Extrema gebrochen rationaler Funktionen

Übungen zum Thema: Extrema gebrochen rationaler Funktionen Hier angewandte Lösungsmethode: Grenzwertmethode Versionsnummer: Version in Arbeit vom 6.09.007 / 19.00 Uhr

Finde lokale Extrema der gebrochen rationalen Funktionen. Versuche die Aufgaben zunächst mit der Methode der.ableitung. Du wirst feststellen, dass bei jeder Aufgabe mindestens eine Stelle vorliegt, bei der die Methode der.ableitung versagt (.Ableitung gleich Null). Berechne diese problematischen Stellen mit der Grenzwertmethode. Da sich die Sattelstellen hierbei automatisch ergeben, ermittel auch die Sattelpunkte. 1a) 1b) 1c) x 9x + 7x 7 f(x) 1 Extremum x 1 1 Sattelpunkt x x + x 1 f(x) 1 Extremum x + 1 1 Sattelpunkt x f(x) 1 Extremum x + 1 Sattelpunkt

Lösung zu 1a Gegeben: f ( x ) x 9x 7x 7 + x 1 Gesucht : Lokale Extrema, Sattelpunkte 1.Ableitung berechnen: Gegeben ist die Funktion : f(x) x 9x 7x 7 + x 1 Wir wollen die 1.Ableitung bilden, und benutzen dazu die Quotientenregel : z(x) z'(x) n(x) z(x) n'(x) n( x ) n( x ) [ ] Es ergibt sich als 1.Ableitung : ( x 9x + 7 x 7) ( x ( x 9x + 7 x 7) ( x ( + ) ( ) Um x 9x 7x 7 bzw. x 1 zu differenzieren, benutzen wir jeweils die Summen und die Potenzregel, und erhalten : x 18x + 7 x 1 x 9x + 7 x 7 1 Das Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern ergibt : x x 18x 18x 7 x 7 x 9x 7 x 7 + + + Klammer im Zähler auflösen : Wegen dem Minus vor der Klammer müssen wir alle Vorzeichen in der Klammer umkehren : x x 18x + 18x + 7 x 7 x + 9x 7 x + 7 Im Zähler gleiche Potenzen zusammenfassen : + x 1x 18x ( x

Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Um die Nullstellen der 1.Ableitung zu berechnen, müssen wir die 1.Ableitung, die wir auf der vorigen Seite berechnet haben, mit Null gleichsetzen : x 1x + 18x ( x 0 Der Bruch wird Null, wenn der Zähler zu Null wird. Wir müssen daher den Zähler gleich Null setzen : x 1x + 18x 0 Wir klammern x aus und erhalten : x x 1x + 18 0 Wir erhalten die erste Lösung x 0, wenn wir uns an den Satz erinnern : Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Die übrigen Lösungen ergeben sich, wenn man die Klammer mit Null gleichsetzt : x 1x 18 0 + Wir lösen diese quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel: x 1, b b 4ac 1 ± 1 4 18 1 14 ± ± a 4 144 1 4 4 Wir erhalten als Ergebnis, dass x0 und x die Nullstellen der 1.Ableitung sind.

