstellbar und sehr schnell Spezialfall des Newtonverfahrens für f x = x 2 a Mit f x = x k a auch Übertragung auf k-te Wurzeln möglich: x n+1 = 1 k (k 1)x n + a x n k 1 Es reicht auch x n+1 = 1 2 x n + a x n k 1, falls φ (x 0 ) < /2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 14
15 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M Babylonisches Näherungsverfahren Tontafel Nr Interpretation im 60er-System: Ergebnis 1, weicht um ca von 2 ab! Spektakuläre enauigkeit ca Jahre vor Pythagoras! 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 15
16 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M Babylonisches Näherungsverfahren Vorgehen für a : Wähle (nahe) Quadratzahl n 2 und zeichne zwei zentrumsgleiche Quadrate mit Seitenlängen a und n und deren Differenz ist 2d = a n Die Rahmenfläche r wird durch die vier Rechtecke angenähert: r 4nd lso ist a = n + 2d n + r und r = a n 2 2n 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 16
17 Standards 8: Irrationalität Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität M T E E T M Vorgehen für 2 : Babylonisches Näherungsverfahren Man wählt: n = 1, damit r = 1, also: = 1,5 Verfahren ist nicht auf ganzzahlige n beschränkt und iterierbar: 2.Schritt: n = 1,5, damit r = 0,25, also: 2 1,5 0,25 3 = 1,41 6 Nachteil: komplex, nur binnendifferenziert möglich? Vorteile: reichhaltige geschichtliche Bezüge möglich, Vorgriff auf Infinitesimalrechnung Vergleich der Näherungsverfahren 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 17
18 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Beweisverfahren für die Irrationalität von 2 Beweis gar nicht im Unterricht thematisieren? Für mich indiskutabel: ymnasiale Identität! Beweis nur binnendifferenziert für WiMint-Schüler? Ja: Beweis ist anspruchsvoll und erfolgt zu früh Nein: Wenn Schüler Notwendigkeit der ahlbereichserweiterung begründen, wollen sie auch wissen, ob und warum 2 irrational ist 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 18
19 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Beweisverfahren für die Irrationalität von 2 Vorentlastung: Beweis durch Widerspruch im lltag : nnahme: Daniel ist ein netter Schüler (fiktiver (?) Querulant) Dann ist Daniel auch nett zu Menschen Da Lehrer auch Menschen sind (echt?) ist Daniel nett zu Lehrern Widerspruch! Daniel ist kein netter Schüler! usätzliche Empfehlung: Nichtabbrechen der Primzahlfolge nach Euklid (auch zum Wiederaufgreifen: P III) 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 19
20 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Einschub: Nichtabbrechen der Primzahlfolge nach Euklid nnahme: es gibt eine größte Primzahl p Dann definieren wir die ahl m = p + 1 Dann ist m durch keine Primzahl teilbar (Rest ist stets 1) Dann ist m entweder selbst eine Primzahl größer als p oder durch eine ahl größer als p teilbar, die selbst Primzahl ist Widerspruch: p ist nicht die größte Primzahl! nmerkung: usprobieren lehrreich! 2+1 prim, prim, prim, prim aber: = /2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 20
21 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Teilerwiderspruch nach Euklid, klassisch (Song) nnahme: 2 ist rational, also 2 = p q, vollständig gekürzt lso ist 2 = p2 q 2 oder 2q2 = p 2 lso ist p 2 gerade und damit p gerade (Vorentlasten!) lso kann man setzen: p = 2r (Vorentlasten!) Somit 2q 2 = (2r) 2 = 4r 2 oder q 2 = 2r 2 lso ist q 2 gerade und damit auch q gerade (s.o.) Widerspruch zum vollständig gekürzten Bruch! nnahme falsch, 2 ist irrational 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 21