Die.Ableitung berechnen: Gegeben ist die 1.Ableitung, die wir im vorletzten Schritt berechnet haben : x 1x + 18x Wir wollen die.ableitung bilden, und benutzen dazu die Quotientenregel : z( x ) z'(x) n(x) z(x) n'(x) z( x ) Zählerpolynom, n( x ) Nennerpolynom n( x) n( x ) [ ] Es ergibt sich als.ableitung : ( x 1x + 18x) ( x ( x 1x + 18x) ( x In der Formel sind noch zwei Differentiale zu finden, die wir berechnen müssen. ( + ) Zunächst berechnen wir das Differential x 1x 18x. Mit Hilfe der Summen - und Potenzregel erhalten wir das Ergebnis : ( ) ( 6 x 4x + 18) ( x ( x 1x + 18x) ( x mit x 1 als innerer und x als ä ( ) Jetzt ist in der Formel nur noch ein Differential vorhanden: x 1 Zur Berechnung des Differentials benötigen wir die Kettenregel: g ( f ( x) ) g' f ( x) f ' x ußerer Funktion. ( 6 x 4x + 18) ( x ( x 1x + 18x) ( x ( x Jetzt ist zwar immer noch ein Differential vorhanden, doch dieses läßt sich leicht berechnen, indem wir Summen- und Potenzregel anwenden: x 1 1 ( ) ( ) 6 x 4x + 18 x 1 x 1x + 18x x 1 1 Im Nenner wenden wir das.potenzgesetz an: Eine Potenz wir potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden: 6 x 4x + 18 x 1 x 1x + 18x x 1 1 Auf der nächsten Seite geht es weiter : 4

Fortsetzung Auf der letzten Seite sind wir bis zu folgender Formel gekommen: ( 6 x 4x + 18) ( x ( x 1x + 18x) ( x Im Zähler können wir x ( ) 1 ausklammern: x 1 6 x 4x + 18 x 1 x 1x + 18x 4 Nun können wir den Bruch mit x 1 kürzen: 6 x 4x + 18 x 1 x 1x + 18x Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern im Zähler ergibt: 4 + + + 6 x 6 x 4x 4x 18x 18 x 1x 18x Im Zähler multiplizieren wir die letzte Klammer mit dem Faktor, der hinter der Klammer steht: 6 x 6 x 4x + 4x + 18x 18 4x 4x + 6 x Wegen dem Minuszeichen vor der Klammer, kehren sich alle Vorzeichen in der Klammer um: 6 x 6 x 4x 4x 18x 18 4x 4x 6 x x 6x 6x 18 Wir fassen gleiche Terme zusammen, und erhalten die gesuchte.ableitung: + + + +

Wert der.ableitung an den Nullstellen der 1.Ableitung: Wir haben im vorigen Schritt die.ableitung berechnet: x 6x + 6x 18 Nun berechnen wir den Wert der.ableitung an den Nullstellen der 1. Ableitung. Praktisch bedeutet dies: Wir ersetzen alle x in der.ableitung durch 0 bzw., und berechnen dann den Wert dieses Ausdrucks : 0 6 0 + 6 0 18 18 f" ( 0) 18 0 1 1 6 + 6 18 0 f" 0 8 Auswertung : ( Die Stelle x0 ist "Nullstelle der 1.Ableitung" und die.ableitung hat dort einen positiven Wert. Daher liegt an der Stelle x0 ein Minimum vor. An der Stelle x hat die.ableitung den Funktionswert Null. Dies bedeutet, dass die Methode der.ableitung hier versagt, und wir nicht wissen, ob ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vorliegt. Wir müssen diese Stelle mit einer anderen Methode näher untersuchen und benutzen dazu die Grenzwertmethode (siehe nächste Seite).

Grenzwertmethode anwenden Für die Stelle x hatte die "Methode der.ableitung" kein Ergebnis gebracht. Wir wenden daher für x die Grenzwertmethode an. Dazu setzen wir x bzw. + x in die 1.Ableitung ein, und vereinfachen die enstehenden Terme mit Hilfe der binomischen Formeln: ( ) ( ) + ( ) ( x) 1 x 1 x 18 x f ' x ( ) ( ) ( x) 6 x x ( x) 6 ( x) ( x) + 0 [ 6] [ 4] positiv ( ) ( ) + ( ) ( + x) 1 + x 1 + x 18 + x f ' + x ( ) + ( ) ( + x) 6 x x ( x) 6 + ( x) ( + x) + 0 [ 6] [ 4] positiv Auswertung : Sowohl vor als auch nach der Stelle x steigt die Funktion, daher muß die Funktion f(x) an der Stelle x einen Sattelpunkt haben.

y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten des Extremums bzw. Sattelpunktes berechnet : x 0 ein Minimum x ein Sattelpunkt Um die y - Koordinaten der Extrema zu berechnen, setzen wir die x - Koordinaten in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) f ( 0) 0 0 0 9 + 7 7 7 0 1 1 7 x 9x 7x 7 + x 1 f ( ) 9 + 7 7 0 1 0 Ergebnis: Das Extremum bzw. der Sattelpunkt der Funktion hat folg ende Koordinaten : ist ein Minimum ( 07 / ) ( 0 / ) Graph: ist ein Sattelpunkt 50 40 0 0 10 0-10 -0-0 -40-50 -8-7 -6-5 -4 - - -1 0 1 4 5 6 7 8

Lösung zu 1b Gegeben: f ( x ) + x+ 1 x x x 1 Gesucht : Lokale Extrema, Sattelpunkte 1.Ableitung berechnen: Gegeben ist die Funktion : f(x) + x+ 1 x x x 1 Wir wollen die 1.Ableitung bilden, und benutzen dazu die Quotientenregel : z( x ) z'( x ) n( x ) z( x ) n'( x ) n( x ) n( x ) [ ] Es ergibt sich als 1.Ableitung : ( x x + x ( x x + x ( + ) ( + ) Um x x x 1 bzw. x 1 zu differenzieren, benutzen wir jeweils die Summen und die Potenzregel, und erhalten : x 6x + x + 1 x x + x 1 1 Die beiden ersten Klammern ausmultiplizieren : + + + + x x 6x 6x x x x x 1 Klammer auflösen : Wegen dem Minus vor der Klammer müssen wir alle Vorzeichen in der Klammer umkehren : + + + + + x x 6x 6x x x x x 1 Im Zähler die Ausdrücke sortieren und zusammenfassen : + x 6x 4

Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Um die Nullstellen der 1.Ableitung zu berechnen, müssen wir die 1.Ableitung, die wir auf der vorigen Seite berechnet haben, mit Null gleichsetzen : x 6x 4 + 0 Der Bruch wird Null, wenn der Zähler zu Null wird. Wir müssen daher den Zähler gleich Null setzen : x 6x + 4 0 Wir teilen die Gleichung durch, wodurch kleinere Koeffizienten entstehen, x x+ 0 Da man in der Schulmathematik die Lösungsformel für Gleichungen.Grades nicht lernt, müssen wir eine andere Methode versuchen, um diese Gleichung.Grades zu lösen. Wir erinnern uns an einen Satz aus der Alg ebra : "Falls eine ganzrationale Funktion ganzzahlige Lösungen hat, dann sind sie unter den Teilern des Absolutgliedes zu finden". Wir lösen die Gleichung also durch Pr obieren, indem wir die " Teiler des Absolutgliedes" ( 1,, 1 und ) der Re ihe nach in die Gleichung einsetzen : Wir erhalten als Ergebnis, dass x und x1 Nullstellen der 1.Ableitung sin d. Da eine Gleichung.Grades aber aber drei Lösungen haben kann, müssen wir nach weiteren möglichen Lösungen suchen. Weil x 1 und x Lösungen sin d, können wir ( x ( x + ) ( x + x ) aus der Gleichung.Grades abspalten. Dazu teilen wir die Gleichung.Grades durch x + x : (x (x + ) x x+ : x + x (x Die Gleichung.Grades kann man also schreiben als : (x (x (x+ ) 0 Nun können wir die Lösungen x 1 und x ablesen, indem wir den Lehrsatz benutzen : Ein Pr odukt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Wir erhalten als Ergebnis, dass x und x1 die Nullstellen der 1.Ableitung sin d.