22 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Teilerwiderspruch nach Euklid Der analoge Beweis lässt sich auch mit 5 und 10 durchführen: aus p 2 durch 5 bzw. 10 teilbar folgt p durch 5 bzw. 10 teilbar erfolgt wieder durch Endstellenbetrachtung! um Kontrast sollte man auch zeigen, dass sich bei 4 kein Widerspruch einstellt: aus p 2 durch 4 teilbar folgt nur p gerade! Methodik: Vorbeweisen, Beweispuzzle, Lückentext 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 22
23 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Teilerwiderspruch nach Euklid Wie beweist man die Irrationalität anderer Wurzeln? lternative 1: nzahl Primfaktoren verdoppelt sich beim Quadrieren leich bis 2q 2 = p 2 links ungerade, rechts gerade nzahl des Primfaktors 2 lternative 2: teilerfremde ahlen sind nach Quadrieren teilerfremd, weil weder in ähler noch im Nenner neue Primfaktoren entstehen leiche nnahme, weil 1< 2<2 gilt: q>1 Dann ist 2 = p 2 vollständig gekürzt mit q 2 > 1, also nicht q natürlich 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 23
24 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M (Unendlicher) bstieg nach Fermat nnahme: 2 = p q, p, q sind kleinstmögliche natürliche ahlen lso 2 = p2 q 2 oder 2q2 = p 2, damit ist p 2 > q 2 und p > q und 2q 2 > 2q 2 = p 2 ist 2q > p Wir definieren: n = p q < q und m = 2q p < p, beide natürlich Es gilt: mq = 2q p q = 2q 2 pq = p 2 pq und np = p q p = p 2 pq = mq, also: m n = p q, Widerspruch! Konkreter: m n = 2q p Oder Nachrechnen: p q = 2 p = 2 2 (2 2)( 2+1) = p q q = ( 2 1)( 2+1) = 2 = 2 (?) also 2 2 = ( 2 1) 2 (!) 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 24
25 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M (Unendlicher) bstieg nach Fermat Beweis so für chtklässler zu heftig, kann aber anschaulich ( rückwärts ) geführt werden! Oder mit Spielsteinen (Schülermaterial nach Ordowski) Oder mit Dreieckskonstruktion (nach Ordowski) Oder mit Ähnlichkeitskonstruktion Oder durch Falten mit DIN-Formaten (Schülermaterial nach Messner) Oder durch Kombination mit Euklid und damit Vermeidung von m und n (nächste Folie) 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 25
26 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Kombination von Euklid und Fermat nnahme: 2 ist rational, also 2 = p q, p, q natürliche ahlen lso ist 2 = p2 q 2 oder 2q2 = p 2 Damit gilt einerseits: p 2 > q 2 ber auch: p 2 gerade und damit auch p gerade: p = 2r Somit 2q 2 = (2r) 2 = 4r 2 oder q 2 = 2r 2 lso andererseits: q 2 > r 2 und q gerade Damit insgesamt: p 2 > q 2 > r 2 > Widerspruch: unendlich absteigende Folgen nat. ahlen sind unmöglich 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 26
27 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Fazit Wurzeln bieten Möglichkeiten zur Binnendifferenzierung nach oben Näherungsverfahren bieten reichhaltige Möglichkeiten zur Binnendifferenzierung nach oben Es wäre schade, sich auf Intervallhalbierung zu beschränken ls Regelstandard ist aber ein Verfahren ausreichend, dies kann aber auch z.b. das eron-verfahren sein Bei Thematisierung mehrerer Verfahren muss die Wahl in Klassenarbeiten freigestellt und fair sein 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 27
28 Näherungsverfahren Beweis der Irrationalität Das Fazit M T E E T M Fazit Beweisverfahren bieten noch mehr: Spiraliges ufgreifen von Teilbarkeit, Primzahlen und faktoren sowie ufzeigen geometrischer usammenhänge Sehr reichhaltige Möglichkeiten zur Binnendifferenzierung Beweisen ist kein Regelstandard, aber das Beweisen soll sich als prozessbezogene Kompetenz durch alle Klassen und Inhalte ziehen hier ist eine großartige Möglichkeit, pk 1 (Begründen) zu bedienen (v.a. die Teilkompetenzen 10., 12. und 13.) Es wäre sehr schade, wenn man hier nichts machen würde 2016/2017 Wurzeln und Irrationalität Folie 28
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