Die.Ableitung berechnen: Gegeben ist die 1.Ableitung, die wir im vorletzten Schritt berechnet haben : x 6x + 4 Wir wollen die.ableitung bilden, und benutzen dazu die Quotientenregel : z( x ) z'(x) n(x) z(x) n'(x) z( x ) Zählerpolynom, n( x ) Nennerpolynom n( x ) n( x ) [ ] Es ergibt sich als.ableitung : ( x 6x + 4) ( x + ( x 6x + 4) ( x + In der Formel sind noch zwei Differentiale zu finden, die wir berechnen müssen. ( + ) Zunächst berechnen wir das Differential x 6 x 4. Mit Hilfe der Summen - und Potenzregel erhalten wir das Ergebnis : ( 6x 6) ( x 6x+ 4) Jetzt ist in der Formel nur noch ein Differential vorhanden: x + 1 ( + ) mit x 1 als innerer und x als äußerer Funktion. Zur Berechnung des Differentials benötigen wir die Kettenregel: g ( f ( x) ) g' f ( x) f ' x ( 6x 6) ( x 6x+ 4) Jetzt ist zwar immer noch ein Differential vorhanden, doch dieses läßt sich leicht berechnen, indem wir Summen- und Potenzregel anwenden: x + 1 1 ( ) ( ) 6x 6 x+ 1 x 6x+ 4 ( ) ( ) 4 x+ 1 1 Im Nenner wenden wir das.potenzgesetz an: Eine Potenz wir potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden: 6x 6 x+ 1 x 6x+ 4 x+ 1 1 Auf der nächsten Seite geht es weiter :

Fortsetzung Auf der letzten Seite sind wir bis zu folgender Formel gekommen: ( 6x 6) ( x 6x+ 4) Im Zähler können wir x ( + ) i 4 1 ausklammern: x+ 1 6x 6 x+ 1 x 6x+ 4 Nun können wir den Bruch mit x + 1 kürzen: 4 6x 6 x+ 1 x 6x+ 4 Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern im Zähler ergibt: + + 6x 6x 6x 6 x 6x 4 Im Zähler multiplizieren wir die letzte Klammer mit dem Faktor, der hinter der Klammer steht: 6x 6x 6x 6 4x 1x 8 Wegen dem Minuszeichen vor der Klammer, kehren sich alle Vorzeichen in der Klammer um: + + + + 6x 6x 6x 6 4x 1x 8 Wir fassen gleiche Terme zusammen, und erhalten die gesuchte.ableitung: + + x 6x 6x 14

Wert der.ableitung an den Nullstellen der 1.Ableitung: Wir haben im vorigen Schritt die.ableitung berechnet: x + 6x + 6x 14 Nun berechnen wir den Wert der.ableitung an den Nullstellen der 1. Ableitung. Praktisch bedeutet dies: Wir ersetzen alle x in der.ableitung durch bzw. 1, und berechnen dann den Wert dieses Ausdrucks : ( ) ( ) + 1 + 6 + 6 14 18 f" ( ) 18 1 f" 1 ( 1+ 1 + 6 1 + 6 1 14 0 0 8 Die Stelle x ist "Nullstelle der 1.Ableitung" und die.ableitung hat dort einen positiven Wert. Daher liegt an der Stelle x ein Minimum vor. An der Stelle x1 hat die.ableitung den Funktionswert Null. Dies bedeutet, dass die Methode der.ableitung hier versagt, und wir nicht wissen, ob ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vorliegt. Wir müssen diese Stelle mit einer anderen Methode näher untersuchen und benutzen dazu die Grenzwertmethode (siehe nächste Seite).

Grenzwertmethode anwenden Für die Stelle x1 hatte die "Methode der.ableitung" kein Ergebnis gebracht. Wir wenden daher für x1 die Grenzwertmethode an. Dazu setzen wir 1+ x bzw. 1 x in die 1.Ableitung ein, und vereinfachen die enstehenden Terme mit Hilfe der binomischen Formeln: (( 1+ x) + 1+ x 6 1+ x + 4 f ' 1+ x ( ) + ( ) ( + x) [ 4] 6 x x + + 0 + 0 positiv (( 1 x) + 1 x 6 1 x + 4 f ' 1 x ( ) ( ) ( x) 6 x x ( x) 6 ( x) ( x) + 0 [ 6] [ 4] positiv Auswertung : Sowohl vor als auch nach der Stelle x1 steigt die Funktion (1.Ableitung positiv), daher muß die Funktion f(x) an der Stelle x1 einen Sattelpunkt haben.

y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten des Extremums bzw. Sattelpunktes berechnet : x einminimum x 1 ein Sattelpunkt Um die y - Koordinaten der Extrema zu berechnen, setzen wir die x - Koordinaten in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 7 + 1 1 7 + x+ 1 x x x 1 f ( 1 1 + 1 1 0 1+ 1 0 Ergebnis: Das Extremum bzw. der Sattelpunkt ist ein Minimum ( / 7) ( 1/ 0) ist ein Sattelpunkt der Funktion hat folg ende Koordinaten : Graph: 50 40 0 0 10 0-10 -0-0 -40-50 -4 - - -1 0 1 4

Lösung zu 1c Gegeben: x f ( x ) x + Gesucht : Lokale Extrema, Sattelpunkte 1.Ableitung berechnen: Gegeben ist die Funktion : x f(x) x + Wir wollen die 1.Ableitung bilden, und benutzen dazu die Quotientenregel : z( x ) z'(x) n(x) z(x) n'(x) n( x ) [ n( x )] Es ergibt sich als 1.Ableitung : ( x ) ) ( x ) ) ) ) Um x zu differenzieren, benutzen wir die Potenzregel: x x : Um x + + x x x x ( + ) zu differenzieren, b ( + ) x x x 1 ) Die Klammer ausmultiplizieren : + x + 6x x ) enutzen wir die Potenzregel: x 1 : Im Zähler die Ausdrücke sortieren und zusammenfassen : x + 6x )

Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Um die Nullstellen der 1.Ableitung zu berechnen, müssen wir die 1.Ableitung, die wir auf der vorigen Seite berechnet haben, mit Null gleichsetzen : x + 6x ) 0 Der Bruch wird Null, wenn der Zähler zu Null wird. Wir müssen daher den Zähler gleich Null setzen : x 6x 0 + Wir können x ausklammern : x x+ 6 0 Nun benutzen wir den Satz : " Ein Pr odukt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist". Die erste Lösung können wir nun ablesen : Sie lautet x 0. Eine weitere Lösung fin det man, wenn man die Klammer mit Null gleichsetzt : x + 6 0 Wir subtrahieren 6 auf beiden Seiten : x 6 Wir teilen die Gleichung durch : 6 x Wir erhalten als Ergebnis, dass x0 und x die Nullstellen der 1.Ableitung sin d.

Die.Ableitung berechnen: Gegeben ist die 1.Ableitung, die wir im vorletzten Schritt berechnet haben : x + 6x ) Wir wollen die.ableitung bilden, und benutzen dazu die Quotientenregel : z( x ) z'(x) n(x) z(x) n'(x) z( x ) Zählerpolynom, n( x ) Nennerpolynom n( x ) n( x ) [ ] Es ergibt sich als.ableitung : ( x + 6x ) ( x + ) ( x + 6x ) ( x + ) f" ( x) ) In der Formel sind noch zwei Differentiale zu finden, die wir berechnen müssen. Zunächst berechnen wir das Differential x 6 x. ( + ) Mit Hilfe der Summen - und Potenzregel erhalten wir das Ergebnis : ( 6x + 1x) ) ( x + 6x ) ) ) Jetzt ist in der Formel nur noch ein Differential vorhanden: x + ( + ) mit x als innerer und x als äußerer Funktion. Zur Berechnung des Differentials benötigen wir die Kettenregel: g ( f ( x) ) g' f ( x) f ' x 6x + 1x x+ x + 6x x+ x+ f" ( x) ) Jetzt ist zwar immer noch ein Differential vorhanden, doch dieses läßt sich leicht berechnen, indem wir Summen- und Potenzregel anwenden: x + 1 ( ) ( ) 6x + 1x x+ x + 6x x+ 1 f" ( x) ) Im Nenner wenden wir das.potenzgesetz an: Eine Potenz wir potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden: ( 6x + 1x) ) ( x + 6x ) ) ) Auf der nächsten Seite geht es weiter : 4

Fortsetzung Auf der letzten Seite sind wir bis zu folgender Formel gekommen: ( 6x + 1x) ) ( x + 6x ) ) Im Zähler können wir x ( + ) ) 4 ausklammern: x+ 6x + 1x x+ x + 6x ) Nun können wir den Bruch mit x + kürzen: 4 6x + 1x x+ x + 6x ) Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern im Zähler ergibt: ) + ++ + + 6 x 1x 1x 4x x 6 x Im Zähler multiplizieren wir die letzte Klammer mit dem Faktor, der hinter der Klammer steht: ) ) 6 x + 1x + 1x + 4x 4x + 1x Wegen dem Minuszeichen vor der Klammer, kehren sich alle Vorzeichen in der Klammer um: 6 x + 1x + 1x + 4x 4x 1x x + 1x + 4x ) Wir fassen gleiche Terme zusammen, und erhalten die gesuchte.ableitung:

Wert der.ableitung an den Nullstellen der 1.Ableitung: Wir haben im vorigen Schritt die.ableitung berechnet: + + x 1x 4x ) Nun berechnen wir den Wert der.ableitung an den Nullstellen der 1.Ableitung. Praktisch bedeutet dies: Wir ersetzen alle x in der.ableitung durch 0 bzw., und berechnen dann den Wert dieses Ausdrucks : ( + ) ( + ) + 1 + 4 54 + 108 7 18 f " ( ) 18 1 f" 0 0 + 1 0 ( 0+ ) + 4 0 0 0 8 Die Stelle x ist "Nullstelle der 1.Ableitung" und die.ableitung hat dort einen positiven Wert. Daher liegt an der Stelle x ein Minimum vor. An der Stelle x0 hat die.ableitung den Funktionswert Null. Dies bedeutet, dass die Methode der.ableitung hier versagt, und wir nicht wissen, ob ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vorliegt. Wir müssen diese Stelle mit einer anderen Methode näher untersuchen und benutzen dazu die Grenzwertmethode (siehe nächste Seite).

Grenzwertmethode anwenden Für die Stelle x0 hatte die "Methode der.ableitung" kein Ergebnis gebracht. Wir wenden daher für x1 die Grenzwertmethode an. Dazu setzen wir 0+ x bzw. 0 x in die 1.Ableitung ein, und vereinfachen die enstehenden Terme mit Hilfe der binomischen Formeln: ( ) + ( ) ( 0+ x) + ( ) + ( ) ( x+) ( ) + ( ) ( + x) [ 4] 0+ x 6 0+ x f ' 0+ x x 6 x 6 x x + + 0 + 0 positiv ( ) + ( ) ( 0 x) + 0 x 60 x f ' 0 x ( ) + ( ) ( x) x 6 x ( x) + 0 [ 6] [ 4] x x + 6 positiv Auswertung : Sowohl vor als auch nach der Stelle x0 steigt die Funktion (1.Ableitung positiv), daher muß die Funktion f(x) an der Stelle x0 einen Sattelpunkt haben.

y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten des Extremums bzw. Sattelpunktes berechnet : x ein Minimum x 0 ein Sattelpunkt Um die y - Koordinaten der Extrema zu berechnen, setzen wir die x x - Koordinaten in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) x + ( ) 7 f ( ) 7 + 1 f ( 0) 0 0 0 + 0 Ergebnis: Das Extremum bzw. der Sattelpunkt der Funktion hat folg ende Koordinaten : ist ein Minimum ( 7 / ) ( 00 / ) Graph: ist ein Sattelpunkt 50 40 0 0 10 0-10 -0-0 -40-50 -5-4 - - -1 0 1 4 5